5.2简单的轴对称图形第2课时（培优教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

第五章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 （第2课时） 学 习 目 标 1.理解线段的垂直平分线的概念； 2.理解并掌握线段垂直平分线的性质；(重点） 3.能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题． (难点) 知识回顾 (1)等腰三角形是　　　　图形.  (2)等腰三角形顶角的　　　　、底边上的　　　、底边上的　　　重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的　　　　.  (3)等腰三角形的两个底角　　　　.  轴对称 平分线 中线 高 对称轴 相等 1.等腰三角形的性质 (1)等边三角形是轴对称图形,有　　　　条对称轴.  (2)等边三角形每条边都　　　　,每个角都　　　　,都等于　　　　.  (3)等边三角形每条边上的中线、高、该边所对角的平分线重合(“三线合一”). 三 相等 相等 60° 2.等边三角形的性质 情境引入 问题：线段AB是轴对称图形吗? 线段AB是轴对称图形. 如果是，你能找出它的对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系呢？ 如图所示,画一条线段AB,然后对折AB,使A,B两点重合,设折痕与AB的交点为O.把图形展开，你发现了什么? 新知探究 探究一：线段的垂直平分线 折痕是线段AB的一条对称轴. 思考：观察自己手中的图形，折痕与AB有什么样的位置关系？AO与BO相等吗？说明你的理由. 折痕与AB垂直, AO=BO. 新知探究 知识归纳 C D O 几何语言:如图所示,因为直线CD⊥AB于点O，且AO=BO， 所以直线CD垂直平分线段AB. 1.线段的对称性 (1)对称性:线段是　　　　图形;  (2)对称轴:垂直并且平分线段的　　 　是它的一条对称轴.  轴对称 直线 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.（简称”中垂线”） 2.线段垂直平分线的定义 如图所示，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点。在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD'。 (1)你认为线段CD和CD'之间有什么关系?说说你的理由。 新知探究 (2)特别地，当点D与点A重合时，点D'位于什么位置?此时，线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论? 解：(1)CD =CD'. 理由：因为点D和点D'是以直线l为对称轴的一组对应点，所以将△CDD'沿直线l折叠时，线段CD与CD'重合，所以CD =CD'. (2)当点D与点A重合时，点D'和点B重合，此时还有CD =CD'. 新知探究 知识归纳 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. ∵CO是线段AB的垂直平分线, ∴AC=BC. 几何语言： 新知探究 1.如图所示，CD是线段AB的垂直平分线，若AC=2cm，BD=4cm，则四边形ACBD的周长为（ ）. A.6cm B.10cm C.12cm D.14cm A C D B C 如图所示，已知线段 AB，如何作出它的垂直平分线? 新知探究 探究二：用尺规作线段的垂直平分线 假设线段 AB的垂直平分线已作出，请回答下列问题： (1)这条直线有什么特征? 解:(1)这条直线经过线段AB的中点，且垂直于线段AB，直线上的点到线段AB的两个端点的距离相等. 新知探究 需要确定的点是线段对称轴上的点,因此应当从线段两端进行“对称”的操作。 (2)如何确定这条直线上的两个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。 如果只用尺规呢?与同伴进行交流。 （2）方法不唯一。举例如下： (方法一)用三角尺量出线段AB的中点O,用量角器画∠AOC=90°，则直线OC垂直平分线段AB。 (方法二）用量角器在线段AB的同侧作相等的两角∠MAB和∠NBA,AM与BN交于点C,再在线段AB的同侧作相等的两角∠EAB和∠FBA,AE与BF交于点D,点C与点 D不重合,作直线CD,则直线CD是线段AB的垂直平分线。 新知探究 如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线. • • A B 例 作法： 1.分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D； 2.作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线． C D 请你说说这样作的道理. 新知探究 • • A B C D 理由详解： 如图所示，连接AC，BC，AD，BD， 由作图知AC=BC，AD=BD， 又因为CD=CD， 所以△ACD≌△BCD（SSS）， 所以∠ACD=∠BCD. 因为AC=BC， 所以CD垂直平分线段AB（等腰三角形“三线合一”） 如图所示，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它经过点P?能说明你的作法的道理吗? 新知探究 作法： 1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，交直线l于点A，B. 3.作直线CP. 直线CP就是直线l的垂线． 2.分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C； A B C 新知探究 A B C 作法道理： 如图所示，连接AC，BC， 由作法可知AP=BP，AC=BC， 又因为PC=PC， 所以△ACP≌△BCP（SSS）， 所以∠APC=∠BPC. 因为∠APC+∠BPC=180°， 所以∠APC=∠BPC=90°，即CP⊥l. 新知探究 2.如图所示,在等腰三角形 ABC中,∠A=40°,分别以点 A、点B为圆心,大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于点 M和点 N,作直线MN,与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是（ ） A. 20° C.40° B. 30° D. 50° B 如图,在△ABC中,AB=AC=6,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E. (1)若BC=10,求△ACD的周长; (2)若∠C=25°,求∠CAD的度数. 例1 典例分析 (2)因为AB=AC, 所以∠B=∠C=25°, 所以∠BAC=130°. 因为AD=BD, 所以∠BAD=∠B=25°, 所以∠CAD=130°-25°=105°. 解:(1)因为DE是AB的垂直平分线, 所以AD=BD, 所以△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=16. 典例分析 如图所示，A，B，C三点表示三个村庄,为了解决村民子女就近人学问题计划新建一所小学,要使学校到三个村庄的距离相等,请你在图中确定学校的位置。 例2 解:(1)连接AB,BC; (2)分别作线段AB，BC的垂直平分线,两条直线交于点P,则点P就是所要确定的学校的位置. 巩固练习 A C D B E 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，DE垂直平分边 AB，交 BC于点 D，若△ACD 的周长为 50cm，则 AC+BC=( ) A. 25 cm B. 45 cm C.50 cm D. 55 cm C 1.如图所示,直线l是线段AB的垂直平分线,O,P是直线l上的两点,则线段PA,PB,OA,OB的关系是(　　) A.PA=OA,PB=OB B.PA=PB=OA=OB C.PA=OB,PB=OA D.PA=PB,OA=OB D 巩固练习 4.如图所示,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是12,腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E,F.若D为底边BC的中点,M为线段EF上一动点,则△BDM周长的最小值为 (　　) A.12 B.8 C.7 D.6 B 3.如图所示,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,连接AE,BE,作直线EF交AB于点M,连接CM,则下列判断不正确的是(　　)A.AB=2CM B.EF⊥ABC.AE=BE D.AM=BM A 巩固练习 5.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC，E是线段BC延长线上一点,连接AE,点C在AE的垂直平分线上.若DE=10 cm,则AB+BD=　　　　cm.  10 6.如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是　　　.  12 8.如图所示，在△ABC中，AC=BC，分别以点 B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作弧两弧相交于点M和N，作直线MN，交BC于点 D交 AC于点E，交 BA 的延长线于点F，连接 CF，已知∠ACF= 30°，则∠AEF=　　　　. 巩固练习 7.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若BC=4,DE=1.6,则BD的长为　　　　.  2.4 50° 9.如图所示,在△ABC中,AD垂直平分BC,垂足为D,H是AD上一点,连接BH,CH. (1)AD平分∠BAC吗?为什么? (2)你能找出几对相等的角?请把它们写出来.(不需写理由) 巩固练习 解:(1)AD平分∠BAC.理由如下: 因为AD垂直平分BC, 所以AB=AC,BD=CD, 所以∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC. (2)7对，∠BHD=∠CHD，∠ABD=∠ACD，∠HBD=∠HCD，∠BDA=∠CDA，∠ABH=∠ACH， ∠BAD=∠CAD，∠AHB=∠AHC. 巩固练习 10.如图所示,在△ABC中,∠A>∠B. (1)作边AB的垂直平分线DE,分别与AB,BC相交于点D,E; (尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法) (2)在(1)的条件下,连接AE,若∠B=50°,求∠AEC 的度数. 解:(1)如图所示. (2)如图.因为DE是AB的垂直平分线, 所以AE=BE.所以∠EAB=∠B=50°. 所以∠AEC=180°-∠AEB=180°-(180°-∠EAB-∠B) =∠EAB+∠B=100°. 11.如图所示,在△ABC中,已知线段 AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,垂足分别为 M,D,且∠BAC=115°,求∠EAF的度数。 巩固练习 解:因为EM,FD分别垂直平分线段AB,AC, 所以EB=EA,FA=FC， 所以∠B=∠EAB，∠C=∠FAC, 因为∠B+∠EAB+∠C+∠FAC+∠EAF=180°， 所以∠EAF=180°-2(∠B+∠C). 因为∠BAC=115°, 所以∠B+∠C=180°-115°=65°， 所以∠EAF=180°-2×65°= 50°. 作图依据：SSS. 课堂小结 定义:垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）. 简单的轴对称图形2 线段的对称性 线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 尺规作线段的垂直平分线 应用：过直线上一点作垂线. 作业布置 1.必做题：习题5.2第2，3，7，8题。 2.探究性作业：习题5.2第13题。 感谢聆听! $