易错07 圆（6大易错陷阱）（易错专练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

易错07 圆 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：圆内一条弦对应无数个圆周角 易错02：忽略圆内接四边形的对角互补 易错03：两条弦平行时易忽略分类讨论 易错04：证明直线为圆的切线时，思路混乱 易错05：混淆三角形外接圆与内切圆 易错06：扇形弧长、面积公式记混误用 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 圆内一条弦对应无数个圆周角 易错典例 【典例01】如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【错因分析】概念认知偏差，误以为一条弦只对应一个圆周角，忽略弦所对优弧与劣弧对应的两种圆周角；混淆圆周角与圆心角的对应关系，无法区分 “一个圆心角” 和 “无数个圆周角” 的差异。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到弦所对圆周角立刻分优弧、劣弧两种情况思考；牢记弦对应两个互补圆周角，直径对应90°圆周角优先使用；用“知1得4”模型快速判断弦、弧、角、距离的等量关系。 【知识链接】 圆周角定理为一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；推论包括半圆或直径所对圆周角为 90°，90° 圆周角所对弦为直径，同弧或等弧所对圆周角相等；圆中 “知 1 得 4” 模型，即弦相等、弧相等、弦心距相等、圆心角相等、圆周角相等，满足其一可推其余四个；一条弦对应两个度数互补的圆周角，对应唯一一个圆心角。 类题巩固 1．（2024·浙江绍兴·期末）如图，内接于于点，连接，若，则的大小为___________． 2．（2025·浙江丽水·三模）如图，是的直径，，，则的度数为_______． 3．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 易错02 忽略圆内接四边形的对角互补 易错典例 【典例02】如图，是的外接圆，已知的半径为，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【错因分析】定理记忆不牢固，做题时想不到使用对角互补性质；无法将外角与内对角建立联系，概念应用不灵活。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到圆内接四边形直接标注两组对角和为180°；遇到外角直接找内对角相等；无明显垂直或平行条件时，优先使用该性质推导角度。 【知识链接】 圆内接四边形的对角互补；任意一个外角等于它的内对角；对角互补的四边形内接于圆。 类题巩固 1．（2024·浙江丽水·期末）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 2．（2025·浙江衢州·一模）如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点C、D重合），则的度数为______． 3．（2025·浙江丽水·期末）如图，是内接三角形，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 易错03 两条弦平行时易忽略分类讨论 易错典例 【典例03】已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为_____． 【错因分析】 思维定式，只画一种位置图形，缺少分类讨论意识；不理解弦心距的位置关系导致计算错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 题目无图时必须分同侧、异侧两种情况计算；先算每条弦的弦心距，同侧相减、异侧相加；计算后检验两种结果是否都符合题意。 【知识链接】 圆内两条平行弦与圆心的位置有同侧、异侧两种；弦心距公式为弦心距等于根号下半径平方减去弦长一半的平方；两弦距离等于弦心距之和或之差。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·一模）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（2026·浙江台州·二模）已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______． 3．（2024·浙江台州·期末），是的两条平行弦，的直径为，，，则，间的距离为______． 易错04 证明直线为圆的切线时，思路混乱 易错典例 【典例04】如图，是外一点，与交于点，是上一点，，于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【错因分析】方法选择错误，不看是否有公共点盲目连半径；遗漏“过半径外端”或“垂直”其中一个条件；证明垂直时找不到合适依据。 避坑攻略 【技巧点拨】 先判断直线与圆是否有明确公共点，有则连半径证垂直，无则作垂线证半径等于垂线段；证明过程必须同时体现“半径外端”和“垂直”两个关键条件。 【知识链接】 切线判定定理为过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，两个条件缺一不可；证明切线有两种方法，有公共点时连半径证垂直，无公共点时作垂线证半径等于垂线段长。 类题巩固 1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的半径． 2．（2026·浙江湖州·期末）已知：如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，长为半径作． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的长． 3．（2024·浙江台州·一模）如图，已知在中，，，，半径为2的⊙分别与、相切于点E、D． (1)求证：是⊙的切线； (2)求的度数，写出图中阴影部分的面积． 易错05 混淆三角形外接圆与内切圆 易错典例 【典例05】如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 【错因分析】概念混淆，把外心与内心的定义、性质、画法混用；分不清垂直平分线与角平分线的区别，无法判断圆心位置。 避坑攻略 【技巧点拨】 记清“外中垂、到点等；内角分、到边等”；看到外接圆找垂直平分线与外心，看到内切圆找角平分线与内心；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点，可直接使用。 【知识链接】 外接圆是过三角形三个顶点的圆，外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等，位置随三角形形状变化；内切圆是与三边都相切的圆，内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，恒在三角形内部。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·期中）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江嘉兴·期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·浙江衢州·二模）如图，已知在中，，，，点是的内心．    （1）点到边的距离为 __； （2）是的外心，连接，则的长为 __． 易错06 扇形弧长、面积公式记混误用 易错典例 【典例06】如图，半径为5的与正五边形相切于点B、E，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 【错因分析】公式记忆混淆，弧长与面积公式分母、系数记混；不理解公式原理，死记硬背易出错；圆锥展开图中母线与底面半径对应关系混乱。 避坑攻略 【技巧点拨】 理解公式来源，弧长是圆周长的n/360，面积是圆面积的n/360；用“弧长用180，面积用360”区分；圆锥问题牢记“扇形弧长=底面圆周长”，统一变量再计算。 【知识链接】 扇形弧长公式为l等于nπR除以180；面积公式为S等于nπR²除以360，也等于二分之一lR；圆锥侧面展开图扇形半径为母线长，弧长等于底面圆周长；公式中n为圆心角度数，R为圆半径。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·一模）如图，在菱形中，，，分别以点和点为圆心，，的长为半径画弧，则图中两个扇形重合部分（阴影部分）的面积为__________． 2．（2025·浙江温州·期末）如图，为等腰三角形，点是底边上的一点，以为圆心作，分别与，相切于点，，连接，． (1)证明：； (2)若，，求的长（结果保留）． 3．（2025·浙江嘉兴·期中）如图，已知内接于是的直径，连接，，平分，． (1)求AC的长； (2)求图中阴影部分面积． 易●错●闯●关 1．（2025·浙江丽水·二模）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 2．（2025·浙江嘉兴·期末）如图，四边形内接于，，，则________ ． 3．（2025·浙江舟山·三模）既是半径为的正△ABC的外接圆，也是等边的内切圆，则等边的外接圆的面积是________ 4．（2025·浙江衢州·期末）如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 5．（2025·浙江湖州·一模）“黄金螺旋”的画法通常以斐波那契数列为边长作正方形，再画四分之一圆弧连接而成．若换用数列（从第三项起，每一项等于前两项之和）作为正方形的边长，按同样方式构造螺旋线．如图，最小的正方形边长为2，依次得到边长分别为2，2，4，6，10的五个正方形，并在每个正方形内画圆心角为的圆弧，连成一段螺旋线，则这段螺旋线的长度为___________．（结果保留） 6．（2025·浙江台州·二模）如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 7．（2025·浙江绍兴·一模）如图，的三个顶点都在一圆上，将绕A点顺时针方向旋转，得到，B，C的对应点分别为点和点，且恰也落在此圆上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，，，，，五点都在上，，．若的半径为4，且，则的长为___________． 9．（2025·浙江舟山·期中）已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．，，，求的长． 10．（2025·浙江丽水·期末）如图，已知是半圆的直径，点，在半圆上，且平分，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 11．（2025·浙江丽水·期末）如图，是的直径，是的弦，作交于点，连接交于点，若． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错07圆 摩目录导航《 第一部分易错剖析剖析易错盲区，规避重复失分 A易错典例A避坑攻略A类题巩固 易错01：圆内一条弦对应无数个圆周角 易错02：忽略圆内接四边形的对角互补 易错3：两条弦平行时易忽略分类讨论 易错04：证明直线为圆的切线时，思路混乱 易错05：混淆三角形外接圆与内切圆 易错06：扇形弧长、面积公式记混误用 第二部分易错闯关闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 。易错01圆内一条弦对应无数个圆周角 ◆易错典例◆ 【典例01】如图，AB为⊙O的直径，点C,D在圆上，且AC=CD.若∠ABC=32°，则∠DAB的度数为 ) A.16 B.26° C.32° D.58° 【答案】B 【详解】解：如图，连接BD, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O .AC=CD AC=CD ∠CBD=∠ABC=32°， .∠ABD=∠ABC+∠CBD=32°+32°=64°， :AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， ∴.∠DAB=90°-∠ABD=90°-64°=26° 【错因分析】概念认知偏差，误以为一条弦只对应一个圆周角，忽略弦所对优弧与劣弧对应的两种圆周角： 混淆圆周角与圆心角的对应关系，无法区分“一个圆心角”和“无数个圆周角”的差异。 D避坑攻略 【技巧点拨】 看到弦所对圆周角立刻分优孤、劣孤两种情况思考：牢记弦对应两个互补圆周角，直径对应0圆周角优 先使用；用“知1得4模型快速判断弦、孤、角、距离的等量关系。 【知识链接】 圆周角定理为一条孤所对的圆周角等于它所对圆心角的一半：推论包括半圆或直径所对圆周角为90°，90° 圆周角所对弦为直径，同弧或等孤所对圆周角相等；圆中“知1得4”模型，即弦相等、弧相等、弦心距 相等、圆心角相等、圆周角相等，满足其一可推其余四个；一条弦对应两个度数互补的圆周角，对应唯一 一个圆心角。 ◆类题巩固◆ 1.(2024浙江绍兴期末)如图，△ABC内接于⊙O,CD⊥AB于点D,连接OC,若∠A=45°，∠B=60°， 则∠OCD的大小为 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【答案】15°/15度 【详解】解：如图，延长CO交⊙O于点E,连接AE, D E :CE是直径，AC=AC .∠CAE=90°，∠E=∠B=60°， .∠ACE=90°-60°=30°， ∠A=45,∠B=60°， ∴.∠ACB=180°-45°-60°=75° CD14B,∠B=60 .∠BCD=90°-60°=30°， .∠0CD=75°-30°-30°=15°. 2.(2025浙江丽水三模)如图，AB是O0的直径，BD=2BC,∠DBC=138”,则∠4CD的度数为 【答案】62° 【详解】解：，四边形ADBC内接于⊙O, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DBC+∠CAD=I80°， ∠DBC=138°， ·.∠CAD=LCAB+∠BAD=42°， ·BD=2BC .∠BAD=2∠BAC=28°. :AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， BD=BD .∠BCD=∠BAD=28°， ∴.∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-28°=62°. ① 3.(2025·浙江嘉兴一模)如图，已知 AC⊙0 是 0的直径，P,PB是O0的两条切线，才，B为切点， 且∠P=40°，连接BC. B B 图① 图② (I)求∠BAC和∠ACB的大小： ② 2如图②，在直轻1C上取一点D,使4D=B,延长BD交O0于点E,连接4E,若MB=4, AE=3V3 ,求∠EAC的度数及△4BE的面积 【答案】(I)∠BAC=20°，∠ACB=70°， V3 2∠B1C=10°，△1BE的面积为 【分析】 【详解】(1)解：，AC是⊙O的直径，PA,PB是⊙O的两条切线， .PA=PB,∠CAP=90°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠P=40°， ∠PAB=∠P8B4-180,40=70, ∴.∠BAC=90°-70°=20°， 又，AC为直径， ∴.∠CBA=90°， .∠ACB=90°-20°=70° (2)解：由(1)可知∠ABC=90°，LBAC=20°，∠C=70°， 4B=AB .∠E=∠C=70°， AB=AD ∠ADB=180°，20°=80°， 2 ∴.∠EAC=∠ADB-∠E=80°-70°=10°， ∴.∠EAB=∠BAC+∠EAC=20°+10°=30°， 作BFLAE于p,在Ru人Br中，BF-方4B4=2 2 B ∴，△ABE的面积 c=36x2x3W5 一易错02忽略圆内接四边形的对角互补《 ◆易错典例◆ 【典例02】如图， 00是△1BC的外接圆，已知O0的半径为4,4C=45, 则∠ABC 的度数是() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.110° B.120° C.125° D.130° 【答案】B 【详解】解：如图，连接OA,OC,过点O作OD⊥AC于点D,取优弧AC上任意一点E,连接AE、 CE, B 4D号4C-45=25, 在RaA0D中，0D=VO-AD=V4-25=2, 1 OD=。OA, 2 .∠0AD=30°， .∠AOD=90°-∠OAD=60°， OA=OC,OD⊥AC, .∠AOC=2∠AOD=120°， :∠AEC=∠A0C=60°， 2 :∠AEC+∠ABC=180°， .∠ABC=180°-∠AEC=120°. 【错因分析】定理记忆不牢固，做题时想不到使用对角互补性质：无法将外角与内对角建立联系，概念应 用不灵活。 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 避坑攻略 【技巧点拨】 看到圆内接四边形直接标注两组对角和为180°；遇到外角直接找内对角相等：无明显垂直或平行条件时， 优先使用该性质推导角度。 【知识链接】 圆内接四边形的对角互补：任意一个外角等于它的内对角；对角互补的四边形内接于圆。 ◆类题巩固· 1.(2024浙江丽水期末)如图，EA,ED是⊙O的切线，切点为A,D,点B,C在圆⊙O上，若 ∠ABC+∠CDE=235°，则∠E=() A A.55° B.65° C.70° D.78 【答案】C 【详解】解：如图，连接AD, E ABCD⊙O ,四边形 是 的内接四边形， ∴，∠ABC+∠ADC=180° :∠ABC+∠CDE=235°， .∠EDA=55° :EA,ED是⊙O的切线， :EA=ED, ∠EDA=∠EAD=55°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠E=180°-∠EDA-∠EAD=180°-55°-55°=70°. 故选：C 2.(2025浙江衢州·一模)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为⊙O上的一点（点P不与点C、D重 合)，则∠CPD的度数为 【答案】36°或144° 【详解】解：如图，连接OC,OD ,正五边形ABCDE内接于⊙O, ∴，∠C0D=360°÷5=72° :P为⊙O上的一点（点P不与点C、D重合）， 如图，当点P在优弧CD上时， D ·∠CPD=I ∠C0D=36°： 如图，当点P在劣弧CD上时， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 <CD-<00n=36 .∠CPD=180°-∠CAD=144°： 综上所述，∠CPD的度数为36°或144°. 3.(2025浙江丽水期末)如图，△ABC是⊙O内接三角形，∠A=119°，过点C作⊙0的切线交BO的延 长线于点P,则∠P的度数为() A.28° B.32 C.40° D.48° 【答案】B 【详解】解：连接OC,设PB交OO于点M,连接CM,则：OC=OM, CP是⊙O的切线， ∴.∠0CP=90°， ·四边形ABMC为圆内接四边形，∠A=119°， .∠0MC=180°-119°=61°， .OC=OM, ∴.∠OCM=∠OMC=61°， ∴.∠MCP=∠OCP-∠OCM=90°-61°=29°， ,∠BMC=∠MCP+∠P, .∠P=61°-29°=32° 。易错03两条弦平行时易忽略分类讨论 ◆易错典例· 【典例03】已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm,若这圆的半径是5dm,则两条平行弦之间的距离为 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】7dm或1dm 【详解】解：如图，ABCD,AB=6dm,CD=8dm, 过O点作OE⊥AB于E,交CD于F点，连OA、OC, ∴.AE=BE=2AB=3, ,AB∥CD,EF⊥AB, ∴EF⊥CD, ∴.CF=FD=2CD=4, 在Rt△OAE中，OA=5dm OE=V0A-AE=V5-32=4, 同理可得OF=3, 当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF=4+3=7(dm); 当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE-OF=4-3=1(dm). 故答案为7dm或1dm. A B 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理. 【错因分析】 思维定式，只画一种位置图形，缺少分类讨论意识；不理解弦心距的位置关系导致计算错误。 △避坑攻略 【技巧点拔】 题目无图时必须分同侧、异侧两种情况计算：先算每条弦的弦心距，同侧相减、异侧相加；计算后检验两 10 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 种结果是否都符合题意。 【知识链接】 圆内两条平行弦与圆心的位置有同侧、异侧两种：弦心距公式为弦心距等于根号下半径平方减去弦长一半 的平方；两弦距离等于弦心距之和或之差。 ◆类题巩固◆ L.(2025浙江丽水·一模)已知⊙O的直径为34cm,AB,CD是⊙O的两条弦，AB∥CD,AB=30cm, CD=16cm,则AB和CD之间的距离是() A.7cm或23cmB.14cm或46cmC.7cm D.23cm 【答案】A 【分析】 【详解】解：作OE⊥AB于E,延长EO交CD于F,连接OA、OC,如图， C D E B ,AB∥CD, .OF⊥CD, AE=BE=AB=15cm:CF=DF- 1CD=8cm, :⊙0的直径为34cm, ∴.⊙0的半径为17cm, 在Rt△OCF中，OC=17cm,CF=8cm, ..OF=OC2-CF2 =15cm 在Rt△OAE中，OA=17cm,AE=15cm, ∴.OE=VOA2-AE2=8cm 当圆心0在4B与CD之间时， EF=OF+OE=15+8=23(cm) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 双 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当圆心0不在AB与CD之间时，同理可得 F=OF-OE=15-8=7(cm) 即AB和CD之间的距离为7cm或23cm 故选：A 2.(2026浙江台州·二模)已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD,AB=24,CD=10,则两弦之间的距离为 【答案】7或17 【详解】解：如图，当弦AB和CD在圆心同侧时，作OF⊥CD于F,交AB于E,连接OA,OC, B D 图1 ,AB‖CD .OE⊥AB, AB=24,CD=10, 24B=2,CF= AE 2CD=5, ⊙0的半径为13， 1OA=OC=13, .AO2=OE2+AE2 CO2=OF2+CF2 OE=VA02-AE2=V132-122=5OF=√C02-CF2=132-52=12 ∴EF=OF-OE=12-5=7: 如图，当弦AB和CD在圆心异侧时，作OF⊥CD于F,交AB于E,连接OA,OC, C 图2 ABII CD 12 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OE⊥AB AB=24,CD=10, AE =AB=12,CF= 1 CD=5 2 2 :⊙0的半径为13， 1OA=0C=13, .AO2=OE2+AE2,CO2=OF2+CF2 .0E=√A02-AE2=V32-122=50F=VC02-CF2=V132-52=12 ∴.EF=OF+OE=12+5=17: 综上所述，两弦之间的距离为7或17， 故答案为：7或17 3.(2024浙江台州·期末)AB,CD是⊙0的两条平行弦，⊙0的直径为10cm,AB=8cm,CD=6cm, 则AB,CD间的距离为 【答案】1cm或7cm/7cm或1cm 【详解】解：过圆心O作MW⊥AB于N,交CD于M,连结OB,OD, .CDlAB, ..MNLCD, 如图，当两条弦在圆心两侧时： ·AB、CD是⊙O的两条平行弦， ,ON⊥AB,AB为弦， 则根据垂径定理可得：BN=N=)4B=4cm, .OMLCD,CD为弦， 则根据垂径定理可得：DM=CM-CD-3cm 在R△DM0中，OM=OD-DM=VS-3=4em: 在RaBN0中，ON=VOB-BN=VS-4=3cm: .'MN ON+OM=3+4=7cm, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M 当两条弦位于圆心同侧时， ON⊥AB,AB为弦， 则根据垂径定理可得： BN=AN-T4B-4cm. ,OM⊥CD,CD为弦， 则根据垂径定理可得：DM=CM=)CD=3cm, 2 在R1△DM0中，OM=VOD'-DW=V5-3=4cm: 在R△BN0中，ON=VOB-BN=V5F2-4=3 m: ∴.MW=OM-OW=4-3=1cm, 故答案为：7cm或lcm, 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理解直角三角形，熟练掌握垂径定理并仔细计算是解题关键. 。易错04证明直线为圆的切线时，思路混乱< ◆易错典例、 【典例04】如图，P是⊙0外一点，PO与⊙O交于点B,A是⊙O上一点，∠O=2∠PAB,AC⊥PO于 点C. (1)求证：PA是⊙O的切线： 2)若PB=0 ,BC=2,求⊙0的半径. 14 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】 【详解】(1)证明：延长AC交⊙O于点D,连接BD,则∠O=2∠ADB, D :∠O=2∠PAB, '.∠PAB=∠ADB, .OB⊥AC, AB=BD .'AB=BD ∴.∠BAD=∠BDA, ∴.∠BAD=∠PAB, .OA=OB. ∴.∠OBA=∠OAB ∠BAD+∠ABO=90°， ∴.∠PAB+∠OAB=90°，即∠OAP=90°， .OA⊥AP, 又，OA为半径， ∴.PA是⊙O的切线： (2解：阳-号，BC-2, ·PC=PB+BC=16 · 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OC-0B-BC=r-2.OP=0B+BP=1 +r, 3 ∠0CA=∠0AP,∠0=∠0 15 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△DCAAOAP, OC OA OAOP' ∴.OA2=OC.OP,即 =-2+ 解得r=5, 故⊙0的半径为5. 【错因分析】方法选择错误，不看是否有公共点盲目连半径；遗漏“过半径外端”或“垂直”其中一个条 件；证明垂直时找不到合适依据。 D坑攻略 【技巧点拨】 先判断直线与圆是否有明确公共点，有则连半径证垂直，无则作垂线证半径等于垂线段；证明过程必须同 时体现“半径外端”和“垂直”两个关键条件。 【知识链接】 切线判定定理为过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，两个条件缺一不可；证明切线有两种方法， 有公共点时连半径证垂直，无公共点时作垂线证半径等于垂线段长。 ◆类题巩固◆ 1.(2024浙江嘉兴·模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E, DA平分∠BDE B D E (I)求证：AE是⊙O的切线： (2)如果AB=12,AE=6,求⊙0的半径， 【答案】(1)证明见解析 Q46 【分析】 16 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：连接OA如图所示： B D E AE⊥CD, .∠AED=90°， :DA平分∠BDE, .∠BDA=∠ADE, .OA=OD. ∴.∠BDA=∠OAD, ∴.∠ADE=∠OAD, ∴.AO∥DE, ∴.∠OAE=180°-∠AED=90°，即OA⊥AE, 又，OA是半径， .AE是⊙O的切线： (2)解：延长AO交BC于点M,如图所示： B M- D E :BD为⊙O的直径， ∠C=90°， ,∠C=∠OAE=∠AED=90°， ∴四边形AMCE为矩形， ∴.MC=AE=6,OM⊥BC, .BM=MC=6, ∴在Rt△MMB中，AM=VAB-BM2=V122-6=6V5 设O0的半径为，则OA=OB=r,OM=AM-0A=65-r ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 RtAOMB OM2+MB2=OB2 .在 中， (65-+6=r2, r=43 解得： 2.(2026浙江湖州·期末)已知：如图，在Rt△ABC中，DB=90°，∠BAC的平分线交BC于D,E为 AB上一点，DE=DC,以D为圆心，DB长为半径作OD AC⊙D (1)求证： 是的切线： ②)若BE=8,且sn∠C=,求4D的长 【答案】(1)证明见解析 日6 【分析】 【详解】(1)证明：如图，过点D作DF⊥AC于F, :DB=90°， DB⊥AB, 又：AD平分∠BAC, .DF =DB, 18 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :4C是D 切线 (2)解：在Rt△BDE和RtAFDC中， DE=DC BD=DF, :.Rt△BDE≌RtFDC(HL .BE=FC=8, sin∠c=i DF 3 .cD5' 设DF=3a,CD=5a, DF2+CF2=CD2 3a°+82=(5aj2 解得a=2, ∴.DE=DC=10 :BD=VDE2-BE=V102-82=6 .BC=BD+CD=6+10=16, 又：sin∠C=B_3 AC 5' .同理可得AB=12, :.AD=VAB+BD2=V122+6=6W5 3.(2024浙江台州一模)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=6,半径为2的⊙O 分别与AC、BC相切于点E、D. B ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)求∠AOB的度数，写出图中阴影部分的面积。 【答案】(1)见解析 (2)∠A0B=135, 0 【分析】 【详解】(1)证明：连接OE、OD,作OM⊥AB,垂足为M. M .BC 与 心、相切， ∴.OE=OD=2,∠OEC=∠ODC=90°， :AB=10,BC=6, ,AC=8」 S.0c+S.oc+S.408=S.Awc OEAC+ODBC+OMAB-ACC 2 即2x2x8+×2x6+0Mx10=x8x6, 2 2 .OM=2」 又：OM⊥AB, ,AB是⊙O的切线： (2).OM⊥AB,∠OEC=∠ODC=90°，OE=OD=OM, .OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线 :∠ACB=90°， ∴.∠CAB+∠CBA=90°， 4c0+04=45 ∴.∠OAB+∠OBA=45°， 20 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOB=135°， :5影=S0-Sm形=)×10x2-135 1 ×元x22=10-3元 360 2 。易错05混淆三角形外接圆与内切圆剩 ◆易错典例· 【典例05】如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕AD.再将△ABC折叠，使BC 边落在AB边上，展开后得到折痕BE.若AD与BE的交点为O,则点O是() B A.△ABC的外心B.△ABC的内心C.△ABC的重心 D.△ABC的中心 【答案】B 【详解】解：如图：过点O作OF⊥AB,OM⊥AC,ON⊥BC, B- D 由题意得：∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE, ·O为角平分线的交点， ∴.OF=OM=ON ∴点O到△ABC三边的距离相等. .点O是△ABC的内心. 故选：B. 【错因分析】概念混淆，把外心与内心的定义、性质、画法混用；分不清垂直平分线与角平分线的区别， 21 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 无法判断圆心位置。 避坑攻略 【技巧点拨】 记清“外中垂、到点等；内角分、到边等”；看到外接圆找垂直平分线与外心，看到内切圆找角平分线与 内心；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点，可直接使用。 【知识链接】 外接圆是过三角形三个顶点的圆，外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等，位置随三角形形状变 化：内切圆是与三边都相切的圆，内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，恒在三角形内部。 ◆类题巩固◆ 1.（2025浙江丽水期中)如图，点O是△1BC外接圆的圆心.点'是△1BC OB,IA 内心.连接 .若 ∠CAI=37°，则∠OBC的度数为() C A.37 B.20° C.16° D.149 【答案】C 【分析】 【详解】如图，连接OC, 22 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ,点I是△ABC的内心， :M平分∠B1C :∠CA=37°， ∴∠BAC=2∠CA=2×37°=74°， :点O是△ABC外接圆的圆心， .∠B0C=2∠BAC=2×74°=148°， :OB=OC, ∠08c=∠0CB=×1s0-∠B0C-=5×180°-14s=16, 故选：C 2.(2025·浙江嘉兴·期中)已知O是△ABC的内心，∠BAC=70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP 的外心，则∠BPC的度数为() B A.50° B.55° C.62.5 D.650 【答案】C 【详解】解：连接OB、OC, B :O是△ABC的内心， 23 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :<08c=ABc,20c8=4c8, :∠OBC+∠OCB=)∠ABC+;∠ACB=∠ABC+∠ACB), 2 :∠BAC=70°， .∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°， 208c+20cB=21Bc+aCB=5. .∠B0C=180°-55°=125°， 点O又是△BCP的外心， 1 ZBPC=)∠B0C=)×125=62.S 故选：C。 3.(2025浙江衢州二模)如图，已知在RtAABC中，DB=90°，AB=6,AC=10,点P是RtAABC的 内心 D (1)点P到边AB的距离为一； RtAABC (2)是 、PPQ 的外心，连接，则的长为一 5 【答案】 2 【分析】 【详解】解：(I)如图，连接AP,BP,CP,过点P分别作PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC于点D, E,F, DA.. 在Rt△ABC中， 24 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=90°，AB=6,AC=10, BC=√AC2-AB2=8 :P是RtAABC的内心， :PD=PE PF S1ac=2×8×6=24 1 1 xPDx6+xPEx8+xPFx10-24 PD=2, ·点P到边AB的距离为2； 故答案为：2： PO (2)如图，连接， 由1.知，PD=PE=2, :PE⊥BC,PD⊥AB, ·四边形BEPD是正方形， ·.BE=BD=PD=PE=2, :AB=6, .AD=4, 在△ADP和△AFP中， ∠DAP=∠FAP ∠ADP=∠AFP=90° AP=AP .AADP≌△AFP(AAS), :AD=AF=4, :Q是Rt△ABC的外心， AQ=5, .F0=1, 在RtAFPQ中，根据勾股定理得： PQ=VPF2+FQ2=V22+12=5 故答案为：2；5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，三角形外接圆与外心，三角形的全等的判定与性质，角平分线 的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握内心和外心的区别. >易错06扇形孤长、面积公式记混误用 ◆易错典例 【典例06】如图，半径为5的⊙O与正五边形ABCDE相切于点B、E,则弧BE的长为() A ●0 D A.4π B.10元 C.15π D.20元 【答案】A 【详解】解：连接OB,OE, E :五边形ABCDE是正五边形， ·∠D=∠C=180°-_36 5 L=108° :BC、DE与⊙O相切， .∠OED=∠OBC=90°. ∴.∠B0E=5-2)×180°-108°-108°-90°-90°=144° 144π×5 、弧BE的长为180 =4π 【点睛】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解 决本题的关键， 26 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【错因分析】公式记忆混淆，弧长与面积公式分母、系数记混；不理解公式原理，死记硬背易出错：圆锥 展开图中母线与底面半径对应关系混乱。 A避坑攻略 【技巧点拨】 理解公式来源，孤长是圆周长的n/360,面积是圆面积的n/360;用“孤长用180，面积用360”区分；圆锥 问题牢记“扇形孤长=底面圆周长”，统一变量再计算。 【知识链接】 扇形孤长公式为1等于nπR除以180；面积公式为S等于nπR2除以360，也等于二分之一IR;圆锥侧面展 开图扇形半径为母线长，弧长等于底面圆周长；公式中为圆心角度数，R为圆半径。 ◆类题巩固◆ 1.(2025浙江丽水·一模)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=120°，分别以点B和点D为圆心， BA,DA的长为半径画弧，则图中两个扇形重合部分（阴影部分）的面积为 16 【答案】写π-8W5 【详解】解：：四边形ABCD是菱形， .AD=CD,AB∥CD, :∠BAD=120° .∠DAC=∠BAC=60°， .AD=CD=AC=4,△ABC为等边三角形， .∠AB0=30°， 40-14B-2 2 在Rt△AB0中，B0=VAB-A02=2V3 27 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD=2B0=4V5 QS影=2SS=2x60T-4X4Y3-云8V3 360 2 2.(2025·浙江温州·期末)如图，△ABC为等腰三角形，点O是底边BC上的一点，以O为圆心作⊙0， 分别与AB,AC相切于点D,E,连接OD,OE. A D (I)证明：△BOD≌△COE: ②若∠A=120,BC=12,求DE的长（结果保留）. 【答案】(1)见解析 (2)π 【分析】 【详解】(I)证明：，⊙O分别与AB,AC相切于点D,E, .OD⊥AB,OE⊥AC, 、.∠BDO=∠CEO=90°， :△ABC为等腰三角形， ∴.∠B=∠C .OD=OE, :△BOD≌△COE(AAS) (2)解：根据解析(1)可得：OD⊥AB,OE⊥AC, .∠ADO=∠AEO=90°， :∠A=120°， ∴.∠D0E=360°-90°-90°-120°=60°， ,:△ABC为等腰三角形， .∠B=∠C=7180°-120)=30°， 28 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BOD≌△COE, .B0=CO=BC=6 :∠BD0=90°， :00-80=3, 60π×3 .1e=180 3。（2025:浙江嘉兴期中)如图，已知△1BC 内接于 0,4D是O0的直径，连接BD,CD,BC平分 ∠ABD,AD=6」 D (I)求AC的长； (2)求图中阴影部分面积 【答案】032 99 2)4π-2 【分析】 【详解】(1)解：AD是⊙O的直径， A B D .∠ABD=∠ACD=90° BC平分∠ABD, .∠ABC=∠CBD=45°. ∴.∠CAD=∠CDA=45 29 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ADC为等腰直角三角形. ∴.AC=AD.sin45°=6 ,√2 2 =3V2 (2)连接OC,则∠COA=2∠ABC=90°. .S阴影=S扇形0Ac-S△O4C -90mx3-1x3x3=9-9 3602 =4-2 易●错●闯●关 1.(2025浙江丽水·二模)己知在⊙0中两条平行弦AB∥CD,AB=12,CD=16,⊙O的半径是10，则 AB与CD间的距离是() A.6或12 B.2或14 C.6或14 D.2或12 【答案】B 【详解】解：分类讨论：①当AB和CD位于圆心同侧时，如图，连接OA,OC,过点O作OE上AB于点 E,交CD于点F. ■ :AB∥CD, ∴.OE⊥CD, :.AE-14B-6,CF-CD-8. 2 2 OA=OC=10. :.0E=V0A-AE2=8.0F=V0C2-CF2=6 ∴.EF=OE-OF=2,即此时AB与CD间的距离是2： ②当AB和CD位于圆心异侧时，如图，连接OA,OC,过点O作OP⊥AB于点P,延长PO交CD于点 2. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ % 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ,AB∥CD OQ⊥CD aP-48=6,c0-CD=8 :0A=0C=10, .0P=VOA-AP2-8.00=V0C2-C02=6 :P0=0P+00=14 即此时AB与CD间的距离是14. 综上可知AB与CD间的距离是2或14. 故选B. 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形 ABCD ⊙OAB=BC=CD∠ADC=100° ∠AOD= 2.(2025浙江嘉兴·期末)如图，四边形内接于 ,则 D B C 【答案】60° 【详解】解：如图，连接OB、OC, 31 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C ABCD ⊙0 ,四边形 内接于 ∴.∠ADC+∠ABC=180° ∴.∠ABC=180°-100°=80°， .∠AOC=2∠ABC=160°， ,∴.∠AOB+∠BOC=360°-160°=200°， AB=BC=CD :AB=BC=CD ∴.∠AOB=∠BOC=∠DOC=100°， .∠A0D=360°-100°×3=60°， 故答案为：60°. 3.(2025浙江舟山三模) Q0既是半径为皿的正△1BC的外按圆，也是等边△A风C的内切圆，则等边 △AB,C 的外接圆的面积是 m2 【答案】4π 【详解】设O0与△4BG相切于点M,N,F,连接 与 OA OM OF A B N 32 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OM=OF=1m∠A,MO=∠A,F0=90° 根据题意可知 Rt△AMO Rt△AFO 在 和 中 OM=OF OA=OA .Rt△AMO≌Rt△AFO :2M40=∠F40 ∠M40=}∠B4G=30」 2 MO 0A= =2m sin∠MAO 根据题意可知O4为△4BG 的外接圆的半径， :△4B 的外接圆的面积=043r=4m2 故答案为：4π 4.(2025浙江衢州·期末)如图，在△ABC中，∠BIC=125°，1是△ABC的内心，O是△ABC的外心，则 ∠BOC=(） B A.125 B.140° C.130° D.150° 【答案】B 【详解】解：过点I分别作EI⊥AB,FI⊥AC,GI⊥BC,如图 33 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点I是△ABC的内心，且结合切线性质 ∴∠G81-5ABc∠GC1=AC8 ,∠A+∠ABC+∠ACB=180,∠BIC+∠IBC+∠ICB=180° 2C=90+A, 即125°=90°+∠A 2 ∴∠A=70°， 点O是△ABC的外心， .∠B0C=2∠A=2×70°=140°. 故选：B 5.(2025·浙江湖州·一模)“黄金螺旋”的画法通常以斐波那契数列为边长作正方形，再画四分之一圆弧 连接而成.若换用数列2,24,6,10,16.·（从第三项起，每一项等于前两项之和）作为正方形的边长，按同样 方式构造螺旋线.如图，最小的正方形边长为2，依次得到边长分别为2,2,4,6,10的五个正方形，并 在每个正方形内画圆心角为90°的圆弧，连成一段螺旋线，则这段螺旋线的长度为 (结果保 留π) D B 【答案】12π 【详解】解：根据孤长公式-心，其中n为圆心角度数，为圆弧半径。 由题意得n=90°，5段圆弧的半径依次为2,2,4,6,10， 分别计算各段弧长： 34 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4=90元x2 90π×2 90元×4 π，12= =2π，14 90元x6=3元，45= 90元×10 180 180 =π，3= 180 180 180 =5, 1=l+l2+3+l4+1=π+π+2π+3π+5π=12π 总螺旋线长度为： 6.(2025浙江台州二模)如图，点O为半圆的圆心，直径AB长为6，再以点B为圆心，OB为半径作弧， 交弧AB于点C,则阴影部分的面积是 【灯+6 【详解】解：如图，连接OC,BC,过点O作OD⊥BC于点D, C B 根据题意得BC=OB=OC=3, :△BOC是等边三角形， .∠BOC=∠OBC=60°， OD⊥BC, 0D=0B-sin60°-3x5_3V3 22 2BC-0D=x3x369w5 3× 2 2- 4 60×π×323π :S扇形B0C= 360 21 -3m9V5 S号形0c=S号形C=S前形80c-S.B00=2-4, 32π3π_ :.S明影=22 3π9V5_3π，95 2 424. 7.(2025浙江绍兴·一模)如图，△ABC的三个顶点都在一圆上，将△ABC绕A点顺时针方向旋转，得到 △AB'C',B,C的对应点分别为点B和点C',且B恰也落在此圆上，若∠C=114°，则∠BAB的大小为 35 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () C B B A.42° B.44° C.46° D.48 【答案】D 【详解】解：如图，连接BB′， B 由旋转的性质可得AB=AB′， ,∠C=114° ∴.∠AB'B=180°-∠C=66°， .∠AB'B=∠ABB′=66°， .∠BAB=180°-∠AB'B-∠ABB=48°. 8.(2025浙江湖州模拟预测)如图，A,B,C,D,F五点都在⊙O上，AD∥BC,DF∥AB.若 ⊙O 的半径为4，且∠C1F=30°，则1C的长为 D 0 E 0元 【答案】3 【详解】解：连接OA,OC,如图， 36 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DF∥AB, .∠DEC=∠B, :AD∥BC, ∴.∠DEC=∠D, ∴∠B=∠D, :AC所对的圆周角为∠B与∠FC,即∠B=∠AFC, 又：A所对的圆周角为D与∠1CF,即D=∠1CF ∴.∠AFC=∠ACF :∠CAF-30°，且∠CAF+∠AFC+∠ACF=180°， .∠AFC=∠ACF=180°-30 -=75° .:4c 所对的圆心角为∠40C=2∠AFC=2×75°=150° :⊙0的半径为4， 50×π×410π ·Ac的长为 180 3 9.(2025浙江舟山期中)已知：如图，延长圆内接四边形的边AD、BC,相交于点E.DE=5, BE=12,AB=6,求CD的长. D 的 【答案】2 37 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】证明：，四边形ABCD为⊙O的内接四边形， .∠B+∠ADC=180°，∠A+∠BCD=180°， ∠ADC+∠CDE=180°，∠DCE+∠BCD=180°， ∴.∠CDE=∠B,∠A=∠DCE, .△ABE∽△CDE. AB BE ∴CDDE' ,DE=5,BE=12,AB=6, 612 CD-5' 解得CD=2 5 10.(2025浙江丽水·期末)如图，已知AB是半圆O的直径，点C,D在半圆上，且AD平分∠BAC, DE L AC交AC的延长线于点E. C (I)求证：DE是⊙O的切线： (2)若ED=4,AB=10,求CoS∠BAC的值. 【答案】(1)见详解 3 25 【分析】 【详解】(1)证明：如图，连接OD. .OA=OD .∠1=∠ADO :AD平分∠BAC, .∠1=∠2， ∴，∠2=∠ADO ∴.OD∥AE :DE⊥AC, 38 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DE⊥OD .∠ED0=90°， 又：OD是⊙O的半径， .DE是⊙O的切线： C (2)解：连接BC交OD于F, :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， OD‖AE, .∠OFB=90°， ∴.BC=2CF,四边形ECFD为矩形， ..CF ED=4, .BC=8 在Rt△ACB中，AB=I0,由勾股定理，得 AC=VAB2-BC2=V102-82=6 63 .∴.CoS∠BAC= 105 E C A B 【点睛】本题考查了圆的切线，垂径定理以及三角函数，掌握证明切线的常见方法“连半径证垂直”、求 三角函数值时要尝试构造直角三角形等方法是解题的关键. 11.(2025浙江丽水·期末)如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的弦，作OC⊥AB交AE于点F,连接 AC交⊙O于点D,若CE=CF. 39 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)试判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若AB=6,OF=1,求AE的长 【答案】(1)CE与⊙O相切，理由见解析 9W10 (2)AE的长为5 【分析】 【详解】(1)解：CE与⊙O相切，理由如下： 如图，连接OE, D B .·CE=CF .∴.∠CEF=∠CFE=∠AFO」 .OA=OE, ∴，∠OEA=∠OAE, 又OC⊥AB, ∠0AE+∠AFO=90°， ∠CEF+∠0EA=90°， 即∠0EC=90°， OE是半径， CE是⊙O的切线： (2)如图，连接BE, 40 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 是 的直径， B 0 AB=6AB⊙O :0A=AB=3,∠AEB=90 2 OC⊥AB ∴.OA2+OF2=AF2 AF=VOA2+0F2=V32+12=√10 ·∠AEB=∠AOF,∠EAB=∠OAF, .△AEB△AOF, :E、AB AO AF' AE 6 即3=10' 解得1680 5, 910 故AE的长为5· 41 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！