北京市清华附中志新学校2025-2026学年高二下学期期中调研数学试题

2025—2026学年第二学期期中调研 高二年级数学 （清华附中志新学校高2024级） 2026.4 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单选题（共10小题，每小题4分） 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 如果复数的实部与虚部相等，那么（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 已知向量， ，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（ ） A. 50 B. 70 C. 80 D. 140 5. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是 A. B. C. D. 6. 已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的75次方是一个86位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（ ） 3 5 7 11 13 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 10. 在平面直角坐标系中，，是直线上的两点，且．若对于任意点，存在，使成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（共5小题，每小题5分） 11. 在的展开式中，的系数是__________． 12. 设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 13. 已知，则_________．若在上单调递减，则_________． 14. 我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体中，，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且到平面的距离为，和的距离为，若，，，，，则该“羡除”的体积为______. 15. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线.当，，时，给出下列四个结论： ①曲线关于原点对称； ②曲线所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线上的点到原点的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线于两点，则的周长大于12. 其中所有正确的结论有__________（填序号）. 三､解答题（共6小题，共85分；解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程） 16. 在中，角所对边分别为，已知： （1）求； （2）已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积. ①； ②； ③. 注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 在五面体中，平面平面. （1）求证：平面； （2）若，点到平面的距离为，求二面角的大小. 18. 自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示. 跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5 表1 选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”. 4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98 4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07 4F 13.69 5.50 14.02 12.92 4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87 表2 假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立. （1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率； （2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称. 19. 已知椭圆的焦距为分别为左右焦点，点在椭圆上，满足. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，线段的中点为，在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若对任意，有恒成立，求的取值范围； （3）证明：若在区间上存在唯一零点，则. 21. 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且． 定义为第行与第行的积．若对于任意，都有，则称数表为完美数表． （1）当时，试写出一个符合条件的完美数表； （2）是否存在2026行2026列的完美数表，并说明理由； （3）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：． 2025—2026学年第二学期期中调研 高二年级数学 （清华附中志新学校高2024级） 2026.4 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单选题（共10小题，每小题4分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 二､填空题（共5小题，每小题5分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 【14题答案】 【答案】40 【15题答案】 【答案】①②④ 三､解答题（共6小题，共85分；解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程） 【16题答案】 【答案】（1） （2）若选①不符题意，选②满足题意且，选③满足题意且. 【17题答案】 【答案】（1） 由题意得平面，平面， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 的分布列为： ，数学期望为 （3）4T,4S, 4F 【19题答案】 【答案】（1） （2）存在, 【20题答案】 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3） 证明：由（2）可知当时，对任意， ， 所以函数在上不存在零点，所以， 且， 所以，， 要证，等价于证，等价于证， 即，即证，即证 因为，即等价于证， 又是唯一零点，由（2）问知函数在单调递增， 所以只需证， ， 令， 则，所以在上单调递增， 又，所以，所以，得证. 【21题答案】 【答案】（1）一个符合条件的完美数表如下： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）不存在，理由如下： 假设存在2026行2026列的完美数表， 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论： ①把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表； ②交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.   完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式： 在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1，2行中的数为1，且第3行中的数为”的有y列， 前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为”的有z列， 前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为”的有w列（如上表所示）， 则， 由，得， 由，得， 由，得， 解方程组得，这与矛盾， 所以不存在2026行2026列的完美数表. （3）证明如下： 记第1列前行中的数的和， 第2列前行中的数的和，……， 第n列前行中的数的和， 因为对于任意的和，都有， 所以.                                 又因为对于任意（），都有， 所以.                                 又因为， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $