第8章 整式的乘法与因式分解（含16种题型）（知识清单）数学新教材沪科版七年级下册

第8章 整式的乘法与因式分解 一、幂的运算（整式乘法的基础） （一）同底数幂的乘法 定义：一般地，am⋅an=am+n（m,n 都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 核心特征： 1.底数必须相同； 2.运算时仅指数相加，底数保持不变； 3.可推广到多个同底数幂相乘：am⋅an⋅ap=am+n+p（m,n,p 都是正整数）. （二）幂的乘方 定义：一般地，(am)n=amn（m,n 都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 核心特征： 1.底数保持不变； 2.指数进行乘法运算，而非加法； 3.可与同底数幂乘法灵活结合使用. （三）积的乘方 定义：一般地，(ab)n=anbn（n 是正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 核心特征： 1.适用于两个及以上因式的积； 2.每个因式都要进行乘方运算； 3.可推广到多个因式：(abc)n=anbncn（n是正整数）. 二、整式的乘法运算 （一）单项式乘单项式 定义：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 核心特征： 1.系数相乘作为积的系数； 2.同底数幂相乘，遵循幂的运算法则； 3.单独存在的字母及指数直接写入结果. （二）单项式乘多项式 定义：m(a+b+c)=ma+mb+mc（m,a,b,c 都是单项式），即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 核心特征： 1.本质是乘法分配律的应用； 2.运算时要注意符号，同号得正、异号得负； 3.结果为多项式，项数与原多项式相同. （三）多项式乘多项式 定义：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 核心特征： 1.遵循 “逐项相乘，再相加” 的规则； 2.运算时要注意避免漏乘、错乘； 3.结果需合并同类项化为最简形式. 三、乘法公式 （一）平方差公式 定义：(a+b)(a−b)=a2−b2，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 核心特征： 1.左边是两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数； 2.右边是相同项的平方减去相反项的平方； 3.可用于快速简化符合结构的多项式乘法. （二）完全平方公式 定义： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2 即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 核心特征： 1.左边是二项式的完全平方； 2.右边是三项式，首末两项为平方项，中间项为乘积的2倍； 3.符号与左边二项式的符号保持一致. 四、因式分解 （一）因式分解的定义 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 核心特征： 1.因式分解与整式乘法是互逆变形； 2.分解后的每个因式都必须是整式； 3.结果要分解到不能再分解为止（在指定数域内）. （二）因式分解的基本方法 1. 提公因式法 定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，即 ma+mb+mc=m(a+b+c). 核心特征： 1.公因式是各项系数的最大公约数与各项相同字母的最低次幂的积； 2.提取公因式后，剩余因式的项数与原多项式相同； 3.若首项为负，通常先提取负号. 2. 公式法 定义：逆用乘法公式，将符合结构的多项式分解因式。 1.平方差公式逆用：a2−b2=(a+b)(a−b) 2.完全平方公式逆用：a2±2ab+b2=(a±b)2 核心特征： 1.需先判断多项式是否符合公式结构； 2.完全平方公式需满足 “首平方、尾平方，积的2倍在中央” 的结构； 3.可与提公因式法结合使用. 3. 十字相乘法（拓展） 定义：对于二次三项式x2+px+q，若能找到a,b 使得 a+b=p且ab=q，则可分解为(x+a)(x+b). 核心特征： 适用于二次项系数为1的二次三项式； 关键是找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项. 五、因式分解与整式乘法的联系 核心关系：因式分解是整式乘法的逆变形. 序号 错误 易错题型 注意 1 同底数幂的运算混淆 1-3 同底数幂相乘：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：等于各因式乘方的积 2 单项式乘多项式时，漏乘多项式中的项，或符号处理错误 4-6 单项式要与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；注意多项式中各项的符号，避免漏乘负号 3 多项式乘多项式时，漏项或重复计算，尤其是含负号的项 7-8 按顺序相乘，避免漏乘；注意各项符号，“负负得正，正负得负” 4 完全平方公式应用错误，如 (a±b)2=a2±b2，漏掉中间项 9-10 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，中间项是两数积的2倍，符号与括号内一致 5 平方差公式应用错误，无法识别 “相同项” 和 “相反项”，或符号出错 11-12 平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2，结果是 “相同项的平方减去相反项的平方”，注意符号顺序 6 因式分解时，未先提取公因式，或提取不彻底 13-15 因式分解的第一步是先看有没有公因式，提取公因式后，再考虑用公式法分解，分解要彻底 7 因式分解不彻底，分解后仍能继续分解 16-17 分解因式要分解到每个多项式因式都不能再分解为止，尤其是平方差形式的因式，如 x4−1=(x2+1)(x2−1) 还要继续分解为 (x2+1)(x+1)(x−1) 8 混淆因式分解与整式乘法，分解后又乘回去 17-19 因式分解的结果是几个整式的积的形式，不能再展开，要注意分解的最终形式 1．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故A项错误； 选项B：先化简乘方，再计算除法，，故B项错误； 选项C：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故C项错误； 选项D：根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式分别乘方，再将结果相乘，，故D项正确， 故选：D． 2．（2026·安徽合肥·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘除、合并同类项、积的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、与次数不同，不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）下列计算结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算法则，依次计算各选项即可判断正误． 【详解】解：对于选项A：，不正确； 对于选项B：，正确； 对于选项C：，不正确； 对于选项D：，不正确． 4．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将单项式分别乘以多项式的每一项，结合同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： 5．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式法则展开，再去括号合并同类项，然后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 7．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）化简： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先进行乘法和乘方运算，再进行加法运算即可； （）先进行乘法运算，再进行加减运算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（25-26七年级下·安徽六安·期中）已知，，均为非常数，且的计算结果是一个三次二项式．有如下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先展开原式，再合并同类项，根据三次二项式定义，结合为非零常数的条件，得到二次项和一次项系数均为，再逐一验证结论即可． 【详解】解：∵ ∵计算结果是三次二项式，且均为非常数， ∴常数项，则二次项和一次项系数必须都为， 即， 故结论①，②都正确； 由得，代入得， 即， ∴， 故结论③正确； 综上三个结论都正确，正确结论的个数是． 9．（2026·安徽亳州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用积的乘方、同底数幂除法、完全平方公式、合并同类项的运算法则逐一判断选项． 【详解】解：选项A，根据积的乘方运算法则，，故A运算正确； 选项B，根据同底数幂除法运算法则，，故B运算错误； 选项C，根据完全平方公式，，故C运算错误； 选项D，根据合并同类项法则， ，故D运算错误． 10．（2026·安徽芜湖·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的混合运算、合并同类项及完全平方公式对各选项逐一计算判断即可． 【详解】解：对选项A，，所以选项A错误； 对选项B，与x不是同类项，不能合并，所以选项B错误； 对选项C，，所以选项C正确； 对选项D，，所以选项D错误． 11．（25-26七年级下·安徽池州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号合并同类项化简，然后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 12．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（2026·安徽合肥·一模）因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：． 14．（2026·安徽六安·一模）因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：． 15．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 16．（2026·安徽芜湖·一模）把分解因式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进一步分解． 【详解】解：∵ ， ∴结果为． 17．（2026·上海徐汇·二模）因式分解：___________． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 18．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式的积的形式即可． 【详解】解：根据因式分解的定义， 选项A为整式乘法，不属于因式分解， 选项B的运算结果为整式的和的形式，不属于因式分解， 选项C为整式乘法，不属于因式分解， 选项D将多项式化为整式的积的形式，属于因式分解， 故选：D． 19．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：A、，右边是与的积，符合定义； B、，是乘法运算，不符合定义； C、，是乘法运算，不符合定义； D、，右边是和的形式，不是积，不符合定义； 故选：A． 重难点01 幂的运算 1．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的运算，熟练掌握同类项的合并、同底数幂的乘除、幂的乘方运算法则是解题的关键．根据同类项的定义判断能否合并，再依据同底数幂的乘法法则、除法法则以及幂的乘方法则逐一分析选项，进而选出计算正确的选项． 【详解】解：对于选项，与不是同类项，不能合并，计算错误， 对于选项，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，计算错误， 对于选项，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，计算正确， 对于选项，根据幂的乘方法则，可得，计算错误． 故选：． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）下列各式，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意． 3．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）运算结果为的式子（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方的法则计算即可． 【详解】解： A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，结果不为，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意； 故选：D． 重难点02 幂的运算的逆应用 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）计算： (1)若，，求； (2)已知，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方与同底数幂的除法进行计算即可求解； （2）根据已知可得，进而逆用幂的乘方与同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ 5．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）思考并解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂的除法公式逆用以及幂乘方公式逆用求解即可． （2）根据幂的乘方公式得出，然后列出关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：∵ ∴ 则 ∴ ∴ 6．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）_____． 【答案】1 【详解】解：． 7．（25-26七年级下·安徽池州·期中）若，，则_______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知 (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用同底数幂的乘法和除法的逆运算，进行求解； （2）利用幂的乘方和同底数幂的除法的逆运算进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】重点掌握幂的运算法则． 重难点03 零指数幂、负整指数幂 9．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）计算：__________． 【答案】/ 【详解】解：原式． 10．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式． 11．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 12．（25-26七年级下·安徽六安·期中）计算：． 【答案】 【分析】先分别计算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂和绝对值，再由有理数减法运算计算即可． 【详解】解： ． 重难点04 幂的混合运算 13．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（25-26七年级下·四川成都·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算零指数幂，负指数幂，乘方及化简绝对值，再计算有理数的加法即可； （2）先进行幂的混合运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先化简零次幂、乘方、负整数指数幂，再加减即可求解； （2）先运算同底数幂的乘法和除法、积的乘方，再加减即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 重难点05 用科学计数法表示绝对值小于1的数 17．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 18．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）北斗卫星导航系统服务性能优异，免费向全球用户提供定位导航授时服务，授时精度优于秒．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 19．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应时间在秒左右．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 20．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度、高可靠的定位、导航、授时服务，其授时精度不超过秒，将数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 重难点06 整式的乘法 21．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了单项式的乘法．先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解： 22．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 23．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知（a是常数），则的值为____． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴. 24．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案； （2）用单项式乘多项式的每一项即可； （3）运用多项式乘多项式和去括号的法则先计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 重难点07 利用整式的乘法求参数的值 25．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 26．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开多项式，找到项的系数并令其为零，解出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含有项， ∴， ∴． 故选：B． 27．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 重难点08 化简求值 28．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式法则将原式展开，合并后得到最简结果，再代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 29．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）化简并求值：已知，，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查多项式乘以多项式化简求值，利用多项式乘以多项式运算法则将原式化简为，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 30．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】根据多项式的乘法法则化简原式后代入的值． 【详解】解：原式 当时，原式． 重难点09 多项式乘法中规律问题 31．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： (1)______； (2)______； (3)______；… (4)由此我们可以得到______； 请你利用上面的结论，完成下面的计算： (5)； (6)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）（2）（3）根据多项式乘多项式直接计算即可； （4）根据计算规律可直接得出结果； （5）将原式变形，然后利用（4）中规律求解即可； （6）利用（3）可得，即，再根据指数幂的运算求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由此我们可以得到； （5）解：； （6）解：， ， 解得， ∴． 32．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ； ； ； 根据这一规律完成下面各题： (1)______； ______； ______； (2)计算：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据已知等式写出第4个等式即可；观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，即可得一般式； 令，，第二个多项式最高次为，代入一般式求解即可； （2）令，，，代入一般式求解即可． 【详解】（1）解：观察给出的等式可得规律， ， ， 令，，第二个多项式最高次为，代入一般式得： ； （2）解：令，，，代入上述一般式得， ， 两边同时除以得：． 33．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：____． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)直接写出下列式子的结果． ______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式，归纳总结得到第6个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可； （3）将每个括号内式子通分，利用规律改写每个分子后，约分即可． 【详解】（1）解：通过观察前面式子可得： ． （2）解：猜想第个等式为： ． 证明： ． （3）解： ． 重难点10 因式分解的判断 34．（25-26九年级下·安徽宿州·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对选项A：， ∴ A错误； 对选项B：， ∴ B错误； 对选项C：， ∴ C错误； 对选项D：，符合完全平方公式，因式分解正确， ∴ D正确． 35．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式． 根据定义判断各选项． 【详解】解：A、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、该变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C、原式是因式分解，符合题意； D、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 36．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是因式分解，则A选项不符合题意， B、，公因式未提尽，因式分解不彻底，则B选项不符合题意， C、符合因式分解的定义，则C选项符合题意， D、中等号右边不是积的形式，则D选项不符合题意， 故选：C． 重难点11 因式分解 37．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （2）直接利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 38．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先运用提公因式法，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 39．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）分解因式：________． 【答案】 【详解】解： 40．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 重难点12 利用因式分解简便运算 41．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）简便运算： (1) (2) 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 42．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）利用因式分解计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．通过提取公因式2027进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为 43．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) 1600 (2) 4000 【分析】本题考查用公式法因式分解简便运算，掌握公式法因式分解是解题关键． （1）用完全平方公式先分解因式再计算即可； （2）用平方差公式先分解因式再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 44．（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 重难点13 十字相乘法、分组分解法因式分解 45．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）下列因式分解最后结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的公式法，十字相乘法提公因式法是解决本题的关键．根据因式分解的定义及分解方法，逐个判断得结论． 【详解】解：A、，故选项A分解不正确； B、，故选项B分解正确； C、，故选项C分解不正确； D、，故选项D分解不彻底，不正确． 故选：B． 46．（2026·安徽合肥·一模）下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用十字相乘法、完全平方公式、平方差公式验证各选项，找出分解错误的选项即可． 【详解】解：A，对用十字相乘法分解，得，A分解正确； B，是完全平方式，得，B分解正确； C，利用平方差公式分解，得，C分解正确； D，整理得，根据平方差公式： D分解错误． 47．（2026·上海松江·二模）分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： ． 重难点14 因式分解的应用 48．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知互不相等的实数a、b、c满足，，，则以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两个已知等式相等，推导a与b的关系，再代入原式求出c的值，最后代入计算判别式，判断各选项的正误． 【详解】∵ ， ∴ 整理得 ， 因式分解得 ∵ 互不相等， ∴ ， ∴，故选项A正确，故本选项不符合题意； 由得 ，代入得： ，即 ，得 ， ∴ ，故选项B正确，故本选项不符合题意； 将，代入得： ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ，故选项C正确，故本选项不符合题意； ∵ 恒大于0，不可能等于0， ∴ 的结论不正确，故选项D错误，故本选项符合题意； 49．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， 由丙得知：． 50．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知：，，，求的值． 【答案】3 【分析】根据题意求出，把所求式子变形为，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ． 重难点15 完全平方公式的变形求值 51．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若图中、满足，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式得出，根据，求出的值即可； （2）设，，可得，，利用完全平方公式可求出，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 52．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为落实国家关于“中学劳动教育”的要求，学校计划开辟两块正方形的种植区域．大区域边长为米，小区域边长为米（且），按图①规划，未叠合部分（阴影）面积为；按图②规划，两个小种植区重叠的部分（阴影）面积为． 请根据上述情境解答以下问题： (1)用含，的代数式表示：____平方米，___平方米； (2)若米，平方米，求的值． (3)请直接写出下列问题答案： ，______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）用正方形的面积差和边长差分别表示阴影面积； （2）先利用完全平方公式变形求出，再将化简，然后整体代入计算； （3）令，，对完全平方公式进行变形，然后整体代入计算． 【详解】（1）解：根据题图可知， 图①中，， 图②中，重合区域为正方形，且边长为，故． （2）解：，， ， ． （3）解：令，， 则，， ， 故． 53．（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．2或 D．10 【答案】B 【分析】先根据已知条件得到的值，再计算，开方得到的所有可能值，最后代入目标式计算即可． 【详解】解：∵， 展开得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 重难点16 完全平方公式、平方差公式与几何图形 54．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）如图，已知大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】先将整式变形为，进而求出、的值，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 解得， 阴影部分的面积为． 55．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）从图到图的变化过程中可以发现的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，利用面积法验证公式是解题的关键．通过观察图到图的图形变化，分别计算出两个图形的面积，再根据图形剪拼前后面积不变的原理，即可推导出平方差公式． 【详解】解：图一的面积可表示为， 图二的面积可表示为， ， 故选：． 56．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式的乘法与因式分解 一、幂的运算（整式乘法的基础） （一）同底数幂的乘法 定义：一般地，am⋅an=__________（m,n 都是正整数），即同底数幂相乘，底数______，指数______. 核心特征： 1.底数必须_______； 2.运算时仅____________，底数保持_________； 3.可推广到多个同底数幂相乘：am⋅an⋅ap=__________（m,n,p 都是正整数）. （二）幂的乘方 定义：一般地，(am)n=________（m,n 都是正整数），即幂的乘方，底数________，指数________. 核心特征： 1.底数保持_________； 2.指数进行__________运算，而非加法； 3.可与同底数幂乘法灵活结合使用. （三）积的乘方 定义：一般地，(ab)n=________（n 是正整数），即积的乘方，等于把______________分别乘方，再把所得的幂_________。 核心特征： 1.适用于两个及以上因式的积； 2.每个因式都要进行____________； 3.可推广到多个因式：(abc)n=___________（n是正整数）. 二、整式的乘法运算 （一）单项式乘单项式 定义：单项式与单项式相乘，把它们的_________、____________分别相乘，对于______________里含有的字母，则______________作为积的一个因式. 核心特征： 1.系数相乘作为积的系数； 2.同底数幂相乘，遵循幂的运算法则； 3.单独存在的字母及指数直接写入结果. （二）单项式乘多项式 定义：m(a+b+c)=______________（m,a,b,c 都是单项式），即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘______________，再把所得的积_________. 核心特征： 1.本质是乘法分配律的应用； 2.运算时要注意符号，同号得_____、异号得_____； 3.结果为_________，项数与原多项式_______. （三）多项式乘多项式 定义：(a+b)(m+n)=______________，即多项式与多项式相乘，先用______________乘______________，再把所得的积_________. 核心特征： 1.遵循 “逐项相乘，再相加” 的规则； 2.运算时要注意避免漏乘、错乘； 3.结果需合并同类项化为最简形式. 三、乘法公式 （一）平方差公式 定义：(a+b)(a−b)=_________，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这______________. 核心特征： 1.左边是两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数； 2.右边是相同项的平方减去相反项的平方； 3.可用于快速简化符合结构的多项式乘法. （二）完全平方公式 定义： (a+b)2______________ (a−b)2=______________ 即两个数的和（或差）的平方，等于它们的_________，加上（或减去）______________. 核心特征： 1.左边是二项式的完全平方； 2.右边是三项式，首末两项为平方项，中间项为乘积的2倍； 3.符号与左边二项式的符号保持一致. 四、因式分解 （一）因式分解的定义 定义：把一个_________化成______________的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 核心特征： 1.因式分解与整式乘法是__________； 2.分解后的每个因式都必须是_________； 3.结果要分解到______________为止（在指定数域内）. （二）因式分解的基本方法 1. 提公因式法 定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成______________的形式，即 ma+mb+mc=______________. 核心特征： 1.公因式是各项系数的______________与各项相同字母的______________的积； 2.提取公因式后，剩余因式的项数与原多项式__________； 3.若首项为负，通常先提取负号. 2. 公式法 定义：逆用乘法公式，将符合结构的多项式分解因式。 1.平方差公式逆用：a2−b2=______________ 2.完全平方公式逆用：a2±2ab+b2=______________ 核心特征： 1.需先判断多项式是否符合公式结构； 2.完全平方公式需满足 “首平方、尾平方，积的2倍在中央” 的结构； 3.可与提公因式法结合使用. 3. 十字相乘法（拓展） 定义：对于二次三项式x2+px+q，若能找到a,b 使得___________且__________，则可分解为(x+a)(x+b). 核心特征： 适用于二次项系数为1的二次三项式； 关键是找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项. 五、因式分解与整式乘法的联系 核心关系：因式分解是整式乘法的逆变形. 序号 错误 易错题型 注意 1 同底数幂的运算混淆 1-3 同底数幂相乘：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：等于各因式乘方的积 2 单项式乘多项式时，漏乘多项式中的项，或符号处理错误 4-6 单项式要与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；注意多项式中各项的符号，避免漏乘负号 3 多项式乘多项式时，漏项或重复计算，尤其是含负号的项 7-8 按顺序相乘，避免漏乘；注意各项符号，“负负得正，正负得负” 4 完全平方公式应用错误，如 (a±b)2=a2±b2，漏掉中间项 9-10 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，中间项是两数积的2倍，符号与括号内一致 5 平方差公式应用错误，无法识别 “相同项” 和 “相反项”，或符号出错 11-12 平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2，结果是 “相同项的平方减去相反项的平方”，注意符号顺序 6 因式分解时，未先提取公因式，或提取不彻底 13-15 因式分解的第一步是先看有没有公因式，提取公因式后，再考虑用公式法分解，分解要彻底 7 因式分解不彻底，分解后仍能继续分解 16-17 分解因式要分解到每个多项式因式都不能再分解为止，尤其是平方差形式的因式，如 x4−1=(x2+1)(x2−1) 还要继续分解为 (x2+1)(x+1)(x−1) 8 混淆因式分解与整式乘法，分解后又乘回去 17-19 因式分解的结果是几个整式的积的形式，不能再展开，要注意分解的最终形式 1．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）下列计算结果正确的是（） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中，． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中，． 7．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）化简： (1) (2)． 8．（25-26七年级下·安徽六安·期中）已知，，均为非常数，且的计算结果是一个三次二项式．有如下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2026·安徽亳州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·安徽芜湖·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·安徽池州·期中）先化简，再求值：，其中，． 12．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）计算： (1)； (2). 13．（2026·安徽合肥·一模）因式分解：__________． 14．（2026·安徽六安·一模）因式分解：__________． 15．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）分解因式：． 16．（2026·安徽芜湖·一模）把分解因式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 17．（2026·上海徐汇·二模）因式分解：___________． 18．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 重难点01 幂的运算 1．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）下列各式，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）运算结果为的式子（   ） A． B． C． D． 重难点02 幂的运算的逆应用 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）计算： (1)若，，求； (2)已知，求值． 5．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）思考并解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 6．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）_____． 7．（25-26七年级下·安徽池州·期中）若，，则_______． 8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知 (1)求的值． (2)求的值． 重难点03 零指数幂、负整指数幂 9．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）计算：__________． 10．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）计算： 11．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）计算：． 12．（25-26七年级下·安徽六安·期中）计算：． 重难点04 幂的混合运算 13．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）计算： (1)； (2) 14．（25-26七年级下·四川成都·期中）计算： (1)； (2)． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)． 16．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)． (2)． 重难点05 用科学计数法表示绝对值小于1的数 17．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）北斗卫星导航系统服务性能优异，免费向全球用户提供定位导航授时服务，授时精度优于秒．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应时间在秒左右．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度、高可靠的定位、导航、授时服务，其授时精度不超过秒，将数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 重难点06 整式的乘法 21．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）计算：． 22．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算：________． 23．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知（a是常数），则的值为____． 24．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 重难点07 利用整式的乘法求参数的值 25．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 26．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 27．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 重难点08 化简求值 28．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中． 29．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）化简并求值：已知，，求代数式的值． 30．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中 重难点09 多项式乘法中规律问题 31．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： (1)______； (2)______； (3)______；… (4)由此我们可以得到______； 请你利用上面的结论，完成下面的计算： (5)； (6)若，求的值． 32．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ； ； ； 根据这一规律完成下面各题： (1)______； ______； ______； (2)计算：． 33．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：____． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)直接写出下列式子的结果． ______． 重难点10 因式分解的判断 34．（25-26九年级下·安徽宿州·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A． B． C． D． 重难点11 因式分解 37．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）因式分解 (1)； (2)． 38．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 39．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）分解因式：________． 40．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）分解因式：． 重难点12 利用因式分解简便运算 41．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）简便运算： (1) (2) 42．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）利用因式分解计算：________． 43．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）利用因式分解计算： (1) (2) 44．（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 重难点13 十字相乘法、分组分解法因式分解 45．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）下列因式分解最后结果正确的是（   ） A． B． C． D． 46．（2026·安徽合肥·一模）下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 47．（2026·上海松江·二模）分解因式：___________． 重难点14 因式分解的应用 48．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知互不相等的实数a、b、c满足，，，则以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 50．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知：，，，求的值． 重难点15 完全平方公式的变形求值 51．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若图中、满足，，求的值； (2)若，求的值． 52．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为落实国家关于“中学劳动教育”的要求，学校计划开辟两块正方形的种植区域．大区域边长为米，小区域边长为米（且），按图①规划，未叠合部分（阴影）面积为；按图②规划，两个小种植区重叠的部分（阴影）面积为． 请根据上述情境解答以下问题： (1)用含，的代数式表示：____平方米，___平方米； (2)若米，平方米，求的值． (3)请直接写出下列问题答案： ，______． 53．（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．2或 D．10 重难点16 完全平方公式、平方差公式与几何图形 54．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）如图，已知大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，则阴影部分的面积为______． 55．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）从图到图的变化过程中可以发现的结论是（   ） A． B． C． D． 56．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $