精品解析：北京市清华附中志新学校2025-2026学年高二下学期期中调研数学试题

2025—2026学年第二学期期中调研 高二年级数学 （清华附中志新学校高2024级） 2026.4 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单选题（共10小题，每小题4分） 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集的概念及运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，可得. 故选：C. 2. 如果复数的实部与虚部相等，那么（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】把复数化为代数形式，得实部和虚部，由此可求得． 【详解】，所以实部为，虚部为，所以． 故选：A． 3. 已知向量， ，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，， 则与共线； 当与共线时，， ， 所以 “”是“与共线”的充分不必要条件； 故选:A. 4. 从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（ ） A. 50 B. 70 C. 80 D. 140 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件利用组合知识并借助排除法即可作答. 【详解】由于选取的3人无顺序性，求不同选法种数的问题是组合问题， 又3 人中至少有1名高二学生，其对立事件是没有高二学生， 所求不同选法种数，先从9人中任选3人有种选法，没有高二学生的选法种数是， 所以不同选法种数为 故选：C 5. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论. 【详解】，则，， 又、，，. 可得：ABC成立，D不成立. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题. 6. 已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的定义可知点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离. 【详解】解：由题意，抛物线的焦点为，准线为， 所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于， 所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离， 故选：C. 7. 一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在 ，两点之间循环往复运动.设该粒子在 时刻的位置对应点，则坐标 ， 随时间变化的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据粒子的运动轨迹得到周期，进而得到和的周期，观察图象即可. 【详解】由题知，粒子从为一个周期， 对应 由为一个周期， 对应 由为两个周期， 函数的周期是函数的周期的倍. 对于A，的周期为，的周期为，故A错误； 对于B，的周期为，的周期为，故B正确； 对于C，的周期为，的周期为，故C错误； 对于D，的周期为，的周期为，故D错误. 故选：B. 8. 如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接、、、，则 为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】连接、、、，则 为的中点， 由正六边形性质得，，而， 因此 ， 当且仅当 与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：B 9. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的75次方是一个86位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（ ） 3 5 7 11 13 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出，然后两边取以10为底的对数，再对比参考数据可得出. 【详解】由题意知，， 即，， 而，，，， ，，正整数的值为14. 故选：B. 10. 在平面直角坐标系中，， 是直线上的两点，且．若对于任意点，存在， 使成立，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 可得P是圆上任意一点，且需存在， ，使点P又在以为直径的圆上，故只需满足圆上点到直线的最远距离小于等于5即可求出. 【详解】设，则，满足， 则点P在圆上， 又存在， 使成立，则点P又在以为直径的圆上， P是圆上任意一点，， 是直线上的两点， 则应满足圆上点到直线的最远距离小于等于5， 原点到直线的距离为， 则只需满足，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查只需与圆的位置关系，解题的关键是得出圆上点到直线的最远距离小于等于5. 二､填空题（共5小题，每小题5分） 11. 在的展开式中， 的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以 的系数是. 故答案为： 12. 设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】，， 所以 13. 已知，则_________．若在上单调递减，则_________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由，求得，即可求解第一空，再由在上单调递减，得到，再结合，即可求解第二空. 【详解】由，可得， 所以，即， 所以， 由， 可得或，， 即或，， 又在上单调递减， 所以，， 可得：， 解得：， 又或，， 所以当时，满足题意， 故答案为：1； 14. 我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体中，，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且 到平面的距离为 ， 和 的距离为 ，若，，，，，则该“羡除”的体积为______. 【答案】40 【解析】 【分析】将“羡除”分割为两个四棱锥和一个直棱柱求体积. 【详解】如图，平面内，过分别作 的垂线，垂足分别为， 平面内，过分别作 的垂线，与 分别交于， 将“羡除”分割为两个四棱锥，和直棱柱， 由，四边形，，为等腰梯形，且平面平面. 则，，， 故所求几何体的体积为 ． 故答案为：40 15. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线.当，，时，给出下列四个结论： ①曲线关于原点对称； ②曲线所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线上的点到原点 的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线于两点，则的周长大于12. 其中所有正确的结论有__________（填序号）. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】确定在曲线上，①正确，曲线在一个长为6，宽为4的矩形内部，②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆在曲线内，④正确，得到答案. 【详解】曲线：， 对①：取曲线上点，则满足在曲线上， 故曲线关于原点对称，故①正确； 对②：取，，取，，故曲线在一个长为，宽为的矩形内部， 故其面积小于，故②正确； 对③：设曲线上一点为，则，设， 到原点的距离的平方为，， ，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，故③错误； 对④：对于曲线和椭圆，设点 在上， 点在上，则， ，故， 所以， 设点在上，点在上，则， 所以，即， 故椭圆在曲线内(除四个交点外)， 如图： 设直线交椭圆 于两点，交 轴于， 为椭圆的两个焦点， 由椭圆的定义可知：，， 所以的周长为12，由图可知，的周长大于12，故④正确. 三､解答题（共6小题，共85分；解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程） 16. 在中，角所对边分别为，已知： （1）求 ； （2）已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积. ①； ②； ③. 注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）若选①不符题意，选②满足题意且，选③满足题意且. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理边化角即可求解； （2）若选①，可余弦定理运算可知此时存在但不唯一，不符题意；若选②，由正弦定理可知此时，则为等腰三角形，结合三角形面积公式求解即可；若选③，由得，知道三角形两边及其夹角可知三角形存在且唯一，结合三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为 所以，即， 所以. 【小问2详解】 若选①，因为，， 所以由余弦定理有，整理得， 解得，此时存在但不唯一，不符题意； 若选②，则， 由正弦定理可得，解得， 因为，所以， 此时是等腰三角形且唯一，， 则； 若选③，则，即， 知道三角形两边及其夹角可知存在且唯一 此时. 17. 在五面体中，平面平面. （1）求证： 平面； （2）若，点 到平面的距离为，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得平面，平面， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，又平面， 所以，又，所以， 又平面 ， 所以平面 ， 又平面，平面平面，所以， 由平面，所以平面，又平面， 所以， 又因为，即， ，解得， 所以，解得， 以 为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 因此， 所以，由图可知二面角为钝二面角， 可知二面角的大小为. 18. 自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示. 跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5 表1 选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”. 4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98 4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07 4F 13.69 5.50 14.02 12.92 4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87 表2 假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立. （1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率； （2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称. 【答案】（1） （2） 的分布列为： ，数学期望为 （3）4T,4S, 4F 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合表格的数据，结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得X的所有可能取值为0,1,2,3，然后分别计算对应的概率，即可得到分布列，再由期望的计算公式即可得到结果. （3）根据题意，结合表格中的数据即可得到结果. 【小问1详解】 根据题中数据，该选手上一赛季7个4T动作中，有5个跳跃为“成功”，所以从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为 【小问2详解】 同（1），从该选手上一赛季所有4S，4F动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计为 ， X的所有可能取值为0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列为： 所以 【小问3详解】 由表格可知，4T动作成功的概率为，失败的概率为， 4S动作成功的概率为，失败的概率为， 4F动作成功的概率为，失败的概率为， 4Lz动作成功的概率为，失败的概率为， 由可知，选4T,4S, 4F. 19. 已知椭圆的焦距为分别为左右焦点，点在椭圆上，满足. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，线段 的中点为 ，在 轴上是否存在定点 ，使得恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在, 【解析】 【分析】（1）根据求出，进而求出，，再求出得到椭圆方程； （2）根据题意得到，，联立椭圆方程与直线方程，利用韦达定理代入求解. 【小问1详解】 因为，， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为： 【小问2详解】 因为，所以， 所以，因为 为 中点，所以， 所以，所以， 设点， 则， 联立，整理并化简得：， 所以， ， 即对任意的恒成立， 所以需，解得， 所以存在这样的点使得恒成立. 20. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若对任意，有恒成立，求的取值范围； （3）证明：若在区间上存在唯一零点，则. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接通过求导判断单调性，从而求得极值； （2）利用端点效应求出的取值范围，再利用导数证明结论成立； （3）由条件可直接得到，再根据零点定义得到与关系，化简转化为证明即可，然后通过导数证明. 【小问1详解】 当时， ，定义域为， 则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为，无极大值 【小问2详解】 ， 因为 ，所以要对任意，有恒成立， 则 ，解得， 当时，， 令，对称轴为直线，所以在上单调递增， 所以，因为，所以， 所以 ，在上单调递增，所以 ， 所以对任意，有恒成立， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 由（2）可知当时，对任意， ， 所以函数在上不存在零点，所以， 且， 所以，， 要证，等价于证，等价于证， 即，即证，即证 因为，即等价于证， 又是唯一零点，由（2）问知函数在单调递增， 所以只需证， ， 令， 则，所以在上单调递增， 又，所以，所以，得证. 21. 如图，设是由个实数组成的 行 列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且． 定义为第行与第 行的积．若对于任意，都有，则称数表为完美数表． （1）当时，试写出一个符合条件的完美数表； （2）是否存在2026行2026列的完美数表，并说明理由； （3）设为 行 列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）不存在，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）先研究完美数表性质，再利用性质作变换，考虑前三行的情况，列方程组，最后根据所求解得矛盾，即证得结论； （3）把作为研究对象，根据条件可得，根据定义可得，最后根据不等关系证得结果. 【小问1详解】 由题意，时，数表为： 要使数表为完美数表， 则对于任意，都有，又， 显然答案不唯一，如： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【小问2详解】假设存在2026行2026列的完美数表， 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论： ①把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表； ②交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.   完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式： 在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1，2行中的数为1，且第3行中的数为”的有y列， 前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为”的有z列， 前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为”的有w列（如上表所示）， 则， 由，得， 由，得， 由，得， 解方程组得，这与矛盾， 所以不存在2026行2026列的完美数表. 【小问3详解】 记第1列前 行中的数的和， 第2列前 行中的数的和，……， 第n列前 行中的数的和， 因为对于任意的和，都有， 所以.                                 又因为对于任意（），都有， 所以.                                 又因为， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中调研 高二年级数学 （清华附中志新学校高2024级） 2026.4 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单选题（共10小题，每小题4分） 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 如果复数的实部与虚部相等，那么（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 已知向量， ，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（ ） A. 50 B. 70 C. 80 D. 140 5. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是 A. B. C. D. 6. 已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经 点运动到，之后便沿着轨迹曲线在 ， 两点之间循环往复运动.设该粒子在 时刻的位置对应点，则坐标 ， 随时间变化的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的75次方是一个86位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（ ） 3 5 7 11 13 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 10. 在平面直角坐标系中， ， 是直线上的两点，且．若对于任意点，存在 ， 使成立，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（共5小题，每小题5分） 11. 在的展开式中， 的系数是__________． 12. 设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 13. 已知，则_________．若在上单调递减，则_________． 14. 我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体中，，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且 到平面的距离为 ， 和 的距离为 ，若，，，，，则该“羡除”的体积为______. 15. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线.当，，时，给出下列四个结论： ①曲线 关于原点对称； ②曲线 所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线 上的点到原点 的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线 于两点，则的周长大于12. 其中所有正确的结论有__________（填序号）. 三､解答题（共6小题，共85分；解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程） 16. 在中，角所对边分别为，已知： （1）求 ； （2）已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积. ①； ②； ③. 注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 在五面体中，平面平面. （1）求证： 平面； （2）若，点到平面的距离为，求二面角的大小. 18. 自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示. 跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5 表1 选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”. 4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98 4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07 4F 13.69 5.50 14.02 12.92 4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87 表2 假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立. （1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率； （2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称. 19. 已知椭圆的焦距为分别为左右焦点，点在椭圆上，满足. （1）求椭圆 的方程； （2）若直线与椭圆 交于两点，线段 的中点为 ，在 轴上是否存在定点 ，使得恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若对任意，有恒成立，求的取值范围； （3）证明：若在区间上存在唯一零点，则. 21. 如图，设 是由个实数组成的 行 列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且． 定义为第 行与第 行的积．若对于任意，都有，则称数表 为完美数表． （1）当时，试写出一个符合条件的完美数表； （2）是否存在2026行2026列的完美数表，并说明理由； （3）设 为 行 列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $