第7章 一元一次不等式与不等式组（含12种题型）（知识清单）数学新教材沪科版七年级下册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“一元一次不等式与不等式组”内容，涵盖不等式概念性质、求解步骤、实际应用等核心范畴，搭建了从基础定义到解题方法再到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“易错点分析表”“重难点分级标注”构建知识体系，如标注“乘除负数变号”易错点培养数学思维，“含参数不等式组整数解”专题训练强化模型意识。设计“实际应用场景分类”如分配、利润问题，帮助学生高效掌握，教师可据此精准教学提升课堂实效。

第7章 一元一次不等式与不等式组 一、不等式及其基本性质 （一）核心概念 1.不等式：用符号 “_____”“_____”“_____”“_____” 或 “_____” 表示大小关系或不等关系的式子，分为_________的不等式（如2x＞5）和______________的不等式（如3＜4）。 2.不等式的解：使不等式成立的______________，如x=3是2x＞5的一个解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的_________组成的集合，如2x＞5的解集是x＞2.5。 4.解不等式：_____________的过程叫做解不等式。 （二）不等式的基本性质 性质 文字表述 符号表示（a＞b） 注意事项 性质 1 两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号方向_______ ______________ 适用于所有不等式变形 性质 2 两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向______ c＞0时，ac_____bc（或 a/c_____b/c） 乘数/除数为正数，方向不变 性质 3 两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向______ c＜0时，ac_____bc（或 a/c_____b/c） 乘数/除数为负数，方向必须改变 性质 4 对称性 若a＞b，则b_____a 不等关系可逆 性质 5 传递性 若a＞b 且b＞c，则_______ 可推导多重不等关系 （三）不等式解集的数轴表示 1.表示规则： 边界点：包含端点用 “____________”（对应≥、≤），不包含端点用 “____________”（对应＞、＜）； 方向：大于向_____画，小于向_____画。 2.示例：x≥3 表示为 “3 处实心圆点，向右延伸”；x＜-2 表示为 “-2 处空心圆圈，向左延伸”。 二、一元一次不等式 （一）概念定义 一元一次不等式：只含有______未知数，且______________，左右两边都是_______的不等式（如3x-2≤7）。 1.满足条件：①单未知数；②次数为1；③整式不等式。 2.与一元一次方程的区别：方程表示______关系（用“=”），不等式表示______关系（用不等号）。 （二）求解步骤 1.去分母：两边同乘分母的______________，注意______________也要乘，不改变不等号方向； 2.去括号：遵循 “括号前是正号_______，是负号_______” 的法则，分数线兼具括号作用； 3.移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要________，不等号方向________； 4.合并同类项：整理为ax＞b（或ax＜b、ax≥b、ax≤b）的形式（a≠0）； 5.化系数为 1：两边同除以a，若a＞0，不等号方向______；若a＜0，不等号方向______。 三、一元一次不等式组 （一）核心概念 1.一元一次不等式组：关于同一未知数的______________合在一起组成的不等式组； 2.不等式组的解集：几个不等式解集的______________，若无公共部分则称不等式组________。 （二）求解步骤 1.分别求出不等式组中______________； 2.将每个解集在____________表示出来； 3.找出数轴上的____________，即为不等式组的解集（无公共部分则无解）。 （三）解集的四种情况（设a＜b） 不等式组形式 解集 数轴表示特征 ______________ 向右取公共部分（同大取_____） ______________ 向左取公共部分（同小取_____） ______________ 中间重叠部分（大小小大_________） ______________ 无重叠部分（大大小小_________） 四、不等式（组）的实际应用 （一）解题步骤 1.审题：找出题目中的____________，抓住 “至少”“最多”“不超过”“大于”“小于” 等关键词； 2.设未知数：根据题意设出合适的未知数（通常设所求量为x）； 3.列不等式（组）：根据不等关系列出对应的_____________； 4.解不等式（组）：按照求解步骤求出解集； 5.检验：结合实际背景检验解集的合理性（如人数、物品件数需为非负整数）； 6.作答：写出符合题意的答案。 （二）常见应用场景 1.分配问题：如租车、租房间、分配物资等，需满足“总量≥需求”或“总量≤限制”； 2.利润问题：如销售商品、生产产品等，需满足“利润≥目标值”； 3.行程问题：如速度限制、时间约束等，需满足“时间＜规定值”或“路程≥要求距离”； 4.工程问题：如完成工作量、工期限制等，需满足“工作量≥任务量”。 序号 错误 易错题型 注意 1 不等式两边同乘（或除以）负数时，忘记改变不等号方向 1-4 不等式的基本性质3：两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变 2 解一元一次不等式时，去分母漏乘常数项 5-6 去分母时，要给不等式两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的常数项 3 解不等式组时，找错公共部分，尤其是含等号时 7-9 用数轴表示解集时，有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈；取公共部分时，遵循 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则 4 忽略不等式（组）的整数解、正整数解等限制条件 10-11 求出不等式（组）的解集后，要结合题目要求（如整数解、非负整数解等）筛选符合条件的解，注意端点值是否可取 5 列不等式解决实际问题时，不等关系理解错误（如“不大于”“至少”等词） 12-13 准确翻译关键词：“不大于/不超过/最多”对应 “≤”，“不小于/不低于/至少” 对应“≥”，“大于”“小于”对应“>”“<” 6 含参数的不等式（组）中，讨论参数范围时忽略等号情况 14-17 已知不等式组的解集情况（如无解、有解），讨论参数取值时，要注意边界点的取值是否会改变解集，单独验证等号是否成立 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）下列变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式：． 6．（2026·安徽阜阳·二模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 7．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 10．（25-26七年级下·安徽池州·期中）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 11．（25-26九年级上·重庆·月考）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 12．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克． (1)某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？ (2)市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降，二级毛峰销售单价涨，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？ 13．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？ 14．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（2026七年级下·江苏·专题练习）若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 重难点01 不等式的定义 1．（25-26七年级下·安徽六安·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）下列数学表达式中是不等式的是（） A． B． C． D．0 3．（25-26八年级下·陕西渭南·月考）下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 重难点02 不等式的性质 4．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，且c为实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·重庆·开学考试）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 重难点03 一元一次不等式的定义 8．（25-26七年级上·安徽六安·月考）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 10．（25-26七年级下·安徽六安·期中）若是关于的一元一次不等式，则________． 11．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 重难点04 求一元一次不等式的解集 12．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）不等式的解集是__________． 13．（2026·安徽宿州·二模）不等式的解集为___________． 14．（25-26七年级下·安徽池州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 重难点05 一元一次不等式的整数解 16．（25-26七年级下·湖南永州·期中）不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 17．（25-26七年级下·安徽六安·月考）不等式的非负整数解有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．（24-25七年级下·吉林长春·期末）不等式的所有正整数解之和为______． 19．（25-26八年级下·四川达州·期中）不等式的所有非负整数解的和是____________． 重难点06 在数轴上一元一次不等式的解集 20．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（2026·安徽亳州·一模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（） A． B． C． D． 22．（25-26七年级上·安徽六安·月考）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 23．（25-26七年级下·安徽六安·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 重难点07 求一元一次不等式解的最值 24．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（2026·安徽合肥·一模）已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 重难点08 一元一次不等式的实际应用 26．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度，行人通常会在红灯亮起前通过马路，若一条人行横道全长24米，小华以的速度匀速通过该人行横道，但行至离起点处时，8秒倒计时灯亮了，小华要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（    ） A．1.6倍 B．1.7倍 C．1.8倍 D．2倍 27．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯；    （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 28．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）合肥市在“2026年央视春晚合肥分会场”活动期间，组织义卖以春晚分会场元素为主题的明信片．每套售价15元，成本为4元．活动主办方希望总利润不低于8000元，且预计销售过程中会有不超过的损耗（无法售出）．若已印制2000套，问至少需要卖出（    ）套才能达标？ A．727 B．728 C．1800 D．1801 29．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，售价为180元，B型号的进价为120元，售价为150元．某电器商城准备用不超过6630元的金额采购这两种型号的电风扇共50台． (1)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (2)该电器商城销售完这50台电风扇能否实现利润超过1780元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 重难点09 求一元一次不等式组的解集 30．（2026·安徽宣城·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 31．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组：． 32．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 33．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）解不等式组，并将该不等式组的解集表示在下面的数轴上； 重难点10 由一元一次不等式组解的情况求参数 34．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 35．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果不等式组的解集是，则________． 37．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）如果方程组：的解满足，求的取值范围． 38．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点11 不等式组和方程组结合的问题 39．（2026·安徽蚌埠·二模）已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 40．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知满足，则的取值范围为______． 41．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 重难点12 一元一次不等式组的实际应用 42．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买、两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元；购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元． (1)求、两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ (2)学生会计划购买、两种垃圾桶共个，且总费用不超过元，且购买的种垃圾桶数量不少于种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 43．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 44．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 45．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 一元一次不等式与不等式组 一、不等式及其基本性质 （一）核心概念 1.不等式：用符号 “＜”“＞”“≤”“≥” 或 “≠” 表示大小关系或不等关系的式子，分为含未知数的不等式（如2x＞5）和不含未知数的不等式（如3＜4）。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，如x=3是2x＞5的一个解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，如2x＞5的解集是x＞2.5。 4.解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。 （二）不等式的基本性质 性质 文字表述 符号表示（a＞b） 注意事项 性质 1 两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 a±c＞b±c 适用于所有不等式变形 性质 2 两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 c＞0时，ac＞bc（或 a/c＞b/c） 乘数/除数为正数，方向不变 性质 3 两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 c＜0时，ac＜bc（或 a/c＜b/c） 乘数/除数为负数，方向必须改变 性质 4 对称性 若a＞b，则b＜a 不等关系可逆 性质 5 传递性 若a＞b 且b＞c，则a＞c 可推导多重不等关系 （三）不等式解集的数轴表示 1.表示规则： 边界点：包含端点用 “实心圆点”（对应≥、≤），不包含端点用 “空心圆圈”（对应＞、＜）； 方向：大于向右画，小于向左画。 2.示例：x≥3 表示为 “3 处实心圆点，向右延伸”；x＜-2 表示为 “-2 处空心圆圈，向左延伸”。 二、一元一次不等式 （一）概念定义 一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，左右两边都是整式的不等式（如3x-2≤7）。 1.满足条件：①单未知数；②次数为1；③整式不等式。 2.与一元一次方程的区别：方程表示相等关系（用“=”），不等式表示不等关系（用不等号）。 （二）求解步骤 1.去分母：两边同乘分母的最小公倍数，注意不含分母的项也要乘，不改变不等号方向； 2.去括号：遵循 “括号前是正号不变号，是负号全变号” 的法则，分数线兼具括号作用； 3.移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号，不等号方向不变； 4.合并同类项：整理为ax＞b（或ax＜b、ax≥b、ax≤b）的形式（a≠0）； 5.化系数为 1：两边同除以a，若a＞0，不等号方向不变；若a＜0，不等号方向改变。 三、一元一次不等式组 （一）核心概念 1.一元一次不等式组：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起组成的不等式组； 2.不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分，若无公共部分则称不等式组无解。 （二）求解步骤 1.分别求出不等式组中每个不等式的解集； 2.将每个解集在同一数轴上表示出来； 3.找出数轴上的公共部分，即为不等式组的解集（无公共部分则无解）。 （三）解集的四种情况（设a＜b） 不等式组形式 解集 数轴表示特征 x＞b 向右取公共部分（同大取大） x＜a 向左取公共部分（同小取小） a＜x＜b 中间重叠部分（大小小大中间找） 无解 无重叠部分（大大小小找不到） 四、不等式（组）的实际应用 （一）解题步骤 1.审题：找出题目中的不等关系，抓住 “至少”“最多”“不超过”“大于”“小于” 等关键词； 2.设未知数：根据题意设出合适的未知数（通常设所求量为x）； 3.列不等式（组）：根据不等关系列出对应的不等式（组）； 4.解不等式（组）：按照求解步骤求出解集； 5.检验：结合实际背景检验解集的合理性（如人数、物品件数需为非负整数）； 6.作答：写出符合题意的答案。 （二）常见应用场景 1.分配问题：如租车、租房间、分配物资等，需满足“总量≥需求”或“总量≤限制”； 2.利润问题：如销售商品、生产产品等，需满足“利润≥目标值”； 3.行程问题：如速度限制、时间约束等，需满足“时间＜规定值”或“路程≥要求距离”； 4.工程问题：如完成工作量、工期限制等，需满足“工作量≥任务量”。 序号 错误 易错题型 注意 1 不等式两边同乘（或除以）负数时，忘记改变不等号方向 1-4 不等式的基本性质3：两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变 2 解一元一次不等式时，去分母漏乘常数项 5-6 去分母时，要给不等式两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的常数项 3 解不等式组时，找错公共部分，尤其是含等号时 7-9 用数轴表示解集时，有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈；取公共部分时，遵循 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则 4 忽略不等式（组）的整数解、正整数解等限制条件 10-11 求出不等式（组）的解集后，要结合题目要求（如整数解、非负整数解等）筛选符合条件的解，注意端点值是否可取 5 列不等式解决实际问题时，不等关系理解错误（如“不大于”“至少”等词） 12-13 准确翻译关键词：“不大于/不超过/最多”对应 “≤”，“不小于/不低于/至少” 对应“≥”，“大于”“小于”对应“>”“<” 6 含参数的不等式（组）中，讨论参数范围时忽略等号情况 14-17 已知不等式组的解集情况（如无解、有解），讨论参数取值时，要注意边界点的取值是否会改变解集，单独验证等号是否成立 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据不等式的基本性质逐一判断各选项，不等式基本性质为：不等式两边加(或减)同一个整式，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：∵根据不等式性质1，两边同时减1，不等号方向不变 ∴，A错误． ∵，两边同时乘，不等号方向改变 ∴，B错误． ∵，两边同时乘正数，不等号方向不变 ∴，C正确． ∵，两边同时除以正数，不等号方向不变 ∴，D错误． 2．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此逐一判断选项可得到结论． 【详解】解：A、，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，，A一定正确，不符合题意； B、，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，得，不等式两边同加，不等号方向不变，，B一定正确，不符合题意； C、当，时，满足，但，，此时，因此C不一定正确，符合题意； D、，，D一定正确，不符合题意． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，A选项正确，不符合题意； 由可得，，即，B选项正确，不符合题意； 由可得，C选项正确，不符合题意； 由可得，则，化简得，即，D选项错误，符合题意． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）下列变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可，需注意平方数的非负性． 【详解】解：对于选项A： ∵ ，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴ ，A不正确； 对于选项B： ∵ ，两边同时减得，两边同除以负数，不等号方向改变， ∴ ，B不正确； 对于选项C： ∵ ，当时，， ∴ C不正确； 对于选项D： ∵ ，可得，不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ∴ ，D正确． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式：． 【答案】 【详解】解： ∴ ∴ 解得： 6．（2026·安徽阜阳·二模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 去分母得， 去括号得 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 解集在数轴上表示如下： 7．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： ． 8．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则，不等式组的解集为， 故选：B． 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见详解 【详解】解：， 解①，得． 解②，得． 则，数轴如下图所示： 10．（25-26七年级下·安徽池州·期中）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【答案】；整数解为3，4 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：． ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的整数解为：3，4． 11．（25-26九年级上·重庆·月考）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】解集：，整数和：9 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，有理数的加法，熟练掌握该知识点是解题的关键． 分别解不等式、，求出一元一次不等式组的解集，从而得到一元一次不等式组的整数解，相加即可． 【详解】解： 解不等式，， ； 解不等式，， ； 此不等式组的解集为， 整数解为：，0，1，2，3，4， 整数解的和：． 12．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克． (1)某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？ (2)市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降，二级毛峰销售单价涨，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？ 【答案】(1)生产的一级毛峰至多为10千克． (2)至少售出一级毛峰50千克． 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，先设出一级毛峰的质量为未知数，再根据题干给出的不等关系列出一元一次不等式，求解不等式后结合题意得到最终结果． 【详解】（1）解：设生产一级毛峰千克，则生产二级毛峰千克． 根据题意可得不等式： 展开整理得： 解得： 答：生产的一级毛峰至多为10千克． （2）解：设售出一级毛峰千克，则售出二级毛峰千克． 调整价格后，一级毛峰单价为（元/千克） 调整价格后，二级毛峰单价为（元/千克） 根据总售价不低于56000元，可得： 展开整理得： 解得： 答：至少售出一级毛峰50千克． 13．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元 (2)学校共有6种购买方案，分别是：方案一：甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：甲种图书32本，乙种图书28本；方案四：甲种图书33本，乙种图书27本；方案五：甲种图书34本，乙种图书26本；方案六：甲种图书35本，乙种图书25本 【分析】（1）设未知数列出二元一次方程组求解单价； （2）设甲种图书的数量，根据限制条件列出一元一次不等式组，取正整数解即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设甲种图书的单价是元，乙种图书的单价是元． 根据题意得 解得 答：甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元． （2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本． ∵每种都要购买，甲种图书数量不少于乙种图书数量，购买总金额不超过1550元， ∴ 解不等式，得． 解不等式，得，即． 解不等式得，． ∴不等式组的解集为． ∵为正整数， ∴的取值为． 答：学校共有6种购买方案，分别是： 方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本； 方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本； 方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本； 方案四：购买甲种图书33本，乙种图书27本； 方案五：购买甲种图书34本，乙种图书26本； 方案六：购买甲种图书35本，乙种图书25本． 14．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别解两个不等式，得到解集后根据不等式组无解的条件确定m的范围，即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得：． 故选：D． 15．（2026七年级下·江苏·专题练习）若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解不等式组中第二个不等式，再根据一元一次不等式组的解集确定的取值范围． 【详解】解：解不等式， 移项得：， 化简得：， 又∵不等式组的解集为：， ∴． 16．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合边界确定a的范围，注意端点值的取舍． 【详解】解∵不等式组恰有3个整数解， ∴不等式组的解集为，这3个整数解为2，1，0， ∴． 17．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的和为9确定符合条件的整数解，进而得到a的取值范围． 【详解】解：由不等式组可得解集为． ∵所有整数解的和为9，且，因此符合条件的整数解为2，3，4． 若，则整数解包含1，此时所有整数解的和为，因此． 若，则整数解不包含2，此时所有整数解的和为，因此． 综上，的取值范围是． 重难点01 不等式的定义 1．（25-26七年级下·安徽六安·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， 是代数式，不含不等号，不是不等式． B、，是用不等号连接的式子，符合不等式的定义． C、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． D、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． 故选B． 2．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）下列数学表达式中是不等式的是（） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A．是用等号连接的等式，不符合不等式定义， 选项B．是代数式，未用不等号表示不等关系，不是不等式， 选项C．是用小于号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义， 选项D．是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 3．（25-26八年级下·陕西渭南·月考）下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义判断各个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①使用不等号连接，是不等式． ②使用等号连接，是等式，不是不等式． ③使用不等号连接，是不等式． ④是多项式，没有不等号连接，不是不等式． 不等式共有个． 重难点02 不等式的性质 4．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：不等式两边同时减10，得，故A错误． 选项B：的值不确定，无法确定与的大小关系，例如取，此时，不等式不成立，故B错误． 选项C：两边同时乘，不等号方向改变，得，两边同时加1，不等号方向不变，得，故C正确． 选项D：不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，得，故D错误． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知 A、，不等式两边同时减，不等号方向不变，，A错误，不符合题意； B、，不等式两边同时减，得，B错误，不符合题意； C、当，时，满足，但，因此不等式不一定成立，C错误，不符合题意； D、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，，D正确，符合题意． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，且c为实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：、∵， ∴或或，故A不符合题意； B、∵，， ∴，故B符合题意； C、∵， ∴，故C不符合题意； D、∵， ∴或或，故D不符合题意． 7．（25-26八年级下·重庆·开学考试）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项正误，即可得到答案． 【详解】解：、∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意； 、∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意； 、∵题目没有给出的取值范围，当时，若，可得， ∴原判断不成立，该选项判断错误，符合题意； 、∵，可得，不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意． 重难点03 一元一次不等式的定义 8．（25-26七年级上·安徽六安·月考）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合要求； B、不是一元一次不等式，不符合要求； C、不是一元一次不等式，不符合要求； D、 不是一元一次不等式，不符合要求； 9．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 10．（25-26七年级下·安徽六安·期中）若是关于的一元一次不等式，则________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义列等式和不等式求解即可． 【详解】解： 是关于的一元一次不等式， ，且， 解得或， 或； 解得； ． 11．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解，得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 重难点04 求一元一次不等式的解集 12．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】解：， 移项得． 13．（2026·安徽宿州·二模）不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】解：， 两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 14．（25-26七年级下·安徽池州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后判断即可． 【详解】解：， ， ， 观察各选项，只有C符合题意． 15．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见详解 【分析】根据解一元一次不等式的步骤依次计算即可，再根据在数轴上表示方法表示出解集即可． 【详解】解： 解集在数轴上表示如下： 重难点05 一元一次不等式的整数解 16．（25-26七年级下·湖南永州·期中）不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再找出解集范围内的最小整数即可得到答案． 【详解】解： 移项得 ∵大于 的整数为 ∴其中最小的整数为． 17．（25-26七年级下·安徽六安·月考）不等式的非负整数解有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题先求解一元一次不等式得到解集，再根据非负整数的定义找出解集中所有符合条件的数，统计个数即可求解． 【详解】解：∵ ∴移项得， ∴不等式的非负整数解有：0，1，2，3，共4个． 18．（24-25七年级下·吉林长春·期末）不等式的所有正整数解之和为______． 【答案】 【分析】先解得不等式的解集为，则不等式的所有正整数解为，，，然后把它们相加即可． 【详解】解：解不等式， 得， 所以不等式的所有正整数解为，，， 所以所有正整数解之和． 19．（25-26八年级下·四川达州·期中）不等式的所有非负整数解的和是____________． 【答案】 【详解】解： ， 不等式的所有非负整数解为、、， 则所有非负整数解的和是． 重难点06 在数轴上一元一次不等式的解集 20．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，再根据不等号方向可得答案． 【详解】解：解不等式，得， 将解集在数轴上表示，如图： 21．（2026·安徽亳州·一模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式，再根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 该解集在数轴上表示为： 22．（25-26七年级上·安徽六安·月考）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据解不等式的基本步骤求解即可； 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得， 不等式的解集在数轴上表示如图所示． 23．（25-26七年级下·安徽六安·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后画出数轴，并在数轴上表示出不等式的解集． 【详解】解： 去分母，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 重难点07 求一元一次不等式解的最值 24．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 25．（2026·安徽合肥·一模）已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 重难点08 一元一次不等式的实际应用 26．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度，行人通常会在红灯亮起前通过马路，若一条人行横道全长24米，小华以的速度匀速通过该人行横道，但行至离起点处时，8秒倒计时灯亮了，小华要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（    ） A．1.6倍 B．1.7倍 C．1.8倍 D．2倍 【答案】B 【分析】先计算出剩余需要走的路程，再根据8秒内通过马路的要求列不等式，求解得到最小倍数，进而结合实际情况作答即可． 【详解】解：设小华的速度要提高到原来的倍， ∵人行横道全长24米，小华行至离起点处， ∴剩余路程为米， 要在红灯亮起前也就是8秒内通过马路，可得不等式： 化简得， 解得， ∴他的速度至少要提高到原来的倍． 27．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯；    （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】分别表示出两种优惠方案的总费用，根据方案(2)更省钱列出不等式，求解得到的最小整数值即可. 【详解】解：∵顾客需购买4只茶壶，只（）茶杯， ∴优惠方法(1)的总费用为 ， 优惠方法(2)的总费用为 ， ∵方法(2)比方法(1)更省钱， ∴，化简得 ， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为 28．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）合肥市在“2026年央视春晚合肥分会场”活动期间，组织义卖以春晚分会场元素为主题的明信片．每套售价15元，成本为4元．活动主办方希望总利润不低于8000元，且预计销售过程中会有不超过的损耗（无法售出）．若已印制2000套，问至少需要卖出（    ）套才能达标？ A．727 B．728 C．1800 D．1801 【答案】B 【分析】设需要卖出套，根据题意列出不等式，进行求解即可. 【详解】解：设需要卖出套， 由题意，得， 解得， ∵是正整数， ∴最小为， 由题意，可以出售的明信片的套数至少为（套）； ， 故至少需要卖出728套才能达标. 29．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，售价为180元，B型号的进价为120元，售价为150元．某电器商城准备用不超过6630元的金额采购这两种型号的电风扇共50台． (1)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (2)该电器商城销售完这50台电风扇能否实现利润超过1780元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)31台 (2)采购方案有三种： 方案一：采购A型号电风扇29台，B型号电风扇21台； 方案二：采购A型号电风扇30台，B型号电风扇20台； 方案三：采购A型号电风扇31台，B型号电风扇19台 【分析】（1）设A型号的电风扇采购m台，则B型号的电风扇采购(50−m)台，根据采购金额列不等式求解即可； （2）用m表示总利润，根据超过1780元的要求列不等式求出m的求值范围，列出可能方案即可． 【详解】（1）解：设A型号的电风扇采购m台，则B型号的电风扇采购台， 由题意得：， 解得， 因为m为非负整数，所以m的最大值为31， 答：A型号的电风扇最多能采购31台； （2）解：总利润为 ， 要使利润超过1780元，则，得， 由（1）可知，且m为正整数，所以m可以取29，30，31， 当时，； 当时，； 当时，； 该电器商城销售完这50台电风扇能实现利润超过1780元的目标，采购方案有三种： 方案一：采购A型号电风扇29台，B型号电风扇21台； 方案二：采购A型号电风扇30台，B型号电风扇20台； 方案三：采购A型号电风扇31台，B型号电风扇19台． 重难点09 求一元一次不等式组的解集 30．（2026·安徽宣城·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可判断． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 所以，不等式组的解集为：， 把不等式组的解集在数轴上表示为：． 31．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组：． 【答案】 【分析】先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 32．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，画图见解析 【详解】解：由不等式①得： 由不等式②得： ∴不等式组的解集为，将其解集表示在数轴上，如图， 33．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）解不等式组，并将该不等式组的解集表示在下面的数轴上； 【答案】，见解析 【分析】分别解两不等式，求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可. 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 原不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示出来为： 重难点10 由一元一次不等式组解的情况求参数 34．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解，即两个解集之间存在公共部分，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②： 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 关于的不等式组有解 解得． 35．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是利用数轴确定两个不等式解集无公共部分的条件；若不等式组无解，则两个不等式解集的公共部分为空集，结合数轴即可求出 的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为，且不等式组无解， ∴两个不等式的解集没有公共部分， 若要与没有公共部分，需满足，此时不存在同时满足两个不等式的x， ∴的取值范围是， 故选：A. 36．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果不等式组的解集是，则________． 【答案】5 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，结合已知解集得到关于、的方程，求出、的值，代入计算即可. 【详解】解：不等式组为 解不等式，移项得， 系数化为得， 因此不等式组的解集为， 不等式组的解集是， ，， 解得，， 将，代入得： ． 37．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）如果方程组：的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先将两方程相加，整理得到根据解不等式即可． 【详解】解：由方程组， 得：， ， ， ， 解得：． 38．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰有3个整数解的条件，确定a的取值范围． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有个整数解， ∴整数解为，共个 ∴ 不等式两边同除以，得 重难点11 不等式组和方程组结合的问题 39．（2026·安徽蚌埠·二模）已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用已知等式用表示，代入不等式求出的范围，再依次推导各选项中代数式的范围，找出错误判断． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴，因此选项A判断正确． ∴ ， ∴， ∴，因此选项B判断正确． ∵ ， 由得 ， ∴ ，因此选项C判断正确． ∵， 由 得 ， 即 ，不符合选项D给出的范围，因此选项D判断错误． 40．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】用第②个方程减第①个得，即得，再解不等式组即可求解． 【详解】解：， ②①，得， ∵ ∴， 即， 解得， ∴的取值范围为． 41．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值； （2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， ， ， ， ； （2）解：， 得，， ， 将代入得，， ， 为非正数，为负数， ， 解得． 重难点12 一元一次不等式组的实际应用 42．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买、两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元；购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元． (1)求、两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ (2)学生会计划购买、两种垃圾桶共个，且总费用不超过元，且购买的种垃圾桶数量不少于种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 【答案】(1)种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元 (2)共有种购买方案，最省钱方案费用为元 【分析】（1）列二元一次方程组，根据已知的购买数量和总价求出两种垃圾桶的单价； （2）列一元一次不等式组，确定购买数量的取值范围，然后判断最省钱方案． 【详解】（1）解：设种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元， 可得， 解得， 故种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元． （2）解：设购买种垃圾桶个，则购买种垃圾桶为个， 可得， 解得， ∵是正整数， ， ∴共有种购买方案， ∵种垃圾桶单价高于种垃圾桶， ∴当种垃圾桶的数量最少，即种垃圾桶个，种垃圾桶个时，总费用最低， ∴最省钱方案费用：（元）． 43．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元 (2)共有3种建造方案，方案1：新建个地上充电桩，个地下充电桩；方案2：新建个地上充电桩，个地下充电桩；方案3：新建个地上充电桩，个地下充电桩． 【分析】（1）设该小区新建一个地上充电桩需x万元，一个地下充电桩需y万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，由题意列出一元一次不等式组，解得，得到共有3种建造方案，分别写出各方案即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需x万元，一个地下充电桩需y万元， 根据题意得：，解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为，，， 共有3种建造方案， 方案1：新建个地上充电桩，个地下充电桩； 方案2：新建个地上充电桩，个地下充电桩； 方案3：新建个地上充电桩，个地下充电桩． 44．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】任务1：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元；任务2：有三种销售方案：方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件；方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件；方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件； 任务3：销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为34020元 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，正确列出方程组和不等式组是关键． 任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．据此列出方程组并解方程组即可； 任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒，品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．据此列出不等式组，并解不等式组即可； 任务3：分别求出各方案的获利，比较后即可得到答案． 【详解】解：任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元， 由题意得， 解得 答：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元； 任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒， 由题意得， 解得． 因为为整数，所以．故有三种销售方案： 方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件； 方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件； 方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件． 任务3：方案1获利：（元）； 方案2获利：（元）； 方案3获利：（元）． 因为，所以销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为元． 45．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 【答案】(1)14；72； (2)小明的说法是正确的，理由见解析 (3)有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼 【分析】（1）根据两种系列中，大月饼与小月饼的个数列式计算即可； （2）根据共计领取月饼453个建立一元一次方程，解方程即可； （3）根据礼盒数量不少于80盒建立一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵若“长长久久”系列的月饼有盒，需要从制作车间领取大月饼个， ∴“八方来福”系列的月饼的盒数为（盒）， ∴需要从制作车间领取小月饼的个数为（个）． （2）解：小明的说法是正确的，理由如下： 设领货单中包装“长长久久”系列月饼盒，则“八方来福”系列的月饼盒， 由题意得：， 解得，这与领货单上的月饼50盒矛盾， 所以小明的说法是正确的． （3）解：设安排名月饼制作师制作大月饼，则安排名月饼制作师制作小月饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的取值为4或5， 当时，； 当时，； 综上，有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $