第16章 二次根式（含14种题型）（知识清单）数学新教材沪科版八年级下册

第16章 二次根式 一、二次根式的概念与基本性质 （一）二次根式的定义 定义：一般地，形如（≥0）的式子叫做二次根式，其中“”叫做二次根号，叫做被开方数。 核心特征： 1.含有二次根号 “”； 2.被开方数a必须是非负数（≥0），即被开方数可以是正数、0，也可以是代数式（只要其值非负）； 3.形式上是 “根号下非负数” 的结构。 （二）二次根式的基本性质 性质1：双重非负性 ≥0（当≥0时），且被开方数≥0。即：二次根式本身的值是非负数，被开方数也必须是非负数。 性质 2：平方运算 ()2= (≥0) 文字表述：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质 3：开方与绝对值 =∣∣ 文字表述：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值。 二、二次根式的乘除运算 （一）二次根式的乘法法则 法则：⋅=（≥0, b≥0） 文字表述：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 逆用（积的算术平方根）：=⋅(≥0, b≥0) 作用：用于二次根式的化简，将被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来。 （二）二次根式的除法法则 法则：=（≥0, b>0）文字表述：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 逆用（商的算术平方根）：=(≥0, b>0)作用：用于二次根式的化简，将分母中的根号化去（分母有理化）。 （三）最简二次根式 定义：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1.被开方数不含分母（即分母中不含根号）； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 三、二次根式的加减运算 （一）同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 核心特征： 1.先化为最简二次根式； 2.被开方数完全相同。 （二）二次根式的加减法则 法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。合并同类二次根式与合并同类项类似，只把系数相加减，被开方数和根指数不变。 步骤： 1.化简：将每个二次根式化为最简二次根式； 2.找同类：找出被开方数相同的最简二次根式； 3.合并：将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变。 四、二次根式的混合运算 运算顺序：与实数的运算顺序一致，先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面的。 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，分配律在二次根式运算中仍然适用。 分母有理化：运算结果若分母含根号，需通过分子分母同乘分母的有理化因式，将分母化为有理数或整式。 序号 错误 易错题型 注意 1 忽略二次根式有意义的条件，未考虑被开方数非负 1-4 二次根式中，被开方数a≥0；若分母含二次根式，还需保证分母不为0 2 混淆与 ()2的运算，认为两者结果相同 5-7 ()2=a（要求 a≥0）；=∣a∣，需注意符号 3 二次根式化简不彻底，或未化为最简二次根式 7-9 最简二次根式要求：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 4 二次根式加减运算时，错误合并不是同类二次根式的项 10-12 只有被开方数相同的二次根式（同类二次根式）才能合并，合并时只合并系数，被开方数不变 5 二次根式乘除运算时，忽略运算条件，或结果未化简 13-15 乘法：⋅=（a≥0,b≥0）；除法：=（a≥0,b>0），结果必须化为最简二次根式 6 分母有理化时，漏乘分子，或符号处理错误 16-17 分母有理化时，分子分母需同乘分母的有理化因式；注意负号的位置，避免符号错误 7 二次根式的混合运算中，运算顺序错误，或误用运算律 18-20 运算顺序与有理数一致：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，乘法分配律等运算律同样适用 8 二次根式求值时，忽略隐含条件（如字母的取值范围） 21-22 化简或求值前，先根据题目条件判断字母的正负，尤其是开平方时，要利用绝对值化简 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）式子有意义的的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， ∵， ∴恒成立， ∴． 2．（2026·安徽·二模）代数式有意义，的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 3．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）已知，则______． 【答案】1 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求出的值，再代入原式求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）使有意义的的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，列出一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于有意义， 则， 移项得：． 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）化简：（    ） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质计算即可，算术平方根本身是非负数． 【详解】∵， ∵， ∴． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的非负性和二次根式的基本性质，对各选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C，，计算正确，故选项符合题意； D，，故选项不符合题意 7．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）__________． 【答案】2 【分析】根据二次根式的性质计算即可得到结果． 【详解】解：． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 9．（25-26八年级下·安徽池州·期中）下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母， 选项A中，，被开方数含能开得尽方的因数，不符合题意； 选项B中，的被开方数含分母，不符合题意； 选项C中，，被开方数含分母，不符合题意； 选项D中，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意， 10．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式加减乘除的运算法则，分别计算各选项即可． 【详解】解：选项A：， ∴ A错误，该选项不符合题意； 选项B：，计算正确， ∴ B正确，该选项符合题意； 选项C：与不是同类二次根式，不能合并， ∴ C错误，该选项不符合题意； 选项D：， ∴ D错误，该选项不符合题意． 11．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、与均为最简二次根式，不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误； B、，该选项计算错误； C、，该选项计算正确； D、，该选项计算错误． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则和化简规则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； C、 ，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意． 13．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）计算：． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再利用二次根式的乘除运算法则进行计算，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 14．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）在中，，若的面积为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知三角形底边长和面积，直接代入三角形面积公式即可求出对应底边上的高． 【详解】解：设边上的高为h， ∵，， ∴， 解得． 15．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 16．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）首先需对和进行分母有理化，求出与的值，再整体代入计算结果； （）首先需对和进行分母有理化，求出与的值，再运用完全平方公式，将化为，再代入数值计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ， ∴； （2）解：∵，， ∴ ， ， ∴． 17．（25-26八年级上·安徽六安·月考）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 18．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】先利用二次根式的除法运算法则化简原式，再通过估算无理数的大小得到原式的取值范围． 【详解】解：首先化简原式：， ∵， ∴ 不等式两边同时减1，得， ∴原式的值在2和3之间． 19．（25-26八年级下·安徽·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的乘除法则运算，再计算加减即可； （2）先根据完全平方公式，二次根式的乘法进行计算，再加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（25-26八年级下·安徽六安·期中）计算： 【答案】 【分析】化简二次根式，利用平方差公式去括号，再计算除法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 21．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）已知，，求的值． 【答案】14 【分析】先求出，，然后根据完全平方公式求出，最后根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 22．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，则______． 【答案】25 【分析】先将所求代数式变形为含和的形式，再计算与的值，最后代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 重难点01 二次根式的定义判断 1．（25-26八年级下·安徽六安·期中）下列式子中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式需要满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，两个条件同时满足才一定是二次根式． 【详解】解：选项A的根指数为3，是三次根式，不满足二次根式定义，∴A不符合要求； 选项B中，被开方数，式子无意义，∴B不符合要求； 选项C中，根指数为2，被开方数，满足二次根式的定义，一定是二次根式，∴C符合要求； 选项D中，当时，无意义，不是二次根式，因此不一定是二次根式，∴D不符合要求． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，只需判断各选项的被开方数是否恒为非负数，即可得出正确结果． 【详解】解：∵ 选项A中被开方数，∴不是二次根式； ∵ 选项B中的符号不确定，当时被开方数为负数，∴ 不一定是二次根式； ∵ ，∴ ，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，∴ 选项C是二次根式； ∵ 选项D中，当时，，被开方数为负数，∴不一定是二次根式． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列选项中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键． 直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、不一定是二次根式，如，故此选项错误； B、不一定是二次根式，如，故此选项错误； C、一定是二次根式，故此选项正确； D、，故不是二次根式，故此选项错误； 故选：C． 4．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 重难点02 利用二次根式的性质化简 5．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，结合数轴得出，再进行化简二次根式以及绝对值，最后进行加减运算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如果非零实数a，b满足，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简等式得到的符号，最后根据象限坐标特征判断点的位置． 【详解】解：∵二次根式有意义，且为非零实数 ∴ 化简等式左边： ∵， ∴左边 由题意得 ∵，， ∴ 两边同时除以得 ，即 ∵为非零实数， ∴ ∵，，点横坐标为负，纵坐标为正，因此点在第二象限． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可得、、，利用二次根式的性质将所求式子化简求解即可． 【详解】解：由数轴可知：、， 、、， ． 8．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）如图，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】先根据数轴上的位置关系，判断出，再利用二次根式的性质将原式转化为绝对值形式，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号并合并同类项，得到化简结果． 【详解】解：根据数轴可得，且， 因此： ∴ ． 9．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：、，本选项计算错误，不符合题意； 、，本选项计算错误，不符合题意； 、，本选项计算错误，不符合题意； 、，本选项计算正确，符合题意． 10．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】根据数轴可得出x，y的正负情况，然后确定和的正负，再将二次根式化简即可． 【详解】解：由实数，在数轴上的位置，得，，， 原式 ． 重难点03 二次根式有意义的条件 11．（2026·安徽马鞍山·一模）要使根式有意义，则应满足的条件是___________． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， 解得． 12．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）若有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解不等式得， ∴的取值范围是． 13．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）要使式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，列出不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得． 14．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）若，则的取值范围是（    ） A．为全体实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，等式成立需满足等式中所有二次根式的被开方数都符合非负要求，列出不等式组求解即可． 【详解】解：等式 成立，等式右侧两个二次根式都要有意义， 根据二次根式有意义的条件，可得不等式组：， 解不等式组得． 重难点04 分母有理化 15．（25-26七年级下·上海·期中）化简： _____． 【答案】 【详解】解： ． 16．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）首先需对和进行分母有理化，求出与的值，再整体代入计算结果； （）首先需对和进行分母有理化，求出与的值，再运用完全平方公式，将化为，再代入数值计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ， ∴； （2）解：∵，， ∴ ， ， ∴． 17．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)化为最简二次根式为______，将分母有理化得______． (2)比较与的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分子分母同乘以即可；分子分母同乘以即可； （2）先将进行分母有理化，再进行比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 而， ∴． 18．（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解； （2）先对进行分母有理化，再利用（1）的结论进行比较即可判断； （3）先对，进行分母有理化，再计算，的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：， 由（1）可知， ∵，， ∴，即． （3）解：， ， ∴，， ∴． 重难点05 最简二次根式的判断 19．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽的因数或因式，对四个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意． 20．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意. 21．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟记其定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式”，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：∵A、==，被开方数含分母，不满足最简二次根式定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； B、==，被开方数含能开得尽方的因数，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； C、=，被开方数含分母，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，故选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 22．（25-26八年级上·安徽六安·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数是整数或是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、被开方数含分母，因此不是最简二次根式； B、被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件； C、，被开方数含分母，因此不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数 ，因此不是最简二次根式． 故选：B． 重难点06 化为最简二次根式 23．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）将化简为最简二次根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的性质和分母有理化方法即可求解，最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵==， 将分母有理化，分子分母同乘得： =， ∴化简结果为． 24．（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简，结合的条件去掉绝对值符号，即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足． ∵， ∴，因此可得， ． ∵， ∴， ∴． 25．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则它们是同类二次根式；先将各选项二次根式化为最简二次根式后，比较被开方数，被开方数与相同的即为所求. 【详解】解：同类二次根式的定义为：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式. A、，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、，被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式； D、，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式． 26．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：，则与不是同类二次根式，故A错误； ，则与不是同类二次根式，故B错误； ，则与是同类二次根式，故C正确； ，则与不是同类二次根式，故D错误． 重难点07 同类二次根式求参数 27．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____． 【答案】 4 【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，是最简二次根式，也是最简二次根式，二者是同类二次根式， 因此被开方数相等，可得 解得． 28．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 29．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 30．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)2或 【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． 【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 重难点08 二次根式的乘除混合运算 31．（25-26八年级下·四川自贡·月考）计算：的值为______． 【答案】1 【分析】按照同级运算从左到右的顺序，结合二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 32．（25-26八年级下·广东汕头·月考）计算： 【答案】 【详解】解： 原式 ． 33．（25-26八年级下·福建福州·期中）计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解： ． 34．（25-26八年级下·广东汕头·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算及二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式乘除法的运算法则．将系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后将结果化为最简二次根式． 【详解】解：原式， ， ， ， ． 重难点09 二次根式的大小比较 35．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 36．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）比较大小：________（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】将两数分别平方后，比较平方结果的大小，平方大的原数更大，据此计算即可解答． 【详解】∵，， 且 ， ， ∵， ∴， ∴． 37．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 38．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）比较大小：______（填，或）． 【答案】 【分析】通过作差法，将两个数通分后比较分子的大小，从而判断两个数的大小关系． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 重难点10 复合二次根式的化简 39．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）形如的化简，只要我们找到两个数a，b（），使，，则，，那么就会有． 例如的化简就可以将5看作是m，6看作n． ，， ． 根据上述解决问题的方法，解答下列各题． (1)化简． (2)若，且a，m，n均为正整数，求a的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2)28或12 (3) 【分析】（1）根据材料里提供的方法化简即可得解； （2）根据题意可得，从而得到，则，再由m，n均为正整数，可求出m，n的值，即可； （3）根据材料里提供的方法化简，，再计算，即可得解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上所述，a的值为28或12； （3）解：∵，，且， ∴，， ∴ ． 重难点11 二次根式的加减运算 41．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 42．（25-26八年级下·安徽·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质和二次根式加法运算，逐一验证选项即可得到结果. 【详解】解：选项A：，故A错误. 选项B：与不是同类二次根式，不能直接合并，结果不等于，故B错误. 选项C：，故C错误. 选项D：，负数的绝对值等于它的相反数，则，故D正确. 43．（25-26八年级下·安徽六安·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项，，计算正确，符合题意； B选项，，计算错误，不符合题意； C选项，，计算错误，不符合题意； D选项，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意． 44．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）计算：． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质进行化简，计算绝对值，再计算乘法，最后进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 重难点12 二次根式的加减乘除混合运算 45．（25-26八年级下·安徽池州·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 46．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）计算：_______． 【答案】 / 【详解】解：． 47．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）计算：． 【答案】15 【分析】根据二次根式的乘法，平方差公式，加减混合运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 48．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的乘除法法则，乘方进行计算，再加减即可； （2）根据平方差和完全平方公式计算，再根据二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 重难点13 已知字母的值，化简求值 49．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值、因式分解的应用．由题意可得，，，将所求式子因式分解得出，代入式子计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴ ． 50．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若，，求的值． 【答案】15 【分析】先利用完全平方公式将所求代数式变形，再计算得到和的值，再代入变形后式子计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， ， 则 ． 51．（25-26九年级上·安徽安庆·开学考试）已知，，求的值． 【答案】11 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，将变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 52．（25-26八年级上·安徽六安·月考）求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)33 (2) 【分析】（1）先求得，，将原式变形为，再整体代入计算即可求解； （2）先判断，求得，，将原式变形为，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当，时，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 重难点14 已知条件式，化简求值 53．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 54．（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键．先化简，再分、同正或同负两种情况作答． 【详解】解：， 、同号， 原式， 当时，原式； 当时，原式； 故原式． 55．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 56．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， ． 57．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C．28 D．32 【答案】A 【分析】 先根据三边长求出的值，再代入海伦—秦九韶公式计算三角形面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴的面积. 58．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，． (1)求长方形广场的周长； (2)除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)长方形广场的周长为 (2)购买地砖需要花费元 【分析】（1）根据长方形周长公式求出广场周长； （2）用广场面积减去绿地面积得到铺地砖区域的面积，然后乘以地砖单价算出总花费． 【详解】（1）解：根据题意，得． 故长方形广场的周长为． （2）解：根据题意，铺地砖区域的面积为， 故购买地砖的花费为（元）． 59．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定公式分别表示出和，再计算的比值即可得到结果． 【详解】解：由题意得 ，， ． 60．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图是学校的一块正方形绿地，其边长为，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为，宽为，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：，结果精确到元） 【答案】需要元 【分析】先用正方形面积减去个矩形的面积，计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为的地砖”即可求出购买地砖需要的花费． 【详解】解：通道面积为：， 所以费用为：， 答：需要元. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 二次根式 一、二次根式的概念与基本性质 （一）二次根式的定义 定义：一般地，形如______________的式子叫做二次根式，其中“”叫做___________，叫做____________。 核心特征： 1.含有二次根号 “”； 2.被开方数a必须是______________，即被开方数可以是正数、0，也可以是代数式（只要其值非负）； 3.形式上是 “根号下非负数” 的结构。 （二）二次根式的基本性质 性质1：双重非负性 ≥0（当≥0时），且被开方数≥0。即：二次根式本身的值是__________，____________也必须是非负数。 性质 2：平方运算 ()2=________(≥0) 文字表述：一个非负数的算术平方根的平方，等于__________。 性质 3：开方与绝对值 =_________ 文字表述：一个数的平方的算术平方根，等于______________。 二、二次根式的乘除运算 （一）二次根式的乘法法则 法则：⋅=_________（≥0, b≥0） 文字表述：两个二次根式相乘，把______________，根指数________。 逆用（积的算术平方根）：=___________(≥0, b≥0) 作用：用于二次根式的化简，将被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来。 （二）二次根式的除法法则 法则：=________（≥0, b>0）文字表述：两个二次根式相除，把______________，根指数_________。 逆用（商的算术平方根）：=________(≥0, b>0)作用：用于二次根式的化简，将分母中的根号化去（分母有理化）。 （三）最简二次根式 定义：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1.被开方数____________（即分母中____________）； 2.被开方数中不含__________________________。 三、二次根式的加减运算 （一）同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果______________，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 核心特征： 1.先化为______________； 2.被开方数____________。 （二）二次根式的加减法则 法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成______________，再合并______________。合并同类二次根式与合并同类项类似，只把______________，被开方数和根指数__________。 步骤： 1.化简：将每个二次根式化为最简二次根式； 2.找同类：找出被开方数相同的最简二次根式； 3.合并：将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变。 四、二次根式的混合运算 运算顺序：与实数的运算顺序一致，先________，再________，最后________；有括号______________。 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，分配律在二次根式运算中____________。 分母有理化：运算结果若分母含根号，需通过分子分母同乘分母的______________，将分母化为有理数或整式。 序号 错误 易错题型 注意 1 忽略二次根式有意义的条件，未考虑被开方数非负 1-4 二次根式中，被开方数a≥0；若分母含二次根式，还需保证分母不为0 2 混淆与 ()2的运算，认为两者结果相同 5-7 ()2=a（要求 a≥0）；=∣a∣，需注意符号 3 二次根式化简不彻底，或未化为最简二次根式 7-9 最简二次根式要求：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 4 二次根式加减运算时，错误合并不是同类二次根式的项 10-12 只有被开方数相同的二次根式（同类二次根式）才能合并，合并时只合并系数，被开方数不变 5 二次根式乘除运算时，忽略运算条件，或结果未化简 13-15 乘法：⋅=（a≥0,b≥0）；除法：=（a≥0,b>0），结果必须化为最简二次根式 6 分母有理化时，漏乘分子，或符号处理错误 16-17 分母有理化时，分子分母需同乘分母的有理化因式；注意负号的位置，避免符号错误 7 二次根式的混合运算中，运算顺序错误，或误用运算律 18-20 运算顺序与有理数一致：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，乘法分配律等运算律同样适用 8 二次根式求值时，忽略隐含条件（如字母的取值范围） 21-22 化简或求值前，先根据题目条件判断字母的正负，尤其是开平方时，要利用绝对值化简 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）式子有意义的的取值范围是______． 2．（2026·安徽·二模）代数式有意义，的取值范围是__________． 3．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）已知，则______． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）使有意义的的取值范围是____________． 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）化简：（    ） A． B．5 C． D．10 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）__________． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期末）计算：． 9．（25-26八年级下·安徽池州·期中）下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）计算：． 14．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）在中，，若的面积为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）计算： (1) (2) 16．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 17．（25-26八年级上·安徽六安·月考）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 19．（25-26八年级下·安徽·期中）计算： (1) (2) 20．（25-26八年级下·安徽六安·期中）计算： 21．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）已知，，求的值． 22．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，则______． 重难点01 二次根式的定义判断 1．（25-26八年级下·安徽六安·期中）下列式子中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列选项中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 重难点02 利用二次根式的性质化简 5．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D．1 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如果非零实数a，b满足，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）如图，在数轴上的位置如图所示，化简：． 9．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 重难点03 二次根式有意义的条件 11．（2026·安徽马鞍山·一模）要使根式有意义，则应满足的条件是___________． 12．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）若有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）要使式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）若，则的取值范围是（    ） A．为全体实数 B． C． D． 重难点04 分母有理化 15．（25-26七年级下·上海·期中）化简： _____． 16．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 17．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)化为最简二次根式为______，将分母有理化得______． (2)比较与的大小． 18．（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 重难点05 最简二次根式的判断 19．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·安徽六安·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 重难点06 化为最简二次根式 23．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）将化简为最简二次根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 重难点07 同类二次根式求参数 27．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____． 28．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则________． 29．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 30．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 重难点08 二次根式的乘除混合运算 31．（25-26八年级下·四川自贡·月考）计算：的值为______． 32．（25-26八年级下·广东汕头·月考）计算： 33．（25-26八年级下·福建福州·期中）计算：． 34．（25-26八年级下·广东汕头·月考）计算：． 重难点09 二次根式的大小比较 35．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）比较大小：________（填“”“”或“”） 37．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______． 38．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）比较大小：______（填，或）． 重难点10 复合二次根式的化简 39．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 40．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）形如的化简，只要我们找到两个数a，b（），使，，则，，那么就会有． 例如的化简就可以将5看作是m，6看作n． ，， ． 根据上述解决问题的方法，解答下列各题． (1)化简． (2)若，且a，m，n均为正整数，求a的值． (3)计算：． 重难点11 二次根式的加减运算 41．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 42．（25-26八年级下·安徽·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26八年级下·安徽六安·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 44．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）计算：． 重难点12 二次根式的加减乘除混合运算 45．（25-26八年级下·安徽池州·期中）计算：． 46．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）计算：_______． 47．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）计算：． 48．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）计算： (1)． (2) 重难点13 已知字母的值，化简求值 49．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，，求的值． 50．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若，，求的值． 51．（25-26九年级上·安徽安庆·开学考试）已知，，求的值． 52．（25-26八年级上·安徽六安·月考）求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 重难点14 已知条件式，化简求值 53．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 54．（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求的值． 55．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则_________． 56．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_________． 57．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C．28 D．32 58．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，． (1)求长方形广场的周长； (2)除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？ 59．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 60．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图是学校的一块正方形绿地，其边长为，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为，宽为，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：，结果精确到元） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $