第19章 四边形（含21种题型）（知识清单）数学新教材沪科版八年级下册

第19章 四边形 一、一般四边形与多边形基础 1. 四边形定义 平面内，__________________________________________组成的封闭图形. · 内角和：___________；外角和：___________（任意多边形外角和均为___________）; · 对角线：连接______________的线段，四边形有______条对角线; · 特性：_________稳定性. 2. n边形 · 内角和公式：______________（n≥3，且n为整数）; · 外角和：__________; · 正多边形：各边__________、各角_________. 二、平行四边形 1. 定义：__________________的四边形，记作▱ABCD. 2. 性质（边、角、对角线、对称性） · 边：对边______________（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）; · 角：对角_________、邻角________（∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°）; · 对角线：______________（OA=OC，OB=OD，O为交点）; · 对称性：中心对称图形（对称中心：对角线交点），非轴对称; · 推论：夹在两条平行线间的平行线段________. 3. 判定（5种，从边、角、对角线） · 定义：两组对边______________; · 边：两组对边______________; · 边：一组对边______________（最常用）; · 角：两组对角______________; · 对角线：对角线______________. 4. 面积：S=______________. 三、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形） （一）矩形（长方形） 1. 定义：有______________的______________. 2. 性质（含平行四边形所有性质+特有） · 角：四个角都是______________; · 对角线：_________且______________（AC=BD）; · 对称性：中心对称+轴对称（2条对称轴）. 3. 判定 · 定义：平行四边形+______________; · 对角线：平行四边形+______________; · 角：______________的四边形. 4. 面积：S=___________. （二）菱形 1. 定义：有______________的平行四边形. 2. 性质（含平行四边形所有性质+特有） · 边：四条边都__________; · 对角线：互相______________，且__________________________; · 对称性：中心对称+轴对称（2条对称轴）. 3. 判定 · 定义：平行四边形+______________; · 对角线：平行四边形+______________; · 边：______________的四边形. 4. 面积 · 方法1：S =___________（同平行四边形）; · 方法2：S=______________. （三）正方形 1. 定义：有______________且有______________的平行四边形（既是矩形，又是菱形）. 2. 性质（集矩形、菱形所有性质） · 边：四条边_________、对边_________; · 角：四个角都是_________; · 对角线：_________、互相______________，每条对角线______________; · 对称性：中心对称+轴对称（4条对称轴）. 3. 判定（3种核心思路） · 矩形+______________; · 菱形+____________; · 对角线：______________且__________的四边形. 四、三角形中位线定理（核心考点） 1. 定义：连接三角形______________的线段（一个三角形有3条中位线）. 2. 定理：三角形的中位线______________，且______________; 几何语言：在△ABC中，D、E 为AB、AC中点 ⇒ DE∥BC，DE=½BC. 3. 作用：证明线段平行、求线段长度、构造平行四边形. 序号 错误 易错题型 注意 1 混淆平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件，乱套判定定理 1-2 牢记从属关系：平行四边形→矩形/菱形；矩形+菱形=正方形，判定条件不能缺条件、不能混用 2 判定平行四边形时，误用 “一组对边平行，另一组对边相等” 直接判定 3-4 一组对边平行、另一组对边相等不一定是平行四边形，可能是等腰梯形；不能作为判定依据 3 混淆矩形、菱形的性质：把菱形对角线相等、矩形对角线互相垂直当成性质 5-6 矩形：对角线相等且互相平分；菱形：对角线互相垂直平分、平分内角；菱形对角线不相等，矩形对角线不垂直 4 菱形面积只会用底乘高，忘记可用对角线乘积的一半计算 7-9 菱形、对角线互相垂直的四边形，面积都等于：1/2×一条对角线×另一条对角线 5 忽略矩形、菱形、正方形都是特殊平行四边形，遗漏平行四边形所有通用性质 10-12 特殊四边形先具备平行四边形全部性质，再叠加自身特有性质 6 正方形判定跳步，直接由普通四边形证正方形，缺少中间推导 13-14 判定思路：先证平行四边形→再证矩形+菱形；不能跳过条件直接判定正方形 8 四边形动点、折叠问题，忽略边长相等、平行、垂直隐含条件，漏情况讨论 15-17 动点题要分位置讨论；折叠前后对应边相等、对应角相等，常构造全等和直角三角形求解 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）下列命题正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的平行四边形四边形是菱形 B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．四边都相等的四边形是正方形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）下列命题正确的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4．（25-26八年级下·安徽·期中）下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．，． 5．（2026·四川成都·二模）下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都相等 B．矩形的对角线相互垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 6．（25-26八年级下·湖南永州·期中）下列说法错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的每一条对角线平分一组对角 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 7．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 8．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 9．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在菱形中，，，M是边上一动点，N是上的一个定点，在线段上有一动点．连接，． （1）菱形的面积为______； （2）的最小值为______． 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列性质中矩形有而菱形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相平分 12．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 13．（25-26八年级下·上海·期中）下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若，求的长． 15．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 17．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ (4)若点运动的速度为，直接写出：当为多少时，四边形为正方形？当为多少时，四边形为菱形？ 重难点01 多边形对角线条数问题 1．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 2．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 3．（25-26八年级下·上海·月考）一个多边形从一个顶点出发共有8条对角线，那么这个多边形是__________边形． 4．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）在下列叙述中，错误的是（   ） A．任何多边形的内角中最多有三个锐角 B．任何多边形的内角中最多有四个直角 C．对角线总条数等于其边数的多边形是五边形 D．从n边形一个顶点出发可以作条对角线 重难点02 多边形截角后的变数问题 5．（25-26八年级下·湖南邵阳·月考）一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 6．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 重难点03 对角线分成的三角形个数问题 8．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成个三角形，那么这个多边形是（   ）边形 A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，分割得到2024个三角形，则这个多边形的边数为________． 10．（25-26八年级下·河南许昌·期中）从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 11．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成6个三角形，则这是________边形． 重难点04 多边形内角和问题 12．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则____． 14．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·福建福州·期中）一个多边形的内角和，则这个多边形是（   ） A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形 重难点05 （多）少算一个角问题 16．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 19．（25-26八年级下·江西宜春·月考）张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 重难点06 多边形截角后的内角和问题 20．（25-26八年级下·山西运城·月考）阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 21．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为，则原多边形的边数？ 22．（25-26八年级上·全国·月考）如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形．求原多边形的边数． 重难点07 多边形内角和与外角和综合 23．（25-26八年级下·上海·期中）已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 24．（25-26八年级下·山东济宁·月考）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 25．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级下·河南许昌·期中）已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 重难点08 四边形的不稳定性 27．（25-26八年级下·安徽·期中）如图是学校门口的伸缩门，它利用的是________________． 28．（25-26八年级下·上海普陀·期中）四边形的不稳定性是指当四边形的边长一定时，不能确定的是（    ） A．四边形的内角大小 B．四边形的内角和 C．四边形的外角和 D．四边形的周长 29．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列图形中不具备稳定性的是（    ） A．B． C． D． 30．（25-26八年级下·福建福州·期中）下列物体应用了四边形的不稳定性的是（   ） A．木质梯子 B．学校门口的伸缩门 C．矩形门框 D．正方形地砖 重难点09 判断能否构成平行四边形 31．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）设四边形的对角线与相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 32．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 33．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能证明四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 34．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 重难点10 平行四边形性质与判定的应用 35．（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 36．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 37．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 38．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，．求证：． 重难点11 与三角形中位线有关的求解问题 39．（25-26八年级下·安徽·期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 40．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，四边形中，，，，点E，F，G分别是，，的中点，则的长为______． 41．（2026·安徽合肥·一模）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点F，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 42．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，的周长为26，点D，E都在边上，的平分线垂直于，垂足为Q，的平分线垂直于，垂足为P，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 重难点12 斜中半 43．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，，将沿方向平移至处，此时点恰好为边的中点，连接，若，，则长为（    ） A． B．3 C． D． 44．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，为的中位线，点在上，且．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 45．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，E，F，分别是的中点，连接．若，则________． 46．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）如图，在中，，，，分别是，，的中点，连接，，已知，则的长为________． 重难点13 矩形中的折叠问题 47．（2025·安徽亳州·一模）如图，矩形中，连接对角线，将沿折叠，点B落在点处，交边于点E，则： （1）的形状是______； （2）若，则点到边的距离是_____． 48．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则________． 49．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，折痕为，若，，求的长． 50．（25-26八年级下·江苏南通·期中）在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 重难点14 矩形性质与判定的应用 51．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 52．（25-26八年级下·湖北随州·期中）如图，在中，，，D为上一动点，于点E，于点F，若，则的最小值为______． 53．（25-26八年级下·天津河西·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 重难点15 菱形性质与判定的应用 54．（25-26八年级下·全国·课后作业）按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 55．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 56．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 重难点16 菱形的面积问题 57．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 58．（25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 59．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 60．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 重难点17 正方形中的折叠问题 61．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 62．（25-26九年级下·内蒙古兴安·月考）如图，在正方形中，点E为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点A的对应点F恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为_____． 63．（25-26八年级下·西藏·期中）折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则= ． (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形纸片沿着折叠，使得点D落在平面内点处，延长交于点P，求线段的长度． 重难点18 正方形性质与判定的应用 64．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 65．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，是的中点，，分别是，上的点，且，． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 66．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，且，则_________，点的坐标为_________． 67．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 重难点19 中点四边形 68．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 69．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 70．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）若顺次连接一个四边形的四边中点，得到的四边形是矩形，那么这个四边形的对角线_________； 71．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 72．（24-25九年级上·全国·期中）如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 重难点20 （特殊）平行四边形的动点问题 73．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，已知正方形的边长为1，E为的中点，P为正方形的边上的动点，动点P从点B匀速向点C运动．设的长度为x，阴影部分三角形的面积为y． （1）y与x之间的函数表达式为__________ （2）当点P运动的路程为________时，三角形的面积为． 74．（25-26八年级下·河南安阳·期中）已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 75．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 重难点21 四边形中的线段最值问题 76．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，则的长最大值等于（   ） A． B． C． D． 77．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，，点，分别是，上的点且，与交于点，过点作于点，点是上一动点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 78．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是、，点，在坐标轴上，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 79．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，P是上一动点，交于点Q，M是上一个动点，交于点N，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 四边形 一、一般四边形与多边形基础 1. 四边形定义 平面内，不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形. · 内角和：360°；外角和：360°（任意多边形外角和均为360°）; · 对角线：连接不相邻两顶点的线段，四边形有2条对角线; · 特性：不具有稳定性. 2. n边形 · 内角和公式：(n-2)×180°（n≥3，且n为整数）; · 外角和：360°; · 正多边形：各边相等、各角相等. 二、平行四边形 1. 定义：两组对边分别平行的四边形，记作▱ABCD. 2. 性质（边、角、对角线、对称性） · 边：对边平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）; · 角：对角相等、邻角互补（∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°）; · 对角线：互相平分（OA=OC，OB=OD，O为交点）; · 对称性：中心对称图形（对称中心：对角线交点），非轴对称; · 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等. 3. 判定（5种，从边、角、对角线） · 定义：两组对边分别平行; · 边：两组对边分别相等; · 边：一组对边平行且相等（最常用）; · 角：两组对角分别相等; · 对角线：对角线互相平分. 4. 面积：S=底×高. 三、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形） （一）矩形（长方形） 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形. 2. 性质（含平行四边形所有性质+特有） · 角：四个角都是直角（90°）; · 对角线：相等且互相平分（AC=BD）; · 对称性：中心对称+轴对称（2条对称轴）. 3. 判定 · 定义：平行四边形+一个直角; · 对角线：平行四边形+对角线相等; · 角：三个角是直角的四边形. 4. 面积：S=长×宽. （二）菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形. 2. 性质（含平行四边形所有性质+特有） · 边：四条边都相等; · 对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角; · 对称性：中心对称+轴对称（2条对称轴）. 3. 判定 · 定义：平行四边形+一组邻边相等; · 对角线：平行四边形+对角线互相垂直; · 边：四条边都相等的四边形. 4. 面积 · 方法1：S =底×高（同平行四边形）; · 方法2：S=½×对角线乘积. （三）正方形 1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（既是矩形，又是菱形）. 2. 性质（集矩形、菱形所有性质） · 边：四条边相等、对边平行; · 角：四个角都是直角; · 对角线：相等、互相垂直平分，每条对角线平分一组对角; · 对称性：中心对称+轴对称（4条对称轴）. 3. 判定（3种核心思路） · 矩形+一组邻边相等; · 菱形+一个直角; · 对角线：互相垂直平分且相等的四边形. 四、三角形中位线定理（核心考点） 1. 定义：连接三角形两边中点的线段（一个三角形有3条中位线）. 2. 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半; 几何语言：在△ABC中，D、E 为AB、AC中点 ⇒ DE∥BC，DE=½BC. 3. 作用：证明线段平行、求线段长度、构造平行四边形. 序号 错误 易错题型 注意 1 混淆平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件，乱套判定定理 1-2 牢记从属关系：平行四边形→矩形/菱形；矩形+菱形=正方形，判定条件不能缺条件、不能混用 2 判定平行四边形时，误用 “一组对边平行，另一组对边相等” 直接判定 3-4 一组对边平行、另一组对边相等不一定是平行四边形，可能是等腰梯形；不能作为判定依据 3 混淆矩形、菱形的性质：把菱形对角线相等、矩形对角线互相垂直当成性质 5-6 矩形：对角线相等且互相平分；菱形：对角线互相垂直平分、平分内角；菱形对角线不相等，矩形对角线不垂直 4 菱形面积只会用底乘高，忘记可用对角线乘积的一半计算 7-9 菱形、对角线互相垂直的四边形，面积都等于：1/2×一条对角线×另一条对角线 5 忽略矩形、菱形、正方形都是特殊平行四边形，遗漏平行四边形所有通用性质 10-12 特殊四边形先具备平行四边形全部性质，再叠加自身特有性质 6 正方形判定跳步，直接由普通四边形证正方形，缺少中间推导 13-14 判定思路：先证平行四边形→再证矩形+菱形；不能跳过条件直接判定正方形 8 四边形动点、折叠问题，忽略边长相等、平行、垂直隐含条件，漏情况讨论 15-17 动点题要分位置讨论；折叠前后对应边相等、对应角相等，常构造全等和直角三角形求解 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）下列命题正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，根据平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理逐一分析选项即可． 【详解】A． 对角线互相平分的四边形是平行四边形．平行四边形的判定定理之一是对角线互相平分，故A正确,符合题意． B． 对角线互相垂直的四边形是菱形．菱形的判定需要对角线互相垂直且平分．仅垂直无法保证是菱形．原说法错误，不符合题意． C． 对角线相等的四边形是矩形．矩形的判定要求对角线相等且互相平分．例如，等腰梯形对角线相等但不是矩形．原说法错误，不符合题意． D． 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．正方形的判定需满足四边形为平行四边形，且对角线垂直、相等．仅垂直且相等无法直接判定为正方形．原说法错误，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的平行四边形四边形是菱形 B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．四边都相等的四边形是正方形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，根据平行四边形、菱形、正方形的判定定理逐一分析选项，找出不正确的说法，即可求解． 【详解】解：A． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形必为菱形，故A正确． B． 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．若一组对边平行且对角相等，可推导出另一组对边也平行（同旁内角互补），满足平行四边形定义，故B正确． C． 四边都相等的四边形是正方形．四边相等的四边形是菱形，但菱形需满足一个角为直角或对角线相等才是正方形，仅四边相等无法直接判定为正方形，故C错误． D． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．根据平行四边形判定定理，两组对角相等可推出两组对边分别平行，故D正确． 综上，不正确的是选项C． 故选：C． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）下列命题正确的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 逐一分析各选项是否符合对应图形的判定条件即可． 【详解】A： 一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故该选项不符合题意； B.：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形对角线相等），需满足对角线相等且互相平分，故该选项不符合题意； C.：顺次连接矩形各边中点，所得四边形的各边长度相等（等于矩形对角线的一半），且对边平行，为菱形，故该选项符合题意； D.：对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形（如对角线满足条件但边长不等的四边形），需同时满足对角线平分且相等，故该选项不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级下·安徽·期中）下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项即可得到结论． 【详解】选项A：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，故本选项正确． 选项B：当，时，四边形可能是等腰梯形，无法判定四边形是平行四边形，故本选项错误． 选项C：∵，，四边形内角和为， ∴ ，即， ∴， 无法推出另一组对边平行或相等， ∴不能判定四边形是平行四边形，故本选项错误． 选项D：，仅能说明四边形邻边相等，例如筝形满足该条件，但不是平行四边形， ∴不能判定四边形是平行四边形，故本选项错误． 5．（2026·四川成都·二模）下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都相等 B．矩形的对角线相互垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查特殊平行四边形的性质，根据各图形的性质逐一判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的对角相等、邻角互补，四个内角不都相等， ∴A错误； ∵矩形的对角线相等但不互相垂直，∴B错误； ∵正方形的每一条对角线平分一组对角，符合正方形的性质，∴C正确； ∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，∴D错误． 6．（25-26八年级下·湖南永州·期中）下列说法错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的每一条对角线平分一组对角 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质逐一判断即可得到错误说法． 【详解】解：A、平行四边形的基本性质是对角线互相平分，原说法正确，不符合题意； B、矩形的对角线性质是相等且互相平分，不一定互相垂直，原说法错误，符合题意； C、菱形的每一条对角线平分一组对角，原说法正确，不符合题意； D、正方形的对角线相等、互相垂直且平分，原说法正确，不符合题意； 7．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查菱形面积的计算，已知对角线长度，由菱形面积等于对角线乘积的一半做计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：B． 8．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定、矩形的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质是解答本题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据四边形是矩形可得即可证明结论； （2）由四边形是菱形可得，再证为等边三角形，即，再由四边形是矩形可得，然后由四边形是菱形可得，运用勾股定理可得，最后根据菱形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ． 9．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在菱形中，，，M是边上一动点，N是上的一个定点，在线段上有一动点．连接，． （1）菱形的面积为______； （2）的最小值为______． 【答案】 24 //4.8 【分析】本题考查了最短路径问题，菱形的性质，菱形的面积的计算，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据菱形的面积公式即可求解； （2）设与交于点O，根据菱形的性质和勾股定理得到，作于Q，作于M，根据角平分线的性质得到，则有，分析可得当三点共线时，有最小值，最小值为，再根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）菱形的面积； 故答案为：24； （2）设与交于点O， 菱形中，，， ，，，平分， ； 作于Q，作于M， 平分，，， ， ， 当三点共线时，有最小值，最小值为， 此时， ， 即的最小值是， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列性质中矩形有而菱形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查矩形与菱形的性质，矩形和菱形都是特殊的平行四边形，只需对比两者的特有性质，找出符合要求的选项即可． 【详解】解：∵矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有对角相等、对边平行且相等的性质， ∴A，C选项是矩形和菱形都具有的性质，排除； ∵对角线互相垂直是菱形特有的性质，矩形不具有该性质， ∴B选项不符合要求，排除； ∵矩形的对角线相等，一般菱形的对角线不相等， 因此对角线相等是矩形有而菱形没有的性质， 故选D． 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相平分 【答案】A 【详解】解：A．邻边相等的平行四边形为菱形，故符合题意； B．菱形和矩形都具有对角线相等的性质，故不符合题意； C．平行四边形的对边平行且相等，由于菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具有对边平行且相等的性质，故不符合题意； D．平行四边形的对角线互相平分，由于菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具有对角线互相平分的性质，故不符合题意． 12．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 【答案】C 【详解】解：平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等. 故只有选项C正确. 13．（25-26八年级下·上海·期中）下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【详解】A、根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项命题正确； B、根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项命题正确； C、矩形的对角线本来就相等，仅对角线相等无法判定它是正方形，故C选项命题不正确； D、菱形的对角线互相垂直平分，若对角线再相等，则满足正方形的判定条件，所以对角线相等的菱形是正方形，故D选项命题正确． 综上，不正确的是C． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证； （2）先求出，，在中，由勾股定理得到，在正方形中，为其对角线，则在等腰中，，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又， ， ， 四边形是正方形； （2）解：， ， 由（1）知， 在中，，，，则由勾股定理得， 在正方形中，为其对角线，则在等腰中，，由勾股定理可得． 【点睛】本题考查正方形综合，涉及正方形判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、互余、直角三角形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识．熟记特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键． 15．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 16．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质找到条件，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ∵把沿折叠得到， ，， ，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是正方形， ， ∵， ， 设，则 为中点， ， 则， 在中， ， ， 解得， ∴，． 17．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ (4)若点运动的速度为，直接写出：当为多少时，四边形为正方形？当为多少时，四边形为菱形？ 【答案】(1)， (2)运动时间为时，四边形为平行四边形 (3)运动时间为时，四边形为矩形 (4)当为时，四边形为正方形，当为时，四边形为菱形 【分析】此题考查了正方形，菱形，平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质． （1）根据题意速度乘以时间即可得出，，进而即可求得； （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． （4）根据四边形为正方形，可得，进而求得，再根据，建立方程，求得；当四边形为菱形，过点作于点，根据勾股定理求得的长，进而求得，从而求得，根据，建立方程求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，，则， 故答案为：， （2）由题意可得：，， ， ， 设当运动时间为秒时，此时四边形为平行四边形． 由得，， 解得：， 当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． （3）， ， 设当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． 由得：， 解得：， 又 平行四边形为矩形． 当运动时间为秒时，四边形为矩形． （4）解：点运动的速度为，则 ∵四边形为正方形 ∴ ∴，则 解得： ∴当为时，四边形为正方形， 如图，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴当四边形为菱形时， ∴ ∴ 解得： ∴当为时，四边形为菱形； 综上所述，当为时，四边形为正方形，当为时，四边形为菱形 重难点01 多边形对角线条数问题 1．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 2．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，求出的值，最后根据多边形内角和公式可得结论． 【详解】解：由题意得，解得或（舍去）， 则该边形的内角和是：． 3．（25-26八年级下·上海·月考）一个多边形从一个顶点出发共有8条对角线，那么这个多边形是__________边形． 【答案】十一 【分析】从n边形的一个顶点出发有条对角线，根据题意列方程即可求解多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， ∴， ∴这个多边形是十一边形． 4．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）在下列叙述中，错误的是（   ） A．任何多边形的内角中最多有三个锐角 B．任何多边形的内角中最多有四个直角 C．对角线总条数等于其边数的多边形是五边形 D．从n边形一个顶点出发可以作条对角线 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和为360度，且多边形的一个外角与其相邻的内角互补，据此可判断A、B；从n边形一个顶点出发可以作条对角线，则边形对角线总条数公式为，据此可判断C、D． 【详解】解：A、∵任意多边形的外角和为360度， ∴任意多边形的外角中，最多有三个钝角， ∴任意多边形的内角中，最多有三个锐角，原说法正确，不符合题意； B、当多边形的一个内角是直角时，与其相邻的外角也是直角，而任意多边形的外角和为360度，故任意多边形的外角中，最多有4个直角，即任何多边形的内角中最多有四个直角，原说法正确，不符合题意； C、边形对角线总条数公式为，当时，解得或（舍去），故对角线总条数等于其边数的多边形是五边形，原说法正确，不符合题意； D、从n边形一个顶点出发可以作条对角线，原说法错误，符合题意； 重难点02 多边形截角后的变数问题 5．（25-26八年级下·湖南邵阳·月考）一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是10或11或12． 6．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边． 【详解】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角． 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了多边形．分情况，画出图形即可． 【详解】解：如答图①，剩下的新图形是三角形；如答图②，剩下的新图形是四边形；如答图③，剩下的新图形是五边形． ． 重难点03 对角线分成的三角形个数问题 8．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成个三角形，那么这个多边形是（   ）边形 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的有关知识，根据从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形最多分成个三角形进行求解即可． 【详解】解：∵从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成个三角形， ∴这个多边形的边数为， 故选：B． 9．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，分割得到2024个三角形，则这个多边形的边数为________． 【答案】2026 【分析】本题主要考查多边形的性质，根据多边形从一个顶点出发连接其他顶点形成三角形的性质，三角形个数等于边数减2解答即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，则， 解得． 故答案为：2026． 10．（25-26八年级下·河南许昌·期中）从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】本题考查多边形对角线分多边形得到三角形的个数规律，从边形的一个顶点引出所有对角线，分得三角形的个数为，利用该规律列方程即可求解. 【详解】解：设这个多边形的边数为. 从边形的一个顶点引出所有对角线，将多边形分成三角形的个数为 ， 根据题意得 .解得 . 11．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成6个三角形，则这是________边形． 【答案】八 【分析】本题考查多边形对角线的性质，掌握从边形的一个顶点出发的所有对角线将多边形分成个三角形的规律是解题关键，根据规律列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形为边形，根据题意得 ， 移项得 ， ∴． 重难点04 多边形内角和问题 12．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的性质与多边形内角和定理，掌握过多边形一个顶点的对角线分割三角形的规律，即可计算求解． 【详解】∵过边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形， 题目中分成了个三角形， ∴这个多边形的内角和等于这个三角形的内角和， ∵每个三角形内角和为， ∴这个多边形的内角和为 ． 13．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则____． 【答案】 【分析】设多边形有n条边，则该多边形的内角和为． 【详解】解：五边形的内角和为， ． 14．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 15．（25-26八年级下·福建福州·期中）一个多边形的内角和，则这个多边形是（   ） A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和公式，掌握边形的内角和为是解题关键，根据内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 边形的内角和为，该多边形内角和为， ， 解得：， 这个多边形是六边形． 重难点05 （多）少算一个角问题 16．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 19．（25-26八年级下·江西宜春·月考）张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确；理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】（1）根据多边形的内角和公式，可知任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解； （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列式用n表示出x，然后根据x的取值范围，得到n的取值范围，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除， ∵不能被整除， ∴张明的说法不正确． （2）解：设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∵n为整数， ∴这个正多边形为正八边形， 如图所示， 将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7， 即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 重难点06 多边形截角后的内角和问题 20．（25-26八年级下·山西运城·月考）阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 【答案】(1)多加的外角度数为，多边形的边数为 (2)；或或 【分析】（1）设多加的外角度数为，多边形的边数为，由多边形内角和公式可得，则，再由建立不等式组求解即可； （2）由于多边形的外角和始终为，则剪完后所形成的新多边形的外角和不变；然后分三种情况求解剪完后所形成的新多边形的内角和． 【详解】（1）解：设多加的外角度数为，多边形的边数为， 由题意得，， ∴ ∵ ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴多加的外角度数为，多边形的边数为； （2）解：剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为八边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为七边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为六边形，则内角和为； 综上：剪完后所形成的新多边形的内角和为或或． 21．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为，则原多边形的边数？ 【答案】或18 【分析】根据多边形的内角和公式可得，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为18， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为19， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为20， 所以原多边形的边数可以为或18． 22．（25-26八年级上·全国·月考）如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形．求原多边形的边数． 【答案】原多边形为十四边形 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握n边形的内角和为是解题的关键． 设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据“内角和为”列出方程，求解即可． 【详解】解：设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据题意，得 ， 解得， 答：原多边形为十四边形． 重难点07 多边形内角和与外角和综合 23．（25-26八年级下·上海·期中）已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】D 【分析】先利用任意多边形外角和为定值的性质求出多边形内角和，再根据内角和公式求出边数，最后代入对角线条数公式计算得到结果． 【详解】解：设多边形边数为，根据题意得， ， 解得， 即该多边形为六边形， ∴该多边形对角线条数为（条）． 24．（25-26八年级下·山东济宁·月考）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 25．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意多边形外角和为，边形内角和公式为，根据题目倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意凸多边形的外角和恒为，边形内角和为， 根据题意得:， 化简得：， 移项计算得：， 解得：． 这个多边形的边数为． 26．（25-26八年级下·河南许昌·期中）已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 【答案】 【分析】设这个正多边形的一个外角为，根据内角与相邻外角互补列出方程，求出外角的度数，结合多边形外角和为求出边数，再利用多边形内角和公式计算内角和即可 【详解】解：设这个正多边形的一个外角为，则与它相邻的内角为. ， 解得， 任意多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为 ， ∴这个多边形的内角和为． 重难点08 四边形的不稳定性 27．（25-26八年级下·安徽·期中）如图是学校门口的伸缩门，它利用的是________________． 【答案】四边形的不稳定性 【分析】根据四边形的不稳定性进行分析，即可得到答案． 【详解】解：学校门口的电子伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是利用了四边形的不稳定性． 28．（25-26八年级下·上海普陀·期中）四边形的不稳定性是指当四边形的边长一定时，不能确定的是（    ） A．四边形的内角大小 B．四边形的内角和 C．四边形的外角和 D．四边形的周长 【答案】A 【详解】解：∵ 任意四边形的内角和恒为 ，外角和也恒为 ， ∴ B和C选项的量都是确定的； ∵ 四边形周长为四条边长的和，边长一定时，周长也一定， ∴ D选项的量是确定的； ∵ 四边形具有不稳定性，边长确定时，四边形可改变形状，内角大小会发生变化， ∴ 不能确定的是四边形的内角大小. 29．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列图形中不具备稳定性的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， ∴四个图形中，只有C选项中的图形不具有稳定性． 30．（25-26八年级下·福建福州·期中）下列物体应用了四边形的不稳定性的是（   ） A．木质梯子 B．学校门口的伸缩门 C．矩形门框 D．正方形地砖 【答案】B 【详解】解：四边形的不稳定性是指四边形边长固定时形状容易改变，只有需要灵活改变形状的场景才会利用该性质． A选项木质梯子需要保持固定形状保障安全，利用的是结构稳定性，不符合要求； B选项学校门口的伸缩门需要改变形状实现伸缩开合，正是利用了四边形的不稳定性，符合要求； C选项矩形门框和D选项正方形地砖都需要保持固定形状，不符合要求． 重难点09 判断能否构成平行四边形 31．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）设四边形的对角线与相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：如图， A项：∵，，即四边形两组对边分别平行，符合平行四边形判定定理， ∴四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B项：∵，，即四边形两组对边分别相等，符合平行四边形判定定理， ∴四边形是平行四边形，本选项不符合题意； C项：∵，，即四边形对角线互相平分，符合平行四边形判定定理， ∴四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D项：当，时，四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，不能判定一定是平行四边形，本选项符合题意． 32．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】结合已知与平行四边形判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别平行，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意． 33．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能证明四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．根据平行四边形的判定方法即可判断． 【详解】解：、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故A不符合题意； B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故B不符合题意； C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故C不符合题意； D、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故D符合题意． 34．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故A选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故B选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故C选项不符合题意； D、由，无法得出四边形是平行四边形，故D选项符合题意． 重难点10 平行四边形性质与判定的应用 35．（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论； （）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，． 【详解】（1）证明： ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； （2）首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 又， 是的中位线， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由（1）知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 37．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到且，结合推出，从而证明四边形是平行四边形； （2）先求出、，利用中位线性质求出，进而求出，利用求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 38．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可证得． 【详解】证明：， ，， ， ，即， ，即， 四边形是平行四边形， ． 重难点11 与三角形中位线有关的求解问题 39．（25-26八年级下·安徽·期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由中位线的性质定理得，，且，由平行线的性质结合角平分线可得，则可求得的长． 【详解】解：是的中位线，， ，，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 40．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，四边形中，，，，点E，F，G分别是，，的中点，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理可得，由题意可得是的中位线，，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： ∵，，， ∴， 又∵点E，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴. 41．（2026·安徽合肥·一模）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点F，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先证明，然后求出，再根据三角形的中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵的平分线与边相交于点F， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴． 42．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，的周长为26，点D，E都在边上，的平分线垂直于，垂足为Q，的平分线垂直于，垂足为P，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出、是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定是的中位线．首先已知平分，，则是等腰三角形，同理是等腰三角形，从而得出，，由的周长为26，及，，则，利用中位线定理可求出． 【详解】解：∵平分，， ∴是等腰三角形， 同理是等腰三角形， ∴点Q是中点，点P是中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 重难点12 斜中半 43．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，，将沿方向平移至处，此时点恰好为边的中点，连接，若，，则长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由平移的性质求得，根据直角三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵将沿方向平移至处， ∴， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 44．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，为的中位线，点在上，且．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据三角形的中位线定理求出的长，问题即可解答． 【详解】解：，为的中位线， D为 斜边的中点， ， 为的中位线， ， ． 45．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，E，F，分别是的中点，连接．若，则________． 【答案】2 【分析】利用直角三角形斜边中线定理以及三角形中位线的判定和性质求解． 【详解】解：∵为直角三角形，且点是斜边的中点， ∴， ∵E，F，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 46．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）如图，在中，，，，分别是，，的中点，连接，，已知，则的长为________． 【答案】8 【分析】先由是的中位线求出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵是的中点，， ∴． 重难点13 矩形中的折叠问题 47．（2025·安徽亳州·一模）如图，矩形中，连接对角线，将沿折叠，点B落在点处，交边于点E，则： （1）的形状是______； （2）若，则点到边的距离是_____． 【答案】 等腰三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质与等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由折叠的性质得，由平行线的性质可得，则可得，由等角对等边即可得的形状是等腰三角形； （2）由折叠的性质得，，设，则可表示，在中，由勾股定理建立方程求得x，利用面积关系即可求得点到边的距离． 【详解】解：（1）由折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 设点到边的距离为d， ∵， ∴， 即点到边的距离为， 故答案为：． 48．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．当时，如图所示中的位置，根据，可求出的值，当最大时，与重合，即如图示位置，此时，，即，证明，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，再求出，即可求解． 【详解】解：如图： 当时，如图示中的位置， 由题意和矩形及折叠的性质可得，四边形是正方形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； ∴， 当最大时，与重合，即如图所示位置， 此时，， ∴， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 49．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，折痕为，若，，求的长． 【答案】 【分析】根据折叠找到相等线段，再由勾股定理得出的长，设，则，在中勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，. ∵沿折叠， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，由得：， 解得：，即的长为． 50．（25-26八年级下·江苏南通·期中）在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】设，证明，推出，求得，推出． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 由折叠的性质知， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 重难点14 矩形性质与判定的应用 51．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 52．（25-26八年级下·湖北随州·期中）如图，在中，，，D为上一动点，于点E，于点F，若，则的最小值为______． 【答案】2 【分析】连接，根据三个角是直角的四边形是矩形判定四边形为矩形，利用矩形对角线相等可得，根据垂线段最短可知当时最短，即最短，利用等腰直角三角形性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 四边形为矩形， ， 由垂线段最短知时最短，即最短， 由是等腰直角三角形，知， 时D为中点， ， 故的最小值为． 53．（25-26八年级下·天津河西·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，推出，得到，进而得，即可得证； （2）根据菱形的性质可得，，，根据勾股定理求出，证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ，． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形， ． 重难点15 菱形性质与判定的应用 54．（25-26八年级下·全国·课后作业）按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 55．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 56．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据“对角线互相平分”证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，从而得出结论； （2）根据矩形的面积求出，由菱形的性质得到、，利用求解即可． 【详解】（1）证明：、， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：矩形的面积为4， ， 由（1）知，四边形是菱形， 、， ． 重难点16 菱形的面积问题 57．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】D 【分析】证明四边形为菱形，根据菱形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，，点到和的距离相等，均等于纸条的宽， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的面积纸条的宽纸条的宽， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴四边形的面积为. 58．（25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)120 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ， 四边形的面积． 59．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，结合，即可证明； （2）由（1）得，推出四边形是菱形，，得到，求出、，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又， ． （2）解：由（1）得， 四边形是菱形，， 在中，， ， ， ， ∴ ， ，， ． 60．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形；理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论． （2）由菱形的性质得出，证明四边形是平行四边形，得出，，由菱形的性质得出，得出，由勾股定理得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 重难点17 正方形中的折叠问题 61．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 【答案】 【分析】连接，求出正方形的边长为4，由正方形的性质可得，则，由折叠的性质可得，，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为16， ∴； 如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 62．（25-26九年级下·内蒙古兴安·月考）如图，在正方形中，点E为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点A的对应点F恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由四边形为正方形，垂直平分，可得四边形是矩形，，，，再由折叠可得，，，，在中求得，可得，设，则，在中，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵垂直平分， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可知，，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即． 63．（25-26八年级下·西藏·期中）折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则= ． (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形纸片沿着折叠，使得点D落在平面内点处，延长交于点P，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由邻补角的性质先求解再由对折的性质求解结合正方形的性质解答即可； （2）连接，证明，可得，再由勾股定理可得． 【详解】（1）解： ， 由折叠可得：， 正方形， ∴， ； （2）解：如图，连接， ∵由边长为4的正方形纸片对折，再沿对折， 正方形纸片沿着折叠再展开，折痕与边交于点P， ， ， ∵， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：． 重难点18 正方形性质与判定的应用 64．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，于，利用正方形对角线的性质证，结合证，得，再利用等腰直角三角形性质与角度和差关系，推导的度数． 【详解】解：过点作于，于． 则， 四边形是正方形，是对角线， ，， ∴四边形是矩形， ∵，，， ， ∴四边形是正方形， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ． 65．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，是的中点，，分别是，上的点，且，． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，由推出，再结合是中点得到，又因、得到，依据判定定理即可证得． （2）先由、且，判定四边形为矩形，结合得到，进而判定四边形为正方形，即；再由、可知为等腰直角三角形，故，结合可判定为等腰直角三角形，即；已知，是中点得，在等腰中，由勾股定理求得，因此． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， 由得：， ∴四边形是正方形， ，是的中点， ． ∵，， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ， ． 66．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，且，则_________，点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，能够正确作出辅助线是解题关键． 直接根据点，点即可求出；过点C作，，先证得四边形是矩形，再通过可证得，进而证得矩形是正方形，再通过线段的和差关系算出，进而可得到答案． 【详解】解：∵点，点， ∴，， ∴ 如图，过点C作，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 67．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 重难点19 中点四边形 68．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】连接，根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线的性质可得，即可判断甲；四边形是菱形，只能判断，无法得到四边形是矩形． 【详解】解：如图，连接， ， 若四边形是矩形，则， 点分别是各边的中点， ， 四边形是菱形，故甲说法正确； 若四边形是菱形，则， ， 无法证明四边形是矩形，故乙说法错误． 69．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理，将四边形的边长与原四边形的对角线和的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 点，，，分别是四边形的各边中点， ，， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ，即， 故选：． 70．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）若顺次连接一个四边形的四边中点，得到的四边形是矩形，那么这个四边形的对角线_________； 【答案】 互相垂直 【分析】根据三角形中位线定理得到中点四边形的边与原四边形对角线的位置关系，再结合矩形的内角特征推导原四边形对角线的关系即可. 【详解】解：设原四边形为，四边中点依次为，，，，顺次连接，，，得到四边形， 根据三角形中位线定理可得：，， 因为四边形是矩形， 所以，即， 因此， 即这个四边形的对角线互相垂直. 71．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得结论． 【详解】解：连接， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴四边形为菱形． 72．（18-19九年级上·全国·期中）如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 重难点20 （特殊）平行四边形的动点问题 73．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，已知正方形的边长为1，E为的中点，P为正方形的边上的动点，动点P从点B匀速向点C运动．设的长度为x，阴影部分三角形的面积为y． （1）y与x之间的函数表达式为__________ （2）当点P运动的路程为________时，三角形的面积为． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，一次函数的实际运用，以及三角形的面积计算公式来研究动点问题． （1）的长度为x，则，根据的面积正方形的面积的面积的面积的面积即可求出； （2）根据第（1）问，令求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为1，E为的中点， ∴，， ∵的长度为x， ∴， ∴的面积＝正方形的面积的面积的面积的面积 ， 即； （2）∵的面积为， ∴， 解得， 当点P运动的路程为时，的面积为． 故答案为：，． 74．（25-26八年级下·河南安阳·期中）已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由四边形是平行四边形可得，设运动时间为，可得，再解方程即可； （2）证明四边形是矩形，再结合运动速度表示出，根据勾股定理列式，，同理表达，结合进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：由四边形是平行四边形可得，设运动时间为， ∴， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形； （2）解： 过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，且，， ∴， ∴， ∴， 同理证明四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 依题意，，运动停止时间为， ∵， ∴在运动过程中，需经过或才能使． 75．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 【答案】④ 【分析】用含t的式子表示出，，，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ，， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确． 综上所述，正确的是④． 重难点21 四边形中的线段最值问题 76．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，则的长最大值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用旋转变换构造全等三角形，将转化到中，结合三角形三边关系求解最大值． 【详解】 解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 四边形是正方形，为中心， ，， 由旋转性质可知：， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，，， 根据三角形三边关系，， ， ， 当 ，， 三点共线时， 取得最大值，最大值． 77．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，，点，分别是，上的点且，与交于点，过点作于点，点是上一动点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】选项A结合直角三角形斜边中线定理，将转化为两线段和的最小值问题，通过两点之间线段最短及勾股定理计算验证； 选项B先通过全等三角形转化线段，再利用勾股定理和完全平方公式推导线段和的最大值； 选项C、D则通过作对称点构造将军饮马模型，将折线段和转化为直线段，结合勾股定理求最小值，以此判断各选项的正误． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，； 对于选项A，如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴是斜边的中线， ∴，则， 当点，，共线时，有最小值，由勾股定理得，故选项A错误； 对于选项B，∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最大值为，故选项B正确； 对于选项C，如图，取的中点，以为对称轴作点，的对称点，，则，， ∵， ∴，， 当点，，，共线时，最小， 由勾股定理得，故选项C正确； 对于选项D，以为对称轴作点的对称点，则， ∴，当点，，共线时，和最小， 由勾股定理得，即的最小值为，故选项D正确； 综上，结论错误的是选项A． 78．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是、，点，在坐标轴上，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点，根据勾股定理可求得的长，再利用菱形的面积可求得的长，再次根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点， 则， ，， ， 当点与点重合时，的值最小， 四边形为菱形，、， ，， ，， ， ， ， 解得， ， ． 79．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，P是上一动点，交于点Q，M是上一个动点，交于点N，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】设交于点F，连接，四边形、四边形是矩形，推出，，推出，由，即可解决问题． 【详解】解：设交于点F，连接， 四边形是矩形，，， 四边形、四边形是矩形， ，， ， ，， 的最小值为5， 的最小值为5． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $