第10章 相交线、平行线与平移（含11种题型）（知识清单）数学新教材沪科版七年级下册

第10章 相交线、平行线与平移 一、相交线 1. 对顶角与邻补角 定义：两条直线相交形成的四个角中，____________________________的两个角叫做对顶角； 有____________且有______________，另一边______________的两个角叫做邻补角. 性质：对顶角___________；邻补角___________. 核心区别：(1)对顶角没有公共边，邻补角有一条公共边； (2)两条直线相交时，一个角的对顶角只有1个，邻补角有2个. 适用条件：两条直线相交，是相交线的基础角度关系. 2. 垂线 定义：当两条直线相交所成的四个角中，______________________时，就说这两条直线____________，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做________，记作_________ 核心性质：(1)在______________，过一点____________一条直线与已知直线__________； (2) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称：垂线段最短）; (3) 相关概念：直线外一点到这条直线的______________，叫做点到直线的距离. 二、平行线 1. 同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 定义：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线的________，且在被截两直线的__________的角，叫做同位角；在截线的________，且在______________的角，叫做内错角；在截线的________，且在______________的角，叫做同旁内角. 识别要点： · 同位角：形状像“______”，位置相同； · 内错角：形状像“______”，位置交错； · 同旁内角：形状像“______”，在截线同侧、两线之间. 2. 平行线的判定与性质 定义：在同一平面内，______________叫做平行线，记作________. 平行线的判定（由角的关系推线的平行）： (1) 同位角_______，两直线平行； (2) 内错角________，两直线平行； (3) 同旁内角_______，两直线平行； (4) 平行于同一条直线的两条直线____________（平行公理的推论）； (5) 在______________，垂直于同一条直线的两条直线______________. 平行线的性质（由线的平行推角的关系）： (1) 两直线平行，同位角________； (2) 两直线平行，内错角________； (3) 两直线平行，同旁内角________. 核心区别： (1) 判定是“______________→__________”，是证明平行的依据； (2) 性质是“___________→______________”，是计算角度的依据； (3) 判定与性质的条件和结论互为逆命题. 三、平移 定义：在平面内，将一个图形______________移动______________，这样的图形运动叫做平移（平移不改变图形的_________和_________）. 核心性质： (1) 平移前后的两个图形________（形状、大小完全相同）； (2) 对应点所连的线段____________________________且________； (3) 对应线段____________________________且_______，对应角_______. 平移作图步骤： (1) 确定平移的________和________； (2) 找出图形的___________（顶点、端点等）； (3) 按平移方向和距离平移各个关键点； (4) _____________平移后的关键点，得到平移后的图形. 序号 错误 易错题型 注意 1 对邻补角、对顶角的概念理解不清，忽略邻补角互补、对顶角相等的前提条件 1-3 邻补角是相邻且互补的两个角，有一条公共边，另一边互为反向延长线；对顶角的两边互为反向延长线，且对顶角一定相等 2 过一点画已知直线的垂线时，忽略“点在直线上”和“点在直线外”两种情况，或垂线的定义混淆 4-5 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身 3 混淆“平行线的判定”和“平行线的性质”，搞不清条件和结论的逻辑关系 6-7 判定是“由角的关系推线平行”，性质是“由线平行推角的关系”，两者互为逆命题，不能混用 4 应用平行线的判定定理时，找错同位角、内错角、同旁内角 8-9 同位角呈“F”型，内错角呈“Z”型，同旁内角呈“U”型；判断时要先明确是哪两条直线被哪条截线所截 5 忽略平行线判定的前提条件 “在同一平面内”，认为不相交的两条直线就是平行线 10-11 平行线的定义前提是“在同一平面内”，空间中不相交的直线不一定平行 6 平移作图时，忽略平移的方向和距离，或对应点连线不平行且不相等 12-13 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等 7 利用平行线的性质求角度时，未正确使用辅助线，或忽略拐点处的角度关系 14-15 遇到“折线型”平行线问题，常过拐点作平行线，利用平行线的传递性和性质转化角度 1．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）下列选项中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 4．（25-26七年级下·重庆永川·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 5．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）下列语句：①过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；④平行于同一条直线的两直线平行．其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，下列推理不正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 7．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，直线、被直线所截分别交于点 H、G，，与它的同位角相等，平分，求的度数． 9．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，已知点E，F分别为，上的点，，，求证：． 10．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）下列说法中正确的有（   ）个． ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．2 B．3 C．4 D．5 11．（25-26七年级下·陕西西安·月考）下列说法正确的有（    ） ①不相交的两条直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，三角形在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，先将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形． (2)判断与的关系． 13．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，按下列要求画图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中画出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图2中画出三角形． 14．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 15．（13-14八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 重难点01 利用对顶角相等、邻补角互补和垂直的性质求解 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，与交于点，，垂足为．若，求的度数． 2．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线、相交于点O，平分，若，求的度数． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）若的邻补角等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则_______． 重难点02 画垂线 5．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·天津西青·期中）如图，过点P画出射线或线段的垂线，以下画图正确的是（    ） A．B．C．D． 重难点03 垂线段最短的应用 7．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 8．（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，点表示村庄，现要把河中的水引向村庄．若要使得开挖的水渠最短，则应沿线段（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，机器人正在水中的点处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是________． 重难点04 同位角、内错角、同旁内角的识别 10．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 11．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，是直线上一点，，是直线上方的两点，连接，，．图中与构成同旁内角的角共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 12．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）风筝是中国古代劳动人民于春秋时期发明的器物，其材质在不断优化之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”（如图1）．清朝诗人高鼎有诗云“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图2，这是某风筝纸的骨架示意图，在，，，中，与构成同位角的是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 重难点05 平行线的判定 14．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，由可得，其中依据的数学原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 15．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，，分别平分与，且．求证：．（请根据条件进行推理，完成证明，并在括号内填上依据） 证明：分别平分与（已知）， ①__________，②__________（③_______________） （已知）， ④__________（等量代换）． （已知）， ⑤__________⑥__________（⑦____________________）， （⑧______________________________）． 16．（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）完成下面的证明． 如图，．求证：． 证明：因为， 所以①________， 即②________． 又因为，且， 所以________（④________）． 所以（⑤________）． 17．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 重难点06 平行线的性质与判定求角度 18．（25-26八年级下·安徽宿州·开学考试）如图，四边形中，，点E在线段上，点F在的延长线上．若平分，，求的度数． 19．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）补全下题的解题过程： 如图，，，，求的度数． 解：（已知）， （____________）. （_______________）， （____________）， （_______________）， （___________）. （_____________）， （角度计算）， （等量代换）． 20．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（25-26七年级下·安徽宿州·月考）如图，在中，，，点，分别为边，上的点，且．求证：． 22．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，点D，F，H，E都在的边上，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 重难点07 平行线的性质与判定求证明 23．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 24．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在四边形中，，、分别平分、，且，求证：． 重难点08 图形的平移 25．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）2026央视春晚主标识以“骐骥驰骋”主题为核心，“四马齐驱”的设计藏满巧思．下列选项中可以通过平移这个图形得到的是（  ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·安徽淮南·期中）将图中的和平鸽进行平移后得到的图案是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）玉壶春瓶是中国瓷器中经典的器形之一，相传语出北宋大文学家苏轼“玉壶先春、冰心可鉴”之句．在安徽博物院藏品中就有一件无论器形、纹饰和釉色都近乎完美的明龙泉窑玉壶春瓶．下列“明龙泉窑玉壶春瓶”的图形中，可以由如图所示的图形只经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26七年级下·全国·课后作业）四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的文字是（    ） A． B． C． D． 重难点09 利用平移的性质求解 29．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 30．（2026·山西太原·模拟预测）如图，中，，将沿方向平移得到，其中点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 31．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形． (1)若，则的度数为_____； (2)若是的中点，，，，连接． 求三角形的面积； 已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 32．（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，若平移距离为3，求点A与点G的距离． 重难点010 利用平移的性质解决实际问题 33．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 34．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如图是五岛公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为_______ 米． 35．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图是一个零件的示意图，每一转角处都是直角，边长数据如图所示，则该零件的周长是______． 36．（25-26七年级下·山东临沂·期中）图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 重难点11 平移作图 37．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，三角形在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，先将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形． (2)判断与的关系． 38．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，按下列要求画图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中画出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图2中画出三角形． 39．（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）如图，在的方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作格点三角形（三角形的顶点都在正方形网格线的交点上）． (1)在图1中，将三角形先向右平移3格，再向上平移1格，得到三角形，请画出三角形； (2)在图2中，线段与相交于点O，且，请作一个，使得． 40．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 重难点12 平行线的综合问题1 41．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，，垂足为A，，有同学认为在这种情况下，与的和是个定值．下面是小林同学计算的度数的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图②，过点B作，因为（已知）， 所以_______（_______），所以_______（_______）， 因为（已知），所以（_______）， 因为，所以， 所以，所以_______． 即：与的和是个定值． 42．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）几何研究中，常通过等量代换、构造辅助线等方法，将研究对象转为已知的定理或基本图形，从而实现化繁为简、化未知为已知． 请解决以下问题： (1)请将推理过程补充完整： 如图1，已知，．证明：． 证明：∵，∴①______（两直线平行，内错角相等）． ∵，∴②__________（③___________）． ∴（④____________）． (2)借鉴模仿第（1）题，完成证明： 如图2，若，．证明：． 43．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 44．（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）如图，已知，点E在上，点H在上，点F在之间，连接． (1)如图1，若，求证． (2)如图2，平分，交于点G，且，求证． (3)如图3，平分，交的延长线于点M，且，求的度数．（不写过程，直接写出结果） 重难点13 平行线的综合问题2 45．（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 46．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，点，分别在，上． （1）如图1，若点与点重合，，则的度数为__________． （2）如图2，，点在上，若，则的度数为__________． 47．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）综合与实践 基本图形 如图1，在四边形中，延长至点，，． (1)①求证：． ②如图1，的三等分线与的三等分线交于点，且，，求的度数． 类比探究 (2)如图2，是射线上一点，连接，交于点，．若的三等分线与的三等分线交于点，请直接写出的度数． 拓展延伸 (3)如图3，是射线上一点，连接．延长，分别至点，．的三等分线与的三等分线的反向延长线交于点，且，．若的三等分线与的三等分线交于点，且，求的度数． 48．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）问题背景：若，则我们称是的“驰骋角”．例如：，，则是的“驰骋角”．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究． (1)探究：如图，直线，被直线所截．已知是的“驰骋角”． 当时，________； 当时，直线与直线_________（填“互相垂直”或“不互相垂直”）； (2)探究：如图，直线与直线，分别交于点，．已知是的“驰骋角”． 求证：是的“驰骋角”． 如图，是上一点，过点的直线分别交直线，于点，，且．当是的“驰骋角”时，求的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 相交线、平行线与平移 一、相交线 1. 对顶角与邻补角 定义：两条直线相交形成的四个角中，两边分别互为反向延长线的两个角叫做对顶角； 有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角. 性质：对顶角相等；邻补角互补. 核心区别：(1)对顶角没有公共边，邻补角有一条公共边； (2)两条直线相交时，一个角的对顶角只有1个，邻补角有2个. 适用条件：两条直线相交，是相交线的基础角度关系. 2. 垂线 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90∘）时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，记作 a⊥b. 核心性质：(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称：垂线段最短）; (3) 相关概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 二、平行线 1. 同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 定义：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，叫做同位角；在截线的两侧，且在被截两直线之间的角，叫做内错角；在截线的同旁，且在被截两直线之间的角，叫做同旁内角. 识别要点： · 同位角：形状像“F”，位置相同； · 内错角：形状像“Z”，位置交错； · 同旁内角：形状像“U”，在截线同侧、两线之间. 2. 平行线的判定与性质 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b. 平行线的判定（由角的关系推线的平行）： (1) 同位角相等，两直线平行； (2) 内错角相等，两直线平行； (3) 同旁内角互补，两直线平行； (4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行公理的推论）； (5) 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的性质（由线的平行推角的关系）： (1) 两直线平行，同位角相等； (2) 两直线平行，内错角相等； (3) 两直线平行，同旁内角互补. 核心区别： (1) 判定是“角的关系→线平行”，是证明平行的依据； (2) 性质是“线平行→角的关系”，是计算角度的依据； (3) 判定与性质的条件和结论互为逆命题. 三、平移 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移（平移不改变图形的形状和大小）. 核心性质： (1) 平移前后的两个图形全等（形状、大小完全相同）； (2) 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等； (3) 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等. 平移作图步骤： (1) 确定平移的方向和距离； (2) 找出图形的关键点（顶点、端点等）； (3) 按平移方向和距离平移各个关键点； (4) 依次连接平移后的关键点，得到平移后的图形. 序号 错误 易错题型 注意 1 对邻补角、对顶角的概念理解不清，忽略邻补角互补、对顶角相等的前提条件 1-3 邻补角是相邻且互补的两个角，有一条公共边，另一边互为反向延长线；对顶角的两边互为反向延长线，且对顶角一定相等 2 过一点画已知直线的垂线时，忽略“点在直线上”和“点在直线外”两种情况，或垂线的定义混淆 4-5 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身 3 混淆“平行线的判定”和“平行线的性质”，搞不清条件和结论的逻辑关系 6-7 判定是“由角的关系推线平行”，性质是“由线平行推角的关系”，两者互为逆命题，不能混用 4 应用平行线的判定定理时，找错同位角、内错角、同旁内角 8-9 同位角呈“F”型，内错角呈“Z”型，同旁内角呈“U”型；判断时要先明确是哪两条直线被哪条截线所截 5 忽略平行线判定的前提条件 “在同一平面内”，认为不相交的两条直线就是平行线 10-11 平行线的定义前提是“在同一平面内”，空间中不相交的直线不一定平行 6 平移作图时，忽略平移的方向和距离，或对应点连线不平行且不相等 12-13 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等 7 利用平行线的性质求角度时，未正确使用辅助线，或忽略拐点处的角度关系 14-15 遇到“折线型”平行线问题，常过拐点作平行线，利用平行线的传递性和性质转化角度 1．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角，对各选项进行判断即可． 【详解】解：A． 与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项不符合题意； B．与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项不符合题意； C．与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项符合题意； D．与无公共顶点，不是对顶角，故本选项不符合题意． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）下列选项中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，熟知对顶角的定义是解题的关键．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角，解答即可． 【详解】解：根据对顶角的定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角，可知只有A选项中是对顶角， 故选：A． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义． 根据题意可得，再根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】， ，即， ， ， 为直线， ， ，即与互补，故A正确，不符合题意； ， 与互余，故B正确，不符合题意； ，， ， 则与互补，故C正确，不符合题意； ， 与互补， 又与不一定相等， 与互补说法错误，故D错误，符合题意． 故选：D． 4．（25-26七年级下·重庆永川·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【详解】解：∵只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，A选项缺少前提条件， ∴A是假命题，不符合题意； ∵直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是垂线段本身， ∴B是假命题，不符合题意； ∵同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线才互相平行，C选项缺少“同一平面内”的前提， ∴C是假命题，不符合题意； ∵根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， ∴D是真命题，符合题意． 5．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）下列语句：①过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；④平行于同一条直线的两直线平行．其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据相关定理逐一判断命题真假即可得到结果． 【详解】解：①原命题缺少“在同一平面内”的限定条件，在三维空间中，过一点可以作无数条直线与已知直线垂直，该项是假命题； ②只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，该项是假命题； ③只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，该项是假命题； ④平行于同一条直线的两直线平行，该项是真命题． ∴真命题的个数是1． 6．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，下列推理不正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】B 【分析】根据平行线的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行判定，故此选项不符合题意； B、由，可以根据两直线平行，同旁内角互补得到，不能得到，故此选项符合题意； C、由，可以根据同位角相等，两直线平行判定，故此选项不符合题意； D、由，可以根据两直线平行，同位角相等得到，故此选项不符合题意； 7．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、若，根据同位角相等，两直线平行，可得，故本选项结论正确，不符合题意； B、若，根据内错角相等，两直线平行，可得，故本选项结论正确，不符合题意； C、若，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，故本选项结论正确，不符合题意； D、若，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，无法得出，故本选项结论不正确，符合题意． 8．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，直线、被直线所截分别交于点 H、G，，与它的同位角相等，平分，求的度数． 【答案】 【分析】先根据，，求出，，再根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵与它的同位角相等， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 9．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，已知点E，F分别为，上的点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据角度间的数量关系，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 10．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）下列说法中正确的有（   ）个． ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、平行线性质，逐个判断各说法的正误，统计正确的个数即可． 【详解】解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则，则其补角为，余角为， ， ， 即一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，空间中还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“过直线外一点”，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 11．（25-26七年级下·陕西西安·月考）下列说法正确的有（    ） ①不相交的两条直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平行线的定义，垂直的性质，点到直线的距离的定义，平行公理的推论逐一判断每个说法即可得到结果． 【详解】解：①同一平面内，不相交的两条直线是平行线，原说法错误； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ③直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这个点到直线的距离，原说法错误； ④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，原说法正确； 12．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，三角形在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，先将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形． (2)判断与的关系． 【答案】(1)见解析 (2)与的关系是平行且相等 【分析】（1）根据平移方式确定各顶点平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由平移的性质可直接得出：与的关系是平行且相等． 13．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，按下列要求画图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中画出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图2中画出三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）由平移的性质，结合网格特征画出线段即可； （）根据平移的性质找出点、的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，线段即所求； （2）解：如图，三角形即所求． 14．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“拐点”模型作，，得到，结合得到则，最后根据求解即可． 【详解】解：作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 15．（13-14八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作，过点D作，得到，根据平行线的性质，角的和，等量代换思想，求解即可． 【详解】解：过点C作，过点D作， ， ， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 重难点01 利用对顶角相等、邻补角互补和垂直的性质求解 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，与交于点，，垂足为．若，求的度数． 【答案】 【分析】根据，得出，结合，求出，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：与交于点， ． ， ， ． 2．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线、相交于点O，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】利用对顶角的性质，角平分线的定义以及角的和差进行求解． 【详解】解：∵直线、相交于点O，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）若的邻补角等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】互为邻补角的两个角的度数和为，根据定义计算即可得到的度数． 【详解】解：∵互为邻补角的两个角的度数和为， 又∵的邻补角等于， ∴． 4．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则_______． 【答案】20或40 【分析】分这两个角是对顶角和邻补角两种情况讨论，根据对顶角的性质和邻补角的定义列方程求解即可． 【详解】解：当这两个角是对顶角时，根据对顶角相等，得： ， 解得：， 当这两个角是邻补角时，根据邻补角的和为，得： ， 解得：， 因此的值为或． 重难点02 画垂线 5．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，符合题意； B、表示点A到的距离，不符合题意； C、表示不是点B到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：A． 6．（25-26七年级下·天津西青·期中）如图，过点P画出射线或线段的垂线，以下画图正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：由垂线的定义可知，只有C选项中的画图正确，符合题意． 重难点03 垂线段最短的应用 7．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：①测量跳远成绩，是测量落地点到起跳线的垂直距离，依据是垂线段最短，符合题意； ②弯曲河道改直，能够缩短路程，依据是两点之间，线段最短，不符合题意； ③引水渠沿修建，，是为了使水渠长度最短，依据是垂线段最短，符合题意； ④两钉子固定木条，依据是两点确定一条直线，不符合题意； 综上，能用“垂线段最短”来解释的现象是①③． 8．（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，点表示村庄，现要把河中的水引向村庄．若要使得开挖的水渠最短，则应沿线段（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由垂线段最短可知，若要使得开挖的水渠最短，则应沿线段开挖． 9．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，机器人正在水中的点处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是________． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短．根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 重难点04 同位角、内错角、同旁内角的识别 10．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形中角的位置关系进行逐一判断即可 【详解】① 和 是由水平直线截两条斜线所得，均在截线上方且在被截直线右侧（或同侧），符合同位角定义，故①正确； ② 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得， 在截线右侧、被截线之间， 在截线左侧，不在被截线之间，不符合内错角定义，故②错误； ③ 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截线之间，符合同旁内角定义，故③正确； ④ 和 是由左上至右下的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截直线上方，符合同位角定义，故④正确． 综上所述，正确的是①③④． 11．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，是直线上一点，，是直线上方的两点，连接，，．图中与构成同旁内角的角共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据同旁内角定义进行判断即可． 【详解】解：图中与构成同旁内角的角为，，，共个． 12．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）风筝是中国古代劳动人民于春秋时期发明的器物，其材质在不断优化之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”（如图1）．清朝诗人高鼎有诗云“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图2，这是某风筝纸的骨架示意图，在，，，中，与构成同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同位角的定义解答即可． 【详解】解：如图可知，和是同位角． 13．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可． 【详解】解：如图所示，与两个角都在两条被截直线之间，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故与是直线a，b被c所截而成的同旁内角． 故选：C． 重难点05 平行线的判定 14．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，由可得，其中依据的数学原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】根据内错角相等，两直线平行进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故其中依据的数学原理是内错角相等，两直线平行． 15．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，，分别平分与，且．求证：．（请根据条件进行推理，完成证明，并在括号内填上依据） 证明：分别平分与（已知）， ①__________，②__________（③_______________） （已知）， ④__________（等量代换）． （已知）， ⑤__________⑥__________（⑦____________________）， （⑧______________________________）． 【答案】①；②；③角平分线的定义；④；⑤；⑥；⑦等量代换；⑧内错角相等，两直线平行． 【分析】根据题中思路解答即可． 【详解】证明：分别平分与（已知）， ，（角平分线的定义） （已知）， （等量代换）． （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 16．（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）完成下面的证明． 如图，．求证：． 证明：因为， 所以①________， 即②________． 又因为，且， 所以________（④________）． 所以（⑤________）． 【答案】①，②；③，④等角的余角相等；⑤同位角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定，等量代换思想解答即可． 【详解】证明：因为， 所以， 即． 又因为，且， 所以（等角的余角相等）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 17．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】10或15或25 【分析】易得，，分别判断出，，时的度数，根据的度数，列出方程求得t的值即可．画出相关图形，得到三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行时的情形是解决本题的易错点． 【详解】解：， ，， 设旋转t秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行， ①，如图2： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ②，如图3： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ③，如图4， 作， ， ， ， ， ， ， 解得：； ④若继续旋转，，如图5，此时超过，这种情况不存在． 综上：t的值为10或15或 故答案为：10或15或 重难点06 平行线的性质与判定求角度 18．（25-26八年级下·安徽宿州·开学考试）如图，四边形中，，点E在线段上，点F在的延长线上．若平分，，求的度数． 【答案】 【分析】先证明，结合平分，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 19．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）补全下题的解题过程： 如图，，，，求的度数． 解：（已知）， （____________）. （_______________）， （____________）， （_______________）， （___________）. （_____________）， （角度计算）， （等量代换）． 【答案】两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；邻补角的定义 【分析】根据平行线的性质和判定，即可求解． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）. （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）. （邻补角的定义）， （角度计算）， （等量代换）． 20．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）运用对顶角相等以及，，得，根据内错角相等，两直线平行，即可作答； （2）根据，得出，根据平行线的性质得出，根据，求出，根据平行线的性质得出． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）证明：∵，， ∴， ， ， ∵， ， ， 由（1）知， ． 21．（25-26七年级下·安徽宿州·月考）如图，在中，，，点，分别为边，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】由余角的性质推出，得到，判定． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，点D，F，H，E都在的边上，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定与性质证明，结合，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵（已知） ∴，（同位角相等，两直线平行）   ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∴；（同旁内角互补，两直线平行）； （2）证明：由（1）得， ∴，（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∵，（已证） ∴，（两直线平行，同位角相等） ∴，（等量代换） ∵， ∴． 重难点07 平行线的性质与判定求证明 23．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据平角的定义可得，等量代换求出，然后根据平行线的判定定理得出结论； （2）先根据平行线的性质得出两组角相等，等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在四边形中，，、分别平分、，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．先根据角平分线定义，结合已知条件，得出，再根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】证明：∵、分别平分、， ∴，， ， ， ， ， ， ， ． 重难点08 图形的平移 25．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）2026央视春晚主标识以“骐骥驰骋”主题为核心，“四马齐驱”的设计藏满巧思．下列选项中可以通过平移这个图形得到的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动；由此问题可求解． 【详解】解：由题意可知只有B选项符合． 26．（25-26七年级下·安徽淮南·期中）将图中的和平鸽进行平移后得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，据此求解即可． 【详解】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向， 将所示的图案通过平移后可以得到的图案是C选项中的图案， 27．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）玉壶春瓶是中国瓷器中经典的器形之一，相传语出北宋大文学家苏轼“玉壶先春、冰心可鉴”之句．在安徽博物院藏品中就有一件无论器形、纹饰和釉色都近乎完美的明龙泉窑玉壶春瓶．下列“明龙泉窑玉壶春瓶”的图形中，可以由如图所示的图形只经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的定义求解即可． 【详解】解：可以由如图所示的图形只经过平移得到的是D选项中的图形． 28．（25-26七年级下·全国·课后作业）四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的文字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置是解题的关键． 由平移的性质，结合图形，采用排除法判断正确结果． 【详解】解：∵平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置， ∴原图形平移后，水平的火柴头应在左边，竖直的火柴头应是一上一下．只有C符合． 故选：C． 重难点09 利用平移的性质求解 29．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据平移的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平移， ∴，，， ∴，，即， 当，则，即， ∴B到的距离为线段的长；故①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴；故②正确； 四边形与四边形的周长差为 ；故③正确； ∵， ∴，即四边形与四边形的面积相等；故④正确． 综上，正确的是②③④． 30．（2026·山西太原·模拟预测）如图，中，，将沿方向平移得到，其中点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先根据平移的性质得到，进而可得，即可得解． 【详解】解：根据平移的性质可得，， 又∵，， ∴， ∴平移的距离为3． 31．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形． (1)若，则的度数为_____； (2)若是的中点，，，，连接． 求三角形的面积； 已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（）根据平移的性质进行求解即可； （）根据平移的性质，结合三角形面积公式求出结果即可； 过点作于点，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据平移性质可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，， ∴ ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， 由等面积法可求得， 即点到的距离为． 32．（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，若平移距离为3，求点A与点G的距离． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，由平移的性质得到，然后根据E是的三等分点且得到，进而求解即可． 【详解】解：由平移可知，． ∵E是的三等分点且， ∴， ∴， 即点与点的距离为． 重难点010 利用平移的性质解决实际问题 33．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质． 用总面积减去石子路面积即可． 【详解】解：种植鲜花的面积为 故选：D 34．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如图是五岛公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为_______ 米． 【答案】136 【分析】根据图形可得图中虚线长的横向距离等于，纵向距离等于，据此求解即可． 【详解】解：由图可得，图中虚线长的横向距离等于，纵向距离等于， 从出口到出口所走的路线长为（米）． 35．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图是一个零件的示意图，每一转角处都是直角，边长数据如图所示，则该零件的周长是______． 【答案】32 【详解】解：由平移的性质知：该零件的周长是． 36．（25-26七年级下·山东临沂·期中）图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【答案】(1)，， (2)平方米 (3)平方米 【分析】（1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 根据平移的性质可得（平方米），（平方米）； ． （2）解：原长方形的长为米，宽为米，小路的宽度是1米， 原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为米，宽为米， 空白部分表示的草地的面积是平方米； （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， 空白部分表示的耕地的面积是平方米． 重难点11 平移作图 37．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，三角形在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，先将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形． (2)判断与的关系． 【答案】(1)见解析 (2)与的关系是平行且相等 【分析】（1）根据平移方式确定各顶点平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由平移的性质可直接得出：与的关系是平行且相等． 38．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，按下列要求画图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中画出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图2中画出三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）由平移的性质，结合网格特征画出线段即可； （）根据平移的性质找出点、的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，线段即所求； （2）解：如图，三角形即所求． 39．（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）如图，在的方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作格点三角形（三角形的顶点都在正方形网格线的交点上）． (1)在图1中，将三角形先向右平移3格，再向上平移1格，得到三角形，请画出三角形； (2)在图2中，线段与相交于点O，且，请作一个，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）把向右平移3格，再向上平移1格即可； （2）把向上平移1格，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 根据平移可知：， ∴， 即． 40．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 【答案】(1)见解析 (2)平行；相等 【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）首先根据点和点的位置，得出点到移动的方向和距离，然后点和点作相应的移动得到点与点，顺次连接就可得到； （2）根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出，且． 【详解】（1）解：由点的对应点为点可知：将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点；根据点的平移方向和距离，同样平移点和点，得出点与点，顺次连接、、，就可得到． 如图所示： （2）解：根据平移性质可知：，且， 故答案为：平行；相等． 重难点12 平行线的综合问题1 41．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，，垂足为A，，有同学认为在这种情况下，与的和是个定值．下面是小林同学计算的度数的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图②，过点B作，因为（已知）， 所以_______（_______），所以_______（_______）， 因为（已知），所以（_______）， 因为，所以， 所以，所以_______． 即：与的和是个定值． 【答案】；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义； 【分析】根据平行线的性质填写即可． 【详解】解：如图②，过点B作， 因为（已知）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， 所以（垂直的定义）， 因为， 所以， 所以， 所以． 即：与的和是个定值． 42．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）几何研究中，常通过等量代换、构造辅助线等方法，将研究对象转为已知的定理或基本图形，从而实现化繁为简、化未知为已知． 请解决以下问题： (1)请将推理过程补充完整： 如图1，已知，．证明：． 证明：∵，∴①______（两直线平行，内错角相等）． ∵，∴②__________（③___________）． ∴（④____________）． (2)借鉴模仿第（1）题，完成证明： 如图2，若，．证明：． 【答案】(1)①；②；③等量代换；④内错角相等，两直线平行 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的判定和性质进行证明； （2）延长，相交于点G，根据平行线的性质进行证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴①（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴②（③等量代换）． ∴（④内错角相等，两直线平行）； （2）证明：延长，相交于点G． ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 43．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)①，；②的大小不变，是 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，则有C，B，D共线，然后根据角平分线的定义可得，，进而问题可求解； （2）①过点C作，则有，由题意易得，然后可得，，进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解；②设，同理①可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴C，B，D共线， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：①如图，过点C作， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ②不改变，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的大小不变，是． 44．（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）如图，已知，点E在上，点H在上，点F在之间，连接． (1)如图1，若，求证． (2)如图2，平分，交于点G，且，求证． (3)如图3，平分，交的延长线于点M，且，求的度数．（不写过程，直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点F作的平行线，则，，，进而可得，即可得出结论； （2）利用“两直线平行，内错角相等”及角平分线的性质得出，再结合四边形的内角和为，求出，根据平角的定义得出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得出结论； （3）连接EH，根据平行线的性质及三角形的内角和定理得出，再结合所给条件可求出的度数，最后用分别表示出和即可解决问题． 【详解】（1）证明：过点F作的平行线， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 重难点13 平行线的综合问题2 45．（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 【答案】(1)； (2)不变， (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据，由同旁内角互补得，因为、分别平分和，根据角度等量关系可得，即可解出答案； （2）由角平分线与平行线的性质，可得，故得的比值不变； （3）根据角度之间的倍数关系，证出以及，根据平行线同旁内角互补以及角度关系转换可得出，故可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， 故答案为：；． （2）解：的值不发生变化． 理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 46．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，点，分别在，上． （1）如图1，若点与点重合，，则的度数为__________． （2）如图2，，点在上，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】（1）根据，得出．根据，设，则，列方程求出，即可求解． （2）如图，连接，根据，得出，根据，得出，即可得到． 【详解】解：（1）， ． ， 设，则， ， ， 解得， ． （2）如图，连接． ， ． ， ， ， 即， ．． 47．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）综合与实践 基本图形 如图1，在四边形中，延长至点，，． (1)①求证：． ②如图1，的三等分线与的三等分线交于点，且，，求的度数． 类比探究 (2)如图2，是射线上一点，连接，交于点，．若的三等分线与的三等分线交于点，请直接写出的度数． 拓展延伸 (3)如图3，是射线上一点，连接．延长，分别至点，．的三等分线与的三等分线的反向延长线交于点，且，．若的三等分线与的三等分线交于点，且，求的度数． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或 【分析】①根据，得出，证出，则，即可证明． ②如图1，过点作．由①可知，则，故，即可得． 根据的三等分线与的三等分线交于点，且，，得出．即可得出，即可求出． （2）如图2，过点作，由（1）①可知，则，得出，．则，，得出，．根据的三等分线与的三等分线交于点，得出．求出，即可求出． （3）如图2，延长至点，则，由题意可知．同（1）②可知，求出，．根据，求出，即可得．分类讨论：（i）当时，即，点为图2中点的位置，求出．（ii）当时，即，，点为图2中点的位置，同（1）②求出． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ． ②解：如图1，过点作． 由①可知， ， ． ， ． ∵的三等分线与的三等分线交于点，且，， ∴． ， ， ． （2）解：如图2，过点作． 由（1）①可知， ， ，． ，， ， ， ， ． ∵的三等分线与的三等分线交于点， ∴． ， ． （3）解：如图2，延长至点， ， 由题意可知． 同（1）②可知， ， ． ， ． ， ， ． 分类讨论：（i）当时，即，点为图2中点的位置， ． （ii）当时，即，，点为图2中点的位置， 同（1）②． 综上所述，的度数为或． 48．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）问题背景：若，则我们称是的“驰骋角”．例如：，，则是的“驰骋角”．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究． (1)探究：如图，直线，被直线所截．已知是的“驰骋角”． 当时，________； 当时，直线与直线_________（填“互相垂直”或“不互相垂直”）； (2)探究：如图，直线与直线，分别交于点，．已知是的“驰骋角”． 求证：是的“驰骋角”． 如图，是上一点，过点的直线分别交直线，于点，，且．当是的“驰骋角”时，求的度数． 【答案】(1)；不互相垂直； (2)见解析； 【分析】（）由是的“驰骋角”，则，然后代入即可求解； 根据“驰骋角”定义可求出，过作，通过平行线的性质求得，从而求解； （）根据“驰骋角”定义和角度和差即可求解； 过点作，则，，所以，由题意得，则有，然后求出的度数即可． 即， 【详解】（1）解：∵是的“驰骋角”， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 是的“驰骋角”， ∴， ∵， ∴联立得， ∴， 如图，过作， ∴，， ∴， ∴， ∴直线与直线不互相垂直， 故答案为：不互相垂直； （2）证明：∵是的“驰骋角”， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴是的“驰骋角”； 如图，过点作， ∴，， ∴， 由题意得， ∴， 即， 解得， ∴的度数为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $