精品解析：河南许昌市长葛市第三实验高级中学2025-2026学年第二学期4月期中教学质量评估试卷高二数学

CGSG2025-2026学年第二学期4月期中教学质量评估试卷 高二数学 （时间：120分钟，分值：150分） 一、单选题(每题5分，共8题) 1. 某班8名学生一次物理测试的成绩如下：67，73，76，81，85，88，89，92，则这组数据的中位数为（ ） A. 81 B. 83 C. 84 D. 85 2. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（ ） A. 在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B. 在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C. 依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D. 依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 3. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 4. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 5. 已知，则（ ） A. 32 B. 31 C. D. 1 6. 清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 64种 D. 72种 7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（ ） 1 2 3 4 5 6 A. B. C. D. 二、多选题(每题6分，共3题) 9. 若随机变量，下列说法中正确的是（ ） A. B. 期望 C. 期望 D. 方差 10. 一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（ ） A. B. C. D. 与 相互独立 11. 一个不透明的口袋中装有个完全相同的乒乓球，其中个标有数字，个标有数字，记事件表示“第一次取到标有的球”，事件表示“第二次取到标有的球”，则下列说法正确的是（ ） A. 若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这个球上的数字相同的概率为 B. 若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为的概率为 C. 若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，互斥 D. 若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，相互独立 三、填空题(每题5分，共3题) 12. 的展开式中，x项的系数为________． 13. 某校需要从含甲的4位优秀老师中选3位去，，三个乡村支教，每个乡村1人，每人至多去1个乡村，其中甲不能安排在乡村，则不同的安排方法种数为______. 14. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 四、解答题 15. 在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图． （1）求的值； （2）根据频率分布表，估计该小组第62百分位数； （3）根据频率分布表，估计该小组平均成绩. 16. 某学校组织了种类丰富的社团活动.某寝室6名同学中，有2人选择了其中的2类，有3人选择了其中的3类，有1人选择了其中的4类，现从这6人中随机选出2人进行满意度测评. （1）求选出的2人选择社团种类的个数相同的概率； （2）记选出的2人选择社团种类的个数之和为，求的分布列和期望. 17. 某人统计了2020-2024年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额百亿元 9 12 17 21 26 （1）请根据表中提供的数据，用样本相关系数说明与的线性相关程度； （2）求出关于的经验回归方程，并预测2027年该网站“双11”当天的交易额. 附：在经验回归方程中，，，， 18. 为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房､体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点､街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（岁且岁）和中老年组（岁），从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 社区公共运动场 50 合计 80 170 （1）请补充列联表，并根据表中数据判断能否有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关； （2）用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75—145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩近似服从正态分布,其中为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)， 现从我校所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的数学期望. （2）现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整. 第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为. 已知甲同学第一关通过的概率为. （i）求该同学第二关通过的概率； （ii）记甲同学通过第n关的概率为 当时，恒成立，求M的最小值. 附：若随机变量服从正态分布 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ CGSG2025-2026学年第二学期4月期中教学质量评估试卷 高二数学 （时间：120分钟，分值：150分） 一、单选题(每题5分，共8题) 1. 某班8名学生一次物理测试的成绩如下：67，73，76，81，85，88，89，92，则这组数据的中位数为（ ） A. 81 B. 83 C. 84 D. 85 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的概念求解即可. 【详解】由题意可得该组数据的中位数为. 2. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（ ） A. 在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B. 在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C. 依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D. 依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】C 【解析】 【分析】借助分层随机抽样定义计算可得A；分别计算出购买燃油车的人数与购买新能源车的人数可得B；利用独立性检验定义可得C、D. 【详解】对A：，故新能源车主有人，故A错误； 对B：购买燃油车的人数为， 购买新能源车的人数为， 则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故B错误； 对C、D：依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联， 由，故此推断犯错误的概率不大于，故C正确、D错误. 3. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 4. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此​，故选项A、B错误；  由正态分布的对称性：，，C正确；  ，而，所以，因此，D错误 5. 已知，则（ ） A. 32 B. 31 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】令，则； 令，则，故. 6. 清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 64种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分组分配问题解法，先分组再分配即可求解． 【详解】根据题意，将4名青年志愿者分为三组，共有种情况，再分配到3个社区，共有种情况， 所以共有种不同情况． 7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 8. 现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（ ） 1 2 3 4 5 6 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知白球编号的可能取值为， （白球在4号，3个黑球从左侧3个抽屉选） （白球在5号，3个黑球从左侧4个抽屉选） （白球在6号，3个黑球从左侧5个抽屉选） 所以 二、多选题(每题6分，共3题) 9. 若随机变量，下列说法中正确的是（ ） A. B. 期望 C. 期望 D. 方差 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项分布有关知识，，，可得. 【详解】A选项：因，所以，故A错误. B选项：，故B正确. C选项：，故C正确. D选项：，，故D正确. 故选：BCD. 10. 一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（ ） A. B. C. D. 与 相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型、条件概率和独立事件的定义计算判断即可. 【详解】由题意可得，，所以A错误； ，所以B正确； ，所以，所以C正确； 由于，所以， 所以与不相互独立，所以D错误. 11. 一个不透明的口袋中装有个完全相同的乒乓球，其中个标有数字，个标有数字，记事件表示“第一次取到标有的球”，事件表示“第二次取到标有的球”，则下列说法正确的是（ ） A. 若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这个球上的数字相同的概率为 B. 若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为的概率为 C. 若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，互斥 D. 若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，相互独立 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这个球上的数字相同的概率为，故A正确； 对于B，若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为的概率为，故B正确； 对于C，由题得，所以，不互斥，故C错误； 对于D，，则，所以，不相互独立，故D错误. 三、填空题(每题5分，共3题) 12. 的展开式中，x项的系数为________． 【答案】 20 【解析】 【分析】将原式拆分为与两部分，分别求出两部分中项的系数后求和即可. 【详解】首先将原式变形为， 根据二项式定理，的展开式通项为，其中且. 中项的系数：令，解得，代入通项得该部分项的系数为， 中项的系数：要得到项，需中对应项的次数为，令， 解得，代入通项得该部分项的系数为， 将两部分系数相加，得展开式中项的总系数为. 13. 某校需要从含甲的4位优秀老师中选3位去，，三个乡村支教，每个乡村1人，每人至多去1个乡村，其中甲不能安排在乡村，则不同的安排方法种数为______. 【答案】18 【解析】 【分析】从含甲的4位优秀老师中选3位去、、三个乡村，每个乡村1人，甲不能去村，优先安排受限位置的村 【详解】村不能是甲，因此从剩余3位老师中选1位，有3种选法， 剩余、村从剩下的3位老师（含甲）中选2位排列，有种方法， 总方法数为 14. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 【答案】 ①. ##； ②. . 【解析】 【分析】应用全概率公式求概率即可求得机器人成功完成指令的概率，由题设随机变量的所有可能取值为，，，求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列期望公式求法求期望. 【详解】记“下达的动作指令表述清晰”为事件，记“下达的动作指令表述模糊”为事件，记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. ， 所以该机器人成功完成指令的概率为； 由题意的所有可能取值为，，，，，， 故的分布列为： 所以的数学期望. 四、解答题 15. 在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图． （1）求的值； （2）根据频率分布表，估计该小组第62百分位数； （3）根据频率分布表，估计该小组平均成绩. 【答案】（1） （2）72 （3）67 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1列式求解. （2）（3）利用频率分布直方图分别估计第62百分位数和平均成绩. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， 所以. 【小问2详解】 成绩在的频率分别为， 则该小组第62百分位数，，解得， 所以该小组第62百分位数为72. 【小问3详解】 该小组平均成绩. 16. 某学校组织了种类丰富的社团活动.某寝室6名同学中，有2人选择了其中的2类，有3人选择了其中的3类，有1人选择了其中的4类，现从这6人中随机选出2人进行满意度测评. （1）求选出的2人选择社团种类的个数相同的概率； （2）记选出的2人选择社团种类的个数之和为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列： 4 5 6 7 期望： 【解析】 【小问1详解】 选出的2人选择社团种类的个数相同的概率： ， 【小问2详解】 由题意知，所有可能取值为：4，5，6，7 ， ， ， ， 所以的分布列为： 4 5 6 7 的期望为：. 17. 某人统计了2020-2024年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额百亿元 9 12 17 21 26 （1）请根据表中提供的数据，用样本相关系数说明与的线性相关程度； （2）求出关于的经验回归方程，并预测2027年该网站“双11”当天的交易额. 附：在经验回归方程中，，，， 【答案】（1）非常接近1，说明变量与的线性相关程度很强 （2），38.5百亿元 【解析】 【分析】（1）根据表格里的数据与公式计算样本相关系数的值，再根据的取值判断线性相关程度； （2）利用问题（1）中已算出的数据以及公式计算出的值，再代入样本中心点得的值，即得关于的经验回归方程，可得答案. 【小问1详解】 由题意，根据表格中的数据， 可得，， ，， ， 故， 所以， 非常接近，说明变量与的线性相关程度很强. 【小问2详解】 由（1）可得，，，， 所以， 则. 可得关于的经验回归方程为， 令，可得， 所以预测2027年该网站“双11”当天的交易额为38.5百亿元. 18. 为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房､体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点､街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（岁且岁）和中老年组（岁），从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 社区公共运动场 50 合计 80 170 （1）请补充列联表，并根据表中数据判断能否有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关； （2）用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 40 100 社区公共运动场 20 50 70 合计 80 90 170 有95%的把握认为年龄与健身场所选择有关 （2） 1 3 5 7 ​ 数学期望为（或约） 【解析】 【分析】（1）先补全 2×2 列联表，再代入卡方独立性检验公式计算统计量，与 95% 置信度临界值比较，判断年龄与健身场所选择是否有关联； （2）先按分层抽样确定抽取的青壮、中老年人数，再用超几何分布计算随机变量 X 的各取值概率，列出分布列并代入期望公式求数学期望. 【小问1详解】 根据已知数据计算空缺值，得到完整列联表如下： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 40 100 社区公共运动场 20 50 70 合计 80 90 170  因为， 因此有95%的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关. 【小问2详解】 选择社区公共运动场的居民共70人，其中青壮年20人、中老年50人，抽样比为， 因此抽取的样本中青壮年人数：，中老年人数：. 设抽取的7人中中老年人数为，则青壮年人数为，. 因为青壮年共4人，故，解得，又， 因此，对应的可能取值为. 总情况数为， （对应或）时，， （对应）时，， （对应）时，， （对应）时，， 因此，的分布列为： 1 3 5 7 ​ 所以 19. 雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75—145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩近似服从正态分布,其中为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)， 现从我校所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的数学期望. （2）现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整. 第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为. 已知甲同学第一关通过的概率为. （i）求该同学第二关通过的概率； （ii）记甲同学通过第n关的概率为 当时，恒成立，求M的最小值. 附：若随机变量服从正态分布 则 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图，求出，进而可得，从而有，再利用二项分步的期望计算公式，即可求解； （2）（i）根据条件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求解；（ii）根据条件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式，得，进而得到，再分为奇偶，即可求解. 【小问1详解】 因为， 则，所以， 由题知，所以. 【小问2详解】 （i）由题知，甲同学第一关通过的概率为，即 所以第二关通过的概率为. （ii）记甲同学第关通过为事件A， 依题意有， 当时，， 所以， 所以， 所以，又因为，则， 所以数列是首项为， 公比为的等比数列， 所以， 当为奇数时，， 则随着的增大而减小，所以， 当为偶数时，， 又，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $