专题07圆（7大考点）（浙江专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题07 圆 考点01 求弧长 1．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 3．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．    考点02 圆中角度问题 1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·浙江温州·中考真题）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（    ）    A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°， 考点03 圆与正多边形问题 1．（2023·浙江台州·中考真题）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ）．    A． B．2 C． D． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．    考点04 垂径定理 1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．    2（2023·浙江湖州·中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 3．（2023·浙江温州·中考真题）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为 ．    考点05 圆的内接多边形 1．（2025·浙江·中考真题）如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为 ． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是 ．    3．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 考点06 圆的切线问题 1．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是 ．    3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．    4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．    (1)求证：； (2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．    (1)求证：． (2)已知，，求的长． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．    (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 7．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．    (1)求证：四边形为矩形． (2)已知的半径为4，，求弦的长． 考点07 圆锥问题 1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留）    考点08 圆的综合解答题 1．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．    (1)复习回顾：求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由； ③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．    (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 3．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 4．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．    (1)求的长和关于的函数表达式． (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值． (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 5．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．    (1)求的度数． (2)①求证：． ②若，求的值， (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 6．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．    (1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：． 7．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．    (1)求证： ； (2)若，求的值； (3)连结交于点，若的半径为5 ①若，求的长； ②若，求的周长； ③若，求的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆 考点01 求弧长 1．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 2．（2023·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式即可求解． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为， ∴它的弧长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 3．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．    【答案】/ 【分析】连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，，      ∵为直径， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴弧的长为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键． 考点02 圆中角度问题 1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理解答即可. 【详解】解：∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键. 2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，   半径互相垂直， ， 所对的圆心角为， 所对的圆周角， 又 ， ， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 3．（2023·浙江温州·中考真题）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（    ）    A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°， 【答案】C 【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点O作于点E，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键． 考点03 圆与正多边形问题 1．（2023·浙江台州·中考真题）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ）．    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可． 【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：    则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值， 由题意可得：， 由勾股定理可得：， ∴， 故选：D 【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．    【答案】2 【分析】连接，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，    ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∴是的内接正三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∴， 由圆和正六边形的性质可得，， 由圆和正三角形的性质可得，， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 考点04 垂径定理 1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．    【答案】10 【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为 ，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】由题意得：，， 如图，连接，过点作，交于点，交于点，   则， 餐盘与边相切， 点为切点， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ，，， 设餐盘的半径为， 则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 餐盘的半径为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2（2023·浙江湖州·中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 【答案】3 【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 3．（2023·浙江温州·中考真题）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为 ．    【答案】 5 【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得，连接，取的中点，连接，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意， ， ∵过左侧的三个端点作圆，， 又， ∴在上，连接，则为半径， ∵， 在中， ∴ 解得：； 连接，取的中点，连接，交于点，连接，，    ∵， ∴， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， 又， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， 设，则 在中， 即 整理得 即 解得：或 ∴题字区域的面积为 故答案为：；． 【点睛】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点05 圆的内接多边形 1．（2025·浙江·中考真题）如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质； 根据题意证出，得到，设，则，表示出，，连接，在中，求出，在和中，表示出，，列式计算出，再利用勾股定理计算直径即可． 【详解】解：∵为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∴， 在中，， 连接， ∵为直径， ∴， 在中，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴解得：， ∴， 的直径为：， 故答案为：． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是 ．    【答案】/80度 【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 3．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 考点06 圆的切线问题 1．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    【答案】/40度 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是 ．    【答案】/度 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，    ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得是解题的关键． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．    【答案】或 【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可． 【详解】解：连接，    ∵以为直径的半圆O与相切于点D， ∴，， ∴ 设，则， 在中：，即：， 解得：， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵为等腰三角形， 当时，， 当时， ∵， ∴点与点重合， ∴，    不存在的情况； 综上：的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．    (1)求证：； (2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①2；② 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论； （2）①证出，再由直角三角形的性质即可求解； ②由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，点D为切点， ∴， ∵，，， ∴， ∴；    （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半圆O的半径为2； ②在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．    (1)求证：． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连结，根据切线的性质得，再根据“”证明，可得答案；                 （2）先求出，可得，根据特殊角三角函数求出，进而求出答案. 【详解】（1）如图，连结，    ∵半圆O与相切于点D， ∴．                     ∵， ∴. ∵，， ∴．                 ∴． （2）如图，∵，， ∴. ∵， ∴.    ∵， 在中，， ∴. 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等，构造全等三角形是解题的关键． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．    (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的外角的性质，即可求解． （2）根据是的切线，可得，在中，勾股定理求得，根据，可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵于点， ∴， ∴．    （2）∵是的切线，是的半径， ∴． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．    (1)求证：四边形为矩形． (2)已知的半径为4，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可． （2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵与轴相切于点， ∴轴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）如图，连接．   四边形是矩形， ． 在中，， ． 点为圆心，， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键． 考点07 圆锥问题 1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为， 烟囱帽的侧面积（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键． 考点08 圆的综合解答题 1．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．    (1)复习回顾：求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由； ③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 【答案】(1)； (2)①见解析；②；③的长为或． 【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立； ②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解； ③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】（1）解：连接，    ∵的直径垂直弦AB于点E，且，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：①连接，    ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∵的直径垂直弦AB于点E， ∴， ∴， ∴； ②∵，，， ∴，    ∵的直径垂直弦AB于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ③当时，      在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，      在中，， 在中，， ∴， 同理， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．    (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明 可得； （2）证明 ，根据对应边成比例可得，再根据，，可证； （3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则． 【详解】（1）解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； （2）证明： 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又 ， ； （3）解：，证明如下： 如图，连接，    ， ， 直径垂直弦， ，， 又 ， ， ， 设，， 则，   ， ， 又 ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ，   ， 即， ， ． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证． 3．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出的长． （2）根据等弧所对圆周角相等推出，再根据角平分线的性质定理推出，利用直角三角形的性质即可求出，通过等量转化和余弦值可求出答案． （3）根据三角形相似的性质证明和，从而推出和，利用已知条件将两个比例线段相除，根据正弦值即可求出答案 【详解】（1）解：如图1，连接，设的度数为．   ，的长为， ． ，即． ． 直线是的切线， ． ∴． （2）解：如图2，连接，过点作于点，   为直径， ． ． ， ． ，， ． ，， ． ． （3）解：，理由如下： 如图3，连接BQ，     ，， ，， ， ， ． ， ， ．① ，， ， ．② ， 得，． ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及三角函数、切线的性质定理、扇形的弧长公式，角平分线性质定理等，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关计算公式． 4．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．    (1)求的长和关于的函数表达式． (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值． (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【分析】（1）如图1，连接，根据切线的性质得出，证明，得出，即可得出；证明四边形是平行四边形，得出，代入数据可得； （2）根据三边之比为，可分为三种情况．当时，当时，当时，分别列出比例式，进而即可求解． （3）连接，，过点作于点，根据，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接．    ∵切半圆于点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 如图2，， ∴．    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵，，三边之比为（如图2）， ∴可分为三种情况． i）当时， ，， 解得， ∴． ii）当时， ，， 解得， ∴． iii）当时， ，， 解得， ∴． （3）如图3，连接，，过点作于点，    则，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式，分类讨论，作出辅助线是解题的关键． 5．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．    (1)求的度数． (2)①求证：． ②若，求的值， (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②； (3) 【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案； （2）①证明，再证明，可得；②设， ，证明，可得，即，则，可得，从而可得答案； （3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案． 解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接．先证，再证，则可得．根据等腰三角形三线合一，可得，由此可得．由，可得．再证．则可得，即，解出r的值，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②设， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴（负根舍去）； （3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（负根舍去）， 由（2）①知， ∴． 解法二： 如图，延长，分别交、于M、N，连接， ， ． 又， ， ． ， ， ． 又， ， ． 又， ，． ， ． ， ， ， ， 即， 得， 解得：，（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．    (1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)线段是定长，长度不发生变化，值为 (3)证明见解析 【分析】（1）以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，与交点为，与交点为，则，分别以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，以为圆心，长为半径画弧与交点为，则，以为圆心，长为半径画弧，交直线于，以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，与交点为，与交点为，即、点即为所求； （2）如图2，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，证明四边形是正方形，则可证是等腰直角三角形，则，由，可知，由是的直径，可得，则是等腰直角三角形，； （3）如图3，延长、，交点为，由题意知是的中位线，则，，由，可得，证明，则，即，如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、，由是的平分线，可得，则，证明，则，即，由，可得，进而结论得证． 【详解】（1）解：如图1，、点即为所求；    （2）当弦的长度发生变化时，线段的长度不变； 如图2，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，则四边形是矩形，    ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴线段是定长，长度不发生变化，值为； （3）证明：如图3，延长、，交点为，          ∵， ∴点H为的中点， 又∵点M为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．    (1)求证： ； (2)若，求的值； (3)连结交于点，若的半径为5 ①若，求的长； ②若，求的周长； ③若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②；③ 【分析】（1）根据点是三等分点，得出，根据是的直径，可得，根据切线的性质可得，即可证明； （2）如图1，连接，证明，则，设，则，在中由勾股定理得，得出，进而根据正切的定义即可求解； （3）①如图1，连接，勾股定理确定，根据，可得； ②如图2，连接，设，则，解得．则，证明，，进而根据相似三角形的性质即可求解； ③如图3，过点作于点，则．设，则，证明，得出则，得出，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点是三等分点， ∴． 由是的直径 ∴， ∵是的切线， ∴． ∴． （2）如图1，连结，∵，      ∴． 由，则， 又∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴． 在中由勾股定理得， ∴， ∴． ∴． （3）①如图1，连结，∵，    ∴． ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ②如图2，连结，    ∵， ∴． ∵， ∴． 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得． ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ③如图3，过点作于点，则．    设，则， 由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 可得方程， 解得（舍去）． ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，切线的性质，相似三角形的性质与判定熟练掌握是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$