第9章 分式（含13种题型）（知识清单）数学新教材沪科版七年级下册

第9章 分式 一、分式的相关概念 （一）分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中___________，那么式子_______叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 关键区分：整式的分母___________，分式的分母必须___________. （二）分式有意义、无意义、值为0的条件 条件 具体要求 分式有意义 分母___________ 分式无意义 分母___________ 分式的值为0 分子___________且分母___________（两个条件必须同时满足） （三）分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个______________，分式的值_______，即：(C≠0,A、B、C为整式); 符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值________，即:. （四）约分与最简分式 1.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的__________约去，叫做分式的约分； 2.最简分式：分子与分母_____________的分式，叫做最简分式，分式运算的最终结果必须化为__________. （五）通分与最简公分母 1.通分：根据分式的基本性质，把______________分别化成与原来的分式相等的__________，叫做分式的通分. 2.最简公分母：取各分母所有因式的______________作为公分母，叫做最简公分母. 系数：取各分母系数的___________； 字母：取所有出现的字母（或因式），相同字母取__________. 二、分式的运算 （一）分式的乘除运算 1.乘法法则：分式乘分式，用________作为积的分子，________作为积的分母：; 2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘：; 3.乘方运算：分式的乘方，把分子、分母__________：(n为正整数). （二）分式的加减运算 · 同分母分式加减：分母_________，分子__________：; · 异分母分式加减：先________，变为同分母分式，再________：. （三）分式的混合运算 运算顺序：先______，再______，最后______，有括号的先算_________的；运算结果必须化为__________（或________）. 三、分式方程 （一）分式方程的定义 分母中______________叫做分式方程，与整式方程的核心区别是______________. （二）分式方程的解法 核心思路：去分母，将分式方程转化为整式方程求解，步骤如下： 1.去分母：方程两边同乘各分母的______________，消去分母，化为___________； 2.解整式方程：按一元一次方程的解法求解； 3.检验：把______________代入___________，若最简公分母≠0，则______________；若最简公分母= 0，则___________，原方程_________. 增根的本质：使原分式方程的__________的根，因此分式方程必须________. （三）分式方程的应用 列分式方程解应用题的步骤： 1.审：审题，找出题目中的__________； 2.设：设__________（注意单位统一）； 3.列：根据等量关系列出__________； 4.解：解这个分式方程； 5.验：双重检验：①是否为增根；②是否符合实际意义； 6.答：写出完整答案（带单位）. 常见应用场景：工程问题、行程问题、销售问题、浓度问题等. 序号 错误 易错题型 注意 1 忽略分式有意义的条件，未考虑分母不为0 1-3 分式有意义的前提是分母≠0；分式的值为0的条件是分子 =0且分母≠0，两者缺一不可 2 分式的基本性质应用错误，分子分母同乘（除）时漏项，或符号处理不当 4-5 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；同时要注意符号变化​ 3 分式通分、约分不彻底，或错误约分（如分子分母部分项单独约分） 6-9 约分要先分解因式，再约去公因式，只能对整体的公因式约分，不能对分子分母的某一项单独约分；通分要找各分母的最简公分母 4 分式加减运算时，分母为多项式未因式分解，或直接将分母相加减 10-11 分式加减时，先因式分解分母，再通分，通分后分子相加减，分母保持不变，不能直接将分母相加减 5 分式乘除运算时，未先因式分解，或颠倒除式时出错 12-13 分式乘除要先把除法转化为乘法（乘以除式的倒数），再对分子分母因式分解，最后约去公因式，注意除式本身不为0 6 解分式方程时，忘记检验，或去分母时漏乘常数项 14-15 解分式方程必须检验，因为去分母过程可能产生增根；去分母时，要给方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的常数项 7 列分式方程解应用题时，忽略实际意义的检验 16-17 除了检验是否为方程的增根，还要检验解是否符合实际问题的意义（如人数、时间等不能为负数） 1．（25-26八年级下·四川成都·月考）若分式的值为0，则__________． 2．（25-26八年级下·福建福州·月考）若分式的值为零，则x的值是______． 3．（25-26八年级下·江苏南京·月考）当______时，分式值为零． 4．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列分式的约分正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽阜阳·二模）化简：______． 7．（2025·安徽合肥·一模）化简：______． 8．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下列式子计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·安徽·期末）计算：______． 12．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）__________． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 14．（2026·安徽淮北·二模）解方程：． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在分式方程的解法中，去分母后得到的整式方程为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·安徽芜湖·二模）学校新购3600册图书平均分配给A，B两个图书馆，A，B两馆分别邀请6名和9名志愿者整理新购图书上架，若每位志愿者的工作效率相同，且B馆提前2小时完成任务．求平均每人每小时整理图书的册数． 重难点01 分式的规律性问题 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，，则第10个式子是___________． 2．（25-26八年级上·云南怒江·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·北京延庆·期末）一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）已知，，，，，即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，，则______． 重难点02 分式有、无意义的条件 5．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）当时，分式无意义，求的值为___________． 6．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）当______时，分式没有意义． 7．（2026·安徽池州·二模）若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 8．（2026·安徽蚌埠·一模）若有意义，则x的取值范围是_________． 重难点03 分式的值为0的条件 9．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）当分式的值为0时，的值为__________． 11．（25-26八年级下·河南驻马店·月考）若分式的值等于0，则的值为________． 重难点04 利用分式的基本性质判断分式的值是否变化 12．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 13．（23-24七年级下·安徽池州·月考）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小一半 D．缩小 14．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小到原来的 15．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 重难点05 最简分式 16．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）下列分式中，最简分式是 （    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·河南南阳·期中）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 重难点06 分式的乘除混合运算 20．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 21．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）计算：________． 22．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 重难点07 含乘方的分式的乘除混合运算 23．（25-26八年级下·江苏常州·月考）化简： (1) (2) 24．（25-26七年级下·全国·单元复习）____． 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 重难点08 分式的加减乘除混合运算 26．（2026·安徽淮南·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 27．（2026·安徽马鞍山·一模）先化简，再求值：，其中． 28．（2026·安徽滁州·一模）先化简，再求值：，其中． 29．（2026·安徽蚌埠·一模）化简： 重难点9 分式的化简求值 30．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）先化简，再求值，，其中． 31．（2026·安徽阜阳·二模）先化简，再求值：，其中． 32．（2026·安徽阜阳·二模）先化简，再求值：，其中． 33．（2026·安徽滁州·一模）先化简，再求值：，其中． 重难点10 分式方程的概念 34．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 重难点11 分式无解的情况 38．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）若分式方程无解，则a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）若关于的方程无解，那么n的值为（    ）． A．0 B． C．0或 D．0或3 40．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的分式方程 无解，则________ 41．（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 重难点12 解分式方程 42．（2026·安徽淮北·二模）解方程：． 43．（2026·安徽宿州·一模）解方程： 44．（2026·安徽宣城·二模）解方程：． 重难点13 分式方程的实际应用 45．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）某学校计划对学校所有的多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司每天安装的教室间数是乙公司每天安装的教室间数的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室； (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室100间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 47．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）某校计划为图书馆添置A、B两种图书，已知A种图书每本价格是B种的1.5倍，用600元单独购买A种比单独购买B种少10本． (1)求两种图书的单价； (2)若学校准备用不超过2600元购买A、B两种图书共100本，问最多能购买A种图书多少本？ 48．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 分式 一、分式的相关概念 （一）分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 关键区分：整式的分母不含字母，分式的分母必须含有字母. （二）分式有意义、无意义、值为0的条件 条件 具体要求 分式有意义 分母B≠0 分式无意义 分母B=0 分式的值为0 分子A=0且分母B≠0（两个条件必须同时满足） （三）分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即：(C≠0,A、B、C为整式); 符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，即:. （四）约分与最简分式 1.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分； 2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式，分式运算的最终结果必须化为最简分式. （五）通分与最简公分母 1.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分. 2.最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 系数：取各分母系数的最小公倍数； 字母：取所有出现的字母（或因式），相同字母取最高次幂. 