第6章 实数（含17种题型）（知识清单）数学新教材沪科版七年级下册

第7章 实数 一、平方根、算术平方根与立方根 1. 平方根与算术平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于（即），那么这个数就叫做的平方根（也叫二次方根），记作；正数的正的平方根叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0. 核心区别： （1）一个正数的平方根有两个，互为相反数；算术平方根只有一个，是正数. （2）表示方法不同：平方根是，算术平方根是. 被开方数要求：≥0（负数没有平方根，也没有算术平方根）. 2. 立方根 定义：一般地，如果一个数的立方等于（即），那么这个数就叫做的立方根（也叫三次方根），记作,其中叫做被开方数，3叫做根指数. 核心性质： （1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （2）任何实数都有唯一的立方根，被开方数可以是正数、负数或0. （3） 二、实数的概念与分类 1. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. (1)有理数：整数和分数的统称，可表示为有限小数或无限循环小数. (2)无理数：无限不循环小数，常见类型有： · 开方开不尽的数，如、； · 含的数，如、； · 有规律但不循环的无限小数，如 0.1010010001⋯. 2. 实数的分类 3. 实数与数轴 (1)一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)实数大小比较： · 数轴上右边的数总比左边的数大； · 正数> 0 >负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3、 实数的运算 1. 实数的运算律 实数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，与有理数的运算律完全一致. 2. 混合运算顺序 (1)先算乘方、开方； (2)再算乘除； (3)最后算加减； (4)有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）. 3. 近似计算：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行计算. 序号 错误 易错题型 注意 1 混淆平方根与算术平方根，认为表示​ 1-3 表示非负的算术平方根；正数的平方根有两个，它们互为相反数，算术平方根只有一个 2 对无理数的概念理解错误，认为带根号的数都是无理数，或无限小数都是无理数 4-6 无理数是无限不循环小数；带根号的数不一定是无理数 3 求实数的相反数、绝对值时出错，尤其对负数的立方根的绝对值处理不当 7-8 实数的相反数、绝对值的定义与有理数一致 4 实数大小比较时，未正确估算无理数的大小，或直接平方比较时忽略符号问题 9-12 估算时先确定无理数的整数部分，再比较；对两个正数可以平方后比较，负数比较时要注意绝对值大的数反而小 5 实数运算时，忽略运算顺序 13-15 实数运算顺序与有理数一致，先乘方开方，再乘除，最后加减 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根与立方根的定义，根据定义逐一判断各式即可得到错误选项． 【详解】解：根据定义，表示的算术平方根，结果为非负数，立方根的符号与被开方数一致． ∵表示的算术平方根，结果应为非负数，∴，A不正确； ∵，∴，B正确； ∵，∴，C正确； ∵，，∴，D正确； 故选不正确的选项为A． 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．的算术平方根是5 D．9的平方根是 【答案】C 【分析】根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A，，的立方根是，故选项A错误，不符合题意； 选项B，表示36的算术平方根，结果为非负数，，故选项B错误，不符合题意； 选项C，，且正数的算术平方根为正的平方根，的算术平方根是，故选项C正确，符合题意； 选项D，，的平方根是，故选项D错误，不符合题意． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）下列说法：①表示非负数a的平方根，表示a的立方根；②平方根等于本身的数是0；③64的平方根是，立方根是；④一定是负数，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义，逐个判断四个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案； 【详解】解：①根据定义，非负数的平方根是，仅表示非负数的算术平方根，因此①说法错误； ②∵正数的平方根有两个，均不等于本身，只有的平方根是，等于本身，∴平方根等于本身的数只有，②说法正确； ③∵，，∴的平方根是，立方根是，不是，③说法错误； ④当时，，不是负数，因此④说法错误； 综上，正确的说法共个． 4．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，分数是有理数，以及常见的无理数判断即可． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， 选项A，是分数，属于有理数； 选项B，，是整数，属于有理数； 选项C，是无限不循环小数，因此是无理数； 选项D，，是整数，属于有理数． 5．（25-26七年级下·天津·月考）在实数，，，，中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数为无理数，先化简可化简的数，再逐一判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，先对各数逐一判断： ，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数；是无理数，因此仍为无理数； 因此，无理数共有2个． 6．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）在实数（两个“2”之间依次多一个“0”）中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵无理数的定义为无限不循环小数，整数和分数都属于有理数，且，是整数， ∴是整数，是分数，是整数，均为有理数， 无理数为，，，共个． 7．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）实数的相反数是_____． 【答案】 【详解】解：实数的相反数是． 8．（25-26七年级下·黑龙江·月考）的绝对值为___________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·安徽六安·月考）在数学研究中，除了我们认识的无理数外，还有一个自然常数也是无理数，，试比较大小：______e．（请选择“”或者“”进行填空） 【答案】 【分析】根据，，可得 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 10．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】> 【分析】两个负数比较大小，先计算两个数的绝对值，再比较绝对值的大小，根据负数比较大小的法则即可得到结果． 【详解】解：，， 分别对两个绝对值平方得：，， 因为，所以，即， ∴． 11．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）比较大小：______（填“”或“”或“<”） 【答案】< 【分析】先利用无理数的估算判断两个式子的正负性，再根据实数的大小比较方法判断大小即可． 解题的关键在于正确估算出与的正负． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据负数小于正数，可得． 12．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割比．已知黄金分割比为，则____．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】通过估算无理数的近似值，得到黄金分割比的取值范围，再与比较大小即可． 【详解】解： ， ． ∴． ∴． 又 ，且 ， ． 13．（25-26七年级下·安徽六安·月考）计算：． 【答案】 【分析】先计算立方根、乘方、绝对值和算术平方根，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 14．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）计算： 【答案】3 【详解】解： ． 15．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，算术平方根，再算乘法，最后算加减即可； （2）先算乘方，绝对值，算术平方根，立方根，再把各项相加即可． 【详解】（1）解： （2）解： 重难点01 算术平方根、平方根和立方根的概念 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A：，A正确； B：，B错误； C：，C错误； D：，D错误． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）的平方根是（   ） A．3 B． C． D．81 【答案】C 【详解】解： 3的平方根是 ∴的平方根为． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）以下说法正确的是（    ） A．是的一个平方根 B． C．±3是27的立方根 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义，根据相关定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A，，是的一个平方根，该选项说法正确． 对于选项B，表示的算术平方根，，原计算错误，该选项不符合题意． 对于选项C，，的立方根是，原说法错误，该选项不符合题意． 对于选项D，，原计算错误，该选项不符合题意． 4．（25-26七年级下·四川泸州·期中）的立方根是______，的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据立方根的定义求解的立方根，再化简，最后根据平方根的定义求解的平方根即可． 【详解】解：， 的立方根是； ， 根据平方根的定义，可得的平方根为， 即的平方根是． 重难点02 算术平方根的非负性的应用 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）若实数a，b满足，则的值为（  　） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出a，b的值，再计算即可. 【详解】解：∵算术平方根和绝对值都是非负数，即，，且 ∴，， 解得，， ∴． 6．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）若，则的算术平方根是______． 【答案】9 【分析】先根据非负数的性质求出，然后求出的值，再求的算术平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 7．（25-26七年级下·新疆·期中）若a，b为实数，且满足，则的立方根为__________． 【答案】2 【分析】先根据非负数的性质求出，再求出的值，然后求的立方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为． 8．（25-26七年级下·广东东莞·期中）若为实数，且满足，那么的值（   ） A．1 B．3 C．4 D．13 【答案】A 【分析】根据平方数以及算术平方根的性质求解的值，再由指数幂的运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴． 重难点03 估算算术平方根的取值范围 9．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用算术平方根的性质，被开方数越大算术平方根越大，通过比较相邻整数的平方以及中点的平方，判断的大小，即可得到最接近的整数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴距离5更近 因此与最接近的整数是5． 10．（25-26七年级下·河南开封·期中）实数是连续整数，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】先确定的范围，再得到连续整数的值，最后计算即可． 【详解】解： 即 ，且为连续整数 ． 11．（2026年云南省保山市）估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【详解】解：， ， ， 的值在2和3之间． 12．（24-25七年级下·山东济南·期末）宽与长之比为的长方形称为“黄金长方形”，估算的取值范围在（    ） A．0到之间 B．到1之间 C．1到之间 D．到2之间 【答案】B 【分析】先由得到，再由不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ， ， ． 重难点04 利用平方根、立方根解方程 13．（25-26七年级下·广西南宁·期中）求下列各式中的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方根的定义求解； （2）利用立方根的定义求解． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴ ∴． 14．（25-26七年级下·新疆喀什·期中）求下列式子中x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·北京·期中）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将的系数化为，再开平方，得到两个互为相反数的解； （2）先移项，再开立方，然后求解． 【详解】（1）解：， ， 解得，． （2）解：， ， ， 解得． 16．（25-26七年级下·内蒙古兴安·月考）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用平方根求方程的解； （2）利用立方根求方程的解． 【详解】（1）解： ∴或； （2）解： ． 重难点05 与算术平方根、立方根有关的规律探索 17．（25-26七年级下·广东广州·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，，则（    ） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 【答案】C 【分析】先从表格中总结被开方数与算术平方根的小数点移动规律，再利用规律计算得到结果． 【详解】解：观察表格可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，其算术平方根的小数点向相同方向移动一位． ∵，即16.9的小数点向右移动两位得到1690， ∴ ． 18．（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知，，，，则（   ） A．22.36 B．223.6 C．70.71 D．707.1 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点每向左或向右移动2位，其算术平方根的小数点相应地向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 19．（25-26七年级下·吉林四平·月考）已知，，则_______． 【答案】 0.2714 【分析】将被开方数变形为含已知立方根的数与的商的形式，利用立方根的运算性质化简后代入已知数值计算即可. 【详解】解： = 根据立方根的性质可得 = = 已知，代入得 20．（25-26七年级下·河南商丘·月考）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 重难点06 算术平方根与立方根的综合应用 21．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知的算术平方根是4，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，即可计算出答案． 【详解】解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 22．（25-26七年级下·广东汕头·月考）若正数x的两个平方根是和，b的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程可求得a，进而求得x；再利用立方根的定义求得b，然后求得的值，最后求算术平方根即可． 【详解】解：∵正数x的两个平方根是和， ∴，即，解得， ∴， ∴， 又∵b的立方根是， ∴， ∴， ∵2的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 23．（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解：，，， ， 的立方根为． 24．（25-26七年级下·江苏南通·月考）已知是27的立方根，是的算术平方根与的立方根的和，是的平方根． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小； (2)求的所有可能值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及实数的大小比较，解题的关键是掌握立方根和算术平方根的定义，注意一个正数有两个平方根， (1)中由27的立方根得，由的算术平方根与的立方根求和得，再计算，比较三个数的大小； (2)中先计算，再由平方根的定义得． 【详解】（1）解：是27的立方根， ， 的算术平方根为的立方根为， ， ， ， ； （2）解：， 是的平方根， ． 重难点07 算术平方根、立方根的实际应用 25．（25-26七年级下·北京大兴·期中）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长，再根据长方形的长为两个正方形边长之和，宽等于大正方形的边长求出周长即可； （2）根据，求解即可； 【详解】（1）解：∵长方形内两个正方形的面积分别为，， ∴两个正方形的边长分别为，， 由图可得：长方形的长为两个正方形边长之和，宽等于大正方形的边长，即： 长，宽， ∴长方形的周长； （2）解： ． 26．（25-26七年级下·广东广州·期中）一个正方体的体积是8，则这个正方体的边长是______． 【答案】2 【分析】根据正方体体积公式列方程，求解正的立方根即可得到正方体的边长． 【详解】解：设这个正方体的边长为，由边长为正数可得，根据正方体体积公式得：， ， ． 27．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形剪拼成一个大的正方形， (1)大正方形的边长是______； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． 【答案】(1)4 (2)不能，见解析 【分析】（1）利用正方形的面积公式即可求解； （2）长方形纸片的长为，宽为，利用长方形面积公式列式即可求出长方形的长与宽，然后再与正方形边长比较即可得出答案． 【详解】（1）解：两个边长为的小正方形的面积和为，即大正方形的面积为，则边长是； （2）解：设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得， 即长方形纸片的长为，宽为， 由于， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 28．（25-26七年级下·陕西西安·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的表面积为___________． 【答案】486 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长，进而根据正方体的表面积公式即可求解． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为， ∴第二个水箱的表面积为． 重难点08 无理数的识别 29．（25-26七年级下·河北唐山·期中）在数学史上，希帕索斯发现了无理数，由此触发了第一次数学危机．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查无理数的识别，根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，化简各选项后即可判断． 【详解】A、是无限不循环小数，是无理数； B、，是整数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、是整数，属于有理数； 故选：A． 30．（2026·陕西榆林）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A中，，2是整数，属于有理数，∴A不符合要求； ∵选项B中，是分数，属于有理数，∴B不符合要求； ∵选项C中，是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，∴C符合要求； ∵选项D中，是整数，属于有理数，∴D不符合要求． 31．（25-26七年级下·四川泸州·期中）在，，0，，0.10100100010000…（每两个1之间多一个0），五个实数中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：是开方开不尽的数，是无理数； 中是无理数，因此是无理数； 是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； （每两个1之间多一个0）是无限不循环小数，是无理数； ∴ 无理数共有个． 32．（25-26七年级下·河北唐山·月考）在下列各数，，，，（每两个2之间依次多1个0）中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，按照无理数常见类型逐个判断即可． 【详解】解：是分数，是循环小数，分数和循环小数都属于有理数； 含有，是无限不循环小数；开方开不尽，是无限不循环小数；（每两个2之间依次多1个0）是无限不循环小数，都符合无理数定义，无理数共有3个． 重难点09 无理数整数部分和小数部分有关计算 33．（25-26七年级下·北京·期中）已知的小数部分为a，则_____． 【答案】/ 【详解】解：， ，即， 的整数部分为， 的小数部分为， ． 34．（25-26七年级下·福建福州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则_____． 【答案】 / 【分析】先根据算术平方根的定义估算的取值范围，得到的整数部分，再根据小数部分的定义得到，最后将代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分， 将，代入得： ． 故答案为：． 35．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知x，y满足等式 是的小数部分，则的值为__________ 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，的值，估算的取值范围得到的值，代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， 是的小数部分，且， ， 将，，代入得： ． 36．（2026七年级下·重庆璧山）设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】利用夹逼法求出的值，再求和即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 重难点10 实数的分类 37．（25-26七年级下·福建福州·期中）在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 【答案】⑥⑨；①④；②③⑦⑧⑩ 【分析】逐个分析每个数：如果一个数是像0、绝对值化简后为整数的数，那么它属于整数；如果一个数是小于0的分数（包括可化为分数的有限小数），那么它属于负分数；如果一个数是大于0且无限不循环的小数，那么它属于正无理数． 【详解】解：整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 38．（25-26七年级下·四川德阳·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，2π，3.14159265，，（两个3之间依次增加一个0）． (1)有理数：{                    }； (2)无理数：{                    }； (3)正实数：{                    }； (4)负实数：{                    }． 【答案】(1)，，，， (2)，，（两个3之间依次增加一个0） (3)，，，，（两个3之间依次增加一个0） (4)，， 【详解】（1）解：，， 有理数：{，，，，}； （2）解：无理数：{，，（两个3之间依次增加一个0）}； （3）解：正实数：{，，，，（两个3之间依次增加一个0）}； （4）解：负实数：{，，}． 39．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 【答案】(1)，，，（两个1之间依次增加一个7） (2)， (3)，， (4)，，（两个1之间依次增加一个7） 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 40．（25-26七年级下·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛               ｝ (2)无理数集合：｛               ｝ (3)正实数集合：｛               ｝ (4)负实数集合：｛               ｝ 【答案】(1)，， ， ，， (2)，； (3)， ， ，，； (4)， ，． 【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，负实数是小于0的所有实数；结合，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴有理数集合：｛，，，，，｝ （2）解：无理数集合：｛，｝ （3）解：正实数集合：｛，，，，｝ （4）解：负实数集合：｛，，｝ 重难点11 实数的性质 41．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）实数的相反数是_____． 【答案】 【详解】解：实数的相反数是． 42．（25-26七年级下·广西贵港·期中）实数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：实数的绝对值是． 43．（25-26七年级下·黑龙江·月考）的绝对值为___________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 44．（2025·湖南岳阳）的相反数是_________，的倒数是_______，的平方根是______． 【答案】 【分析】根据相反数定义，倒数的定义，平方根的定义，依次计算即可得到结果． 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，因为，所以的倒数是； 因为，且的平方根是，因此的平方根是． 重难点12 实数与数轴 45．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：，即， ∴， ∴实数在与之间，即在数轴上表示实数的点可能是点． 46．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，以点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正方形的边长，再根据作图可知，即可求得答案． 【详解】解：正方形的面积为5， ， 以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E， ， 点E表示的数为． 47．（25-26七年级下·北京大兴·期中）如图，数轴上与对应的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，确定其位于整数和之间，再观察数轴上各点的位置即可得出答案； 【详解】解：∵， ∴， 观察数轴可知，点在与之间，点在与之间，点在与之间，点在与之间， 与对应的点可能是点． 48．（25-26七年级下·山东济宁·期中）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数轴上对应的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点A表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】先把两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形面积为2，可得小正方形对角线长为，再根据题意即可得点A表示的数． 【详解】解：如图，由两个小正方形拼成正方形，则正方形的面积为2， ∴, ∵以数轴上对应的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点A， ∴， ∴点A表示的数为． 重难点13 实数的大小比较 49．（25-26七年级下·贵州·期中）比较大小：4____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】两个正数比较大小，平方大的数更大，将两数平方后即可比较大小． 【详解】解：， ， ， ． 50．（25-26七年级下·甘肃陇南·期中）________45．（选填“”“”或“”） 【答案】 ＞ 【详解】解：， ． 51．（25-26七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小，用“”，“”或“”连接： (1)__________； (2)__________； (3)__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数大小比较，立方根的运算，可通过化简，估算无理数大小后比较，得到结果． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 52．（25-26七年级下·山西忻州·期中）若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘方法比较正数大小，带根号的正数同时乘相同次数的方去掉根号后，结果越大则原数越大，据此依次比较得到三者的大小关系． 【详解】解：∵，，均为正数，正数乘方后大小关系与原数一致， 先比较与，将两数同时平方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 再比较与，将两数同时立方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 综上可得 ． 重难点14 实数的混合运算 53．（25-26七年级下·四川泸州·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 54．（25-26七年级下·四川泸州·期中）计算：． 【答案】 【分析】依次计算绝对值、算术平方根与立方根即可． 【详解】解： ． 55．（25-26七年级下·河北唐山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方、算术平方根、绝对值，然后计算加减法； （2）先计算算术平方根、立方根，根据绝对值的性质化简绝对值，再算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 56．（25-26七年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根，再做加减运算即可； （2）先分别化简绝对值、算术平方根、立方根，再进行运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 重难点15 新定义下的实数运算 57．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是__________． 【答案】/ 【分析】根据定义新运算的法则，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 58．（24-25七年级下·浙江温州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算“”如下：．例如：，则______． 【答案】 【分析】根据题目给出的新定义，将对应数值代入计算即可． 【详解】解：． 59．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于实数a、b，定义运算“※”如下：，则下列关于的说法正确的是（    ） A．平方根为 B．立方根为 C．算术平方根为4 D．立方根为2 【答案】D 【分析】先根据新定义的运算规则计算出的结果，再结合平方根，立方根和算术平方根的概念判断正确选项． 【详解】解：∵ ∴ ∴的平方根为，立方根为2，算术平方根为． 60．（25-26七年级下·广西南宁·期中）自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】首先证明，进而结合，可得，据此求解的值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 即，， ， ， ∴ ∴． 重难点16 实数运算的实际应用 61．（25-26七年级下·北京·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【分析】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． 62．（25-26七年级下·浙江温州·月考）如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 63．（25-26七年下上·浙江金华·月考）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 64．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 重难点17 与实数相关的规律探索 65．（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，……，则第216个数是______． 【答案】6 【分析】观察可知，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，每组第一个数为负平方根，第二个数为正平方根，第三个数为正立方根，据此求解即可． 【详解】解：由分析可知，每组内按顺序形式为：第一个位置是，第二个位置是，第三个位置是， ∵， 第216个数是第72组的第3个数，形式为， 计算得． 66．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意依次计算出，，，，，总结规律可知，线段的长的规律，据此即可求得答案． 【详解】解：根据题意，点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， ∴点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， 同理可得，，，， ∴线段， ∴． 67．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 【答案】 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】， ， ， ， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 实数 一、平方根、算术平方根与立方根 1. 平方根与算术平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于（即），那么这个数就叫做的______________（也叫______________），记作_________；正数的正的平方根叫做的______________，记作_______，0的算术平方根是__________. 核心区别： （1）一个正数的平方根有________，互为________；算术平方根__________，是________. （2）表示方法不同：平方根是_______，算术平方根是______. 被开方数要求：__________（_________没有平方根，也没有算术平方根）. 2. 立方根 定义：一般地，如果一个数的立方等于（即），那么这个数就叫做的______________（也叫___________），记作______,其中叫做__________，3叫做________. 核心性质： （1）正数的立方根是_________，负数的立方根是_________，0的立方根是_____. （2）任何实数都有______的立方根，被开方数可以是_______、_______或_____. （3）_______ 二、实数的概念与分类 1. 实数的定义：_______和_______统称为实数. (1)有理数：______和______的统称，可表示为有限小数或______________. (2)无理数：无限不循环小数，常见类型有： · ______________，如、； · ____________，如、； · ______________，如 0.1010010001⋯. 2. 实数的分类 3. 实数与数轴 (1)一一对应：每一个实数都可以用数轴上的________来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个__________. (2)实数大小比较： · 数轴上右边的数总比左边的数_____； · 正数> 0 >负数；两个负数比较，绝对值大的反而_____. 3、 实数的运算 1. 实数的运算律 实数的加法________、________，乘法________、________，乘法对加法的________，与有理数的运算律完全一致. 2. 混合运算顺序 (1)先算_______、_______； (2)再算_______； (3)最后算_______； (4)有括号的先算_____________（先_____括号，再_____括号，最后_____括号）. 3. 近似计算：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行计算. 序号 错误 易错题型 注意 1 混淆平方根与算术平方根，认为表示​ 1-3 表示非负的算术平方根；正数的平方根有两个，它们互为相反数，算术平方根只有一个 2 对无理数的概念理解错误，认为带根号的数都是无理数，或无限小数都是无理数 4-6 无理数是无限不循环小数；带根号的数不一定是无理数 3 求实数的相反数、绝对值时出错，尤其对负数的立方根的绝对值处理不当 7-8 实数的相反数、绝对值的定义与有理数一致 4 实数大小比较时，未正确估算无理数的大小，或直接平方比较时忽略符号问题 9-12 估算时先确定无理数的整数部分，再比较；对两个正数可以平方后比较，负数比较时要注意绝对值大的数反而小 5 实数运算时，忽略运算顺序 13-15 实数运算顺序与有理数一致，先乘方开方，再乘除，最后加减 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．的算术平方根是5 D．9的平方根是 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）下列说法：①表示非负数a的平方根，表示a的立方根；②平方根等于本身的数是0；③64的平方根是，立方根是；④一定是负数，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·天津·月考）在实数，，，，中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）在实数（两个“2”之间依次多一个“0”）中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）实数的相反数是_____． 8．（25-26七年级下·黑龙江·月考）的绝对值为___________． 9．（25-26八年级下·安徽六安·月考）在数学研究中，除了我们认识的无理数外，还有一个自然常数也是无理数，，试比较大小：______e．（请选择“”或者“”进行填空） 10．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：________．（填“”“”或“”） 11．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）比较大小：______（填“”或“”或“<”） 12．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割比．已知黄金分割比为，则____．（填“＞”，“＜”或“＝”） 13．（25-26七年级下·安徽六安·月考）计算：． 14．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）计算： 15．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2)． 重难点01 算术平方根、平方根和立方根的概念 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）的平方根是（   ） A．3 B． C． D．81 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）以下说法正确的是（    ） A．是的一个平方根 B． C．±3是27的立方根 D． 4．（25-26七年级下·四川泸州·期中）的立方根是______，的平方根是______． 重难点02 算术平方根的非负性的应用 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）若实数a，b满足，则的值为（  　） A． B．1 C．3 D． 6．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）若，则的算术平方根是______． 7．（25-26七年级下·新疆·期中）若a，b为实数，且满足，则的立方根为__________． 8．（25-26七年级下·广东东莞·期中）若为实数，且满足，那么的值（   ） A．1 B．3 C．4 D．13 重难点03 估算算术平方根的取值范围 9．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（25-26七年级下·河南开封·期中）实数是连续整数，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D．9 11．（2026年云南省保山市）估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 12．（24-25七年级下·山东济南·期末）宽与长之比为的长方形称为“黄金长方形”，估算的取值范围在（    ） A．0到之间 B．到1之间 C．1到之间 D．到2之间 重难点04 利用平方根、立方根解方程 13．（25-26七年级下·广西南宁·期中）求下列各式中的值： (1)； (2) 14．（25-26七年级下·新疆喀什·期中）求下列式子中x的值 (1) (2) 15．（25-26七年级下·北京·期中）求下列各式中的： (1)； (2)． 16．（25-26七年级下·内蒙古兴安·月考）解方程： (1) (2)． 重难点05 与算术平方根、立方根有关的规律探索 17．（25-26七年级下·广东广州·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，，则（    ） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 18．（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知，，，，则（   ） A．22.36 B．223.6 C．70.71 D．707.1 19．（25-26七年级下·吉林四平·月考）已知，，则_______． 20．（25-26七年级下·河南商丘·月考）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 重难点06 算术平方根与立方根的综合应用 21．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知的算术平方根是4，的立方根是3，求的平方根． 22．（25-26七年级下·广东汕头·月考）若正数x的两个平方根是和，b的立方根是，求的算术平方根． 23．（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 24．（25-26七年级下·江苏南通·月考）已知是27的立方根，是的算术平方根与的立方根的和，是的平方根． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小； (2)求的所有可能值． 重难点07 算术平方根、立方根的实际应用 25．（25-26七年级下·北京大兴·期中）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 26．（25-26七年级下·广东广州·期中）一个正方体的体积是8，则这个正方体的边长是______． 27．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形剪拼成一个大的正方形， (1)大正方形的边长是______； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． 28．（25-26七年级下·陕西西安·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的表面积为___________． 重难点08 无理数的识别 29．（25-26七年级下·河北唐山·期中）在数学史上，希帕索斯发现了无理数，由此触发了第一次数学危机．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D．3 30．（2026·陕西榆林）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 31．（25-26七年级下·四川泸州·期中）在，，0，，0.10100100010000…（每两个1之间多一个0），五个实数中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（25-26七年级下·河北唐山·月考）在下列各数，，，，（每两个2之间依次多1个0）中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 重难点09 无理数整数部分和小数部分有关计算 33．（25-26七年级下·北京·期中）已知的小数部分为a，则_____． 34．（25-26七年级下·福建福州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则_____． 35．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知x，y满足等式 是的小数部分，则的值为__________ 36．（2026七年级下·重庆璧山）设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 重难点10 实数的分类 37．（25-26七年级下·福建福州·期中）在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 38．（25-26七年级下·四川德阳·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，2π，3.14159265，，（两个3之间依次增加一个0）． (1)有理数：{                     }； (2)无理数：{                     }； (3)正实数：{                     }； (4)负实数：{                     }． 39．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 40．（25-26七年级下·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛                 ｝ (2)无理数集合：｛                ｝ (3)正实数集合：｛                ｝ (4)负实数集合：｛                ｝ 重难点11 实数的性质 41．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）实数的相反数是_____． 42．（25-26七年级下·广西贵港·期中）实数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26七年级下·黑龙江·月考）的绝对值为___________． 44．（2025·湖南岳阳）的相反数是_________，的倒数是_______，的平方根是______． 重难点12 实数与数轴 45．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 46．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，以点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（   ） A． B． C． D． 47．（25-26七年级下·北京大兴·期中）如图，数轴上与对应的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 48．（25-26七年级下·山东济宁·期中）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数轴上对应的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点A表示的数为___________． 重难点13 实数的大小比较 49．（25-26七年级下·贵州·期中）比较大小：4____（填“”“”或“”）． 50．（25-26七年级下·甘肃陇南·期中）________45．（选填“”“”或“”） 51．（25-26七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小，用“”，“”或“”连接： (1)__________； (2)__________； (3)__________． 52．（25-26七年级下·山西忻州·期中）若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 重难点14 实数的混合运算 53．（25-26七年级下·四川泸州·期中）计算：______． 54．（25-26七年级下·四川泸州·期中）计算：． 55．（25-26七年级下·河北唐山·期中）计算： (1)； (2)． 56．（25-26七年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)． 重难点15 新定义下的实数运算 57．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是__________． 58．（24-25七年级下·浙江温州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算“”如下：．例如：，则______． 59．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于实数a、b，定义运算“※”如下：，则下列关于的说法正确的是（    ） A．平方根为 B．立方根为 C．算术平方根为4 D．立方根为2 60．（25-26七年级下·广西南宁·期中）自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 重难点16 实数运算的实际应用 61．（25-26七年级下·北京·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 62．（25-26七年级下·浙江温州·月考）如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 63．（25-26七年下上·浙江金华·月考）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 64．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 重难点17 与实数相关的规律探索 65．（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，……，则第216个数是______． 66．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ）． A． B． C． D． 67．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $