17.1 一元二次方程&17.2.1 配方法-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

第17章 一元二次方程及其应用 17.1一元二次方程 要固梳理 1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程 2.一元二次方程的一般形式：ax2十b.x十c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中a.x2叫作二次项，a是二次项系 数；bx叫作一次项，b是一次项系数；C叫作常数项 已课内基础闯关 巴课外拓展提高 知识点① 一元二次方程的定义及一般形式 5.若关于x的方程(m-1)xm1+1-3x十4=0 1.下列方程中，是一元二次方程的是 ( 是一元二次方程，则m的值是 () A.2(x-1)=x B.x2-xy=2 A.-1 B.1 C.x2-2.x+1=0 D.x2+x=2 C.1或-1 D.2 6.若关于x的一元二次方程a.x2十bx十2=0(a 2.(教材变式)将方程x(x十4)=0化成一元二 ≠0)有一根为x=2024,则一元二次方程 次方程的一般形式，其二次项系数、一次项 a(x-2)2+bx-2b=-2必有一根为() 系数和常数项分别是 A.x=2024 B.x=2025 知识点②一元二次方程的根 C.x=2026 D.x=2027 3.(2025青海)若x=1是一元二次方程x2一 7.设a,3是方程x2一2025x一3=0的两个根，则 4x+c=0的一个根，则c的值为 (a2-2025a-1)(32-20253+2)= 变式题利用方程的根求未知字母的值→ 8.(2025六安霍邱月考)已知实数a是一元二 利用方程的根求多项式的值 次方程x2-2025x+1=0的一个根，求代数 (2025毫州期末)若x=a为方程2x2十x a2+1 -4=0的一个解，则6a2+3a一9的值为 式a2-2024a 2025的值. A.2 B.3 C.-4 D.-9 知识点③根据实际问题列一元二次方程 4.(2025合肥包河区期中) 如图，在一块长12m、宽 8m的长方形空地上修建 12m 第4题图 同样宽的两条道路，剩余 部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2 设道路的宽为xm,根据题意，可列方程： 16 八年级数学HK版 17.2一元二次方程的解法 17.2.1配方法 便点梳理 1.用直接开平方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫作直接 开平方法 2.用配方法解一元二次方程： (1)化系数：方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1. (2)移项：把常数项移到方程的右边，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项。 (3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程的左边能化成完全平方式. (4)求解：如果方程的右边是非负数，就用直接开平方法求解；如果方程的右边是负数，那么说明原方程 无实数根 已课内基础闯关 5.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方 法解一元二次方程，每人负责完成一个步 知识点①用直接开平方法解一元二次方程 骤，如图.老师看后，发现有一名同学所负责 1.一元二次方程(x十2)2=4的解是 的步骤是错误的，则这名同学是 A.x=0 B.x=-2 原方程 乙 C.x=-4 D.x1=0,x2=-4 x2-2x-8=0→x2-2.x=8→x2-2.x+1=8+1→ 2.(2025界首月考)已知关于x的一元二次方 程ax2=b(b≠0)的两个实数根分别是m-7 (x-1)2=9→x=4 第5题图 和m十1，则的值等于 6.运算能力用配方法解下列方程： 3.用直接开平方法解下列方程： (1)4x2+8.x+3=0. (1)(3x-1)2=(x+1)2. (2)6(x-1)2-54=0. (2)(2x+3)(x-6)=16. 知识点②用配方法解一元二次方程 4.(2025六安期末)用配方法解方程x2-4x 1=0时，配方结果正确的是 ( A.(x-2)2=3 B.(x-2)2=5 C.(x-2)2=8 D.(x-4)2=5 下册第17章 7△ 已课外拓展提高 (3)已知(x+2024)2+(x+2026)2=100, 7.已知a,b,c为实数，且b十c=5-4a+3a2,c 求x+2025. 一b=1一2a十a2,则a,b,c之间的大小关系 是 ( A.a<b≤c B.b<a≤c C.b≤c<a D.c<a≤b 8.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为 a*b=a2一b2.根据这个规则，方程(x十1) *3=0的根为 巴综合能力提升 -------------------------0 9.一题多解法用配方法解一元二次方程aαx2十 12.运算能力阅读材料： bx-c=0(a≠0，c>0)时，得到(x-c)2=4c2. 把一个多项式进行配方可以解决求代数式 若方程的一个根为1，则a一3b= 的最大（小）值问题.例如：x2十2x十3=(x2 x+1<3x-3, 10.当x满足条件 时，求 +2x+1)+2=(x+1)2+2..(x+1)2≥ 3(x-4)<2(x-4) 0,.(x+1)2+2≥2，.代数式x2+2x+3 出方程x2一2x一4=0的根. 有最小值，最小值是2. 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式x2-4x十5的最小值. (2)图①是一组邻边长分别为7,2a+5的 长方形，面积为S1:图②是边长为a+6的 正方形，面积为S2,且a>0.请比较S1与 S2的大小，并说明理由 2a+5 d+o S 图① 图② 11.在数学学习中，运用整体思想能将运算变 得简单.例如，在计算(x一y一3)(x一y十 3)时就可以将x一y看成一个整体，式子转 化为(x-y)2-32=x2-2xy十y2-9.请 借助整体思想解决下列问题： (1)(x+y-3)(x-y+3)= (2)若(x2+y2+2)(x2+y2一2)=77，则 x2十y2= Λ18 八年级数学HK版Q_5052 1=√R=√2X2=2(A). 15.(1)6十4√296√2(2)6【解析】(1)：x= (2+2)2=2+4V2+4=6+42,y=6-4V2,∴.x -y2=(x+y)(x-y)=12×82=96√2.(2)，x +n.xy+y2=160,xy=(6+4√2)(6-4√2)=36 32=4,∴.x2+nxy+y2=(x+y)2+(n-2)xy=144 +4(n-2)=160,∴.n-2=4,∴.n=6. 16.解：(1)原式=5-2√5+1+√5+2=8-√5. (2)原式=√4+(3-2)-2÷1=2+1-2=1. 7解：当=1时(451)-x5=1: 当=2时[(5)-(5] 6 ×1X5=1. 故斐波那契数列中的第1个数为1，第2个数为1. ，得 18.解：1)把g=10m/s,h=20m代人1=√g 2×20 W10 =2(s), .该物品落地的时间为2s (2)不正确.理由如下： ,小华家所在楼层的高度是小杰家的2倍， .h本华家=2X20=40(m). 2x40=22(s): 将h小华案代入公式得t水华案=√10 .2√2÷2=√2 故从他家抛出的物品落地所需要的时间是从小杰家 抛出的物品落地所需时间的√2倍，因此小华的说法 不正确 72 19.解：(1)√13 5 W√7X13 13 2n2 (2)第n个等式：√20十1-(n-1) =√m+1)(2n+1) 2n+1 2n2 证明√2n+1一（m-1) 2n (n-1)(2n+1) V2n+1 2n+1 /2n2-2n2-n+2n+1 2n十1 n+1 =√2n+1 6 八年级数学HK版 =V(n+1)(2n+1) 2n+1 20.C21.B22.B 23.B【解析】，1<x<2, ∴.√(x-1)+|x-21=x-1+2-x=1. 24.-23 25.x>3且x≠2025 26.解：(1)原式=6-√/16+4 =6-4+4 =6. (2)原式=√9+√25-1 =3+5-1 =7. 第17章一元二次方程及其应用 17.1一元二次方程 1.C2.1,4,0 3.3 变式题B【解析】把x=a代入方程，得2a2十a一4= 0,则2a2+a=4,则6a2+3a-9=3(2a2十a)-9=12 -9=3. 4.(12-x)(8-x)=77 5.A【解析】方程(m-1)xm1+1-3x十4=0是关于x 的一元二次方程， ∴.|m|+1=2且m-1≠0，解得m=-1. 6.C【解析】一元二次方程a(x-2)2+bx-2b=-2可 化为a(x-2)2十b(x-2)十2=0.：一元二次方程 a.x2十bx十2=0(a≠0)有一根为x=2024,.x一2= 2024,.x=2026,即一元二次方程a(x-2)2+bx- 2b=一2必有一根为x=2026. 7.10【解析】由题意可知，a2-2025a=3,3-20253 =3, ∴.(a2-2025a-1)(32-20253+2)=(3-1)×(3+ 2)=2×5=10. 8.解：把x=a代入方程x2-2025x+1=0,得 a2-2025a十1=0，则a2+1=2025a, .a2-2024a=a-1, e-202a-80 512,22=a—14 -1. 17.2一元二次方程的解法 17.2.1配方法 1.D 2.16【解析】由题意可知，该方程的两个实数根互为相 反数，则m一7十m十1=0，解得m=3,∴.该方程的两 个根为1=一4，x,=4x2=么=(-4)2=16. 3.解：(1)(3x-1)=(x十1)2， .3x-1=士(x+1), .2x=2或4x=0, 解得x1=1,x2=0. (2)6(x-1)2-54=0, .6(x-1)2=54, .(x-1)2=9, x-1=士3， 解得x1=4,x2=一2. 4.B5.丁 6.解：(1)移项，得4x2十8.x=-3, 二次项系数化为1，得x+2x= 4 配方，得(+1P= 开平方：得中1=士， 解得=一=一 (2)原方程化为一般形式，得2x2一9x一34=0， 移项，得2x2-9.x=34, 三次项系数化为1，得-号=17。 配方(-）广- 开平方，得一号-士丽， 9 4 解得x1=9+V33 4 -9-3 4 7.A【解析】，b+c=5-4a+3a2,①c-b=1-2a+ a2,②∴.①+②，得2c=4a2-6a+6,即c=2a2-3a+ 3,①-②，得2b=2a2-2a+4,即b=a2-a+2. b-a=a2-a+2-a=(a-1)2+1>0,.b>a.又 c-b=a2-2a+1=(a-1)2≥0，c≥b,.a<b ≤c. 8.x1=2,x2=一4【解析】由题意知，(x十1)*3=0可 以写成(x十1)2一32=0，即(x+1)2=9,.x十1=士3， .x1=2,x2=-4. 9.3【解析】由(x一c)2=4c2可得x-c=士2c,解得x1 =一C,x2=3c :方程的一个根为1，且c>0, ∴3=1，即c=行原方程为(x-吉)°=专， 整理，得号0 a=1,b=-3: 2 a-36=1-3×(-号）=3. ◆一题多解法《 将(x-c)2=4c2整理成一般式为x2-2cx-3c2 =0. ,方程的一个根为1， 六1-2c1-32=0,解得c1=3c=-1(不 符合题意，舍去)， 原方程为(x-)=4×()-善 1 2 1 x-3=±3，即x=1x=3 将=一号代人方程ar+6a 3=0, 11, 1 得ga-3b-3=0,整理，得a36-3=0, ∴.a-3b=3. 10.解：解不等式x+1<3x-3,得x>2, 解不等式3(x-4)<2(x-4),得x<4, 则不等式组的解集为2<x<4. x2-2x-4=0, .x2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5, 解得x1=1十√5，x2=1-√5. 又2<x<4, .x=1+5 11.解：(1)x2-y2+6y-9 (2)9 (3)设x+2025=a,则原方程变形为(a一1)2+(a+ 1)2=100, ..a2-2a+1+a2+2a+1=100, 整理，得2a2+2=100, 即a2=49,解得a=±7， ∴.x+2025=士7. 【解析】(1)原式=x2-(y-3)2=x2-(y2-6y+9) =x2-y2+6y-9. (2)根据平方差公式，得(x2+y2)2-4=77,即(x2+ y2)2=81.,x2十y2是非负数，.x2十y2=9. 12.解：(1)x2-4.x十5=(x-2)2+1. (x-2)2≥0，.(x-2)2+1≥1， ∴.代数式x2-4x十5的最小值为1. (2)S2≥S1.理由如下： 由题意，得S1=7(2a+5)=14a+35,S2=(a+6)2= a2+12a+36, ∴.S2-S1=a2+12a+36-(14a+35)=a2-2a+1 =(a-1)2≥0， .S2≥S1. 17.2.2公式法 1.C2.2 3.解：(1)a=1,b=1,c=-1, ∴.b2-4ac=1+4=5>0, 下册参考答案 7