6.4.3 余弦定理、正弦定理 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.4.3 余弦定理、正弦定理 目录 题型1：正、余弦定理的简单应用 7 题型2：三角形解的个数 8 题型3：判断三角形形状 9 题型4：正弦定理求外接圆半径 10 题型5：三角形面积公式的应用 10 题型6：几何图形中的计算 11 题型7：三角形中的范围与最值问题 17  与角度有关的最值或范围 17  求三角形中的边长或周长的最值或范围 18  求三角形面积的最值或范围 19 题型8：余弦定理、正弦定理的实际应用 20 1. 余弦定理 (1) 余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； ． (2) 推论：（角化边）. (3) 余弦定理的推导： 在中，内角所对的边分别为 如图，因为，所以， 即， 从而， 同理，根据， 可以得到，. 2. 正弦定理 (1) 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等.即 . (2) 变形公式 ①。 ②。 ③ 。 ④。 (3) 推广与推论 在中，内角所对的边分别为,外接圆半径为 ①； ②边化角：; ③角化边：; ④; ⑤. 3. 解三角形 一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 (1) 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边与一角，求第三边和其他两个角。 ②已知三边，求三角形的三个角。 (2) 利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两角和一边，求其他两边和一角。 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 提醒 (1)在中，已知两边和其中一边的对角时，解的情况如下：（以为例） 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 (2)解三角形时，注意的隐含条件： 1) 在中，①三边关系：；②; ③内角和定理：；④; ⑤; ⑥； ⑦大边对大角：； ⑧射影定理:; 2) 若为锐角三角形，则 ①； ②. 4. 解三角形中的“边化角”和“角化边” (1) 角化边 利用余弦定理的变式：； 或正弦定理的变形：. (2) 边化角 利用余正弦定理的变式：. (3) 变换的选用策略 条件为“边的齐次式”，优先“边化角”; 条件为“边的比例式”，优先“边化角”; 求“角度或三角比值”，优先“边化角”; 条件含“或外接圆半径”，优先“边化角”; 条件含“角的三角函数的齐次式”，优先考虑“角化边”; 5. 三角形的面积 (1) ① (2) 将代入①式可得 ② 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半。 (3) 将代入②式可得 ③ (4) 将代入③式可得 （为外接圆的半径） (5) （分别为内切圆的半径及的周长）。 证明：如图， (6) 海伦公式：，其中。 证明：根据余弦定理，所以 令，可得。 (7) 将代入中可得 ，其中。 (8) ，其中。 6. 余弦定理、正弦定理应用举例 (1) 实际测量中的有关名称、术语 术语 概念 图示 基线 在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线. 在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 铅垂平面 与地面垂直的平面 坡角和坡比 坡角：坡面与水平面的夹角. 坡比（坡度）：坡面的垂直高度与水平宽度的比. 视角 观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的夹角. 仰角和俯角 仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角. 俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角. 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角. 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角. (2) 测量距离、高度、角度的问题 ①当长度不可直接测量时，求间的距离有以下三种类型： 类型一： . 类型二： . 类型三： ,, . ②当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型一： . 类型二： ，. 类型三： ，. ③角度测量问题主要涉及测量不可达两点间的视角、航海中的方位角、高度测量中的仰角等，解决问题的关键是根据题意画出草图，将实际问题中的方位、距离、角度在图中标清楚，再找三角形，然后化归为方程问题求解并检验作答。 题型1：正、余弦定理的简单应用 【例1.1.】 在中，内角的对边分别为．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 在中，，则__________. 【例1.5.】 三角形中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 题型2：三角形解的个数 【例2.1.】 在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 在中，角的对边分别为，且，，若满足条件的是唯一的，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 题型3：判断三角形形状 方法提炼 (1) 角化边：利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理或边长关系判断形状； (2) 边化角：利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状. (3) 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） ①在中，； ②在中，； ③在中，. 【例3.1.】 已知在中，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【例3.2.】 在中，内角的对边分别为，且，则一定为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【例3.3.】 已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（   ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 【例3.4.】 （多选）在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则符合条件的有两个 B．若，则是直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 题型4：正弦定理求外接圆半径 【例4.1.】 在中，内角的对边分别为，若，则外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【例4.2.】 在中，，，则的外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 在中，内角所对的边分别为，且，且，那么外接圆的半径为________. 【例4.4.】 已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 题型5：三角形面积公式的应用 【例5.1.】 已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【例5.2.】 已知的内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆半径为，且，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)设点在边上，，且，，求的面积. 【例5.4.】 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角的大小； (2)设的面积为，求的周长. 题型6：几何图形中的计算 方法提炼 1. 垂线 设分别为边上的高，则 。 2. 角平分线定理 (1) 在中，的角平分线交于点（如图），则有. 1) 证明：（妙用两次正弦定理） 因为，所以，在中使用正弦定理有，在中使用正弦定理有，又，所以。 2) 证明：（等面积法） 如图，过点作边上的高为，过点分别作边上的高为，因为为的角平分线，所以。 ，， 所以。 (2) 常见推论： ①角平分线长：. 证明：（等面积法） 由可得，， 所以。 ②斯库顿定理： 证明：（构造辅助线作出相似三角形） 因为，所以 所以。 又因为，所以，即 所以，即 3. 平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 证明：（两次使用余弦定理建立等量关系） 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 4. 中线长定理 在中为的中线，则中线长定理: 1) 证明：根据平行四边形定理有，所以，即，所以 2) 证明：（两次使用余弦定理建立等量关系） 在中，， 在中，， 联立两个方程可得：. 3) 证明：（平面向量法） ，两边平方得 化简得， 又 ，所以。 5. 张角定理 在中，角所对的边分别为，若为上一点（如图），且，，则有． 证明：（等面积法） 因为，所以，于是等式两边同除以得． 6. 五边两角模型 在中，是线段上一点，连接（如图），则有． 证明：（两次使用余弦定理建立等量关系） 因为，所以．在中使用余弦定理有，在中使用余弦定理有，所以，所以． 7. 托勒密定理 在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 如图，设四边形ABCD内接于圆O，则有AB·CD＋AD·BC＝AC·BD． 证明：（构造辅助线作出相似三角形） 不妨在AC上取一点E，使∠ADE＝∠BDC，由∠DAE＝∠DBC，得△AED∽△BCD，所以，即AE·BD＝AD·BC① 又由∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD，△ABD∽△ECD，所以，即EC·BD＝AB·CD②，两式相加得AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 广义托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立． 证明：在四边形ABCD内取一点E使∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠CAD，则△ABE∽△ACD所以，又因为，且∠BAC＝∠EAD，所以△ABC∽△AED，所以；由①＋②得AB·CD＋AD·BC＝AC·（BE＋ED），所以AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，等号当且仅当点E在BD上，即A，B，C，D四点共圆时成立． 【例6.1.】 如图，在平面四边形中，，，，． (1)求线段的长度； (2)求的值． 【例6.2.】 （多选）已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（   ） A． B．当为中线时， C．当为高线时， D．当为角平分线时， 【例6.3.】 在中，. (1)求A; (2)若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长. 条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线. 【例6.4.】 如图，四边形满足，且. (1)求的大小； (2)当时，求的正切值. 【例6.5.】 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【例6.6.】 如图，已知为三个内角的对边，为边上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求的取值范围. 【例6.7.】 如图，在中，，点是外接圆上的一个动点（点在直线两侧），记. (1)若，求； (2)若，求的最大值； (3)若点满足，求四边形的面积. 题型7：三角形中的范围与最值问题 方法提炼 解三角形中的范围与最值问题，通常涉及边长、角度、周长、面积等，常用处理思路： (1) 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正、二定、三相等”，尤其是取得最值的条件； (2) 采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法. · 与角度有关的最值或范围 【例7.1.】 在不等边三角形中，是最大的边，若，则角的取值范围是 A． B． C． D． 【例7.2.】 在中，已知，最大边与最小边的比为，则的最大角为（    ） A． B． C． D． 【例7.3.】 在中，内角的对边分别为.已知，，当最小时，的面积为__________. 【例7.4.】 设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 【例7.5.】 已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则的取值范围是__________，的最小值是__________． · 求三角形中的边长或周长的最值或范围 【例7.6.】 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例7.7.】 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 【例7.8.】 在中，，若，求周长的最大值为（    ） A． B． C． D．6 【例7.9.】 在锐角中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【例7.10.】 （多选）如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．的最大值为3 D．的最大值为 【例7.11.】 如图，在中，为边上一点，且. (1)若. （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. · 求三角形面积的最值或范围 【例7.12.】 在中，，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例7.13.】 在中，角，，的对边分别是，，，． (1)求； (2)若是边的中点，且，求面积的最大值． 【例7.14.】 在锐角中，角的对边分别为. (1)求角； (2)若边中线长为，求的面积； (3)当时，的面积为，周长为，求的取值范围. 【例7.15.】 在中，，，点在平面，，且点B，D位于直线两侧. (1)若，，求的值； (2)若为钝角，，求四边形面积的最大值. 【例7.16.】 已知点在内部，满足且.则__________；当，且时，面积的最大值为__________. 【例7.17.】 在中，角A，B，C的对边分别为的面积为．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的最小值； (3)若分别在边上，且，求面积的最小值． 题型8：余弦定理、正弦定理的实际应用 【例8.1.】 一艘轮船从处出发，沿着正东方向行驶到处，再从处向北偏西方向行驶20千米到达处，此时，处在处的东北方向，则两处之间的距离是（    ） A．20千米 B．千米 C．千米 D．千米 【例8.2.】 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 【例8.3.】 为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米． A．80 B．120 C． D． 【例8.4.】 在山区道路建设中经常需要开凿山体下方的通风廊道．如图，点A，D，E，B，C依次在同一直线上，点P为山顶某观测点．从P处测得点A，B，C的俯角分别为，，．现需沿直线AC修建廊道DE．若，，，则廊道DE的长度为（    ） A． B． C． D． 【例8.5.】 如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北30°的方向上，行驶300m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北75°的方向上，塔顶的仰角为45°，则此铁塔的高度为（   ）    A．m B．m C．m D．m 【例8.6.】 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【例8.7.】 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【例8.8.】 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 【例8.9.】 （多选）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ） A．舰艇所需的时间为2小时 B．舰艇与舰艇对接时距离雷达兵（处）距离为70公里 C． D．舰艇与舰艇对接时距离处为50公里 【例8.10.】 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.4.3 余弦定理、正弦定理 目录 题型1：正、余弦定理的简单应用 7 题型2：三角形解的个数 10 题型3：判断三角形形状 12 题型4：正弦定理求外接圆半径 15 题型5：三角形面积公式的应用 18 题型6：几何图形中的计算 21 题型7：三角形中的范围与最值问题 39  与角度有关的最值或范围 39  求三角形中的边长或周长的最值或范围 43  求三角形面积的最值或范围 50 题型8：余弦定理、正弦定理的实际应用 57 1. 余弦定理 (1) 余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； ． (2) 推论：（角化边）. (3) 余弦定理的推导： 在中，内角所对的边分别为 如图，因为，所以， 即， 从而， 同理，根据， 可以得到，. 2. 正弦定理 (1) 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等.即 . (2) 变形公式 ①。 ②。 ③ 。 ④。 (3) 推广与推论 在中，内角所对的边分别为,外接圆半径为 ①； ②边化角：; ③角化边：; ④; ⑤. 3. 解三角形 一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 (1) 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边与一角，求第三边和其他两个角。 ②已知三边，求三角形的三个角。 (2) 利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两角和一边，求其他两边和一角。 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 提醒 (1)在中，已知两边和其中一边的对角时，解的情况如下：（以为例） 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 (2)解三角形时，注意的隐含条件： 1) 在中，①三边关系：；②; ③内角和定理：；④; ⑤; ⑥； ⑦大边对大角：； ⑧射影定理:; 2) 若为锐角三角形，则 ①； ②. 4. 解三角形中的“边化角”和“角化边” (1) 角化边 利用余弦定理的变式：； 或正弦定理的变形：. (2) 边化角 利用余正弦定理的变式：. (3) 变换的选用策略 条件为“边的齐次式”，优先“边化角”; 条件为“边的比例式”，优先“边化角”; 求“角度或三角比值”，优先“边化角”; 条件含“或外接圆半径”，优先“边化角”; 条件含“角的三角函数的齐次式”，优先考虑“角化边”; 5. 三角形的面积 (1) ① (2) 将代入①式可得 ② 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半。 (3) 将代入②式可得 ③ (4) 将代入③式可得 （为外接圆的半径） (5) （分别为内切圆的半径及的周长）。 证明：如图， (6) 海伦公式：，其中。 证明：根据余弦定理，所以 令，可得。 (7) 将代入中可得 ，其中。 (8) ，其中。 6. 余弦定理、正弦定理应用举例 (1) 实际测量中的有关名称、术语 术语 概念 图示 基线 在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线. 在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 铅垂平面 与地面垂直的平面 坡角和坡比 坡角：坡面与水平面的夹角. 坡比（坡度）：坡面的垂直高度与水平宽度的比. 视角 观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的夹角. 仰角和俯角 仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角. 俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角. 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角. 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角. (2) 测量距离、高度、角度的问题 ①当长度不可直接测量时，求间的距离有以下三种类型： 类型一： . 类型二： . 类型三： ,, . ②当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型一： . 类型二： ，. 类型三： ，. ③角度测量问题主要涉及测量不可达两点间的视角、航海中的方位角、高度测量中的仰角等，解决问题的关键是根据题意画出草图，将实际问题中的方位、距离、角度在图中标清楚，再找三角形，然后化归为方程问题求解并检验作答。 题型1：正、余弦定理的简单应用 【例1.1.】 在中，内角的对边分别为．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】正弦定理解三角形 【详解】由正弦定理得：， ， 或， 若，则， 由，由三角形大角对大边的性质可得，不合题意； 故． 【例1.2.】 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理及辨析 【详解】由正弦定理，得. 所以. 【例1.3.】 已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】先分析出角最大，角最小，再根据余弦定理求出角即可得解. 【详解】由大边对大角，小边对小角可知角最大，角最小. 因为，所以设， 则由余弦定理 可得， 又因为，所以； 因为，所以， 所以三角形的最大角与最小角之和为. 故选：A 【例1.4.】 在中，，则__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【详解】由，，可得，即， 在中，，则， 则， 由正弦定理得，，则，解得. 【例1.5.】 三角形中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【详解】由余弦定理知，， 整理得，解得或， 又，所以， 由正弦定理得. 题型2：三角形解的个数 【例2.1.】 在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】借助大边对大角可得A；借助三角形内角和计算可得B；借助三角形三边关系可得C；计算可得，即可得D. 【详解】对A：由，则，则，由、，与矛盾， 故不存在这样的三角形，故A错误； 对B：，则三角形各角度固定且有一边长固定， 故该三角形有且只有一个，故B正确； 对C：由，故不存在这样的三角形，故C错误； 对D：，则， 故满足题意的三角形有两个，故D错误. 【例2.2.】 的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形 【详解】方法一： 已知是锐角，固定角、边，画： 把角固定，一边固定射线，另一边为线段且. 过点向作高， ，这是点到直线的最短距离， 边是的长， ：以为圆心、为半径画圆， 和射线交于两个不同点，能构成两个不同三角形，两解， 即三角形有两解的条件为 ， 计算 ， 所以 的取值范围为 . 方法二： 已知，，由余弦定理：， 代入得，整理为：， 有两解等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 设方程两根为，满足：， 解得: . 两根之和：，恒成立， 两根之积： ⇒ ⇒ ， 综上所述，的取值范围：. 【例2.3.】 在中，角的对边分别为，且，，若满足条件的是唯一的，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据当或时是唯一的即可判断. 【详解】由于，，由正弦定理，要使唯一，须满足以下条件之一： ①当时，即，构成一个直角三角形（），只有唯一解； ②当时，即，边长足够长，只有唯一解； 因此，要使满足条件的是唯一的，的取值范围为， 即的值不可能是，故ACD错误，B正确. 题型3：判断三角形形状 方法提炼 (1) 角化边：利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理或边长关系判断形状； (2) 边化角：利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状. (3) 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） ①在中，； ②在中，； ③在中，. 【例3.1.】 已知在中，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【难度】0.76 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理化边为角可判断答案. 【详解】由正弦定理可得，因为，所以，即， 所以或，即或， 的形状为等腰三角形或直角三角形. 【例3.2.】 在中，内角的对边分别为，且，则一定为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理把边的关系转化为角的三角函数关系，再结合和角公式化简，推出，从而判断三角形形状. 【详解】由正弦定理得，所以. 由，两边同除以，得. 两边同乘，得. 因为，所以，故，即. 所以一定为直角三角形. 【例3.3.】 已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（   ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【难度】0.79 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【详解】由题意有：， 所以，由余弦定理得， 所以，又，所以， 又，由， 所以， 所以，所以，可得， 所以是等边三角形. 【例3.4.】 （多选）在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则符合条件的有两个 B．若，则是直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】ACD 【难度】0.62 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可判断A；由题可知，进而得到即可判断B；根据条件可得即可判断C；由正弦定理化简可得，结合函数的单调性可得即可判断D． 【详解】解：，则符合条件的有两个，故A正确； 由于，所以， 故，整理得，所以为等边三角形，B错误； 因为，所以，即， 又，所以， 又，所以， 所以是锐角三角形，C正确； 由正弦定理及，得， 所以，即， 又， ， 又在单调递减，且， 在单调递增， 则函数在上单调递增， 又，，则是等腰三角形，D正确． 题型4：正弦定理求外接圆半径 【例4.1.】 在中，内角的对边分别为，若，则外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】先根据已知条件求出的值，再利用正弦定理得到和，的关系，最后结合余弦定理求出的值，进而求出的值，再求出的值，最后根据三角形外接圆半径公式求出半径. 【详解】已知，即，因为，所以, 即，又由余弦定理得，联立两式并代入条件得到：， 即，解得. ，即， 根据正弦定理，解得，即. 【例4.2.】 在中，，，则的外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【详解】由余弦定理得， 由得， 由正弦定理得的外接圆半径． 【例4.3.】 在中，内角所对的边分别为，且，且，那么外接圆的半径为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦公式，求得，求得，结合正弦定理，即可求得外接圆的半径，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 又因为，可得， 所以， 所以， 可得， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以， 设外接圆的半径为，因为，可得， 所以，即外接圆的半径为. 【例4.4.】 已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】先根据直角三角形求出,再利用余弦定理求出,结合正弦定理可得圆的半径，然后可得面积. 【详解】连接AC， 因为，所以, , 所以， 由题意该圆即为三角形的外接圆， 设该圆的半径为R，则， 所以该圆的面积为． 故选：B． 题型5：三角形面积公式的应用 【例5.1.】 已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式列式求解. 【详解】由的面积为，得，则， 解得，又，所以或. 故选：C 【例5.2.】 已知的内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆半径为，且，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据题意结合正弦定理边化角得，再由三角函数知识可得角，再由正弦定理和余弦定理可解，从而求解面积. 【详解】由及正弦定理得， 且，化简得， 即得，又，得． 又的外接圆的半径， 由正弦定理，解得． 由余弦定理得， 解得，则，即的面积为． 【例5.3.】 在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)设点在边上，，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理把边转化为角的正弦形式，再通过两角和的正弦公式以及三角形内角和性质化简等式，结合三角形内角范围舍去不为零的正弦值，进而求出角的大小. （2）根据线段比例设未知数表示各线段长度，分别在两个小三角形中用余弦定理表示互补两角的余弦值，利用互补角余弦互为相反数建立方程，再在大三角形中用余弦定理列关系式，联立方程求出边长，最后代入公式算出三角形面积. 【详解】（1）由正弦定理，为外接圆半径. 所以， 化为：， 即， 因为，所以， 因为，所以化简得. （2）设，则， 在中：， 在中：， 由，得， 整理得； 在中：， 即，即. 解得（负值舍去），面积. 【例5.4.】 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角的大小； (2)设的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先用正弦定理将已知等式边化角，再结合余弦定理求出角，最后利用求出角； （2）先由三角形内角和求出角并算出，再用正弦定理将用表示，结合面积公式求出，进而算出得到周长. 【详解】（1）由正弦定理代入，得：， 由余弦定理有 所以      或者（(因为，所以， 从而，） 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得， ， 所以，     而.     由正弦定理有， 从而，     由三角形面积公式可知，的面积可表示为 . 因为的面积为，所以，即， 所以 ，，     所以的周长为. 题型6：几何图形中的计算 方法提炼 1. 垂线 设分别为边上的高，则 。 2. 角平分线定理 (1) 在中，的角平分线交于点（如图），则有. 1) 证明：（妙用两次正弦定理） 因为，所以，在中使用正弦定理有，在中使用正弦定理有，又，所以。 2) 证明：（等面积法） 如图，过点作边上的高为，过点分别作边上的高为，因为为的角平分线，所以。 ，， 所以。 (2) 常见推论： ①角平分线长：. 证明：（等面积法） 由可得，， 所以。 ②斯库顿定理： 证明：（构造辅助线作出相似三角形） 因为，所以 所以。 又因为，所以，即 所以，即 3. 平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 证明：（两次使用余弦定理建立等量关系） 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 4. 中线长定理 在中为的中线，则中线长定理: 1) 证明：根据平行四边形定理有，所以，即，所以 2) 证明：（两次使用余弦定理建立等量关系） 在中，， 在中，， 联立两个方程可得：. 3) 证明：（平面向量法） ，两边平方得 化简得， 又 ，所以。 5. 张角定理 在中，角所对的边分别为，若为上一点（如图），且，，则有． 证明：（等面积法） 因为，所以，于是等式两边同除以得． 6. 五边两角模型 在中，是线段上一点，连接（如图），则有． 证明：（两次使用余弦定理建立等量关系） 因为，所以．在中使用余弦定理有，在中使用余弦定理有，所以，所以． 7. 托勒密定理 在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 如图，设四边形ABCD内接于圆O，则有AB·CD＋AD·BC＝AC·BD． 证明：（构造辅助线作出相似三角形） 不妨在AC上取一点E，使∠ADE＝∠BDC，由∠DAE＝∠DBC，得△AED∽△BCD，所以，即AE·BD＝AD·BC① 又由∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD，△ABD∽△ECD，所以，即EC·BD＝AB·CD②，两式相加得AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 广义托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立． 证明：在四边形ABCD内取一点E使∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠CAD，则△ABE∽△ACD所以，又因为，且∠BAC＝∠EAD，所以△ABC∽△AED，所以；由①＋②得AB·CD＋AD·BC＝AC·（BE＋ED），所以AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，等号当且仅当点E在BD上，即A，B，C，D四点共圆时成立． 【例6.1.】 如图，在平面四边形中，，，，． (1)求线段的长度； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）在中，利用已知的角度、面积和边长，结合三角形面积公式直接求解的长度； （2）先在中用余弦定理求出的长，再利用角平分线的性质在中应用正弦定理计算 . 【详解】（1）由，得，在中，已知，， 由三角形面积公式 可得 解得：； （2）由余弦定理即 ， 解得 设，在由正弦定理，得， 在中，由正弦定理 ，得. 【例6.2.】 （多选）已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（   ） A． B．当为中线时， C．当为高线时， D．当为角平分线时， 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用以及正弦定理可求，判断A；利用剩余两个条件可求，再利用余弦定理求出，利用判断B；利用等面积判断C；利用 判断D. 【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确； 因为的面积为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以，则，则， 在中利用余弦定理可得，， 则， 当为中线时，，则， 即，得，故B正确； 当为高线时，，得，故C错误； 当为角平分线时，则， 由，得， 则，故D正确. 故选：ABD 【例6.3.】 在中，. (1)求A; (2)若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长. 条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线. 【答案】(1)； (2)选择条件，答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及和差角的余弦公式化简，再利用正弦定理角化边，余弦定理求解. （2）根据给定条件，利用三角形面积公式，结合（1）中信息求出，选择条件①，利用向量数量积运算律求解；选择条件②，利用三角形面积公式列式求解. 【详解】（1）在中，由， 得， 整理得，由正弦定理得， 由余弦定理得，而，所以. （2）令的内角所对边长分别为， 由的面积为，得，则， 由的周长为20，得，由，得， 即，解得， 选择条件①：AD 是BC 边上的中线，则， 所以. 选择条件②：AD 是的平分线，由， 得，则， 所以. 【例6.4.】 如图，四边形满足，且. (1)求的大小； (2)当时，求的正切值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）正弦定理得，交叉相乘后，代入已知等式，并结合二倍角公式化简可得； （2）由余弦定理求得，得出，设，用表示出，然后计算面积和，利用已知得出关于的方程，转化为关于的方程，解方程可得. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以， 又因为， 所以，则， 所以， 因为，所以，则，即， 所以. （2）由（1）知，，而， 由余弦定理得， 满足，所以， 设，因为，所以，，，为锐角， 所以， 所以， ，， 所以， 又因为，所以，则， 即，解得（舍去）。 【例6.5.】 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、几何图形中的计算 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【例6.6.】 如图，已知为三个内角的对边，为边上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【难度】0.42 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、几何图形中的计算 【分析】（1）根据题意得出角的大小，然后通过计算即可； （2）利用正弦定理的边化角以及三角形三角的关系即可求解； （3）利用正弦定理的边化角以及三角形三角的关系构造新函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）如图所示，，所以， （2）设，则， 所以在中，有， 所以，所以， 又因为，所以 所以， 因为，所以. （3）设，则，设外接圆半径为，则 因为，所以，因此.所以，所以 所以 设，则由已知可知，所以， 所以 任取，则， 所以，所以，所以 又因为，所以 所以，所以在上单调递减， 所以，即的取值范围是. 【例6.7.】 如图，在中，，点是外接圆上的一个动点（点在直线两侧），记. (1)若，求； (2)若，求的最大值； (3)若点满足，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.49 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、向量减法法则的几何应用、数量积的运算律 【分析】（1）由题意可得，进而得到四边形为等腰梯形，再利用梯形的边长计算即可； （2）先利用数量积的定义得出，再在中利用余弦定理可得，最后在中利用正弦定理得出外接圆的直径即可； （3）设，求出以及在中利用正弦定理得，，再利用得出，即可化简求出，进而得出，的值，最后利用面积公式即可. 【详解】（1）解：因为，则，即， 则四边形为梯形，又为圆的内接四边形， 则四边形为等腰梯形，又，， 等腰梯形的高为， 所以； （2）由题意得 ， 得， 在中利用余弦定理可得， ， 所以， 设的外接圆半径为，则在中利用正弦定理可得 ， 故的最大值为； （3）设，则， 因，则， ， 在中利用正弦定理可得， 则 ， 则 ， 且（因）， 即，即， 又 ，即， 则， 又，则，解得（舍）或， 因，则， 代入中得， 则，则， 则， 则四边形的面积为． 题型7：三角形中的范围与最值问题 方法提炼 解三角形中的范围与最值问题，通常涉及边长、角度、周长、面积等，常用处理思路： (1) 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正、二定、三相等”，尤其是取得最值的条件； (2) 采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法. · 与角度有关的最值或范围 【例7.1.】 在不等边三角形中，是最大的边，若，则角的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【详解】试题分析：因为,所以,所以;因为是最大的边,所以为最大角,所以,所以,综上可得．故C正确． 【例7.2.】 在中，已知，最大边与最小边的比为，则的最大角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】法一：直接验证排除：若最大角为，则三角形为等边三角形，排除A； 若最大角为，则最大边与最小边的比值为，排除C； 利用在直角三角形中最大边与最小边的比值为， 可知钝角三角形中大于，排除D． 法二：不妨令，则， ∴，的最大角； 法三：不妨令，由正弦定理得， 即， ∴，，． 故选：B. 【例7.3.】 在中，内角的对边分别为.已知，，当最小时，的面积为__________. 【答案】/ 【难度】0.42 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求和的最小值 【分析】先由正弦定理将边的关系转化为角的正切关系，再结合三角形内角和与正切和角公式，推导出；接着利用均值不等式，得到的最小值，此时最小且，故；最后根据求出，代入三角形面积公式计算出结果. 【详解】由已知条件和正弦定理可得：， 即，显然， 故，左右同除以可得：. 故， 故， 当且仅当即时，取得最小值，则最小时， 此时，所以，且由可得， 故. 【例7.4.】 设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围. 【详解】由以及正弦定理得，所以 即，又B为钝角，所以，故 于是 ，因为，所以 由此，即的取值范围是 故选：A 【例7.5.】 已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则的取值范围是__________，的最小值是__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理求外接圆半径、数量积的运算律 【分析】根据题意，利用正弦定理可得，根据三角形内角和即可确定的取值范围，设，由正弦定理可得，，再计算即可求解． 【详解】如图，不妨取在优弧上，在劣弧上，外接圆的半径， ，即， 解得， ， 为的角平分线， ， ， ，即； 设， 则， ， ， ， ， ，， 故当，即时，取得最小值． 故答案为：；． · 求三角形中的边长或周长的最值或范围 【例7.6.】 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的值域、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换可得，再由正弦定理边化角，转化为的三角函数求解. 【详解】在中，由及正弦定理得， 则，整理得， 由，得，则或， 即或（舍去），因此，，则， 所以 ， 所以的取值范围是． 故选：B 【例7.7.】 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 【答案】/ 【难度】0.53 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，， 所以的最大值为. 【例7.8.】 在中，，若，求周长的最大值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由正弦定理化简可得，方法一：利用余弦定理结合基本不等式求解即可；方法二：由正弦定理可得，结合三角恒等变换以及正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】由正弦定理可得：， ∴， ∵， ∴． 方法一： 由余弦定理得， 即． ∵（当且仅当时取等号）， ∴， 解得（当且仅当时取等号）， ∴周长， ∴周长的最大值为． 方法二： 由，则， 根据正弦定理可知， 所以， 当且仅当时，等号成立． 此时周长的最大值为． 【例7.9.】 在锐角中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.35 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【详解】因为，，所以，即，所以，所以，，解得， 因为锐角，，所以，解得，所以，所以 由正弦定理得，所以，所以 【例7.10.】 （多选）如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．的最大值为3 D．的最大值为 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】对于选项A，根据正弦定理可求出三角形外接圆半径；对于选项B，在两个小三角形中，分别运用正弦定理，结合中线的定义进行判断即可；对于选项C，运用余弦定理和基本不等式可验证其正确；对于选项D，结合选项C的结论，然后根据向量的模可求出其最小值为. 【详解】对于选项A：根据正弦定理可得，解得， 所以外接圆的半径为，A错误； 对于选项B：在中，，所以. 在中，，所以. 因为， 所以， B正确； 对于选项C： 根据余弦定理得， 可得， 所以，当且仅当时等号成立，此时的最大值为3，C正确； 对于选项D：因为， 所以 因为，所以， 所以， 当时，，所以，此时取最小值. 所以的最小值为，D错误. 【例7.11.】 如图，在中，为边上一点，且. (1)若. （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【难度】0.55 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算 【分析】（1）（i）已知，，可求得的大小；在和中，利用角的关系结合正弦定理，建立关于的等式求解； （ii）根据已知边、角关系，先求出，的长度，再利用三角形面积公式计算的面积. （2）利用三角形内角和及直角三角形的性质，用分别表示出和；将其代入，转化为关于的三角函数；再根据的取值范围，结合三角函数的性质求取值范围. 【详解】（1）（i），，； ，，在中，由正弦定理得，即，解得. 在中，，为锐角； ，. 所以， 在中，由正弦定理得， 所以. （ii），， 所以， ，得. ，， 在中，由正弦定理得 ，即，所以. 所以. （2），，在中，由正弦定理得， ，得. ，，在中，由正弦定理得， ，得. 在中，，得，； 所以 ； ，，； ，即. · 求三角形面积的最值或范围 【例7.12.】 在中，，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值 【分析】根据二倍角公式可得，进而根据面积公式以及基本不等式即可求解. 【详解】在中，由与，解得， 则的面积，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为. 故选：A 【例7.13.】 在中，角，，的对边分别是，，，． (1)求； (2)若是边的中点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.57 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量加法的法则、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据正余弦定理求解即可. （2）根据向量加法的平行四边形法则及向量的数量积，结合基本不等式及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 即． 由余弦定理可得，则，所以． 因为，所以． （2）因为D是边的中点，所以， 所以，即． 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 即当时，的面积取得最大值． 【例7.14.】 在锐角中，角的对边分别为. (1)求角； (2)若边中线长为，求的面积； (3)当时，的面积为，周长为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.48 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据给定条件，将正切化成正余弦，再逆用和角正弦公式求解. （2）利用向量数量积的运算律及余弦定理求出，进而求出三角形面积. （3）利用正弦定理及三角形面积公式，结合和差角的正弦化简，再利用余弦函数性质求出值域即可. 【详解】（1）在锐角中，由，得， 即， 由，得，，所以. （2）由是边上的中线，得， 则，而， 于是，由余弦定理得， 又，则，联立解得，经验证为锐角三角形， 所以的面积为. （3）由正弦定理得，则， 而，令，则，由锐角，得， 因此 ，由，得，， 所以的取值范围是. 【例7.15.】 在中，，，点在平面，，且点B，D位于直线两侧. (1)若，，求的值； (2)若为钝角，，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.5 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，即可得结果； （2）在中，利用正弦定理可得，利用面积公式结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【详解】（1）在中，因为，，则， 由正弦定理可得， 又因为，则， 在中，由正弦定理可得， 又因为，则， 所以. （2）在中，因为，则， 由正弦定理可得， 又因为，则， 且，则， 可得四边形面积 ， 又因为，则， 当，即时，取得最大值， 所以四边形面积的最大值为. 【例7.16.】 已知点在内部，满足且.则__________；当，且时，面积的最大值为__________. 【答案】 1 【难度】0.28 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】设公共角为，利用在三角形内部，将表示为，即可求出；再在三角形和三角形中分别利用正弦定理，把和面积转化为关于的表达式，从而求最大值. 【详解】设，并设， 因为点在内部，所以， 在中，，故. 当，时，在中，由正弦定理得， 在中，，所以， 由正弦定理得， 又，所以，从而， 在中，由正弦定理得，所以， 于是， 当时取等号，故面积的最大值为1. 【例7.17.】 在中，角A，B，C的对边分别为的面积为．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的最小值； (3)若分别在边上，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.33 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理结合三角形面积公式得到，再利用余弦定理求解余弦值即可； （2）利用余弦定理和三角形面积公式并结合换元法得到，再利用辅助角公式并结合正弦函数的有界性列出不等式，求解参数范围，最后求出最小值即可； （3）设，由正弦定理分别表示出，由得出的关系，再根据辅助角公式及正弦函数的最值即可求解． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 因为，所以， 所以由余弦定理得． （2）由三角形面积公式得，且，解得， 由余弦定理得 ， 令，则，， 即，其中， 可得，解得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． （3）由题意得，而，可得， 又，所以，则，因为，所以为等边三角形，则， 设，则， 在中，， 在中，， ， 由正弦定理得，， 由得，， 所以， 因为，其中， 由得，则，当时取等号， 此时， 所以． 题型8：余弦定理、正弦定理的实际应用 【例8.1.】 一艘轮船从处出发，沿着正东方向行驶到处，再从处向北偏西方向行驶20千米到达处，此时，处在处的东北方向，则两处之间的距离是（    ） A．20千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】由题可知，如图， 由正弦定理可得，所以， 即、两处之间的距离是千米. 【例8.2.】 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算、距离测量问题 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 【例8.3.】 为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米． A．80 B．120 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】先求，再利用余弦定理求得. 【详解】由题得到米，米， 所以由余弦定理得到， 即， 所以米. 【例8.4.】 在山区道路建设中经常需要开凿山体下方的通风廊道．如图，点A，D，E，B，C依次在同一直线上，点P为山顶某观测点．从P处测得点A，B，C的俯角分别为，，．现需沿直线AC修建廊道DE．若，，，则廊道DE的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】几何图形中的计算、距离测量问题 【分析】过点作的垂线，垂足为，设，得到，，，结合，列出方程，求得的值，进而求得的长度. 【详解】过点作的垂线，垂足为，由图可知点H在线段DE上． 在直角中，，所以， 在直角中，，所以， 在直角中，，所以， 设，则，，． 因为点B，C在点H的右侧，可得， 由，可得，解得． 所以． 则． 【例8.5.】 如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北30°的方向上，行驶300m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北75°的方向上，塔顶的仰角为45°，则此铁塔的高度为（   ）    A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算、高度测量问题 【分析】由题意可得各个角度，根据正弦定理，可得BC，根据三角形的性质，即可得答案. 【详解】由已知得在中，，，， 由正弦定理，得，解得， 又因为仰角为45°，所以三角形是等腰直角三角形， 所以. 【例8.6.】 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】高度测量问题、几何图形中的计算、正弦定理解三角形 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 【例8.7.】 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题 【详解】由题意，在中，，，所以. 在中，，， 所以， 由正弦定理，. 又为等腰直角三角形，所以. 故选项B正确. 【例8.8.】 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】设，由边角关系可得，，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长. 【详解】设，因为，，则， 又，， 所以，， 在中，， 即①， 在中，， 即②， 因为， 所以由①②两式相加可得：，解得：， 则. 【例8.9.】 （多选）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ） A．舰艇所需的时间为2小时 B．舰艇与舰艇对接时距离雷达兵（处）距离为70公里 C． D．舰艇与舰艇对接时距离处为50公里 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，根据题意，由余弦定理列出方程，求得，得到，再由正弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合， 则， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去），所以， 又由正弦定理得，可得. 故选：BCD. 【例8.10.】 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 【答案】/ 【难度】0.62 【知识点】角度测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】依题意画出示意图，再由余弦定理、正弦定理计算可得. 【详解】依题意可得如下图： 其中，，， 在中，由余弦定理可得 ， 由正弦定理可得即，解得 所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为. 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