易错06 四边形（7大易错陷阱）（易错专练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

易错06 四边形 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：多边形内角和计算错误 易错02：多边形截角问题忽略分类讨论 易错03：平行四边形性质与判定混淆 易错04：对角线性质乱用 易错05：几何题缺少分类讨论 易错06：特殊平行四边形判定与性质混淆 易错07：动点问题找不到定量关系 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 多边形内角和计算错误 易错典例 【典例01】如图，在正六边形中，点M、N分别为边上的点，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【错因分析】概念混淆，把顶点数、边数、对角线数混用；公式记忆错误，漏乘或忘记减2；计算粗心导致结果偏差。 避坑攻略 【技巧点拨】 先明确边数n，直接代入公式；做完后用外角和反向验证；遇到“截角、拼接”等变形题，先确定新图形边数再计算。 【知识链接】 n边形内角和公式为，n为边数且；任意多边形外角和恒为，与边数无关。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·期末）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（   ） A．边数为6 B．每个外角都等于 C．边长与半径长的比为 D．既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】C 【详解】解：∵该正多边形的中心角为， ∴边数， ∴该多边形为正六边形． A、边数为，结论正确，故选项不符合题意； B、正六边形每个外角为，结论正确，故选项不符合题意； C、∵正六边形可被中心与顶点的连线分为个全等的等边三角形，正多边形的半径为等边三角形的边长， ∴正六边形的边长等于半径，边长与半径的比为，结论错误，故选项符合题意； D、正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，结论正确，故选项不符合题意． 2．（2025·浙江丽水·三模）如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则的度数是______度． 【答案】 【详解】解：∵是正五边形的外角， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． 3．（2024·浙江丽水·三模）图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°．    【答案】45 【详解】解： 八边形为正八边形， ， ， 为等腰三角形， ， ， 为等腰三角形， ， 与交于点， 在中，，， ， 点，， C在同一直线上， ． 易错02 多边形截角问题忽略分类讨论 易错典例 【典例02】一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为______． 【答案】6或7或8 【详解】解：设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形， 或或， 解得或7或6， 故答案为：8或7或6． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，判定边形截去一个角后形成的多边形形状是解题的关键，注意分类讨论． 【错因分析】认知偏差，默认截角后边数只增不减，缺少分类意识；画图不全面，只考虑一种情况导致漏解。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到“剪去一个角”立刻分三类讨论：边数不变、加1、减1；先画草图确定边数，再代入内角和公式计算；题目无图时必须写出三种情况的分析过程。 【知识链接】 n边形截去1个角，边数会出现三种情况：过一顶点一边得n边形；过两条邻边得n+1边形；过两个相邻顶点得n-1边形。 类题巩固 1．（2026·浙江绍兴·三模）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．180 B． 360 C．180或360 D．180或360或540 【答案】D 【详解】∵一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形， ∴新的多边形的内角和为180或360或540． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 2．（2026·浙江台州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数不可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：如图， 三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1， ②只过一个顶点剪，则和原来边数相等， ③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1， 设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n-2）•180=720， 解得：n=6． 则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，熟记多边形内角和公式并分三种情况是解题关键． 3．（2025·浙江温州·一模）已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍． (1)求这个正多边形的边数． (2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为； (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】 【详解】（1）设正多边形的一个外角的度数为，则与其相邻的内角的度数等于， ∴， 解得，     答：这个多边形的边数为； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， 当多边形为九边形时， 内角和； 当多边形为八边形时， 内角和； 当多边形为七边形时， 内角和． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 易错03 平行四边形性质与判定混淆 易错典例 【典例03】已知：如图，在四边形中，，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵ ∴ ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴即 又 ∴． 【错因分析】概念混淆，把性质当判定、把判定当性质使用；条件识别错误，把邻边、邻角当成对边、对角使用。 避坑攻略 【技巧点拨】 明确逻辑方向：已知平行四边形用性质，要证平行四边形用判定；做题先圈关键词“对边/对角/邻边/邻角”；判定时必须满足对应定理条件，不凭直观下结论。 【知识链接】 平行四边形性质：两组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分。 平行四边形判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·一模）如图，在平行四边形中，点E、F分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 2．（2026·浙江丽水·一模）如图，已知四边形是平行四边形，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·浙江湖州·一模）如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵，是的中线， ∴，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴． ∵，E分别是，的中点， ∴． 易错04 ：对角线性质乱用 易错典例 【典例04】如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【错因分析】直接用“对角线相等”证平行四边形；用“对角线垂直”判定矩形。 避坑攻略 【技巧点拨】 对角线判定必须先看基础图形：平分→平行四边形；平分且相等→矩形；平分且垂直→菱形；平分、相等、垂直→正方形。 【知识链接】 平行四边形：对角线互相平分。矩形：对角线相等且平分。菱形：对角线垂直平分且平分内角。 正方形：对角线相等、垂直、平分、平分内角。 类题巩固 1．（2025·浙江温州·期末）矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则较长的边长为_______． 【答案】 【详解】解：如图，矩形的对角线交于点，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 2．（2025·浙江丽水·一模）如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】 【详解】（1）证明：、， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：矩形的面积为4， ， 由（1）知，四边形是菱形， 、， ． 3．（2025·浙江嘉兴·期末）如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接并延长交于点G，交于点H， ∵菱形， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 易错05 几何题缺少分类讨论 易错典例 【典例05】在平行四边形中，对角线与边夹角为，过点作直线的垂线，交直线于点，若，，则平行四边形的面积为_______． 【答案】或 【分析】 【详解】解：第一种情况：过点作于点，如答图1所示， ∵过点作直线的垂线，即， 则， ∵， ∴， ∵对角线与边夹角为，即， ∴在平行四边形中，， ∴在中，， ∴， ∴． 第二种情况：过点作于点，如答图2所示， ∵过点作直线的垂线，即， 则， ∵， ∴， ∵对角线与边夹角为，即， ∴在平行四边形中，， ∴在中，， ， ∴． 故答案为：或． 【错因分析】思维定式，只画一种图形；审题不细，忽略“直线/射线/延长线”等关键词。 避坑攻略 【技巧点拨】 无图题必须先标关键词：高、交点、距离、垂直、平行；按位置分情况画图：同侧/异侧、线段上/延长线上；计算或证明后检查是否有第二种情况。 【知识链接】 四边形的高、位置、形状、交点位置不确定时，图形不唯一；点在线段上、延长线上会导致结果不同。 类题巩固 1．（2025·浙江台州·一模）如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为___________． 【答案】或 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 时，如图， ， 由翻折的性质得， 是等腰直角三角形， ， 时，如图， 由翻折的性质， 在同一直线上，，， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在中，，即 ， 解得， 即， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 2．（2024·浙江嘉兴·二模）矩形ABCD中，，，点E在AB边上，．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是________． 【答案】或 【详解】解：∵矩形ABCD ∴∠A=∠B=90°， 分两种情况： 当AP=AE=5，点P在边AD上时，如图所示： ∵∠BAD=90°， ∴PE==5； 当PE=AE=5，点P在边BC上时，如图所示： ∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°， ∴PB==4， ∴底边AP=； 综上，等腰三角形AEP的底边长是或 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键． 3．（2025·浙江舟山·期末）已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，，， 又∵，， ∴， ∵点在上，即， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； （3）解：当为等腰三角形时，分三种情况讨论， ①当时， ∴， 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在上， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 此方程无解，故此情形不存在； ②当时，设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， 即， 解得：； ③当时，过点作于点， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或． 易错06 特殊平行四边形判定与性质混淆 易错典例 【典例06】如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图： ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即有最小值， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 【错因分析】概念张冠李戴，把矩形对角线相等套用到菱形上；判定条件缺失，用“对角线垂直”证矩形、用“对角线相等”证菱形。 避坑攻略 【技巧点拨】 按层级判定：先证平行四边形，再补直角/邻边相等；记忆口诀：矩等菱垂方正兼具；性质与判定一一对应，不跨层级乱用条件。 【知识链接】矩形：平行四边形+一个直角；对角线相等且平分。 菱形：平行四边形+一组邻边相等；对角线垂直平分。 正方形：矩形+邻边相等；菱形+一个直角；平行四边形+直角+邻边相等。 逻辑链：平行四边形→矩形/菱形→正方形。 类题巩固 1．（2025·浙江台州·期中）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（    ） A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 【答案】C 【详解】当点P从点D开始动到如图位置时，四边形是平行四边形，理由如下， ∵的中点为O， ∴， ∵， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 当点P运动到时，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 当点P运动到未达到中点M时，如图所示， ∴四边形是平行四边形， 当点P运动到时，如图所示， ∴四边形是矩形； 当点P运动到过中点M后未到点A时，如图所示， ∴四边形是平行四边形， 综上所述：在点P从点D运动到点A的整个过程中，四边形的形状变化依次是平行四边形，菱形，平行四边形，矩形，平行四边形． 故选：C． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵于点， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵于点， ∴ ， ∵平分，， 又∵， ∴， ∴． 3．（2026·浙江湖州·二模）如图，的对角线和交于点O，，分别过点C，D作，，和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得四边形是菱形，四边形是矩形； ∴，， ∴ ∵， ∴， 即， ∵ ∴． 易错07 动点问题找不到定量关系 易错典例 【典例07】如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）证明：连接， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， 由勾股定理得： ， ∵ ， ∴， 即， ∵， ∴， ∵由（）知 ，即， ∴， ∵是的外角， ∴， 在中，由内角和定理： ， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴，即，代入， 得：． 【错因分析】被“动”迷惑，找不到静态不变关系；不会画关键位置图形，无法建立等式。 避坑攻略 【技巧点拨】 动点问题先找不变量：定点、定长、定角、定垂直；画特殊位置：起点、终点、垂直、中点；把动态问题转化为静态证明或计算。 【知识链接】 动点问题本质是找不变量：定长、定角、定直线、定点、定垂直、定平行；轨迹为线段→距离不变；轨迹为圆弧→到定点距离不变。 类题巩固 1．（2025·浙江台州·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点的运动速度都是，连接．设点的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴此时， 解得：． 答：当时，四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形． 设t秒后，，四边形为菱形， 根据勾股定理得：， 即， 解得：． 答：当时，四边形是菱形． 2．（2024·浙江丽水·二模）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为2个单位长度/秒；点从点出发，向点运动，速度为1个单位长度/秒．、两点同时出发，点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒．连接，，． (1)当点到达点时，________；当点到终点时，的长为________． (2)当在上时，如果的面积为9，求的值． (3)当运动到上时，的长能否等于5？如果能请求出t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)6，4 (2) (3)的长不能等于5，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， ∴当点到点时，（秒）； 当点到终点时，（秒）， ∴此时点运动的路程为， 又∵， ∴此时点运动到点， ∴此时的长等于， 故答案为：6，4． （2）解：点从点运动到达点所需时间为秒， ∴当点在上时，，，， ∴，， ∵，且的面积为9， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为1． （3）解：的长不能等于5，理由如下： 假设， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒， ∴当运动到上时，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，，即， 整理得：， 解得或（均不符合题意，舍去）， 所以的长度不能等于5． 3．（2024·浙江丽水·二模）如图，在矩形中，，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，当一个点运动到达终点另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．为何值时，的面积等于矩形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】2秒或4秒 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， 又的面积等于矩形面积的， ， 即， 解得，， 所以，当运动时间为2秒或4秒时，的面积等于矩形面积的． 易●错●闯●关 1．（2024·浙江嘉兴·二模）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（    ） A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12 【答案】D 【详解】解：设截去一个角后的多边形边数为n， 则有：， 解得：， 如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加了一条边，则原来多边形的边数是10； 如图2，从一边中间部分，与另一顶点处截取一个角，边数不增也不减，则原来多边形的边数是11； 如图3，从两个顶点处切去一个角，边数减少1，则原来多边形的边数是12； 综上，原来多边形的边数可能是10或11或12； 故选：D． 2．（2025·浙江台州·期末）一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为_________． 【答案】或或 【详解】解：将一个长方形切去一个角后， 可得如图三类图形，即五边形，四边形和三角形， 则内角和分别为，，， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形内角和，角的意义以及分类讨论思想，主要考查学生的画图能力和理解能力，题目比较典型，是一道比较容易出错的题目． 3．（2025·浙江丽水·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的顶点在轴的正半轴上，顶点，在轴的正半轴上，顶点，，在第一象限内，若，将正六边形沿轴向右平移1个单位长度，则点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：延长交轴于点， 由正六边形的性质得，，，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴． 4．（2024·浙江台州·一模）如图，已知两个边长相同的正八边形和正六边形的一边重合，且正六边形在正八边形的内部，则图中的度数为______． 【答案】/15度 【详解】解：如图所示： ∵正八边形的每个内角为：， 正六边形的每个内角为：， ∴，， ∴， ∴图中的度数为． 5．（2026·浙江湖州·二模）如图，在矩形中，，分别是，的中点，若，则的长度为______． 【答案】9 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∵，分别是，的中点， ． 6．（2025·浙江舟山·一模）在正方形中，，点为直线上的一点，过点作交直线于点．若，则______． 【答案】或 【详解】解：依题意有以下两种情况： ①当点在点右侧时，如图所示： 设，则， 四边形是正方形， ，， ， 直线于点，且， ， 又， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当点在点的左侧时，如图所示： 设，则， 四边形是正方形， ，， ， 直线于点，且， ， 又， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 综上所述：的长度是或． 7．（2024·浙江衢州·一模）如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3 【分析】 【详解】（1）证明：， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，，是边上的中线， ，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 点E是的中点， 是的中位线， ， ． 8．（2025·浙江台州·一模）如图，已知四边形是平行四边形，分别延长，至点，，使得，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ． 9．（2026·浙江丽水·二模）如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为______ ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵正方形中，，， ∴， ∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∵是对角线上一点， ∴当时，最短，此时， ∴， ∴的最小值为． 10．（2024·浙江温州·一模）我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明 为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写“已知”和“求证”，请完成过程． 已知：在中，__________． 求证：是菱形． 证明： (2)知识应用 如图2，在中，对角线交于点，． ①求证：是菱形． ②延长至点，使得，求证：． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】 【详解】（1）已知：在中，． 求证：是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①证明：∵四边形是平行四边形，． ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形； ②证明：取中点，连接 ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 11．（2025·浙江金华·一模）如图，中，点，分别在，上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形为菱形，，，则的面积为__________ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过点A作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 12．（2024·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒），若以A，B，Q，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)若点M在x轴上，在平面内存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)或3时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； (2)点的坐标为或或或． 【分析】 【详解】（1）解：由题意，得 ①若点在点的左侧，如图 ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得， ②若点在点的右侧，如图 ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ， 解得， 综上所述，或3时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； （2）解：点的坐标为或或或．理由如下： 点，， ，， ， ①如图，以为边，四边形是菱形， ∵， ； ②如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； ③如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； ④如图，以为对角线，四边形是菱形， 设， ， ， ， ， ， ； 综上所述，以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 13．（2026·浙江温州·一模）如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点． (1)求k的取值范围； (2)当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标． (3)设反比例函数的图象与正方形的边交于、两点，若线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为，则的值为______．(直接写出结果) 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：点、， ∴轴，， ∵四边形是正方形， ∴轴，轴，， ，， 当反比例函数经过点时．， 当反比例函数经过点时．， 的取值范围为：； （2）是的中点， ， ， 故反比例函数解析式为， 当时，， 反比例函数与边的交点的坐标为． （3）解：①当分别在上时， 由（1）可得 由（2）可得是的中点时，反比例函数与边的交点的坐标为． 此时， ∴此时线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为， ∴满足； ②当分别在上时，设，则， ∴， ∵线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为， ∴， ∴， 解得：或（舍去） 综上所述，或． 14．（2025·浙江台州·二模）如图，在矩形中，是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为，其中． (1)若分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形？请说明理由． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． (3)在（1）的条件下，若两点运动的同时，点向点运动，点向点运动，且与点的速度相同，点运动到点时，四点都停止运动．当四边形是菱形时，求的值． 【答案】(1)四边形一定是平行四边形，理由见解析 (2) (3)当时，四边形为菱形 【分析】 【详解】（1）解：四边形一定是平行四边形，理由： 由题意，得， 四边形是矩形， ，， ， 分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形，， ， 当四边形是矩形时，， ， ， 解得：； （3）解：如图，连接与相交于点， 四边形为菱形， 垂直平分，，， ， 又是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为， ， ， ， 平行四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， 解得：， 当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错06 四边形 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：多边形内角和计算错误 易错02：多边形截角问题忽略分类讨论 易错03：平行四边形性质与判定混淆 易错04：对角线性质乱用 易错05：几何题缺少分类讨论 易错06：特殊平行四边形判定与性质混淆 易错07：动点问题找不到定量关系 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 多边形内角和计算错误 易错典例 【典例01】如图，在正六边形中，点M、N分别为边上的点，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【错因分析】概念混淆，把顶点数、边数、对角线数混用；公式记忆错误，漏乘或忘记减2；计算粗心导致结果偏差。 避坑攻略 【技巧点拨】 先明确边数n，直接代入公式；做完后用外角和反向验证；遇到“截角、拼接”等变形题，先确定新图形边数再计算。 【知识链接】 n边形内角和公式为，n为边数且；任意多边形外角和恒为，与边数无关。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·期末）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（   ） A．边数为6 B．每个外角都等于 C．边长与半径长的比为 D．既是轴对称图形也是中心对称图形 2．（2025·浙江丽水·三模）如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则的度数是______度． 3．（2024·浙江丽水·三模）图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°．    易错02 多边形截角问题忽略分类讨论 易错典例 【典例02】一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为______． 【错因分析】认知偏差，默认截角后边数只增不减，缺少分类意识；画图不全面，只考虑一种情况导致漏解。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到“剪去一个角”立刻分三类讨论：边数不变、加1、减1；先画草图确定边数，再代入内角和公式计算；题目无图时必须写出三种情况的分析过程。 【知识链接】 n边形截去1个角，边数会出现三种情况：过一顶点一边得n边形；过两条邻边得n+1边形；过两个相邻顶点得n-1边形。 类题巩固 1．（2026·浙江绍兴·三模）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．180 B． 360 C．180或360 D．180或360或540 2．（2026·浙江台州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数不可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·浙江温州·一模）已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍． (1)求这个正多边形的边数． (2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 易错03 平行四边形性质与判定混淆 易错典例 【典例03】已知：如图，在四边形中，，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 【错因分析】概念混淆，把性质当判定、把判定当性质使用；条件识别错误，把邻边、邻角当成对边、对角使用。 避坑攻略 【技巧点拨】 明确逻辑方向：已知平行四边形用性质，要证平行四边形用判定；做题先圈关键词“对边/对角/邻边/邻角”；判定时必须满足对应定理条件，不凭直观下结论。 【知识链接】 平行四边形性质：两组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分。 平行四边形判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·一模）如图，在平行四边形中，点E、F分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． 2．（2026·浙江丽水·一模）如图，已知四边形是平行四边形，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的度数． 3．（2025·浙江湖州·一模）如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 易错04 ：对角线性质乱用 易错典例 【典例04】如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【错因分析】直接用“对角线相等”证平行四边形；用“对角线垂直”判定矩形。 避坑攻略 【技巧点拨】 对角线判定必须先看基础图形：平分→平行四边形；平分且相等→矩形；平分且垂直→菱形；平分、相等、垂直→正方形。 【知识链接】 平行四边形：对角线互相平分。矩形：对角线相等且平分。菱形：对角线垂直平分且平分内角。 正方形：对角线相等、垂直、平分、平分内角。 类题巩固 1．（2025·浙江温州·期末）矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则较长的边长为_______． 2．（2025·浙江丽水·一模）如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 3．（2025·浙江嘉兴·期末）如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 易错05 几何题缺少分类讨论 易错典例 【典例05】在平行四边形中，对角线与边夹角为，过点作直线的垂线，交直线于点，若，，则平行四边形的面积为_______． 【错因分析】思维定式，只画一种图形；审题不细，忽略“直线/射线/延长线”等关键词。 避坑攻略 【技巧点拨】 无图题必须先标关键词：高、交点、距离、垂直、平行；按位置分情况画图：同侧/异侧、线段上/延长线上；计算或证明后检查是否有第二种情况。 【知识链接】 四边形的高、位置、形状、交点位置不确定时，图形不唯一；点在线段上、延长线上会导致结果不同。 类题巩固 1．（2025·浙江台州·一模）如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为___________． 2．（2024·浙江嘉兴·二模）矩形ABCD中，，，点E在AB边上，．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是________． 3．（2025·浙江舟山·期末）已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 易错06 特殊平行四边形判定与性质混淆 易错典例 【典例06】如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【错因分析】概念张冠李戴，把矩形对角线相等套用到菱形上；判定条件缺失，用“对角线垂直”证矩形、用“对角线相等”证菱形。 避坑攻略 【技巧点拨】 按层级判定：先证平行四边形，再补直角/邻边相等；记忆口诀：矩等菱垂方正兼具；性质与判定一一对应，不跨层级乱用条件。 【知识链接】矩形：平行四边形+一个直角；对角线相等且平分。 菱形：平行四边形+一组邻边相等；对角线垂直平分。 正方形：矩形+邻边相等；菱形+一个直角；平行四边形+直角+邻边相等。 逻辑链：平行四边形→矩形/菱形→正方形。 类题巩固 1．（2025·浙江台州·期中）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（    ） A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 3．（2026·浙江湖州·二模）如图，的对角线和交于点O，，分别过点C，D作，，和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 易错07 动点问题找不到定量关系 易错典例 【典例07】如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)如果，求证：． 【错因分析】被“动”迷惑，找不到静态不变关系；不会画关键位置图形，无法建立等式。 避坑攻略 【技巧点拨】 动点问题先找不变量：定点、定长、定角、定垂直；画特殊位置：起点、终点、垂直、中点；把动态问题转化为静态证明或计算。 【知识链接】 动点问题本质是找不变量：定长、定角、定直线、定点、定垂直、定平行；轨迹为线段→距离不变；轨迹为圆弧→到定点距离不变。 类题巩固 1．（2025·浙江台州·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点的运动速度都是，连接．设点的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 2．（2024·浙江丽水·二模）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为2个单位长度/秒；点从点出发，向点运动，速度为1个单位长度/秒．、两点同时出发，点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒．连接，，． (1)当点到达点时，________；当点到终点时，的长为________． (2)当在上时，如果的面积为9，求的值． (3)当运动到上时，的长能否等于5？如果能请求出t的值，如果不能，请说明理由． 3．（2024·浙江丽水·二模）如图，在矩形中，，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，当一个点运动到达终点另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．为何值时，的面积等于矩形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 易●错●闯●关 1．（2024·浙江嘉兴·二模）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（    ） A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12 2．（2025·浙江台州·期末）一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为_________． 3．（2025·浙江丽水·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的顶点在轴的正半轴上，顶点，在轴的正半轴上，顶点，，在第一象限内，若，将正六边形沿轴向右平移1个单位长度，则点的对应点的坐标为_________． 4．（2024·浙江台州·一模）如图，已知两个边长相同的正八边形和正六边形的一边重合，且正六边形在正八边形的内部，则图中的度数为______． 5．（2026·浙江湖州·二模）如图，在矩形中，，分别是，的中点，若，则的长度为______． 6．（2025·浙江舟山·一模）在正方形中，，点为直线上的一点，过点作交直线于点．若，则______． 7．（2026·浙江丽水·二模）如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为______ ． 8．（2024·浙江衢州·一模）如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 9．（2025·浙江台州·一模）如图，已知四边形是平行四边形，分别延长，至点，，使得，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的度数． 10．（2024·浙江温州·一模）我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明 为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写“已知”和“求证”，请完成过程． 已知：在中，__________． 求证：是菱形． 证明： (2)知识应用 如图2，在中，对角线交于点，． ①求证：是菱形． ②延长至点，使得，求证：． 11．（2025·浙江金华·一模）如图，中，点，分别在，上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形为菱形，，，则的面积为__________ 12．（2024·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒），若以A，B，Q，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)若点M在x轴上，在平面内存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 13．（2026·浙江温州·一模）如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点． (1)求k的取值范围； (2)当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标． (3)设反比例函数的图象与正方形的边交于、两点，若线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为，则的值为______．(直接写出结果) 14．（2025·浙江台州·二模）如图，在矩形中，是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为，其中． (1)若分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形？请说明理由． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． (3)在（1）的条件下，若两点运动的同时，点向点运动，点向点运动，且与点的速度相同，点运动到点时，四点都停止运动．当四边形是菱形时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $