易错07 圆（6大易错陷阱）（易错专练）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

易错07 圆 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：圆内一条弦对应无数个圆周角 易错02：忽略圆内接四边形的对角互补 易错03：两条弦平行时易忽略分类讨论 易错04：证明直线为圆的切线时，思路混乱 易错05：混淆三角形外接圆与内切圆 易错06：扇形弧长、面积公式记混误用 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 圆内一条弦对应无数个圆周角 易错典例 【典例01】如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【错因分析】概念认知偏差，误以为一条弦只对应一个圆周角，忽略弦所对优弧与劣弧对应的两种圆周角；混淆圆周角与圆心角的对应关系，无法区分 “一个圆心角” 和 “无数个圆周角” 的差异。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到弦所对圆周角立刻分优弧、劣弧两种情况思考；牢记弦对应两个互补圆周角，直径对应90°圆周角优先使用；用“知1得4”模型快速判断弦、弧、角、距离的等量关系。 【知识链接】 圆周角定理为一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；推论包括半圆或直径所对圆周角为 90°，90° 圆周角所对弦为直径，同弧或等弧所对圆周角相等；圆中 “知 1 得 4” 模型，即弦相等、弧相等、弦心距相等、圆心角相等、圆周角相等，满足其一可推其余四个；一条弦对应两个度数互补的圆周角，对应唯一一个圆心角。 类题巩固 1．（2024·广东揭阳·二模）如图，内接于，是的直径，以点C为圆心，任意长为半径画弧分别交于点F、点G，再分别以点F、点G为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点D，连接射线交于点E，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东清远·一模）如图，是的外接圆，是的直径，若的直径为5，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东东莞·三模）如图，的两条直径互相垂直，点E在半径上，连接并延长交于点F，若，则________°． 易错02 忽略圆内接四边形的对角互补 易错典例 【典例02】如图，是的外接圆，已知的半径为，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【错因分析】定理记忆不牢固，做题时想不到使用对角互补性质；无法将外角与内对角建立联系，概念应用不灵活。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到圆内接四边形直接标注两组对角和为180°；遇到外角直接找内对角相等；无明显垂直或平行条件时，优先使用该性质推导角度。 【知识链接】 圆内接四边形的对角互补；任意一个外角等于它的内对角；对角互补的四边形内接于圆。 类题巩固 1．（2025·广东清远·模拟预测）如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东韶关·一模）如图，在正方形网格里，点O，B，D在格点上，四边形是的内接四边形，观察图形，的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东云浮·模拟预测）如图，在中，，是的外接圆，为的中点，为延长线上一点，若，则________． 易错03 两条弦平行时易忽略分类讨论 易错典例 【典例03】已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为_____． 【错因分析】 思维定式，只画一种位置图形，缺少分类讨论意识；不理解弦心距的位置关系导致计算错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 题目无图时必须分同侧、异侧两种情况计算；先算每条弦的弦心距，同侧相减、异侧相加；计算后检验两种结果是否都符合题意。 【知识链接】 圆内两条平行弦与圆心的位置有同侧、异侧两种；弦心距公式为弦心距等于根号下半径平方减去弦长一半的平方；两弦距离等于弦心距之和或之差。 类题巩固 1．（2026·广东潮州·一模）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 2．（2025·广东云浮·二模）如图，在中，半径，弦平行于直径，且到直径的距离为．点是上不与A、B重合的一点，则的度数为_____． 3．（2026·广东湛江·模拟预测）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 易错04 证明直线为圆的切线时，思路混乱 易错典例 【典例04】如图，是外一点，与交于点，是上一点，，于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【错因分析】方法选择错误，不看是否有公共点盲目连半径；遗漏“过半径外端”或“垂直”其中一个条件；证明垂直时找不到合适依据。 避坑攻略 【技巧点拨】 先判断直线与圆是否有明确公共点，有则连半径证垂直，无则作垂线证半径等于垂线段；证明过程必须同时体现“半径外端”和“垂直”两个关键条件。 【知识链接】 切线判定定理为过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，两个条件缺一不可；证明切线有两种方法，有公共点时连半径证垂直，无公共点时作垂线证半径等于垂线段长。 类题巩固 1．（2024·广东阳江·期末）等腰中，，点为边中点，如图1，以为圆心作圆与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，点为上一点，，连接并延长交于点．若半径为3，求弧的长度． 2．（2024·广东阳江·一模）如图，已知平行四边形的三个顶点，，在以为圆心的半圆上，过点作，分别交的延长线于点交半圆于点，连接． (1)判断直线与半圆的位置关系，并说明理由． (2)若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积． 3．（2026·广东潮州·二模）如图，已知中，，O是底边边的中点，腰与相切于点D，分别交底边于F、G两点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求优弧的长． 易错05 混淆三角形外接圆与内切圆 易错典例 【典例05】如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 【错因分析】概念混淆，把外心与内心的定义、性质、画法混用；分不清垂直平分线与角平分线的区别，无法判断圆心位置。 避坑攻略 【技巧点拨】 记清“外中垂、到点等；内角分、到边等”；看到外接圆找垂直平分线与外心，看到内切圆找角平分线与内心；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点，可直接使用。 【知识链接】 外接圆是过三角形三个顶点的圆，外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等，位置随三角形形状变化；内切圆是与三边都相切的圆，内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，恒在三角形内部。 类题巩固 1．（2025·广东广州·二模）直角三角形两条直角边分别为和，则此三角形的内切圆半径为_____，外接圆半径为_____． 2．（2024·广东惠州·一模）如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为_____． 3．（2025·广东湛江·一模）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则________． 易错06 扇形弧长、面积公式记混误用 易错典例 【典例06】如图，半径为5的与正五边形相切于点B、E，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 【错因分析】公式记忆混淆，弧长与面积公式分母、系数记混；不理解公式原理，死记硬背易出错；圆锥展开图中母线与底面半径对应关系混乱。 避坑攻略 【技巧点拨】 理解公式来源，弧长是圆周长的n/360，面积是圆面积的n/360；用“弧长用180，面积用360”区分；圆锥问题牢记“扇形弧长=底面圆周长”，统一变量再计算。 【知识链接】 扇形弧长公式为l等于nπR除以180；面积公式为S等于nπR²除以360，也等于二分之一lR；圆锥侧面展开图扇形半径为母线长，弧长等于底面圆周长；公式中n为圆心角度数，R为圆半径。 类题巩固 1．（2025·广东深圳·期末）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东东莞·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东阳江·一模）如图，，分别与相切于，两点，若的半径为，，则图中阴影部分的面积为__________． 易●错●闯●关 1．（2025·广东惠州·一模）是等腰三角形ABC的外接圆，顶角为是上一点，则的度数为_____． 2．（2026·广东佛山·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 3．（2024·广东东莞·一模）已知：如图，为的直径，C是半圆上的一点，D为弧的中点，点P在半径上，且，连结，，．若，则________． 4．（2026·广东揭阳·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 5．（2025·广东惠州·三模）如图，点A、B、C、D在上，O点在的内部，四边形为平行四边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东汕尾·模拟预测）如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东江门·期末）如图，一个半径为的圆形铁丝圈，小海用铁钳剪下圆心角是的一段弧形铁丝，并将其重新制成相同粗细的小铁丝圆环，剩余铁丝保持形状不变，将此小圆环绕着原剩余铁丝圈的内、外两侧滚动一周，那么小圆环滚动过程中所覆盖的面积是_______ （结果保留）．    8．（2025·广东汕头·二模）如图，是的外接圆，，已知面积为，，则的半径为________． 9．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 10．（2025·广东佛山·一模）如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 11．（2025·广东东莞·期末）如图，在中，，是的角平分线，以点为圆心，为半径作，交于点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若与的切点为，连接交于点，已知，设的半径为5，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错07圆 修修修目录导航《《 第部分易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 A易错典例 A避坑攻略 A类题巩固 易错01：圆内一条弦对应无数个圆周角 易错02：忽略圆内接四边形的对角互补 易错03：两条弦平行时易忽略分类讨论 易错04：证明直线为圆的切线时，思路混乱 易错05：混淆三角形外接圆与内切圆 易错06：扇形弧长、面积公式记混误用 第二部分易错闯关闯关攻克易错，稳练答题能力 《4 易●错●剖●析 易错01圆内一条交对应无数个圆调角、 ◆易错典例· 【典例01】如图，AB为⊙O的直径，点C,D在圆上，且AC=CD,若∠ABC=32°，则∠DAB的度数为 () A.16° B.26° C.32° D.58 【答案】B 【详解】解：如图，连接BD, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 B.:AC=CD. D .AC=CD, .∠CBD=∠ABC=32°， :∠ABD=∠ABC+∠CBD=32°+32°=64°， :AB为O0的直径， ∠ADB=90°， ∠DAB=90°-∠ABD=90°-64°=26°. 【错因分析】概念认知偏差，误以为一条弦只对应一个圆周角，忽略弦所对优弧与劣弧对应的两种圆周角： 混淆圆周角与圆心角的对应关系，无法区分“一个圆心角”和“无数个圆周角”的差异。 A坑攻略 【技巧点拨】 看到弦所对圆周角立刻分优弧、劣弧两种情况思考：牢记弦对应两个互补圆周角，直径对应90°圆周角优先使用： 用“知1得4”模型快速判弦、孤、角、距离的等量关系。 【知识链接】 圆周角定理为一条弧对的圆周角等于它对圆心角的一半；推论包括半圆或直径对圆周角为90°，90°圆周 角所对弦为直径，同弧或等孤所对圆周角相等：圆中“知1得4”模型，即弦相等、孤相等、弦心距相等、圆 心角相等、圆周角相等，满足其一可推其余四个；一条忽对应两个度数互补的圆周角，对应唯一一个圆心角。 ◆类题巩固· 1.(2024广东揭阳·二模)如图，ABC内接于⊙0，AB是⊙0的直径，以点C为圆心，任意长为半径画 弧分别交AC、BC于点F、点G,再分别以点F点G为圆心，大于FG长为半径画弧，两弧在圆的内部 相交于点D,连接射线CD交OO于点E,连接BE,则∠ABE的度数是() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E A.30° B.36° C.45° D.50° 【答案】C 【详解】解：：AB是⊙O的直径， ∠BCA=90°， 由作图过程可知，CE平分∠BCA, LACE=45°， AE=AE, :∠ABE=LACE=45°. 2.(2026广东清远一模)如图，⊙0是ABC的外接圆，AD是00的直径，若⊙0的直径为5，AC=4 ,则cosB的值是() D】 2 B. 5 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接CD, D :AD是O0的直径， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACD=90°， :⊙0的直径为5，AC=4,即AD=5, .CD=AD2-AC2=3, cos∠ADC=CD-3 AD5' AC=AC' ∠B=∠ADC, ÷CosB=cos∠ADC=3 Γ5 3.(2024广东东莞三模)如图，⊙0的两条直径AB,CD互相垂直，点E在半径0D上，连接BE并延长 交OO于点F,若FD=FE,则∠CBF=。 【答案】67.5 【详解】解：连接CF, E D:⊙O的两条直径AB,CD互相垂直， B 0B=0C,∠B0C=90°， ∠0BC=∠0CB=45°， :FD =FE, ∠FED=∠FDE, 又CF=CF, .∠CBF=∠FDC, 又∠FED=∠CEB, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠CBF=∠CEB=180°-45 =67.5° 2 易错02忽略圆内接四边形的对角互补《 ◆易错典例 【典例02】如图，⊙0是ABC的外接圆，己知O0的半径为4，AC=4√5，则∠ABC的度数是（) A.110° B.120° C.125 D.130° 【答案】B 【详解】解：如图，连接OA,OC,过点O作OD⊥AC于点D,取优弧AC上任意一点E,连接AE、CE AD=4C=x45=25, 2 2 在R1aA0D中，0D=V0A-AD=42-(2N5=2, 0D=10A, 2 .∠0AD=30°， .∠A0D=90°-∠0AD=60°， :0A=0C,OD⊥AC, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠A0C=2LA0D=120°， :∠AEC=1∠A0C=60, :∠AEC+∠ABC=180°， ∠ABC=180°-∠AEC=120°. 【错因分析】定理记忆不牢固，做题时想不到使用对角互补性质；无法将外角与内对角建立联系，概念应用 不灵活。 A坑攻略 【技巧点拨】 看到圆内接四边形殖接标注两组对角和伪180°：遇到外角直接找内对角相等；无明显垂直或平行条件时，优先使 用该性质推导角度。 【知识链接】 圆内接四边形的对角互补：任意一个外角等于它的内对角：对角互补的四边形纳接于圆。 ◆类题巩固 1.(2025广东清远模拟预测)如图，四边形ABCD内接于O0,AB=6,AD=10,∠BCD=2LBAD,C 为BD的中点，则线段BC的长为() A.⑤7 B. 2v57 C.23 D.4 3 3 【答案】B 【详解】解：连接BD,作BE⊥AD于点E,作CF⊥BD于点F, :四边形ABCD内接于OO, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠BCD+∠BAD=180°， :∠BCD=2LBAD, .∠BAD=60°，∠BCD=120°， 在Rt△ABE中，AB=6,∠BAD=60°， AE=TAB-3.BE=VAB-AE-35, 2 :AD=10, .DE=AD-AE=7, .BD=DE2+BE2 = 72+3=29, :CF⊥BD,C为BD的中点， :.BC=CD,BF=FD=-BD=19, 2 :∠CBD=180°-120)=30°， BF √192√57 BC= cos30°√3 3. 2 2.(2024广东韶关一模)如图，在正方形网格里，点O,B,D在格点上，四边形ABCD是⊙0的内接四 边形，观察图形，∠BCD的度数是() A.100° B.120° C.130° D.135° 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接BO,DO, B 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 根据勾股定理，得B0=√22+22=2√2，D0=√22+22=2√2，BD=4, 则B02+D02=BD2=16, “.△B0D是直角三角形， 则∠B0D=90°， i∠BMD=号B0D=45 :四边形ABCD是圆内接四边形， ∠BAD+∠BCD=I80°， .∠BCD=180°-45°=135°. 3.(2025·广东云浮·模拟预测)如图，在ABC中，AB=AC,⊙0是ABC的外接圆，D为AC的中点， E为BA延长线上一点，若∠DAE=II1°，则∠ACD= E A °0 【答案】37°37度 【详解】解：设LDCA=x,∠ACB=y, .AB=AC, .AB=AC,∠ABC=∠ACB=y, :D为AC的中点， :4D=CD, .∠CAD=∠DCA=x, ∴.∠ADC=180°-2x, :A、B、C、D四点共圆， .∠ADC=180°-y,∠DAE=∠DCB=111°， 180°-2x=180°-y,即y=2x, :∠DAB=∠DCA+∠ACB=x+y, .x+y=x+2x=3x=111°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得：x=37°， :∠DCA=37° 易错03两条弦平行时易忽略分类讨论剩 ◆易错典例 【典例03】己知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm,若这圆的半径是5dm,则两条平行弦之间的距离为 【答案】7dm或1dm 【详解】解：如图，ABCD,AB=6dm,CD=8dm, 过O点作OE⊥AB于E,交CD于F点，连OA、OC, :AE=BE=7 AB=3, :ABCD,EF⊥AB, ∴.EF⊥CD, :.CF=FD-]CD=4, 在Rt△OAE中，OA=5dm OE=V0A2-AE2=V52-32=4, 同理可得OF=3, 当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF=4+3=7(dm); 当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE-OF=4-3=1(dm). 故答案为7dm或ldm. A B D 【点晴】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【错因分析】 思维定式，只画一种位置图形，缺少分类讨论意识；不理解弦心距的位置关系导致计算错误。 A抗攻略 【技巧点拨】 题目无图时必须分同侧、异侧两种情况计算：先算每条的弦心距，同侧相减、异侧相加：计算后检验两种结果 是否都符合题意。 【知识链接】 圆内两条平行弦与圆心的位置有同侧、异侧两种；弦心距公式为弦心距等于根号下半径平方减去弦长一半的平方； 两弻弦距离等于弦心距之和或之差。 ◆类题巩固 1.(2026广东潮州一模)已知⊙O半径是13，弦AB∥CD,AB=24,CD=10,则AB与CD之间距离为 () A.7 B.17 C.7或17 D.无法计算 【答案】C 【详解】解：当AB,CD在点O的两侧，作OM⊥AB于M,延长MO交CD于N,连接OA,OC, AB∥CD，AB=24,CD=10, 则ON⊥CD, M AM-4B-12.CN-CD-5. D 0M=V0A2-AM2=V132-122=5,0N=V0C2-CN2=132-52=12, .MN=0M+0N=5+12=17, :此时弦AB与CD的距离为17； 当AB,CD在点O的同侧，作OQ⊥CD于Q,交AB于P,连接0A,OC, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A B 同理， AP=4B=12.CQ=1CD=5, 2 :.0P=V0A2-AP2=V132-122=5,00=V0C2-CQ2=V132-52=12, ∴.PQ=0Q-0P=12-5=7, :此时弦AB与CD的距离为7， :弦AB与CD的距离为17或7. 故选：C. 2.(2025广东云浮·二模)如图，在O0中，半径r=6,弦AB平行于直径CD,且AB到直径CD的距离 为3√5.点E是⊙0上不与A、B重合的一点，则∠AEB的度数为 A B 【答案】30°或150 【分析】 【详解】解：过点O作OF⊥AB于点F,连接OA,OB, :半径r=6,弦AB平行于直径CD,且AB到直径CD的距离为3√5. A B E :.0A OB =6,OF=33,ZAOF ZBOF, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cos∠AOF= 0F3√55 0A62 ∠A0F=30°， ∠B0F=∠A0F=30°， .LA0B=∠B0F+∠A0F=60°， 当点E在优弧B上时，∠AEB=号∠AOB=30°： 当点E在劣弧B上时，∠AEB=×360°-60)=150°： 故答案为：30°或150°. 3.(2026广东湛江·模拟预测)已知O0的半径为13，弦AB=10,弦CD=24,AB∥CD,则这两条平行 弦AB,CD之间的距离为 【答案】7或17 【分析】 【详解】解：过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N, :AB‖CD, ·点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为AB中点，N为CD中点 :AB=10 :AM =5 :CD=24 .CN=12 在RIAOAM中，OA=13、AM=5, 由勾股定理得0M=V132-52=12 在Rt△OCN中，0C=13、CN=12, 由勾股定理得0N=V132-122=5 当AB、CD在圆心同侧时，如图： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 M A B 距离为0M-0N=12-5=7 当AB、CD在圆心异侧时，如图： D 距离为0M+0N=12+5=17. 故答案为：7或17. 易错04证明直线为圆的切线时，思路混乱<、 ◆易错典例◆ 【典例04】如图，P是⊙0外一点，PO与⊙0交于点B,A是⊙0上一点，∠0=2∠PAB,AC⊥P0于点 C. (I)求证：PA是⊙0的切线： (2)若PB=10 , BC=2,求⊙0的半径， 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】 【详解】(1)证明：延长AC交O0于点D,连接BD,则LO=2LADB, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D ∠0=2∠PAB, .∠PAB=∠ADB, :OB⊥AC, :AB BD ∴AB=BD, .∠BAD=∠BDA, ∴.∠BAD=∠PAB, :0A=0B, ∴.∠OBA=∠OAB, :∠BAD+∠AB0=90°， ∠PAB+∠0AB=90°，即∠0AP=90°， .0A⊥AP, 又：OA为半径， .PA是⊙O的切线： (2)解：Pm-9,8C=2. PC=P8+sC-台 设⊙0的半径为r,则0A=0B=r, OC=08-BC=r-2,OP=OB+BP=10 3 :∠OCA=∠OAP,∠O=∠O, △0CA∽a0AP, OC OA OA OP .O42=OC.OP, 即-r-2+9） 解得r=5, 故00的半径为5. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【错因分析】方法选择错误，不看是否有公共点盲目连半径；遗漏“过半径外端”或“垂直”其中一个条件；证 明垂直时找不到合适依据。 A抗攻略 【技巧点拨】 先判断值线与圆是否有明确公共点，有则连半径证垂直，无侧作垂线证半径等于垂线段；证明过程必须同时体现 “半径外端”和‘垂直”两个关键条件。 【知识链接】 切线判定定理为过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，两个条件缺一不可：证明切线有两种方法，有公共 点时连半径证垂直，无公共点时作垂线证半径等于垂线段长。 ◆类题巩固 1.(2024广东阳江·期末)等腰ABC中，AB=AC,点O为BC边中点，如图1，以O为圆心作圆与AB相 切于点M. M 图1 图2 (1)求证：AC是O0的切线： (2)如图2，点D为00上一点，∠AMD=40°，连接D0并延长交O0于点N,若⊙0半径为3，求弧MN的 长度 【答案】(1)见解析 e号 【分析】 【详解】(1)证明：作OE⊥AC于点E,连接OM,OA, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E :AB=AC,点O为BC边中点， .∠BAO=∠CAO, :AB是⊙O的切线， .∠AM0=∠AE0=90°， .0A=0A, △AM0≌△AE0(AAS), 0E=0M,即OE是O0的半径， .AC是O0的切线： (2)解：连接MN,OM, M B :AB是⊙0的切线，∠AMD=40°， .∠AM0=90°， .∠0MD=90°-∠AMD=50°， :DN是O0的直径， .∠DMN=90°， .∠0MN=90°-∠0MD=40°， :0M=0N, ∠OMN=∠0NM=40°， .∠M0N=180°-40°-40°=100°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :00半径为3， .弧MN的长度= 100m×3_5π 1803 2.(2024广东阳江一模)如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A,B,C在以O为圆心的半圆上， 过点C作CD⊥AB,分别交AB,AO的延长线于点D,E,AE交半圆O于点F,连接CF, (1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由. (2)若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积 【答案】()DE是半圆O的切线，理由见详解 (2)72V5-24元 【分析】 【详解】(1)解：结论：DE是半圆O的切线 理由：：四边形OABC是平行四边形， OC∥AB, :CD⊥AB, .CD⊥0C, :0C是半圆0的半径， DE是半圆O的切线； (2)解：连接OB, :四边形OABC是平行四边形， 又：0A=0C, 四边形OABC是菱形， :.0A=OB=AB=OC=BC, .△ABO,△CBO都是等边三角形， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠A0B=∠B0C=60°， .∠C0F=60°， 在Rta0CE中，半圆O的半径为12，∠COE=60°，∠OCE=90°， ∴.∠E=30°， .0E=20C=24,EC=V0E2-0C2=12V3, a =S.cor -SgucoF 12x123-00723-24 360 3.(2026广东潮州二模)如图，已知ABC中，AB=AC,O是底边BC边的中点，腰AB与OO相切于 点D,OO分别交底边BC于F、G两点. D B G (1)求证：AC是00的切线： (2)若BD=2V5,BF=2,求优弧FGD的长. 【答案】()见解析 【分析】 【详解】(1)解：过O作OE⊥AC于点E,连接OA,OD, :O是BC的中点，AB=AC, A0平分∠BAC, :AB是OO的切线， OD⊥AB, :OE⊥AC, 0D=0E, OE是⊙0的半径， AC是O0的切线： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)设⊙0的半径为，则0D=r,0B=r+2, 在RtAB0D中，OD2+BD2=OB2, r2+(25=(r+22, 解得r=2,即0D=2, 在RtaBOD中，tan∠BOD=BD =5, OD .∠B0D=60°， (360-60)元·210 元 :优弧FGD的长 180 3 。易错05混淆三角形外接圆与内切圆<、 ◆易错典例◆ 【典例05】如图，将ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕AD.再将ABC折叠，使BC边 落在AB边上，展开后得到折痕BE,若AD与BE的交点为O,则点O是() B- A.ABC的外心B.ABC的内心 C.ABC的重心 D.ABC的中心 【答案】B 【详解】解：如图：过点O作OF1AB,OM⊥AC,ON⊥BC, F B D ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由题意得：∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE, 0为角平分线的交点， ..OF=OM =ON :点O到ABC三边的距离相等. ·点O是ABC的内心 故选：B. 【错因分析】概念混淆，把外心与内心的定义、性质、画法混用；分不清垂直平分线与角平分线的区别， 无 法判断圆心位置。 A抗攻略 【技巧点拨】 记清“外中垂、到点等；内角分、到边等”；看到外接圆找垂直平分线与外心，看到内切圆找角平分线与内心；直 角三角形外接圆的圆心在斜边中点，可直接使用。 【知识链接】 外接圆是过三角形三个顶点的圆，外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等，位置随三角形形状变化：内 切圆是与三边都相切的圆，内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，恒在三角形纳部。 ◆类题巩固 1.(2025广东广州二模)直角三角形两条直角边分别为6和8，则此三角形的内切圆半径为，外接 圆半径为 【答案】 2 5 【详解】解：如图所示： B 由内切圆性质可知AE=AF,BE=BG,FC=CG=DF=DG, :直角三角形的两条直角边分别为6和8， .由勾股定理得斜边长为√62+82=10， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则内切圆半径 DF-FC-(C-AF)+(BC-G)]-(C-AE)+(BC-E)]-(C+BC-AB)-6+8-1)-2. 再由直角三角形外接圆半径为斜边的一半，可知此三角形的外接圆半径为B=2×10=5, 2 2.(2024广东惠州一模)如图，点I和O分别是ABC的内心和外心，若∠AIB=125°，则∠A0B的度数 为 B 【答案】140°140度 【分析】 【详解】解：分别作出ABC的外接圆⊙0，ABC的内切圆⊙I, B :点I是ABC的内心， AI平分∠CAB,BI平分∠ABC, ∴∠IAB=∠CAB,∠IBA=∠CBA, :∠A1B=125°， ∠IAB+∠IBA=180°-∠AIB=55°， .∠CAB+∠CBA=2∠IAB+∠IBA=110°， ∠ACB=180°-∠CAB+∠CBA=70°， :点O是△ACB是外心， .∠A0B=2LACB=140°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：140° 3.(2025·广东湛江·一模)如图，在△ABC中，∠ACB=58°，△ABC的内切圆⊙O与AB,AC分别相切于 点D,E,连接DE,BO的延长线交DE于点F,则∠BFD= E 【答案】29 【详解】解：如下图所示，连接AO、EO、DO, :⊙0是△ABC的内切圆， .OE⊥AC,OD⊥AB,A0平分∠CAB,OB平分∠ABC, A0⊥ED, ∠0ME=90°， L0AB=∠CAB,∠OBA=∠ABC, 2 2 在△AOB中，∠A0B=180°-∠0AB-∠0BA, :∠A0B=180°-1∠CAB-1∠CBA =18r-cCa+c84. 又：∠CAB+∠CBA=180°-∠C=180°-58°=122°， ∠40B=1800-1x122°=119°， 2 :∠AOB是△OMF的外角， :∠AOB=∠OMF+LBFD, ∠BFD=∠A0B-∠0MF=119°-90°=29°. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：29°. 。易错06扇形弧长、面积公式记混误用 ◆易错典例· 【典例06】如图，半径为5的O0与正五边形ABCDE相切于点B、E,则弧BE的长为() 0 A.4π B.10π C.15π D.20π 【答案】A 【详解】解：连接OB,OE, 0 :五边形ABCDE是正五边形， 六∠D=∠C=180°-360° =108°， :BC、DE与OO相切， .∠0ED=∠0BC=90°， .∠B0E=5-2×180°-108°-108°-90°-90°=144°， ·弧BE的长为144πx5 4π 180 【点晴】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解 决本题的关键。 【错因分析】公式记忆混淆，弧长与面积公式分母、系数记混；不理解公式原理，死记硬背易出错；圆锥展 开图中母线与底面半径对应关系混乱。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A坑攻略 【技巧点拔】 理解公式来源，孤长是圆周长的/360，面积是圆面积的/360；用孤长用180，面积用360”区分；圆的题牢 记“扇形弧长=底面圆周长”，统一变量再计算。 【知识链接】 扇形孤长公式为1等于nπR除以180；面积公式为S等于πR除以360，也等于二分之一R;圆锥侧面展开图 扇形半径为母线长，孤长等于底面圆周长：公式中为圆心角度数，R为圆半径。 ◆类题巩固· 1.(2025广东深圳期末)如图，AB是⊙0的直径，CD垂直平分OB交00于C,D两点，∠ABC=60°， CD=4√3，则图中阴影部分的面积为() B D A.4π B. c D. 3 【答案】C 【详解】解：如图，连接OC,BD,设AB、CD的交点为E, B :AB是⊙O的直径，CD垂直平分OB交⊙O于C,D两点， .CD⊥OB,OE=EB,CE=DE, ∴四边形ODBC是菱形，S△ODB=S△cDB, .S阴影=S南形ODB, ∠ABC=60°，0C=0B, △OBC是等边三角形， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 24 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .OE=EB, .∠0CE=∠BCE=30°， :OE=10C. 2 :CD=4V5, :CE=1cD=25, oc-oCcc :30c2=CE, 0c=23。m cE=25 ×2V3=4, 3 3 60×元×428 ∴S阴影=S筒形ODB= 360 3 2.(2025广东东莞一模)若一个圆锥的底面圆的半径为5cm,其侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的 母线长为() A.20cm B.30cm C.45cm D.50cm 【答案】B 【详解】解：设该圆锥的母线长为lcm, :圆锥底面圆半径r=5cm, ∴底面圆的周长C=2r=2π×5=10πcm, :圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，且扇形圆心角为60°， :可得等式60=10x, 180 化简得=10元，两边同除以n得=10， 解得1=30， 即圆锥母线长为30cm. 3.（2025·广东阳江一模)如图，PA,PB分别与00相切于A,B两点，若00的半径为2，∠P=60°， 则图中阴影部分的面积为 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 25 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 B 【答案】45-4如 3 【详解】解：如图，连接OA、OB、OP, A B :PA,PB分别与OO相切于点A,B, OA⊥PA,OB⊥PB, ∠0AP=∠0BP=90°， ∠A0B=360°-∠0AP-∠0BP-∠APB=120°， 在RIAOAP和RtAOBP中， OA=OB OP=OP Rt△OAP≌RIAOBP(HL, ∠OPA=∠0PB=2∠APB=30 在R1aOAP中，PA=OA 2 tan∠OPA tan30° =23, Sm=5am=0时：H=日x2×25=25, 六S日边形0um=2SA0p=4V3, :S扇形04B 120元×224元 3603 S影=Sa0m-Sg0B=4V5-4 易●错●闯●关 1.(2025·广东惠州一模)⊙0是等腰三角形ABC的外接圆，顶角∠A为40°，D是O0上一点，则∠ADB的 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 度数为 【答案】70°或110° 【详解】：△ABC是等腰三角形，顶角∠A=40°， ·∠ACB=180°-40° =70°， 2 分两种情况讨论： 1.当点D在优弧AB上时，如下图： 409 ○。 D B 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠ADB与∠ACB都对弧AB, :∠ADB=∠ACB=70°； 2.当点D在劣弧AB上时，如下图： 409 四边形ADBC是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，对角互补， :∠ADB=180°-∠ACB=180°-70°=110°. 2.(2026广东佛山期末)如图，点O是ABC外接圆的圆心，点I是ABC的内心，连接OB、IA,若 ∠CAI=40°，则∠0BC的度数为 【答案】10°/10度 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】 【详解】解：如图，连接OC, :点I是ABC的内心， ·AⅡ平分∠BAC, :∠CAI=40°， :∠BAC=2∠CA=2×40°=80°， :点O是ABC外接圆的圆心， .∠B0C=2LBAC=2×80°=160°， :0B=0C, ∠08c=∠0c8x180P-∠B09)=X180p-1609=10. 故答案为：10° 3.(2024广东东莞一模)已知：如图，AB为00的直径，C是半圆上的一点，D为弧BC的中点，点P 径OB上，且4C=AP,连结CP,DP,BD.若=)，则cosLC 【答案】和万 【详解】解：如图，连接AD交CP于点Q,连接CD, :D为弧BC的中点， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .CD=BD, CD=BD,∠CAD=∠BAD, .AQ平分∠CAP, 又：AC=AP, .AQ⊥CP,CQ=PQ, .AQ是CP的垂直平分线， :点D在直线AQ上， .CD PD, ∴BD=PD, 83 BD2' .设CP=3a,BD=2a, 3 PQ=-CP=三a,PD=BD=2a, 2 2 3 在RtAP0D中，os∠0PD=P-22_3, PD 2a 4 即cos∠CPD=4 3 4.(2026广东揭阳·期末)在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm,油面宽 AB为6cm,如果再注入一些油后，油面宽变为8cm,则油面AB上升了()cm A A.1 B.3 C.3或4 D.1或7 【答案】D 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD,作ON⊥AB与CD、AB的交点为M、N ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 图1 由题意知OM⊥CD,CM=MD=CD=4cm,AN=BN=AB=3cm 2 在Rt△B0N中，由勾股定理得ON=VOB2-BN2=4cm 在RtaD0M中，由勾股定理得OM=VOD2-DM2=3cm .MN =ON-OM =1cm ②如图2，宽度为8cm的油面EF,作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P,连接OB 图2 由题意知PN⊥AB,EP=PF=EF=4cm,AN=BN= AB=3cm 在R1△B0N中，由勾股定理得ON=VOB2-BN2=4cm 在RtAEP0中，由勾股定理得0P=VOE2-EP2=3cm .NP=ON +OP =7cm :油面AB上升到CD,上升了Icm,油面AB上升到EF,上升了7cm; 故选D. 【点晴】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理.解题的关键在于对两种情况全面考虑. 5.(2025·广东惠州三模)如图，点A、B、C、D在O0上，O点在∠D的内部，四边形0ABC为平行四 边形，则∠OAD+∠OCD的度数为() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 30 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.45° B.60° C.80° D.90° 【答案】B 【详解】解：：四边形OABC为平行四边形， ∠B=∠AOC, :点A、B、C、D在⊙0上， :四边形ABCD为圆内接四边形， .∠B+∠ADC=180°， :∠A0C=2∠ADC, .2∠ADC+∠ADC=180°， ∠ADC=60°， 连接OD,如图： O B ,0A=0D=0C, :Z0AD Z0DA,Z0CD=Z0DC, .∠0AD+∠0CD=∠0DA+∠0DC=∠ADC=60°. 6.(2025·广东汕尾模拟预测)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=V6,BC=√2，以AB为半径画 弧，交BC延长线于点D,则阴影部分的面积为() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -B A. B.π-2V5 C.π-V5 D. 3-V5 【答案】A 【详解】解：：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=V6,BC=V2, :tan∠B=AC- BC√ =5 .∠B=60°， ∠BAC=30°， :AB =2BC =22, .阴影部分的面积 60rx2-x2x6-号-5 360 7.（2025广东江门期末)如图，一个半径为一的圆形铁丝圈，小海用铁钳剪下圆心角是120°的一段弧形 铁丝，并将其重新制成相同粗细的小铁丝圆环，剩余铁丝保持形状不变，将此小圆环绕着原剩余铁丝圈的内、 外两侧滚动一周，那么小圆环滚动过程中所覆盖的面积是」 (结果保留π)· 120 【答案】 45元 【详解】解：如图所示： B 120 设小圆环半径为”， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9 :120r 2=3' 180 .2πr=3π， 解得：=3 .AC=AB=2r=3, 9 :0A= 0=01--0C=04+4c=3- 2 扇环面积S 360-120π(0c2-0B) 360 -] 240 2216 πX 34 2 =。π×54 3 =36π， :在两端转弯处，覆盖的总面积S,等于一个半径为3的圆的面积， S2=π×32=9π， :.小圆环滚动过程中所覆盖的总面积S=S,+S2=36π+9π=45π， 故答案为：45π. 8.(2025广东汕头二模)如图，00是ABC的外接圆，∠B=120,已知4BC面积为5， BA+BC=25,则⊙0的半径为 A 0 【答案】30 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 33 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：过点A作AD⊥CB,交CB于点D,如图， A E B C ∠ADB=90°， :∠ABC=120°， .∠ABD=60°， .∠DAB=30°， :DB=TAB, 2 AD-A-D8B :4BC面积为3 8C4D= 2 2 : -AB.BC= 2 AB·BC=2, 设AB=m,BC=n,则mn=2, :BA+BC=23, m+n=25, 在Ra0c中，AD=9m,CD=D+BC- m+n, 2 .AC2=AD2+CD2= 3)2 （1)2 2m+ m+n=(m+n2-mn=(25-2=10, 2 :.AC=V0(负值舍去) 过点A作OO的直径AE,连接CE,则LACE=90°， :四边形ABCE是圆内接四边形， ∠ABC+LE=180°， ∠E=180°-∠ABC=180°-120°=60°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 34 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠CAE=30°， 设OO的半径为R,则AE=2R, .CE=R, 在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2, :(N1o+R2=(2R2, 解得R= 3 ·00的半径为30 9.(2024广东韶关模拟预测)如图，⊙0为ABC的外接圆，其中∠B=50°，点I为ABC的内心，连接 AI并延长交O0于点D,连接IC,CD,则LICD=°. B D 【答案】65 【详解】解：：I是ABC的内心， ∴.AI,CI分别平分∠BAC,∠BCA, :∠BCD=∠BAD=∠CAD=∠BAC,∠ACI=∠BCI=∠ACB, ∠B=50°， ∴∠AC+∠1CA=)180-∠B)=65, :.∠A1C=180°-∠1AC+∠1CA=115: :∠ADC=∠B=50, ∴.∠ICD=∠AIC-∠ADC=65°. 故答案为：65. 10.(2025广东佛山一模)如图，CD是ABC的高，以AB为直径作O0交CB的延长线于点E,连接 DE,DE=CD. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 分 (1)求证：DE是O0的切线； (2)若CD=4,BD=2,求ABC的面积 【答案】()见解析 (2)12 【分析】 【详解】(1)证明：连接OE. B D只 E .DE =DC, .∠DCB=∠DEB :OB=OE,∠DBC=∠OBE, .∠DBC=∠OBE=∠OEB. :CD是ABC的高， ∠CDB=90°. ∴.∠DCB+∠DBC=90°. .∠DCB+∠0EB=90°. ∠DE0=∠DEB+∠OEB=90°，即DE⊥OE, 又：OE是00的半径， DE是O0的切线； (2)解：由题意知：DE=CD=4,BD=2, 设0A=0B=0E=r,则0D=2+r, 由(1)知∠DE0=90°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 36 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .在Rt0ED中，DE2+OE2=OD2, 即42+r2=(2+r)2, 解得r=3. AB=6. ：48C的面积S=分B-CD6x4=2。 11.(2025广东东莞期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A0是ABC的角平分线，以点0为圆 心，0C为半径作⊙0，A0交00于点E,延长A0交⊙0于点D. E B D (I)求证：AB是⊙0的切线： 切点为F,连接CP交4D于点M,已知anLD,设00的半名 【答案】(1)证明见解析 号 【分析】 【详解】(1)证明：如图①，过点O作OF⊥AB于点F, :A0平分∠CAB, LACB=90°，OF⊥AB, 0F=0C, :AB是OO的切线. A E 图① ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：由(1)可知，AB是⊙0的切线，则∠AF0=90°， 在RtAACO和Rt AFO中， AO=AO OC=OF' :Rt△ACO≌RtAAFO(HL, :AC=AF, 如图②，连接CF交AD于点M, :A0平分∠BAC, :AD⊥CF,垂足为M, :CM =MF, 连接CE, :ED是⊙0的直径，⊙0的半径为5， .∠ECD=90°，DE=10 在Rt DCE中，tan∠D=3 49 CE3 …CD4 设CE=3k,CD=4k, 在Rt DCE中，CE2+CD2=DE2,即(3k)2+(4k)2=102, k=2或k=-2(不合题意，舍去) CE=6,CD=8, Sc-DE-CM-CE-CD, 2 :CM=CE-CD_6×824 DE105 ∴.CF=2CM=2× 2448 55 E B D 图② ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 38