二、分式的运算 （一）分式的乘除运算 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母：; 2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘：; 3.乘方运算：分式的乘方，把分子、分母分别乘方：(n为正整数). （二）分式的加减运算 · 同分母分式加减：分母不变，分子相加减：; · 异分母分式加减：先通分，变为同分母分式，再加减：. （三）分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的；运算结果必须化为最简分式（或整式）. 三、分式方程 （一）分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程，与整式方程的核心区别是分母是否含未知数. （二）分式方程的解法 核心思路：去分母，将分式方程转化为整式方程求解，步骤如下： 1.去分母：方程两边同乘各分母的最简公分母，消去分母，化为整式方程； 2.解整式方程：按一元一次方程的解法求解； 3.检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母≠0，则是原分式方程的解；若最简公分母= 0，则是增根，原方程无解. 增根的本质：使原分式方程的分母为0的根，因此分式方程必须检验. （三）分式方程的应用 列分式方程解应用题的步骤： 1.审：审题，找出题目中的等量关系； 2.设：设未知数（注意单位统一）； 3.列：根据等量关系列出分式方程； 4.解：解这个分式方程； 5.验：双重检验：①是否为增根；②是否符合实际意义； 6.答：写出完整答案（带单位）. 常见应用场景：工程问题、行程问题、销售问题、浓度问题等. 序号 错误 易错题型 注意 1 忽略分式有意义的条件，未考虑分母不为0 1-3 分式有意义的前提是分母≠0；分式的值为0的条件是分子 =0且分母≠0，两者缺一不可 2 分式的基本性质应用错误，分子分母同乘（除）时漏项，或符号处理不当 4-5 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；同时要注意符号变化​ 3 分式通分、约分不彻底，或错误约分（如分子分母部分项单独约分） 6-9 约分要先分解因式，再约去公因式，只能对整体的公因式约分，不能对分子分母的某一项单独约分；通分要找各分母的最简公分母 4 分式加减运算时，分母为多项式未因式分解，或直接将分母相加减 10-11 分式加减时，先因式分解分母，再通分，通分后分子相加减，分母保持不变，不能直接将分母相加减 5 分式乘除运算时，未先因式分解，或颠倒除式时出错 12-13 分式乘除要先把除法转化为乘法（乘以除式的倒数），再对分子分母因式分解，最后约去公因式，注意除式本身不为0 6 解分式方程时，忘记检验，或去分母时漏乘常数项 14-15 解分式方程必须检验，因为去分母过程可能产生增根；去分母时，要给方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的常数项 7 列分式方程解应用题时，忽略实际意义的检验 16-17 除了检验是否为方程的增根，还要检验解是否符合实际问题的意义（如人数、时间等不能为负数） 1．（25-26八年级下·四川成都·月考）若分式的值为0，则__________． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件建立方程，利用平方根解方程可得的值，再结合分式的分母不能等于0即可得． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得或， 又∵，即， ∴． 2．（25-26八年级下·福建福州·月考）若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 3．（25-26八年级下·江苏南京·月考）当______时，分式值为零． 【答案】 【详解】解：依题意， 由 解得或， 由解得， 综上所述，的值为． 4．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列分式的约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，不能约分为，故本选项错误，不符合题意； B、分子与分母无公因式，是最简分式，不能约分，故本选项错误，不符合题意； C、分子与分母无公因式，是最简分式，不能约分，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘除法，分式的基本性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用分式的乘除法则及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意， B、是最简分式，则B不符合题意， C、，则C不符合题意， D、，则D符合题意， 故选：D 6．（2025·安徽阜阳·二模）化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了约分，先把分子因式分解，然后由分式的性质进行约分即可，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2025·安徽合肥·一模）化简：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式化简，根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了约分的方法，熟练掌握约分的方法是解决此题的关键． 约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同因数就继续约去，直到公约数为1为止，据此判断即可． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、已经为最简形式，故D选项不符合题意． 故选：C． 9．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 【答案】，， 【分析】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键． 根据确定最简公分母的方法即可判断． 【详解】解：，，的最简公分母是， 通分后为，，． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下列式子计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：A、，原式错误，故本选项不符合题意； B、，原式正确，故本选项符合题意； C、，原式错误，故本选项不符合题意； D、，原式错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 11．（25-26八年级上·安徽·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． 先把两个分式写成同分母的分式相减，然后把所得分式的分子分解因式，并与分母约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，然后根据分式的性质约分即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除运算．首先把除法运算转化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： ． 14．（2026·安徽淮北·二模）解方程：． 【答案】 【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得出结果． 【详解】解：方程两边同乘以最简公分母，得， 解方程，得， 检验：当时，． 所以，原方程的根是． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在分式方程的解法中，去分母后得到的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程去分母的方法，关键是确定最简公分母，再给方程两边同乘最简公分母转化为整式方程．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴该分式方程的最简公分母为， 方程两边同时乘以，得． 故选：B． 16．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的应用． 本题依据“工作时间工作总量工作效率”，结合原计划完成天数与实际完成天数的差值为3天来列方程． 【详解】解：∵原计划每天修路，总路程为， ∴原计划完成工程的天数为， ∵实际每天比原计划多修， ∴实际每天修路，实际完成工程的天数为， ∵结果提前3天完成，即原计划天数实际天数3， ∴可列方程为， 故选：B． 17．（2026·安徽芜湖·二模）学校新购3600册图书平均分配给A，B两个图书馆，A，B两馆分别邀请6名和9名志愿者整理新购图书上架，若每位志愿者的工作效率相同，且B馆提前2小时完成任务．求平均每人每小时整理图书的册数． 【答案】50册 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 设平均每人每小时整理图书x册，则A，B两馆每小时分别整理图书，册，再根据B馆提前2小时完成任务列出方程求解． 【详解】解：设平均每人每小时整理图书x册， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解，符合题意， 答：平均每人每小时整理图书50册． 重难点01 分式的规律性问题 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，，则第10个式子是___________． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，观察分子和分母的规律：分子为连续偶数，分母为的连续奇数次幂，由此推导第个式子的通项公式，从而即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：分子依次为2,，4，6，8，…，可表示为； 分母依次为，，，，，可表示为， 因此第个式子为， 当时，分子为20，分母为，故第10个式子为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·云南怒江·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律探究，观察代数式的系数和x的指数，第1个代数式为，第2个代数式为，第3个代数式为，据此找出规律，即可求解． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， ... 第n个代数式为； 故选：A． 3．（25-26八年级上·北京延庆·期末）一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数式类规律探索，解答本题的关键是发现每一项的变化特点，求出相应的项．观察分式的规律：符号交替为负、正、负、正，的指数为奇数序列，，，，，的指数为，，，，，归纳出第项公式，再代入计算即可． 【详解】解：第个分式的符号为，的指数为，的指数为， 第个分式为， 当时，第个分式为． 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）已知，，，，，即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，，则______． 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题．根据定义求出至，可得每6个一循环，结合，即可解答． 根据序列定义计算前若干项发现序列每6项循环一次利用周期性质求 【详解】解：， ， ， ， ， ……， 由此发现，每6个循环一次， ∵， ∴． 故答案为： 重难点02 分式有、无意义的条件 5．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）当时，分式无意义，求的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．分式无意义是分母等于零，所以，由此可以求得． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，分母，即， 所以． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）当______时，分式没有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分母等于即可求解． 【详解】解：当分式的分母为时，分式没有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2026·安徽池州·二模）若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得． 8．（2026·安徽蚌埠·一模）若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】根据题意得， 解得． 重难点03 分式的值为0的条件 9．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式值为0时，分子为0且分母不为0，即可计算得到x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴需要同时满足分子等于0，分母不等于0， 可得，解得， ∴的值为2． 10．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）当分式的值为0时，的值为__________． 【答案】3 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴， ∴的值为3． 11．（25-26八年级下·河南驻马店·月考）若分式的值等于0，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据分式值为的条件，分式值为需要分子为且分母不为，据此列条件求解即可得到的值,． 【详解】解：∵分式的值等于0， ∴ ∴解得且， 因此． 重难点04 利用分式的基本性质判断分式的值是否变化 12．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】B 【分析】先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可． 【详解】解：由题意得，故分式的值扩大为原来的2倍． 13．（23-24七年级下·安徽池州·月考）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小一半 D．缩小 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 将x和y都扩大2倍后，代入分式计算并化简，得到新分式是原分式的一半，因此分式的值缩小一半． 【详解】解：x和y都扩大2倍， 则扩大后的分式为 ，而原分式为， 因此扩大后的分式是原分式的，即分式的值缩小一半， 故选：C． 14．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵代数式中的a与b都扩大2倍， ∴， ∴这个代数式的值扩大2倍． 故选：B． 15．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，约分，解题关键是掌握分式的基本性质． 将分式中的x和y都分别换为与，再约分，然后与原分式的值比较． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 将分式中的x和y都分别换为与， 得， 所以分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 重难点05 最简分式 16．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式．利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，本选项不符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、，不是最简分式，本选项不符合题意； D、，为最简分式，本选项符合题意； 故选：D． 17．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）下列分式中，最简分式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），逐一判断各选项的分子分母是否有公因式即可． 【详解】解：∵的分子分母有公因式，约分后为， ∴不是最简分式； ∵，的分子分母有公因式，约分后为， ∴不是最简分式； ∵在初中范围内无法分解因式，且与分母无公因式， ∴是最简分式； ∵，的分子分母有公因式，约分后为， ∴不是最简分式． 综上，选项C符合题意． 18．（25-26八年级下·河南南阳·期中）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义：分子分母不存在公因式，无法约分的分式是最简分式，将各选项整理变形，判断能否约分即可得到结果； 【详解】解：A、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； B、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； C、中，无法分解因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意； D、，可以约分，不是最简分式，不符合题意． 19．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式的定义判断，即分子与分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项因式分解约分后即可得到结果． 【详解】解：∵ 分子与分母没有公因式的分式是最简分式． 对选项A：，分子分母有公因子，不是最简分式． 对选项B：，分子可变形为，与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 对选项C： ， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 对选项D：， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 重难点06 分式的乘除混合运算 20．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 21．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）计算：________． 【答案】 【分析】利用分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果． 【详解】解：原式 ． 22．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再进行乘法运算即可，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 重难点07 含乘方的分式的乘除混合运算 23．（25-26八年级下·江苏常州·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（25-26七年级下·全国·单元复习）____． 【答案】 【分析】先根据分式的乘方法则计算两个分式的乘方，再将分式除法转化为分式乘法．最后约分得到结果． 【详解】解： ． 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 重难点08 分式的加减乘除混合运算 26．（2026·安徽淮南·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对分子分母因式分解，计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分得到结果，用到平方差公式和分式运算法则． 【详解】解： ． 27．（2026·安徽马鞍山·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 28．（2026·安徽滁州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后利用负指数幂和算术平方根化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 将代入可得原式． 29．（2026·安徽蚌埠·一模）化简： 【答案】 【分析】先对分子或分母进行因式分解，再根据分式的乘法法则进行计算，最后进行分式的减法运算． 【详解】解：原式                               ． 重难点9 分式的化简求值 30．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）先化简，再求值，，其中． 【答案】，2 【分析】先将除法转化为乘以除数的倒数，再对分子分母中的多项式进行因式分解，然后约去分子分母的公因式得到最简分式，最后将给定的代入最简分式计算． 【详解】 ， 把，代入化简后的式子： ． 31．（2026·安徽阜阳·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据平方差公式和完全平方公式化简所求式子，再将代入化简后的式子求解即可． 【详解】解： 当时，原式． 32．（2026·安徽阜阳·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【分析】先根据分式的混合运算法则进行计算，再将数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时 ， 原式． 33．（2026·安徽滁州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式除法的运算法则进行化简，再将代入计算即可求解． 【详解】， ， ， ， 当时，原式． 重难点10 分式方程的概念 34．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 35．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 36．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 37．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 重难点11 分式无解的情况 38．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）若分式方程无解，则a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程．分式方程无解分两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根．本题中整式方程为一元一次方程，必有解，故只需计算增根对应的值即可． 【详解】解：∵原分式方程为 ∴方程两边同乘（），得 ∴整理得 ∴移项合并同类项得 ∴解得 ∵分式方程无解，且整式方程总有解 ∴是原方程的增根，即 ∴ 解得 故选：D． 39．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）若关于的方程无解，那么n的值为（    ）． A．0 B． C．0或 D．0或3 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解分两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分别讨论这两种情况求出的值，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 整理可得：， 当时，整式方程变为，不成立，整式方程无解，故原分式方程无解， 当原分式方程有增根时，增根为，将代入，得，解得，此时原分式方程无解， 综上所述，的值为0或3， 故选：D． 40．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的分式方程 无解，则________ 【答案】5 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无意义， ∴． 41．（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 重难点12 解分式方程 42．（2026·安徽淮北·二模）解方程：． 【答案】 【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得出结果． 【详解】解：方程两边同乘以最简公分母，得， 解方程，得， 检验：当时，． 所以，原方程的根是． 43．（2026·安徽宿州·一模）解方程： 【答案】 【分析】先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原分式方程的解为． 44．（2026·安徽宣城·二模）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同时乘以， 得， 去括号，得， 解得：， 检验：当时， 分式方程的解为． 重难点13 分式方程的实际应用 45．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解决本题的关键． 设规定时间为x天，根据题意，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为．快马速度是慢马速度的倍，据此列方程即可． 【详解】解：设规定时间为x天， ∵慢马所需时间为天， ∴慢马速度为； ∵快马所需时间为天， ∴快马速度为； ∵快马速度是慢马速度的倍， ∴， 故选A． 46．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）某学校计划对学校所有的多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司每天安装的教室间数是乙公司每天安装的教室间数的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室； (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室100间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】(1)甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室 (2)最多安排甲公司工作16天 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室，根据乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司天，根据甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，若安装总费用不超过18000元，列出一元一次不等式，解不等式得出y的取值范围，再由安装教室100间，进一步确定y的取值范围，即可得出结果． 【详解】（1）解：设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室； （2）解：设安排甲公司工作y天，则乙公司天， 由题意得：， 解得：， 同时需满足：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为16， 答：最多安排甲公司工作16天． 47．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）某校计划为图书馆添置A、B两种图书，已知A种图书每本价格是B种的1.5倍，用600元单独购买A种比单独购买B种少10本． (1)求两种图书的单价； (2)若学校准备用不超过2600元购买A、B两种图书共100本，问最多能购买A种图书多少本？ 【答案】(1)A种图书单价为30元，B种图书单价为20元 (2)最多能购买A种图书60本 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用， （1）设B种图书单价为元，则A种图书单价为元，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案； （2）设购买A种图书本，则购买B种图书本，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设B种图书单价为元，则A种图书单价为元， 根据题意，可得， 解得（元），经检验，是该分式方程的解， ∴（元）， 答：A种图书单价为30元，B种图书单价为20元； （2）设购买A种图书本，则购买B种图书本， 根据题意，可得， 解得， 即最多能购买A种图书60本． 48．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意，绫布和罗布总长丈（即尺），设绫布有尺，则罗布有尺，绫布和罗布分别出售均收入文，因此每尺绫布价格为文，每尺罗布价格为文，根据“每尺绫布和罗布共值120文”的条件，即可列方程． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺， 根据题意可得： 故选：B． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $