精品解析：上海市文建中学2025-2026学年第二学期期中阶段性练习高二数学试卷

2025学年第二学期期中阶段性练习 高二数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、填空题（满分36分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. 设全集，集合，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知 2. 若，则__________. 【答案】8 【解析】 【详解】由，得， 而，整理得， 所以. 3. 不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解绝对值不等式得公式求解即可. 【详解】，所以， 可得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 4. 某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有_________种． 【答案】 【解析】 【分析】易知选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女，即可求解. 【详解】由题意知，选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女， 共有种选法. 故答案为：9 5. 满足等式的正整数n的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据排列数公式展开，并计算，即可得答案. 【详解】因为，所以， 即，则， 故答案为：4 6. 已知，则的最小值为__________. 【答案】18 【解析】 【详解】易知，由可得； 当且仅当时，即时，等号成立； 因此的最小值为18. 7. 曲线在点处的切线的斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即得. 【详解】由求导得， 则曲线在点处的切线的斜率为. 8. 若，则______ 【答案】12 【解析】 【分析】将进行变形，得，利用导数的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，即. 9. 已知 ，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【详解】根据绝对值的几何意义，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，已知，而点和点之间的距离为， 所以当时，点到点和点之间(包括端点)，此时点到点的距离与点到点的距离之和恰好等于点和点之间的距离3，满足. 10. 用1、2、3三个数字的全体或部分构造的四位数中，没有两个1相邻出现的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出用1、2、3三个数字可组成四位数的个数和没有两个1相邻出现的四位数个数，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】用1、2、3三个数字可组成个四位数， 没有两个1相邻出现的四位数分为三种情况： 若四位数中没有1，共有个， 若四位数中有1个1，共有个， 若四位数中有2个1，则这两个1不能相邻，有种放置方法， 其余两位各有2种选择（2或3），故共有个， 因此没有两个1相邻出现的四位数共有60个． 所以所求的概率为. 11. 已知函数，则关于t的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先用奇偶性定义证明为奇函数，然后利用奇偶性与单调性定义解不等式即可. 【详解】，得， 故为定义在上的奇函数. 所以可写为， 即，根据奇函数易得. 函数的导数为， 而，所以， 故函数在上单调递增，故不等式的解集等价于的解集，解得. 12. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据对任意，成立，转化为求解. 【详解】由，得， 令，得， 当时，，当时，， 又，所以时，取得最小值， 当时，， 当时，，所以， 所以， 因为任意，都有成立， 所以任意，都有成立， 则，即 ， 即 ，即 ， 又因为指数函数在R上递增， 所以，解得 ， 所以实数的最小值为2. 二、选择题（满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得3分，否则一律得零分. 13. 如果，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可. 【详解】若，，则， 则，即，充分性成立； 若，，则， 所以，必要性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C 14. 根据组合数的性质可知，（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由,利用组合数性质计算即可. 【详解】, 故选:C. 15. 已知函数的导函数的图像如图所示，则在内有（ ） A. 3个驻点 B. 4个极值点 C. 1个极小值点 D. 1个极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】由图象判断区间符号和零点个数，进而判断的驻点、极值点个数. 【详解】由题图知：从左到右依次分为5个区间， 区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4个零点， 即有4个驻点，综上，对于中的4个驻点有2个极大值点，1个极小值点， 所以C正确，A、B、D错误. 16. 函数的凹凸性是函数的重要性质之一，函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点.若曲线弧上点处的切线（除切点外）总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线（除切点外）总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的.函数在区间上为凹（凸）函数等价于的导函数在区间上单调递增（递减）.若在定义域内是凹函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合给定的定义，再利用导数求出为单调递增函数的参数范围即可. 【详解】函数的定义域为，由函数在上是凹函数， 得在上单调递增，令函数， 则，恒成立， 令函数，求导得，当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，，， 所以的最小值为. 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求； （2）若对任意实数，不等式均成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式分别求出集合，可求得； （2）对参数的取值进行分类讨论，利用判别式以及二次函数性质解不等式可得结果. 【小问1详解】 易知不等式等价于， 可得； 当时，不等式即为， 可得； 因此可得 【小问2详解】 当时，不等式为恒成立； 当时，由恒成立可得，解得； 综上可得实数的取值范围为. 18. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，现需要制作节目单. （1）若要求3个舞蹈节目相邻，有多少种不同的排法？ （2）若要求2个小品节目不相邻，有多少种不同的排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上新加两个不同的节目，但不改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的排法？ 【答案】（1）720 （2）3600 （3）72 【解析】 【分析】（1）将3个舞蹈节目看成一个元素，利用捆绑法求解即可； （2）将2个小品节目在其它5个节目之间留下的6个空位上安排，利用插空法求解即可； （3）将新增的两个节目放入原有7个节目排布产生的空位中，分放入同一个空位和放入两个不同的空位两种情况求解即得. 【小问1详解】 依题意，只需将3个舞蹈节目看成一个元素，考虑内部排序，再与另外4个节目共5个元素全排，故共有不同的排法种数为种； 【小问2详解】 依题意，只需将2个小品节目在其它5个非小品节目之间留下的6个空位上进行安排，再考虑这5个节目的全排，故共有不同的排法种数为种； 【小问3详解】 将新增两个节目放入原有7个节目排布产生的8个空位中．若两个节目放入同一个空位，有种排法， 若两个节目不放入同一个空位，有种排法，故共有种排法. 19. 在的展开式中，求： （1）所有项的系数之和； （2）含项的系数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，即可求得所有项的系数和； （2）写出二项式展开式的通项，列方程求解，即可求解. 【小问1详解】 令，得的展开式中所有项的系数之和为； 【小问2详解】 展开式中的通项为， 令，得，所以含的项的系数是． 20. 已知函数，当时，有极小值． （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用函数在极值点处的两个核心条件 —— 函数值为、导数值为，列方程组求解参数，再验证该点确实为极小值点． （2）先由（1）确定函数解析式与导数，找出区间内的驻点，再计算所有驻点和区间端点的函数值，通过比较大小得到最大值与最小值． 【小问1详解】 因为，所以， 因为当时，有极小值， 所以，解得． 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此确实是的极小值点， 所以，． 【小问2详解】 由（1）得，， 令，解得或，这两个点都在区间内， 计算区间端点和极值点的函数值： ，，， 因为，所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 21. 已知函数，（），设. （1）求的单调区间； （2）若以（）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求正实数的最小值； （3）是否存在实数，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） （3）存在实数，的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）先求出其导函数，根据导函数的正负即可求出其单调区间； （2）利用分离参数求得函数的最大值即可求解； （3）先化简函数将所求转化为两个函数的交点，通过导数得到函数的极值及单调性求解. 【小问1详解】 ，定义域为，，求导得. 令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 切线斜率，对任意恒成立， 整理得， 设，， 的最大值为​，故. 即正实数的最小值为. 【小问3详解】 先化简两个函数​，因此左边函数为， 右边函数为，交点满足方程， 整理得， 令​，问题转化为与的交点个数. 是偶函数，求导得，令得， 单调性分析： 区间 递增 递减 递增 递减 极大值，极小值 且时， 因此与有个不同交点，当且仅当. 即存在实数，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中阶段性练习 高二数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、填空题（满分36分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. 设全集，集合，则__________. 2. 若，则__________. 3. 不等式的解集为____________． 4. 某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有_________种． 5. 满足等式的正整数n的值为______． 6. 已知，则的最小值为__________. 7. 曲线在点处的切线的斜率为__________. 8. 若，则______ 9. 已知 ，则实数的取值范围为__________. 10. 用1、2、3三个数字的全体或部分构造的四位数中，没有两个1相邻出现的概率为______. 11. 已知函数，则关于t的不等式的解集为______. 12. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的最小值为__________. 二、选择题（满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得3分，否则一律得零分. 13. 如果，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 根据组合数的性质可知，（ ）． A. B. C. D. 15. 已知函数的导函数的图像如图所示，则在内有（ ） A. 3个驻点 B. 4个极值点 C. 1个极小值点 D. 1个极大值点 16. 函数的凹凸性是函数的重要性质之一，函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点.若曲线弧上点处的切线（除切点外）总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线（除切点外）总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的.函数在区间上为凹（凸）函数等价于的导函数在区间上单调递增（递减）.若在定义域内是凹函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求； （2）若对任意实数，不等式均成立，求实数的取值范围. 18. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，现需要制作节目单. （1）若要求3个舞蹈节目相邻，有多少种不同的排法？ （2）若要求2个小品节目不相邻，有多少种不同的排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上新加两个不同的节目，但不改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的排法？ 19. 在的展开式中，求： （1）所有项的系数之和； （2）含项的系数. 20. 已知函数，当时，有极小值． （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值． 21. 已知函数，（），设. （1）求的单调区间； （2）若以（）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求正实数的最小值； （3）是否存在实数，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $