精品解析：江苏无锡市洛社高级中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试卷

2025-2026学年春学期期中考试高一数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．作答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上题号所对应的区域（答错区域不得分）．写在本试卷上无效． 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 设，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数虚部的定义，可得答案. 【详解】由题意可得复数的虚部为-2. 故选：A. 2. ，若，则实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为， 由，可得，解得. 故选：B． 3. 在中，，则角的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理可得：，即， 由于，故，又，则或. 4. 下列关于向量，，说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为钝角 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据向量的定义判断即可；对于B，当时，不一定等于；对于C，当时，满足；对于D，根据向量的运算性质即可判断. 【详解】对于A：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，只能比较向量的模长，A错误. 对于B：当时，，但不一定等于，B错误. 对于C：当时，满足，此时与夹角为，不是钝角，C错误. 对于D：根据向量的运算性质可知，D正确. 5. 已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例可说明充分性不成立，利用两平面有公共点，则公共点在两平面的交线上可说明必要性成立. 【详解】如图所示，空间中三条直线与平面分别交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面， 所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件； 若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面内， 则在平面与的交线上，所以三点共线， 所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件； 所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 若斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法求出原三角形的高后可得其面积. 【详解】如图，直观图是边长为的正三角形，则其高， 过作轴，交于，则， 则在原中，，边上的高为， 故的面积为， 故选：D. 7. 已知非零向量与满足且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将变形可得，从而可知的角平分线与垂直，故.再结合向量数量积的定义及可得，即可判断的形状. 【详解】∵和分别是与和同向的单位向量， ∴表示在的角平分线上的向量. ∵，∴， ∴的角平分线与垂直，∴. 又，∴， ∴为等边三角形. 故选：D. 8. 设复数（为虚数单位）.若对任意实数，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，令，即可求出的范围. 【详解】因为对任意，，则, ， ，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 若，则P是三角形的垂心 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【解析】 【分析】利用零向量与共线向量的定义可判断ACD，利用向量数量积的运算法则可判断B. 【详解】对于A，当时，与不一定共线，故A错误； 对于B，由，得， 所以，， 同理，，故是三角形的垂心，故B正确； 对于C，由共线向量的性质可知，若，则与共线且反向，故C正确； 对于D，当，时，显然有，但此时不存在，故D错误. 故选：BC 10. 如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中（ ） A. 与异面 B. 与相交 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】把展开图还原成正方体，逐项分析即可判断选项是否正确. 【详解】由题意，把展开图还原成正方体，如图所示： 从而可得，与异面，与相交. 11. 的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确； 对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误； 对于D，由正弦定理，结合条件， 得，， ，，，，又，， 所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量对应的复数为，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是___________． 【答案】 【解析】 【详解】向量对应的复数为，即向量， 向量绕点按顺时针旋转，得到向量， 即向量对应的复数是. 13. 若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积和圆柱的表面积相等得出圆柱的底面半径，再计算圆柱的侧面积即可. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为. 由题， 故，即 故（负根舍去）， 所以. 14. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【解析】 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数是关于的方程的一个复数根. （1）求，的值； （2）若为纯虚数，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程化简，然后根据复数相等的条件列出方程组，求解即可得出答案； （2）根据复数的除法化简得出.进而根据纯虚数的概念列出方程组，求解即可得出答案. 【小问1详解】 因为， 所以有. 所以有，解得. 【小问2详解】 由（1）得， 则， 所以，. 因为为纯虚数， 所以有， 解得． 16. 已知，. （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）求向量在向量上的投影向量； （3）若和互相垂直，求k的值. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据条件计算，和，利用可得结果. （2）利用投影向量的公式计算可得结果. （3）根据两向量垂直可得，利用数量积的坐标运算可得结果. 【小问1详解】 ∵，， ∴，，， ∴. 【小问2详解】 向量在向量上的投影向量为. 【小问3详解】 由题意得，，， ∵和互相垂直， ∴，即， 解得或. 17. 在中，角的对边分别为，若． （1）求； （2）若为边上一点，满足，且，求的面积最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再根据及辅助角公式得到，根据的范围即可求出答案； （2）由题意知，两边同时平方化简，结合基本不等式可得，再利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可将原式化为， 又， 所以， 又，故， 所以，即， 又，则， 所以，即. 【小问2详解】 因为为边上一点，且， 所以， 两边同时平方得， 又，， 所以， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的面积最大值为. 18. 如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）求； （3）设，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算法则计算； （2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案； （3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 由向量的线性运算法则，可得，① ，② 因为M为线段中点，则， 联立①②得：， 整理得：． 【小问2详解】 由AM与BD交于点N，得， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：． 所以，即． 【小问3详解】 由题意，可设， 代入中并整理可得 ． 又，故，可得：，． 因为，所以，． 在单调递增， 则当时，，当时，， 所以，的取值范围为． 19. 如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为. （1）求的大小； （2）若外接圆半径为1，求的周长最大值. （3）若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理即三角形的面积公式，结合已知条件即可求出； (2)利用正弦定理将的周长中的边转化为角，再结合辅助角公式化简，利用即可求出的周长最大值； (3)设，将图形中的角用来表示，结合正弦定理即可求出的值，再利用三角形的面积公式即可求出的值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理知，， 所以， 因为， 所以，即， 又因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得，，又， 所以，，， 由(1)可知，所以， 所以的周长， ， ， ， 因为，所以， 所以，所以的周长的取值范围是， 所以的周长的最大值为； 【小问3详解】 设，则，，， 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理，，即， 因为， 两式作商得，， 即，因为，所以， 所以，所以， 所以，， 假设，所以， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年春学期期中考试高一数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．作答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上题号所对应的区域（答错区域不得分）．写在本试卷上无效． 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 设，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. ，若，则实数为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则角的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 下列关于向量，，说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为钝角 D. 5. 已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量与满足且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 8. 设复数（为虚数单位）.若对任意实数，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 若，则P是三角形的垂心 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则存在唯一实数使得 10. 如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中（ ） A. 与异面 B. 与相交 C. D. 11. 的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量对应的复数为，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是___________． 13. 若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 14. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数是关于的方程的一个复数根. （1）求，的值； （2）若为纯虚数，求的值. 16. 已知，. （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）求向量在向量上的投影向量； （3）若和互相垂直，求k的值. 17. 在中，角的对边分别为，若． （1）求； （2）若为边上一点，满足，且，求的面积最大值． 18. 如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）求； （3）设，求的取值范围． 19. 如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为. （1）求的大小； （2）若外接圆半径为1，求的周长最大值. （3）若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $