第32期 8.1 幂的运算-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

素养·拓展 数理极 思维天 比较幂的大小是一种常见题型，由于这类 逆用法则轻松解题 题目的结构比较复杂，不宜按常规方法求解，所 以很多同学在处理此类型题目时，常感到束手 无策.现介绍几种方法，供同学们参考 ⊙湖南何超 一、计算比较法 逆向，思维是体现发散思维的重要内容，是问题转化为两个简单的分数相乘. 先计算出幂的结果，再比较大小，从而 培养同学们思维品质的重要方法，现就幂的运 解：原式=-(~各× 确定幂的大小 算法则的逆用举例说明如下，供同学们参考. 十十十十++++++十++十十十+十人 一、逆用同底数幂的乘法 =-(-1)124 例1若am=2,a”=3,则am+"的值为 =-1. 例1 已知a=(子b=(-7 4 ( 四、逆用同底数幂的除法 c=0.8,则a,b,c按从小到大的顺序排列是 A.5 B.6 C.8 D.9 例4若3m=4,9”=5,则3m-2的值为 分析：为了能使待求式直接运用已知条件 分析：由于所给的暴比较容易计算，因此可 可以逆用同底数幂的乘法法则将待求式变形， B D. 逐一计算后，再比较大小 即am+n=am·a”, c 5 分析：因为待求式的底数为3，而9=32，所 解：因为am=2,a”=3, 解：因为=(-)=6 3 所以a*n=am·a”=2×3=6. 以可先把9”转化成底数为3的形式，再逆用同 底数幂的除法法则求解即可 (、 故选B. 4°=1，e=0.81=又因为1< 4 解：因为9”=5， 二、逆用幂的乘方 =5. 例2已知xm=3,x”=2,那么x2m+m 所以(32)”=5，即32m ,所以b<c<a故填b<c<0 又因为3m=4, ( 品味方法 A.17B.54C.72 D.81 所以3m-2=3m÷32m=4÷5= 分析：逆用同底数幂的乘法法则及幂的乘 故选B. 巧妙比较幂的大 方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算 五、综合逆用幂的运算法则 ⊙浙江应思涵 即可 例5若103x=125,则10x= 解：因为xm=3,x”=2, 分析：根据已知条件逆向运用幂的乘方法 二、指数比较法 所以x2m+3”=x2m·”=(x)2.(x)3=32则，将103r转化为(10)3求出10的值，然后逆 十十十十十 先把底数化为相同的数，然后比较指 ×23=9×8=72. 用同底数幂的乘法法则将10+转化为10×10 故选C. 即可得解 数的大小，从而确定幂的大小 十十十“十 三、逆用积的乘方 解：因为10r=125, 例2若a=8131,b=2741,c=91,则a 例3计算：-(-)×(2号) 所以(10)3=53. b,c的大小关系为 所以10=5. 分析：本题所给的幂直接计算比较复杂.经 分析：本题直接计算不仅计算量大，而且容 所以10w=10×10=10×5=50. 观察，可发现所给的幂都可以写成3”的形式， 易出错，若逆用积的乘方的运算法则，则可以将 故填50. “十“十…十“十十…+十 故将各数的底数都化为3后，再比较其指数的 第30期2版参考答案 15.x的取值范围是x≥9. 大小，这样可以简化运算 7.2一元一次不等式（应用） 16,m的取值范围是-2<m<子 解：因为a=8131=(34)31=324,b=271 基础训练1.B;2.B;3.15;4.3. 17.(1)A水果礼盒的售价为80元，B水果礼盒的售价为60元 =(33)1=325,c=961=(32)61=322,又因 5.这批计算机最少有105台. (2)设第三周购进A水果礼盒m盒，B水果礼盒n盒. 为124>123>122，所以3124>323>322.所 6.B设备至少购进4套。 以a>b>c.故填a>b>c. 7.(1)1个甲部件的质量是160kg,1个乙部件的质量是 根据题意，得60m+45n=900.整理，得n=200-号m. 三、底数比较法 120kg. 根据题意，得(80×0.9-60)m+40%×45n≥3000. 十n十十十 (2)该货运电梯一次最多可装运7套设备 整理，得12m+18n≥3000，即12m+18(200-号m)≥ 先把指数化为相同的数，然后比较底 能力提高8.D. 3000.解得m≤50. 数的大小，从而确定幂的大小 7.3一元一次不等式组 因为m,n均为正整数，所以m最大可取值为48. 基础训练1.A;2.C; 答：第三周最多购进A水果礼盒48盒 例3比较30,440,530的大小 3.x<4;4.a≥1. 附加题(1)购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型 分析：由于题目中所给的幂的指数较大，显 5.数轴表示略。 头盔需要65元 然不能迅速求解.观察发现，指数500,400,300 (1)1<x≤3；(2)-2<x≤3； (2)设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔(200-m)个. 具备一个特点，那就是它们都是100的倍数.因 (3)-2≤x<子：(4)-号≤x<-1 根据题意，得65m+30(200-m)≤10200.解得m≤120. 此可逆用幂的乘方的性质，把指数化为相同的 答：最多可购进乙型头盔120个. 数后，再比较其底数的大小. 能力提高6.B. (3)能实现利润不少于6190元的目标理由如下： 7.符合条件的整数m的值为-4，-2，-1. 解：因为350=(35)0=2430,440= 根据题意，得(58-30)(200-m)+(98-65)m≥6190. (44)10=256m,530=(53)10=1250,又因为 第30期3版参考答案 解得m≥118.又因为m≤120，所以118≤m≤120.因为 m为整数，所以m可取值为118,119,120，对应的200-m的值分 256>243>125,所以256100>243100>12510. 题号12345678 别为82,81,80. 所以4400>350>530m. 答案ADCABABB 所以该商场有3种采购方案： 例4已知a3=3,b=4,比较a,b的大小 二、9.-1<x≤3；10.m>2; 方案1：采购甲型头盔82个，乙型头盔118个： 分析：先将a与b各自乘方，使乘方后的 11.8;12.-2,-3,-5. 方案2：采购甲型头盔81个，乙型头盔119个； 幂的指数为原来各指数的最小公倍数，即将指 三、13.数轴表示略 方案3：采购甲型头盔80个，乙型头盔120个 数化为相同的数，然后再比较乘方所得的数的 (1)-1≤x<5;(2)-1<x≤4： 第31期综合测评卷参考答案 大小即可. 3)号≤≤8 题号12345678910 解：因为(a3)5=a5=3=243,(b)3= 14.一次将全部师生送到指定地点至少需要租用甲种客车 答案B BDA D BA C BB 5=43=64,又因为243>64，所以a5>b5 4辆 (下转1,4版中缝) 所以a>b. 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 羞理橘 2026年2月10日·星期二 初中数学 报纸发行质量反馈电话： 第 32期总第1176期 沪科 0351-5271248 七年级(AH) 上接4版参考答案) 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 二、11.3x+2<8: 12.1；13.45 入门向 14.1： 15.a≤0或a≥4. 本周住讲 三、16.数轴表示略 伴你学幂的运算 1)x<2;(2)x≤4： 8.1幂的运算 (3)x≤ O安徽 何文慧 学习目标：1.清晰掌握幂的乘除、乘方与 17.m的取值范围是m 同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘 解：由题意，得2x=8,所以x 1 方是整式乘除运算的基础，也是进行整式乘除 18.(1)m的取值范围 三、积的乘方 积的乘方的运算法则，并会进行相关计算 是m>-3. 运算的依据，所以学好幂的有关运算十分重要 (ab)"=a"b(n是正整数). (2)整数m的值为-2， 一、同底数幂的乘法 积的乘方等于各因式乘方的积 2.了解零指数幂和负整数指数幂的意义 1 19.(1)每本宣传册A am·a”=am+"(m,n都是正整数). 注意：①具体运算时，一定要将积中的每 会用科学记数法表示绝对值较小的数 种彩页有4张，B种彩页有6 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 个因式都乘方，不要漏乘， 张 (2)最多能发给150位 注意：①在这个表达式中，等式左边的两个 认知重点：能准确理解幂的运算法则，学 ②三个或三个以上的积的乘方也具有这 顾客 幂的底数相同，且是乘积的关系，而右边是一个 20.(1)①③： 性质，如(abc)”=a"b"c”(n是正整数) 会法则的逆用，并能解决一些实际问题。 (2)解不等式组 幂，与左边相比，底数不变，指数是由左边的两 例3计算：(2a)3 得0< 个指数相加而得到的. 2 解：原式=23·(a4)3=8a2 科学记数法在数学领 域占据着重要地位，它的 -m≤2m+1, ②三个或三个以上的同底数幂相乘，也具 四、同底数幂的除法 ≤3m+1.因为不等式组有 有这一性质，如a·a·d=a+n+P(m,n,p都是 魅力不仅在于其简洁性， 个整数解，即为1,2,3,4 am÷a”=am-"(a≠0，m,n都是正整数，且 更在于其广泛的应用性. 所以4≤3m+1<5.解得 正整数). m>n). 让我们通过具体的例子来 ≤m<.解方程* ③注意分清底数和指数，把同底数幂的乘 同底数幂相除，底数不变，指数相减 进一步感受一些绝对值较 ☆ 3m=0,得x=6m-7.因为 法与合并同类项区分开. 小的数的科学记数法的魅 关于x的方程*牛7-3m: 例1计算a2·a的结果为 2 ( 注意：①和同底数幂的乘法类似，被除式 力吧！ 李 )是关于x的不等式组 A.a B.3a C.2a2 D.a' 除式和商都是幂的形式且底数一定相同，商中 木 ☆ +2m>m,的“关联 解析：原式=a21=a3.故选D 幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差 绝对值小于1的数 2 x-m≤2m+1 二、幂的乘方 ②表达式中的“a”不为0. 可记成±a×10”的形 程”， 所 以 (am)”=am"(m,n都是正整数) ③三个或三个以上的同底数幂相除，也具 式，其中1≤a<10,n X 6m-7>0, l6m-7≤3m+1. 解得 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 有这一性质，如am÷a”÷a=a-"(a≠0，m, 是正整数，n等于原数 n,p都是正整数，且m>n+p) 中第一个不等于零的 6 <m≤号所以m的取 注意：①幂的乘方和同底数幂的乘法的区 值范用是石<m<子 别：前者是指数相乘，后者是指数相加， 例4计算a3÷a得a',则“？”是( 数字前面的零的个数 X C.2 (包括小数点前面的一 21.(1)根据题意，得 ②多重乘方也具有这一性质，如[(a)”]P A.0 B.1 D.3 个零)，这种记数方法 「a-b=2, =am叩(m,n,p都是正整数) 解析：因为a3÷a=a31=a2,所以“？”的 L3b-2a=6. 也是科学记数法 例2 计算(a)2的结果为a3,求x的值 值为2.故选C 例1宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十 (2)设购买m台A型i 专题辅导 备，则购买(10-m)台B型 设备.根据题意，得12m+ 要结论伴你行 日红，此花无日不春风一尖已剥胭脂笔，四破优 包翡翠茸.”描绘了月季花的季节特征与月季花 10(10-m)≤105.解得m 开放时的形态和色泽月季被誉为“花中皇后” 因为m为自然数所 重庆 李旭峰 也是南郁阳市的市花，具有非常高的观赏价值.某 以m可取值为0,1,2，对应 若a =a”(a>0,a≠1，m,n都是正整数)，则 即可 品种的月季花粉直径约为0.0000352米，数据 的10-m的值分别为10,9 解：因为16”=84 0.0000352用科学记数法表示为 ( 8.所以共有3种购买方案： 方案1：购买10台B型 若b=c(x为正整数)，则 所以(24)”=(23)4 A.3.52×10-5 B.0.352×10-5 设备； 「b=c(x为奇数)， 所以24n=212. C.3.52×10-6 D.35.2×10-6 方案2：购买1台A型 分析：本题考查用科学记数法表示较小的 备，9台B型设备； L1b1=1c1(x为偶数) 所以4n=12. 方案3：购买2台A型设 这两个结论应用非常广泛，下面举例说明， 解得n=3. 数，一般形式为±a×10”,其中1≤a<10,n 备，8台B型设备. 供同学们参考. 所以-3”-4×(-2”)+5=-3-4×(-2) 为正整数.n的值等于将原数写成科学记数法±a (3)根据题意，得240 +200(10-m)≥2040.解 一、求字母的值 +5=10. ×10n时，小数点移动的位数 得m≥1.因为m≤)，所 例1若2×4”×16”=2°，求n的值. 例3已知27=a=9°，求2a2+2ab的值 解：0.0000352=3.52×10-5 分析：先运用幂的乘方法则将式子转化为 分析：先把已知条件转化为底数相同或者 故选A. 以1≤m≤因为m为自 同底数幂的乘法运算，然后运用同底数幂的乘 指数相同的幂，求出4，b的值，再代入所求式计 例2 -个数用科学记数法表示为5.01× 然数，所以m可取值为1,2 法法则转化为am=a”的形式，解方程即可 算即可 102,则这个数是 当m=1时，所需费用 为：12×1+10×9=102（万 解：因为2×4”×16”=29 解：由272=a,得(33)2=a6,即36=a. A.5.01 B.0.501 元) 所以2×22×2m=29 所以a=3或a=-3. C.0.0501 D.0.00501 当m=2时，所需费用 所以2+2m+n=29 由272=9，得(33)2=(32)，即36=32 分析：本题考查写出用科学记数法表示的 为：12×2+10×8=104（万 元) 所以2+6m=219, 所以2b=6. 原数.将用科学记数法±a×10-”表示的数 因为102<104，所以 所以1+6n=19. 解得b=3. “还原”成通常表示的数，就是把α的小数点向 最省钱的方案为：购买1台 解得n=3. ①当a=3,b=3时， 左移动位所得到的数.把一个数表示成科学 4型设备，9台B型设备 (全文完) 二、求代数式的值 2a2+2ab=2×32+2×3×3=36: 记数法的形式和把用科学记数法表示的数还 例2若16”=84，求-3”-4×(-2")+ ②当a=-3,b=3时 原，是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科 5的值. 2a2+2ab=2×(-3)2+2×(-3) 学记数法表示一个数是否正确的方法 分析：将等式16”=84的左右两边化为底数 =0. 解：5.01×10-2=0.0501. 相同的幂，列方程求出n的值，代入所求式计算 综上所述，2a2+2ab的值为36或0 故选C. 2 素养专练 A 数理招 5.计算： (2)-x5÷(-x)2= 跟踪训练 (1)(x2)2·(x2)5; (3)(-3)2÷(-3)5= 3.把下列各数写成负整数指数幂的形式： GENzoNGXUNLIAN (1)0.00001= 8.1幂的运算 8.1.1同底数幂的乘法 (2)(xm)3·(x3)m-2(x2)3m (2)西 4.若a-b=2,则5°÷50= 垦础训练 5.计算： 1.计算a2·a结果正确的是 (1)(-2x)5÷(-2x)2; A.a2 B.a5 C.a D.2a2 能刀提高 2.下列运算正确的是 ( A.a3·a5=a15 B.a·a=2a 6.(1)若4+3b+2z-3=0,求3×27×9 C.a2·a=a8 D.2m·3n=6m+m 的值； (2)(-2)3+(m-4)°-()； 3.已知a=6,a=2,则ay= 4.宇宙空间的年龄通常以光年作单位，1光 年是光在一年内通过的距离，如果光的速度为每 秒3×10千米，一年约为3.2×10秒，那么1光 年约为 千米. (2)若22=3，求(2+1)2-2“的值， (3)x2·x-(2x3)2+x9÷x3. 5.若3m+n-4=0,则23m×2”= 6.计算： (1)-y3·y; (2)(-a)2.(-a)5; 8.1.2.2积的乘方 垦础训练 能刀提高 6.(1)已知2m=3,2”=5,求2m-2的值； (3)y·(-y)2·y2;(4)a·a2m·a2-m. 1.计算(-2a)3结果正确的是 ( A.-2a3B.-6a3C.-8a3D.8a3 2.若(2xy)3=8xy5成立，那么a,b的值 为 A.a=3,b=6 B.a=3,b=2 能刀提高 C.a=6,b=2 D.a=3,b=5 (2)已知10=20,10=5求25÷5*的 7.规定：x*y=3×3 3.计算： 值 (1)求2*5的值； (1)(3x)2= (2)若1*(4x-3)=81,求x的值； (2)(-5ab)2= (3)判断x*(y+z)与(x+y)*z的值是否 (6)(-号y- 相等，并说明理由. (4)(4×10)3= (结果用科学记数 法表示) 8.1.3.2科学记数法 4.已知5”=3,4”=5，则20”= 5.下面是东东同学完成的一道作业题： 屋和训练 东东的作业 1.英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功 计算：45×(-0.25). 地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学 解：原式=(-4×0.25)5=(-1)5=-1. 奖.石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材 请参考东东的方法计算下列各题： 料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅 8.1.2.1幂的乘方 (1)(3)2×(-1.25)2； 0.00000000034米，将0.00000000034用科学 记数法表示为 ( 垦础训练 (23日严x(袋"×(-2月 A.0.34×10-9 B.3.4×10- C.3.4×1010 D.34×10- 1.下列计算中，结果等于a的是 ( 2.与-1.27×104相等的数是 ( A.a2·a4 B.(a3)5 A.-0.000127 B.0.000127 C.a+a D.(a)2 C.-0.0000127 D.0.0000127 2.若一个正方体的棱长为102mm,则它的体 3.一个正方体盲盒的棱长为0.4m(以下各 积是 () 题的结果均用科学记数法表示) A.102mm3 B.105mm3 (1)这个盲盒的体积是多少？ C.105 mm D.108 mm3 8.1.3.1同底数幂的除法 (2)若有一个小立方块的棱长为1×103m, 3.计算： 垦础训练 则儒要多少个这样的小立方块才能将盲盒装满？ (1)(m3)2= (2)-(x4)2= 1.下列运算结果为a的是 (3)[(x2)3]5= A.a3÷a B.a3÷a9 (4)[(-2)2]3= C.a8÷a2 D.a9÷a6 4.当x+2y-3=0,则4×2-2的值为 2.计算： 数理报社试题研究中心 (1)(-a)9÷(-a)3= (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 16.(8分)已知(1xl-4)+1=1,求整数x的 同步达标检测题（四） 值.小张同学是这样解答的：因为a°=1(a≠0)， 所以x+1=0且1x1-4≠0，所以x=-1. TONG BU DA BIAO JIAN CE TI 你认为小张同学的解答完整吗？若不完整，请 求出所有的整数x的值 【检测范围：81】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） (2)24050×(-0.25)226; 题号12345678 答案 1.计算x3·x3的结果是 A.2x3 B.x5 C.2x6 D.x 2.头发是人体的附属纤维组织，是人体的主 要组成部分，一根头发的半径约为0.000035m,则 0.000035用科学记数法表示为 ( (3)a3·a3+(-a)2÷(-a)-6+(2a4)2. A.35×10-5 B.3.5×10-4 C.3.5×10-5 D.3.5×10-6 3.已知(2口)2=2，则“口”内应填( A.6 B.5C.4 D.3 17.(12分)数学探究活动课上，七年级的同学 4.下列各图中，能直观解释“(3a)2=9a2”的 发现由幂的运算逆向思维可以得到amn=am·a, am-n=am÷a”,amm=(a")”=(a)m,在解题过程 14.(8分)“黑洞”是恒星演化的最后阶段根中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法 据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料 □ 则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙解决 (氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍 aa d aaa (1)若8m×16m×32m=22”÷8,求m的值： A B D 缩，直到最后形成体积小、密度大的星体如果这 (2)若a=3%,b=46,c=53,试比较a,b,c 5.下列运算正确的是 星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另 的大小. A.(x2)3=x 次大坍缩.当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏 B.x3·x2=x6 (Schwarzschild)半径后，其引力就会变得相当强 C.(-x)6÷(-x)3=-x3 大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见 D.(x2)3=xy2 的星体一黑洞.施瓦氏半径（单位：m)的计算公 6.若=2，=3，则-的值为()式是R=2GM,其中G=6.67×10-"N·m/kg,为 A.1 B-1C; D.6 引力常量；M表示星球的质量（单位：kg);c=3× 7.已知a=(3)36=(-22,c=(m 10m/s,为光在真空中的速度.已知某恒星的质量 为9×10”kg,请计算该恒星的施瓦氏半径 2026)°，则a,b,c的大小关系是 A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b 8.已知9=a,3y=b,27=ab,那么x,y,z满 足的等量关系是 ) A.2x +y =z B.xy =3z C.2x +y=3z 附加题⊙ D.2xy =z 二、细心填一填（每小题4分，共16分） (以下试题供各地根据实际情况选用) 9.计算：(b-a)(a-b)3= (结果 规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b):如 用幂的形式表示). 果a°=b,那么(a,b)=c.例如：因为23=8，所以 10.若m=n+3,则2m÷2"= 15.(12分)解答下列各题： (2,8)=3. 11.已知x2=5,则(3x”)2-4(x2)2的值为 (1)若2+3×33=36-2，求x的值； (1)根据上述规定填空：(4,64)= ,-27)=3: 12.已知27=9×32m-3,m6=64n6,则m+n (2)若(5,3)=a,(5,8)=b,(5,24)=c,请 的值是 尝试运用上述规定说明：a+b=c; 三、耐心解一解（共52分） (3)当x,y均为正数，进一步探究这种运算时 13.(12分)计算： 发现一个结论：(x”,y)=(x,y),理由如下： (1)-x2·(-x)3·(-x)4; 设(x”,y"）=m,所以(x)m=y. (2)已知100=3,10=5求109的值 所以(x")”=y 所以x”=y,即(x,y)=m 所以(x”,y”)=（x,y). 结合(2)(3)探索得到的结论，计算：(8,125) 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)初中数学·沪科七年级(AH)第31~35期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科七年级(AH) 第31~35期(2026年2月) 第31期综合测评卷 解方程7-3m=0,得x=6m-7。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为关于x的方程+？-3m=0是关于x的不等式组 2 答案B A D B A C B B x +2m z m, 2 的“关联方程”， 二、11.3x+2<8:12.1:13.45: x-m≤2m+1 14.1:15.a≤0或a≥4. 三、16.数轴表示略.(1)x<2;(2)x≤4； 所以6m-7>0, l6m-7≤3m+1. 解得子<m≤号 (8)≤子 所以m的取值范围是乙 4 6 <m<3 由；2≤m,得x≤3m+2曲-12>3-2，得> 21.(1)根据题意，得0-b=2, 解得厂a=12, l3b-2a=6. lb=10. 5.因为不等式组无解，所以3m+2≤5.解得m≤1. 18.(1)2x+y=1+2m,① (2)设购买m台A型设备，则购买(10-m)台B型设备。 根据题意，得12m+10(10-m)≤105. lx+2y=2-m.② ①+②，得3x+3y=3+m.所以x+y=3+m 解得m≤多 3 因为m为自然数，所以m可取值为0,1,2，对应的10-m的 因为x+y>0,所以3十m>0.解得m>-3. 3 值分别为10,9,8. 所以共有3种购买方案： (2)因为(2m+1)x-2m<1,所以(2m+1)x<2m+1. 方案1：购买10台B型设备； 因为(2m+1)x-2m<1的解集为x>1, 方案2：购买1台A型设备，9台B型设备： 所以2m+1<0解得m<-分 方案3：购买2台A型设备，8台B型设备。 (3)根据题意，得240m+200(10-m)≥2040， 又因为m>-3,所以-3<m<-分 解得m≥1. 所以整数m的值为-2，-1. 因为a≤子所以1≤m≤号 19.(1)设每本宣传册A种彩页有x张，则B种彩页有(10 -x)张 因为m为自然数，所以m可取值为1,2. 根据题意，得3x+2(10-x)=24. 当m=1时，所需费用为：12×1+10×9=102（万元）； 解得x=4.所以10-x=6. 当m=2时，所需费用为：12×2+10×8=104（万元） 答：每本宣传册A种彩页有4张，B种彩页有6张 因为102<104，所以最省钱的方案为：购买1台A型设备， (2)设能发给y位顾客. 9台B型设备。 根据题意，得(0.5×4+0.3×6)y+24≤594. 第32期2版 解得y≤150. 8.1幂的运算 答：最多能发给150位顾客. 20.(1)①③： 8.1.1同底数幂的乘法 基础训练1.B;2.C;3.12; x 2m (2)解不等式组 2 >m, 得0<≤3m+1. 4.9.6×102;5.16. -m≤2m+1, 6.(1)-y2;(2)(-a)7;(3)y;(4)am3 因为不等式组有4个整数解，即为1,2,3,4， 能力提高7.(1)因为x*y=3×3,所以2*5=32× 所以4≤3m+1<5.解得1≤m<3 4 35=37=2187. (2)因为1*(4x-3)=81,所以3×34-3=3-2=34 初中数学·沪科七年级(AH) 第31~35期 所以4x-2=4.解得x= 21 三，13.(1)；(2)子；(3)6a (3)x*(y+z)=(x+y)*z.理由如下： 14.R=2×667×10"x9×10=1L334×10(m. 因为x*(y+z)=3*×3*:=3*y+:,(x+y)*z=3*y× (3×10)2 3=3+y,所以x*（y+z）=(x+y）*z 答：该恒星的施瓦氏半径为1.334×104m 8.1.2.1幂的乘方 15.(1)因为23×3+3=36-2，所以(2×3)3=(62)2 基础训练1.D;2.C: =6-4.所以6*3=62-4.所以x+3=2x-4.解得x=7. 3.(1)m,(2)-x3,(3)x0,(4)64:4.2. (2)因为10=3,109=5，所以10=分，10=5 5.(1)x4;(2)-xm. 能力提高6.(1)由题意，得a+3b+2z=3,所以3“×27 所以109=10产÷10=10产÷(010)=号÷5=方 ×9=3”×36×32=30+3h+2=33=27. 16.小张同学的解答不完整，完整解答过程如下： (2)因为22=3，所以(21)2-2r=22-2“=4× 因为a°=1(a≠0)，所以x+1=0且1xl-4≠0，所以 (22*)3-(22)2=4×33-32=108-9=99. x=-1; 8.1.2.2积的乘方 因为1“=1，所以当1x1-4=1时，解得x=±5； 基础训练1.C;2.B; 因为(-1)2=1，所以当1x1-4=-1时，解得x=±3， 3.(19,225a%,3)-y.(464×10;415 此时(1x1-4)1=(-1)4或(-1)2，其结果都为1. 综上所述，x的值可以为-1，±3，±5. 5.()原式=（号）×(-子)×(-子)=[号 4 17.(1)因为8×16m×32m=2÷8=27÷23, 所以(23)m×(24)"×(2)=224, (-子)]×(-子)=-1×(-子)=子 所以23m×2加×2m=224,所以23m4m+5m=224,所以22m ②原武=×（”x("×(-8）=-25×（货 =224,所以12m=24.解得m=2. (2)因为a=39=(33)33=273,b=46=(42)3=163, "=-25 c=53.又因为27>16>5，所以273>163>53，即a>b >c. 8.1.3.1同底数幂的除法 附加题(1)3，-3； 基础训练1.C;2.(1),(2)-,(3)-27 (2)因为(5,3)=a,(5,8)=b,(5,24)=c,所以由新定 3.(1)105,(2)-53；4.25. 义可得：5=3,5=8,5=24，因为3×8=24，所以5“×5 =5,所以a+b=c. 50-8,(2)-23)-22 (3)(8,125)+(4,答)=(2,5)+(2，号).设(2,5)=a, 能力提高6.(1)因为2m=3,2”=5,所以2m=(2m)3 =33=27,22”=(2")2=52=25.所以2加-2m=23m÷2= (2,)=6,c=a+6=(2,5)+(2,号)，所以c=(2,5×) 27 25 =(2.8).因为2=8，所以c=3所以(8,125)+(4，)=3. (2)因为10=20,10=5，所以10=10÷10=20 第33期2版 ÷5=100=102.所以a-6=2.所以25°÷5=(5)°÷5 8.2整式乘法 =52a÷526=52a-2h=54=625. 8.2.1单项式与单项式相乘 8.1.3.2科学记数法 基础训练1.B;2.B: 基础训练1.C;2.A. 3.-4,15;4.22a2. 3.(1)0.43=6.4×102(m3), 5.(1)2x3y;(2)-18xy;(3)3xy;(4)3a36. 所以这个盲盒的体积是6.4×102m3; 能力提高6.yang8888. (2)6.4×10-2÷(1×103)3=6.4×107(个)， 8.2.2单项式与多项式相乘 所以需要6.4×10？个这样的小立方块才能将盲盒装满. 基础训练1.D;2.A;3.1;4.72m2n+45mn2. 5.(1）-6ab-3b;(2）-2x3y2+4xy+2xy2; 第32期3版 (3）-2xy4+6x3y5-x2y 6.(1)这个多项式是：x2-2x+1-(-3x2)=x2-2x+1 题号 1 2 3 5 6 8 +3x2=4x2-2x+1; 答案BCDD (2)正确的计算结果为：(4x2-2x+1)·(-3x2)=-12x 二9.(a-6；10.8:11025:12.3或7 +6x3-3x2. 能力提高7.原式=-a3b+3a2b+2ab2=-(ab2)3+ 初中数学·沪科七年级(AH) 第31~35期 3(ab2)2+2ab2. 192①. 因为ab2=-1,所以原式=1+3-2=2. 因为32=192，所以(32')=192，即32y=192*②. 8.2.3多项式与多项式相乘 ①②的两边分别相乘，得6y×32”=192×192. 基础训练1.C;2.B；3.A;4.-6；5.22+7x-4. 所以(6×32)y=192+y. 6.(1)2x2+9xy-5y2;(2)4a3+6a2b-8ab2-15b3. 所以192y=192y.所以xy=x+y. 7.a2+7a+10;a2+3a-10:a2-3a-10;a2-7a+10. 所以(-6)00)2=（-6)-)×(-6)2= (1)x2+(p+q）x+pg; (-6)y-()1×36=(-6)×36=-216. (2)①x2-13x-230；②x2-45x+500; (3)因为x2-8x-3=0,所以x2-8x=3. 第34期2版 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)=(x-1)(x-7)(x-3)(x 8.3完全平方公式与平方差公式 -5)=(x2-8x+7)(x2-8x+15). 8.3.1完全平方公式 把x2-8x=3代人，得原式=(3+7)×(3+15)=180. 基础训练1.A;2.D;3.C;4.19；5.±1 6.(1)16a2-24ab+96;(2)-x: 第33期3版 (3)5x2-42x+16;(4)9980.01. 题号1234 5 678 7.因为(x+y)2=25,(x-y)2=9,所以 (0y=4[(x+02-(x-y)]=4×(25-9)=4 二、9.15a2-6ab;10.-12mn；11.-7;12.- 3 (2)+=2[(x+)2+(x-y)P]=7×(25+9) 13.(1）-24xy;(2)12x2y+8x2y2-4xy: =17: (3)7x2+29x-6. (3)x4+y=(x2+y2)2-2x2y2=(x2+y2)2-2(xy)2= 14.小明的发现是正确的，理由如下： 172-2×42=289-32=257. 原式=3x3+2x2-3x3-8x2+62-8=-8.因为计算结 能力提高8.a2-2. 果与x的取值无关，所以小明的发现是正确的 8.3.2平方差公式 15.(1)由题意，得(9a+1)(3b-4)-b(3a+1)=24ab 基础训练1.B；2.A;3.6;4.0. -36a+2b-4, 5.(1)9a-1;(2)98-4a;(3)-y产+8头 16 即安装健身器材的区域面积为(24ab-36a+2b-4)平方 米； 6.(1)1;(2)399三 9 (2)当a=9,b=15时，24ab-36a+2b-4=24×9×15 8.3.3运用乘法公式进行计算 -36×9+2×15-4=2942, 即安装健身器材的区域面积为2942平方米 基础训练1.B;2.B;3.a2-2ab+b2. 4.(1)x3-15x2+75x-125: 16(1)B是A的“好多项式”.理由如下： (2)m2+4mn+4n2-6pm-12pn+9p2; 由题意，得C=A×B=(x-2)(x+3)=x2-2x+3x- (3)4x2-9y2+6yz-2. 6=x2+x-6,所以L(C)=3. 能力提高5.因为(5a+10b+7)(5a+10b-7)=(5a+ 因为L(A)=2,以L(A)<L(C)=L(A)+1. 10b)2-49=176,所以(5a+10b)2=225. 所以B是A的“好多项式”. 因为a>0,b>0,所以5a+10b=15,即a+2b=3. (2)C=A×B=(x-3)(x2-ax+9)=x3-(a+3)2 +3(a+3)x-27. 第34期3版 因为B是A的“极好多项式”，所以L(A)=L(C)=2. 所以x-(a+3)x2+3(a+3)x-27只有两项. 题号 1 2 3 4 6 8 所以a+3=0.解得a=-3. 答案 D 17.(1)4×5×100+25: 二、9.4x2-25y2；10.4；11.6;12.4或16. (2)(a5)2=100a(a+1)+25.理由如下： 三、13.(1)x2+4y+4y2; 因为(a5)2=(10a+5)(10a+5)=100a2+100a+25, (2)y2-3xy; 100a(a+1)+25=100a2+100a+25, (3)a2-462+4bc-c2. 所以(a5)2=100a(a+1)+25. 14.(1)x=1;(2)x<10.5. (3)根据题意，得(a5)2-100a2=525,即100a2+100a+ 15135992；(2)10609 25-100a2=525.解得a=5. 附加题因为6=192，所以(6)”=192'，即6”= 16原式=2×[(1-分(1+宁)1+)1+)0 —3 初中数学·沪科七年级(AH) 第31~35期 ++ =(x+2z)2-(3y)2=(x+2z+3y)(x+2z-3y).因为x+2z =3y,所以x+2z-3y=0.原式=6y·0=0,其值是定值. =2×[1-)1+1+1+岁]+是 8.4.2公式法(3) 基础训练1.A;2.B;3.(x+y)(m+n)；4.0. =2×[1-2)1+71+]+0 5.(1)(m-3)(m-4);(2)b(b-1)(a+c). =2×[1-)1+2]+0 1 第35期3版 1、 1 1 =2×(1-2)+25=2-2西+25=2 题号 1 2345678 17.(1)因为a-b=1,a2+62=17,(a-b)2=a2+62- 答案B 2ab,所以12=17-2ab,解得ab=8. 二、9.(m-6)2;10.4;11.(x-3)(x+1)(x2-2x+ (2)根据题意，得 2)；12.-3. sa分=d-2×2b(a-b)=d+-ad 三、13.(1)(x+9)(x-3)；(2)(x-1)(x+4)(x-4)； (3)(2a-b)2. 因为a+b=7,所以(a+b)2=7,即a2+2ab+b2=49. 14.(1)10000;(2)147. 因为ab=9,所以a2+b2+2×9=49,即a2+b2=31. 15.(1)图中的面积可以表示为(2a+b)(a+b)或2a2+ 所以图中阴影部分的面积=31-9=22. 3ab+b2;表示因式分解的等式为：2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+ (3)令2027-x=m,x-2026=n,则m+n=2027- b). x+x-2026=1, (2)图略.2a2+5ab+2b=(2a+b)(a+2b).所以这个 因为(2027-x)(x-2026)=-6,所以mn=-6. 长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b.所以此长方形的周长 所以(2027-x)2+(x-2026)2=m2+n2=(m+n) 为：2(2a+b+a+2b)=6a+66. -2mn=12-2×(-6)=13. 16.(1)①25x2+10x-y2+1=(25x2+10x+1)-y2= 附加题(1)①4；②4. (5x+1)2-y2=(5x+1+y)(5x+1-y). (2)设AC=x,BC=y ②x2-4y2+2x+4y=(x2-4y2)+(2x+4y)=(x+ 因为AB=8,所以x+y=8,所以(x+y)2=64. 2y)(x-2y)+2(x+2y)=(x+2y)(x-2y+2) 因为S+S2=44,所以x2+y2=44,所以x2+y2+2xy= (2)因为a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=(a2-4ab 44+2xy=64,解得y=10.所以S2角形m=2y=5, 1 +462)+(b2-6b+9)+(c2-10c+25)=(a-2b)2+(b- 3)2+(c-5)2=0,所以a-2b=0,b-3=0,c-5=0.解得 第35期2版 a=6,b=3,c=5.所以三角形ABC的周长为：6+3+5=14. 17.(1)提公因式法； 8.4因式分解 (2)(1+x)2026; 8.4.1因式分解的概念与提公因式法 基础训练1.C；2.C；3.3(a-7); (6)原式=子×4×(5+5+5+…+5) 4.x2+6x+8=(x+4)(x+2);5.-5. 1 6.(1)a(a+b+2);(2)4xy2(xy+2xz-3z); =4×(4×5+4×52+4×53+…+4×52m) (3)3(x-y)2(9x-4y). =x(1+4+4x5+4×52+4x5+…+ 能力提高7.答案不惟一，略. 4×52m5-5) 8.4.2公式法(1) 基础训练1.D;2.A; =1+4)26-5 4 3.(am+5)(am-5);4.9或-7. 52026-5 5.(1)(x+2y)(x-2y);(2)-(x-2y)2; 4 (3)(x+多；(4)(4+9y)(2x+3y)2-3) 附加题(1)是. (2)由题意，得P=(2+y)2-(x2)2=(x2+y+x2)(x2 8.4.2公式法(2) +y-x2)=y(2x2+y)=2x2y+y2. 基础训练1.D;2.2m(m+3)2;3.64. (3)N=4x2-9y2+8x-18y+k=(4x2+8.x+4)-(9y 4.(1)-4a(x-y)2;(2)3(x+y)(x-y): +18y+9)+k+5=(2x+2)2-(3y+3)2+k+5. (3)a(x+2)2(x-2)2. 因为N是“明礼崇德数”，所以k+5=0.所以k=-5. 能力提高5.x2-9y2+42+4xz=(x2+4z2+4xz)-9y 4