热点16 高阶几何最值4大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点16 高阶几何最值 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 将军饮马全系列模型 题型02 隐圆最值模型 题型03 多模型复合最值综合 题型04 其他几何最值 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：高阶几何最值是江苏中考数学压轴题的 “皇冠” 考点，是区分顶尖学生的核心模块，近三年在 13 市中考中，整体分值占比稳定在8-12分，以解答压轴题或填空压轴题形式出现，侧重考查模型识别、转化思想与综合推理能力。 1.高频考点分布： · 将军饮马全系列模型：最值问题的基础核心，是进阶模型的基础，占2-3分； · 隐圆最值模型：江苏中考高频压轴模型，区分度极强，占3-4分； · 多模型复合最值综合：压轴题最高难度设问，占3-4分； · 其他几何最值：冷门但易考的特殊最值模型，占1-2分。 2.命题特点： · 以三角形、四边形、圆为载体，结合 “将军饮马 + 隐圆 + 胡不归 / 阿氏圆” 等复合模型，层层递进设问； · 设问梯度明显，前两问为基础模型识别，后两问为综合应用与最值探究； · 江苏中考压轴题常以 “多模型复合” 的形式命题，综合性极强； · 对模型识别与转化能力要求极高，需熟练掌握各类最值模型的核心原理。 3.高频失分点： · 无法识别模型，如将隐圆最值误判为普通将军饮马； · 隐圆模型中，无法识别定角对定边、定点定长的轨迹； · 复合模型中无法拆解为基础模型，无从下手； · 最值求解中忽略动点的运动范围，导致最值判断错误。 预测2026年：2026 年江苏中考趋势预测 2026年本模块将继续保持高区分度命题风格： 1.将军饮马系列模型仍为基础设问，背景更灵活，可能结合折叠、旋转； 2.隐圆最值仍是压轴题高频考点，背景可能结合二次函数、坐标系； 3.多模型复合最值问题的区分度进一步增强，侧重考查模型拆解与转化能力； 4.其他几何最值（如费马点、垂线段最短）可能以填空压轴形式出现，考查冷门模型的应用。 题型01 将军饮马全系列模型 解｜题｜策｜略 ① 基础将军饮马模型（两定一动）： · 场景：直线同侧两点，在直线上找一点，使两点到该点的距离和最小； · 解法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求，最小值为对称点与另一点的距离； · 核心原理：两点之间，线段最短。 ② 进阶将军饮马模型： · 模型 1：两定两动（两条直线上各有一个动点，求折线段和的最小值）：作两次对称，转化为两点间距离； · 模型 2：单定两动（一个定点，两条直线上各有一个动点，求折线段和的最小值）：作定点关于两条直线的对称点，连接对称点，与直线的交点即为所求； · 模型 3：将军饮马+平移（两定点间有固定距离，求折线段和的最小值）：平移其中一点，转化为基础将军饮马模型； · 模型 4：将军饮马+圆（定点到圆上一点+直线上一点的距离和最小值）：转化为定点到圆上点的距离，再结合将军饮马求解。 ③ 解题技巧： · 优先明确 “求哪条线段/折线段的最值”，确定对称轴和动点轨迹； · 对称点的选择：优先对称已知点，避免对称动点导致轨迹复杂； · 计算时利用勾股定理或三角函数，求出两点间的距离。 ④ 易错点：对称点作错，导致线段转化错误；或无法识别进阶模型，无法将折线段转化为直线段。 例1（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 例2（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E． (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）如图，在△ABC中，，，的顶点在边上运动（点不与点重合），且，，直线与直线相交于点，连接，则下列结论：①；②的面积等于的面积；③线段的最大值为；④周长的最小值为．其中正确的为（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 【变式2】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ． 题型02 隐圆最值模型 解｜题｜策｜略 ① 隐圆的核心识别模型： · 模型 1：定点定长：动点到定点的距离为定值，则动点的轨迹为圆； · 模型 2：定角对定边：动点对定线段的张角为定值，则动点的轨迹为一段圆弧； · 模型 3：直角对定边：动点对定线段的张角为直角，则动点的轨迹是以定线段为直径的圆； · 模型 4：到两定点距离之比为定值（阿氏圆）：动点到两定点的距离之比为定值，则动点的轨迹为圆。 ② 隐圆最值问题解法： · 圆上一点到定点的距离最值：定点到圆心的距离±半径； · 圆上一点到定直线的距离最值：圆心到直线的距离±半径； · 两圆上点的距离最值：两圆心的距离 ± 两圆半径和/差。 ③ 通用解题步骤： · 识别动点的轨迹，确定隐圆的圆心和半径； · 将最值问题转化为定点/定直线到圆心的距离问题； · 利用圆的性质，求出最值； · 回代验证，确定最值对应的点的位置。 ④ 解题技巧： · 优先寻找题目中的 “定点、定长、定角”，快速识别隐圆； · 直角对定边模型中，直径的中点即为圆心，直径的一半即为半径； · 定角对定边模型中，可通过圆周角定理求出圆心角，再确定圆心位置。 ⑤ 易错点：无法识别隐圆的轨迹；或圆心、半径找错，导致最值计算错误。 例1（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 例2（2026·江苏徐州·一模）已知线段，C为平面内一动点，连接，，则的面积的最大值为______． 【变式1】（2026·江苏苏州·模拟预测）在等腰△ABC中，，，是边中点，是线段上一动点（可与点，重合），边关于对称的线段为，连接． (1)如图1若，依题意补全图形，此时__________°． (2)如图2依题意补全图后，延长，交射线于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若，面积的最大值是__________，此时的长是__________． 【变式2】（2026·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型03 多模型复合最值综合 解｜题｜策｜略 ① 常见复合形式： · 将军饮马+隐圆：先利用隐圆确定动点轨迹，再用将军饮马求最值； · 将军饮马+胡不归：先通过对称转化，再利用三角函数转化线段； · 隐圆+阿氏圆：同时含圆上动点和系数线段，需分步转化； · 最值+存在性问题：先求最值，再判断是否存在满足条件的点。 ② 通用解题步骤： · 拆解题目，识别包含的基础模型； · 按 “从内到外、从简单到复杂” 的顺序，分步转化线段； · 每一步转化后，明确新的最值问题类型； · 最后结合两点之间线段最短或垂线段最短，求出最终最值。 ③ 解题技巧： · 优先处理含系数的线段（如k⋅PB），利用胡不归或阿氏圆转化； · 隐圆优先于对称转化，先确定动点轨迹，再进行对称操作； · 计算时注意各步转化的正确性，避免一步错步步错。 ④ 易错点：无法拆解复合模型，无从下手；或分步转化时逻辑混乱，导致最值计算错误。 例1（2026·江苏南京·一模）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，为等腰直角三角形，连接，则当之和取最小值时，的周长为______．（用含的代数式表示） 例2（2025·江苏南京·一模）实践与探究： (1)如图甲，正方形纸片的边长为，沿对角线剪开，然后固定纸片把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、． ①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；与不重合 ②在平移过程中，求的最小值； (2)如图乙，菱形纸片的边长为，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值． 【变式1】（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是否存在点，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值________． 题型04 其他几何最值 解｜题｜策｜略 ① 常见特殊最值模型： · 费马点最值：求三角形内一点到三个顶点的距离和的最小值，通过旋转转化为直线段； · 垂线段最短：直线外一点到直线的最短距离为垂线段的长度； · 两点之间线段最短：连接两点的所有路径中，线段最短； · 三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可用于求线段的最值。 ② 通用解题步骤： · 分析题目，确定最值问题的类型； · 选择合适的模型，如费马点模型、垂线段最短； · 利用模型的性质，转化线段或路径； · 求出最值，验证解的合理性。 ③ 解题技巧： · 费马点问题中，优先选择以最大角的顶点为旋转中心，旋转60°； · 垂线段最短问题中，优先过定点作直线的垂线； · 三角形三边关系问题中，优先将线段转化为三角形的边。 ④ 易错点：无法识别特殊最值模型，导致解题方法选择错误；或最值求解中忽略动点的运动范围。 例1（2026·江苏泰州·一模）如图，点A坐标为，点B是x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作矩形．若矩形的面积是24，连接，则的最大值为_______． 例2（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， (1)如图，当时，与满足数量关系是_______； (2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． （40分钟限时练） 1．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，．点是上的一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．点在从向运动的过程中，线段的最小值为(   ) A．4 B． C．2 D． 2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 4．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、．当点E、F在、边上运动时，则的最小值为________． 5．（2026·江苏连云港·一模）如图，在中，，，以为斜边作，且有，连接，并延长至点，使得，连接，则的最大值为_________． 6．（2026·江苏宿迁·二模）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，点是线段上一个动点（与、两点不重合），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，、与反比例函数图象分别交于点、． (1)求点的坐标； (2)求的最小值． 7．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 8．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，是边上的中线，是上一点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，，求面积的最大值． 9．（2026·江苏无锡·模拟预测）在正方形中，在边上，在上，以为边作等边三角形，使点落在边上．点是的中点，则的最小值为_____． 10．（2025·江苏徐州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标； (3)如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点16 高阶几何最值 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 将军饮马全系列模型 题型02 隐圆最值模型 题型03 多模型复合最值综合 题型04 其他几何最值 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：高阶几何最值是江苏中考数学压轴题的 “皇冠” 考点，是区分顶尖学生的核心模块，近三年在 13 市中考中，整体分值占比稳定在8-12分，以解答压轴题或填空压轴题形式出现，侧重考查模型识别、转化思想与综合推理能力。 1.高频考点分布： · 将军饮马全系列模型：最值问题的基础核心，是进阶模型的基础，占2-3分； · 隐圆最值模型：江苏中考高频压轴模型，区分度极强，占3-4分； · 多模型复合最值综合：压轴题最高难度设问，占3-4分； · 其他几何最值：冷门但易考的特殊最值模型，占1-2分。 2.命题特点： · 以三角形、四边形、圆为载体，结合 “将军饮马 + 隐圆 + 胡不归 / 阿氏圆” 等复合模型，层层递进设问； · 设问梯度明显，前两问为基础模型识别，后两问为综合应用与最值探究； · 江苏中考压轴题常以 “多模型复合” 的形式命题，综合性极强； · 对模型识别与转化能力要求极高，需熟练掌握各类最值模型的核心原理。 3.高频失分点： · 无法识别模型，如将隐圆最值误判为普通将军饮马； · 隐圆模型中，无法识别定角对定边、定点定长的轨迹； · 复合模型中无法拆解为基础模型，无从下手； · 最值求解中忽略动点的运动范围，导致最值判断错误。 预测2026年：2026 年江苏中考趋势预测 2026年本模块将继续保持高区分度命题风格： 1.将军饮马系列模型仍为基础设问，背景更灵活，可能结合折叠、旋转； 2.隐圆最值仍是压轴题高频考点，背景可能结合二次函数、坐标系； 3.多模型复合最值问题的区分度进一步增强，侧重考查模型拆解与转化能力； 4.其他几何最值（如费马点、垂线段最短）可能以填空压轴形式出现，考查冷门模型的应用。 题型01 将军饮马全系列模型 解｜题｜策｜略 ① 基础将军饮马模型（两定一动）： · 场景：直线同侧两点，在直线上找一点，使两点到该点的距离和最小； · 解法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求，最小值为对称点与另一点的距离； · 核心原理：两点之间，线段最短。 ② 进阶将军饮马模型： · 模型 1：两定两动（两条直线上各有一个动点，求折线段和的最小值）：作两次对称，转化为两点间距离； · 模型 2：单定两动（一个定点，两条直线上各有一个动点，求折线段和的最小值）：作定点关于两条直线的对称点，连接对称点，与直线的交点即为所求； · 模型 3：将军饮马+平移（两定点间有固定距离，求折线段和的最小值）：平移其中一点，转化为基础将军饮马模型； · 模型 4：将军饮马+圆（定点到圆上一点+直线上一点的距离和最小值）：转化为定点到圆上点的距离，再结合将军饮马求解。 ③ 解题技巧： · 优先明确 “求哪条线段/折线段的最值”，确定对称轴和动点轨迹； · 对称点的选择：优先对称已知点，避免对称动点导致轨迹复杂； · 计算时利用勾股定理或三角函数，求出两点间的距离。 ④ 易错点：对称点作错，导致线段转化错误；或无法识别进阶模型，无法将折线段转化为直线段。 例1（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 例2（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E． (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析 (2)①，；② 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设点，连接交于H，推出，得到点的坐标，即可得解； （2）①由四边形为正方形得到，垂直平分，设点，求出的值，即可得到点和点的坐标，进而求解； ②延长交轴于P，此时点即为所求，设直线的解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，理由如下： 设点， ∵点C关于直线的对称点为点E， ∴，平分， 如图，连接交于H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴于D， ∴轴， ∴， ∵， ∴点E在这个反比例函数的图象上； （2）解：①∵四边形为正方形， ∴，垂直平分， ∴， 设点， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， 代入得， ， 解得； ②∵点在轴上， ∴，， ∴， ∴， ∴，当且仅当、、三点共线时取等号； 延长交轴于P，此时点P即为符合条件的点； 由①知，，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 故当最大时，点P的坐标为． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，，，的顶点在边上运动（点不与点重合），且，，直线与直线相交于点，连接，则下列结论：①；②的面积等于的面积；③线段的最大值为；④周长的最小值为．其中正确的为（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】①根据题意得到，然后得到，即可证明，即可判断①；②如图，连接，证明出点A，D，C，E四点共圆，得到，即可判断②；③得到点E在直线上运动，然后结合点在边上运动，点不与点重合即可判断③；如图，作点A关于的对称点，连接，，当点B，E，三点共线时，的周长最小，即的值，然后利用勾股定理求解即可判断④． 【详解】解：①设交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②如图，连接 ∵ ∴点A，D，C，E四点共圆 ∴ ∴ ∴的面积等于的面积，故②正确； ③∵ ∴点E在直线上运动 ∵点在边上运动，点不与点重合 ∴不存在最大值，故③错误； ④如图，作点A关于的对称点，连接， ∴的周长 ∴当点B，E，三点共线时，的周长最小，即的值 由对称得， ∴ ∵ ∴ ∴周长的最小值为，故④错误． 综上所述，其中正确的为①②． 【变式2】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，，，，，，，首先得出当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度，然后得到，是等边三角形，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，，，，， ∵点A，B，C，D，E，F是的六等分点， ∴，是直径，点B和点F关于对称， ∴， ∴的周长， ∴当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度， ∵的直径为4， ∴， ，， 是等边三角形， ，， ∵点G为弦的中点， ∴， ∴， 在中，， 是直径， ， ， 在中，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 题型02 隐圆最值模型 解｜题｜策｜略 ① 隐圆的核心识别模型： · 模型 1：定点定长：动点到定点的距离为定值，则动点的轨迹为圆； · 模型 2：定角对定边：动点对定线段的张角为定值，则动点的轨迹为一段圆弧； · 模型 3：直角对定边：动点对定线段的张角为直角，则动点的轨迹是以定线段为直径的圆； · 模型 4：到两定点距离之比为定值（阿氏圆）：动点到两定点的距离之比为定值，则动点的轨迹为圆。 ② 隐圆最值问题解法： · 圆上一点到定点的距离最值：定点到圆心的距离±半径； · 圆上一点到定直线的距离最值：圆心到直线的距离±半径； · 两圆上点的距离最值：两圆心的距离 ± 两圆半径和/差。 ③ 通用解题步骤： · 识别动点的轨迹，确定隐圆的圆心和半径； · 将最值问题转化为定点/定直线到圆心的距离问题； · 利用圆的性质，求出最值； · 回代验证，确定最值对应的点的位置。 ④ 解题技巧： · 优先寻找题目中的 “定点、定长、定角”，快速识别隐圆； · 直角对定边模型中，直径的中点即为圆心，直径的一半即为半径； · 定角对定边模型中，可通过圆周角定理求出圆心角，再确定圆心位置。 ⑤ 易错点：无法识别隐圆的轨迹；或圆心、半径找错，导致最值计算错误。 例1（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定点C与点E的运动轨迹，继而得到，当最大时，最大，当最小，最大，再进行计算最大值即可． 【详解】解：， ， 点是在以为直径的圆上运动． ，且是绕点旋转， 点是以点为圆心，以为半径的圆上运动． ， 当最大时，最大，即最小，最大． 如图，当与相切于点，且点在内部时，最小，最大． ， ， ， ， ， 此时，即的最大值为． 例2（2026·江苏徐州·一模）已知线段，C为平面内一动点，连接，，则的面积的最大值为______． 【答案】 【分析】作的外接圆，圆心为点O，则，故，作于点F，于点E，则，由，求得，所以，由，得，所以，则的面积的最大值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点O，连接、、，则， ，， ， ， 作于点F，于点E，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，且， ， 的面积的最大值为． 【变式1】（2026·江苏苏州·模拟预测）在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点（可与点，重合），边关于对称的线段为，连接． (1)如图1若，依题意补全图形，此时__________°． (2)如图2依题意补全图后，延长，交射线于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若，面积的最大值是__________，此时的长是__________． 【答案】(1)补全图形见详解，90． (2)①证明见详解，②， 【分析】（1）根据题意画出图形，由对称的性质得到，再由即可求得答案； （2）①连接，过点B作于点H，设，由，可得A、E、B、F四点共圆，得出，推出，再根据解直角三角形即可得出答案；②由题意可得点G在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点O作于H，交优弧于点，连接，当时，即点G位于点时，的面积最大，利用解直角三角形可得面积最大值；过点E作于K，则，，，，得出，再由，即可求得． 【详解】（1）解：补全图形如图所示∶ ∵，， ∴， ∵边关于对称的线段为， ∴， ∴， 故答案为：90． （2）①， 理由如下：如图，连接，过点B作于点H， ∵边关于对称的线段为， ∴，，， 设， ∵， ∴A、E、B、F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ． ， 即， ∴， ∵， ∴， ②由①知：， ∵， ∴点G在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点O作于H，交优弧于点，连接， 当时，即点G位于点时，底边上的高最大，故的面积最大， ∵， ∴，即垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴, ∴， ∴， ∴面积最大值是． 此时，点E的位置如图所示，过点E作于K， 则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查对称的性质、四点共圆、同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是熟练对称的性质以及圆与三角形的结合，应用变化的思维寻找最值． 【变式2】（2026·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，，根据正六边形的性质可得点在以点为圆心，为半径的圆上，再利用圆外一点到圆上的点距离最小即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，， ∵六边形是边长等于4的正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，点、、分别为、、的中点， ∴是等边三角形，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为定值， ∴， ∴， 当点与点重合时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点与点重合， 当点与点重合时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点与点重合， ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当，，共线时，的最小值． 题型03 多模型复合最值综合 解｜题｜策｜略 ① 常见复合形式： · 将军饮马+隐圆：先利用隐圆确定动点轨迹，再用将军饮马求最值； · 将军饮马+胡不归：先通过对称转化，再利用三角函数转化线段； · 隐圆+阿氏圆：同时含圆上动点和系数线段，需分步转化； · 最值+存在性问题：先求最值，再判断是否存在满足条件的点。 ② 通用解题步骤： · 拆解题目，识别包含的基础模型； · 按 “从内到外、从简单到复杂” 的顺序，分步转化线段； · 每一步转化后，明确新的最值问题类型； · 最后结合两点之间线段最短或垂线段最短，求出最终最值。 ③ 解题技巧： · 优先处理含系数的线段（如k⋅PB），利用胡不归或阿氏圆转化； · 隐圆优先于对称转化，先确定动点轨迹，再进行对称操作； · 计算时注意各步转化的正确性，避免一步错步步错。 ④ 易错点：无法拆解复合模型，无从下手；或分步转化时逻辑混乱，导致最值计算错误。 例1（2026·江苏南京·一模）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，为等腰直角三角形，连接，则当之和取最小值时，的周长为______．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短路径，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接 ，过点作交延长线于点，则，由为等腰直角三角形，则，，所以，又四边形是正方形，则，即有，然后下面，故有，，点在的射线上运动，作点关于的对称点，然后通过是的角平分线，即点在的角平分线上运动，则点在的延长线上，当三点共线时，最小，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：连接 ，过点作交延长线于点，则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点在的射线上运动，作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线，即点在的角平分线上运动， ∴点在的延长线上， 当三点共线时，最小， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， ∴此时的周长为， 故答案为：． 例2（2025·江苏南京·一模）实践与探究： (1)如图甲，正方形纸片的边长为，沿对角线剪开，然后固定纸片把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、． ①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；与不重合 ②在平移过程中，求的最小值； (2)如图乙，菱形纸片的边长为，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值． 【答案】(1)①四边形是平行四边形，理由见解析；② (2)的最小值为 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点关于的对称点是解题的关键． 根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论； 作点关于的对称点，连接，，当，，共线时，有最小值，再证明是等腰直角三角形，且，，共线，在直角中，利用勾股定理即可求解； 同理可得是等边三角形，且，，共线，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是正方形， ，， 如图，把纸片沿剪痕的方向平移得到， ，， 四边形是平行四边形； 四边形是平行四边形， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为， 将沿射线的方向平移得到， ，， 四边形是平行四边形， ， 关于的对称点， ，， 是等腰直角三角形，且，，共线， 在直角中，由勾股定理得：， 的最小值； （2）如图，菱形的边长为， ， ， 作点关于的对称点，连接，， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为， ，， 四边形是平行四边形， 为菱形，， ， ，，， 关于的对称点， ，，， 是等边三角形， ， ，，共线， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在直角中，由勾股定理得：， 的最小值为． 【变式1】（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是否存在点，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值________． 【答案】(1) (2)存在； (3) 【分析】本题是二次函数的综合题．考查了待定系数法求二次函数的表达式，求一次函数的表达式，等腰三角形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，以及由此推出动点的轨迹和定点到动点的最短距离问题． （1）根据待定系数法求二次函数的表达式即可． （2）根据待定系数法求一次函数的表达式，设点，则点，根据是以为底边的等腰三角形，得到，继而得到，进而得到． （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，根据旋转的性质证明，，继而得到点的运动轨迹，以及时，最小，根据等面积法计算的面积，得到． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，，， ， ，解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：存在，由（1）可知，抛物线的表达式为：， 当， ， 设直线的表达式为：， 则代入点，点，可得：，解得：， 直线的表达式为：， ， 设点，则点，且， 是以为底边的等腰三角形， ，， ，整理得：，解得：或， ， ，， ； （3）解：如图，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∴，， ∵当时，， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值为． 题型04 其他几何最值 解｜题｜策｜略 ① 常见特殊最值模型： · 费马点最值：求三角形内一点到三个顶点的距离和的最小值，通过旋转转化为直线段； · 垂线段最短：直线外一点到直线的最短距离为垂线段的长度； · 两点之间线段最短：连接两点的所有路径中，线段最短； · 三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可用于求线段的最值。 ② 通用解题步骤： · 分析题目，确定最值问题的类型； · 选择合适的模型，如费马点模型、垂线段最短； · 利用模型的性质，转化线段或路径； · 求出最值，验证解的合理性。 ③ 解题技巧： · 费马点问题中，优先选择以最大角的顶点为旋转中心，旋转60°； · 垂线段最短问题中，优先过定点作直线的垂线； · 三角形三边关系问题中，优先将线段转化为三角形的边。 ④ 易错点：无法识别特殊最值模型，导致解题方法选择错误；或最值求解中忽略动点的运动范围。 例1（2026·江苏泰州·一模）如图，点A坐标为，点B是x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作矩形．若矩形的面积是24，连接，则的最大值为_______． 【答案】/ 【分析】作轴交直线于点F，证明，求出，取的中点M，连接，求出，根据求出最值即可． 【详解】解：作轴交直线于点F， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点M，连接， 则， ， 故， 当且仅当O、M、D三点共线时取等号， ∴的最大值为． 例2（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①见解析  ② 【分析】（1）过点E作于点K，即可得到四边形是矩形，然后证明，即可求出的值，然后根据正切的定义求出的度数即可； （2）根据勾股定理求出长，利用（1）的结论求出长，然后证明是等边三角形，根据正弦的定义求出长解答即可； （3）①根据（2）的证明得到，过点M作交于点L，则有，得到，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到结论即可； ②连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质和平行线分线段成比例得到，进而判断，即可得到点Q在与线段夹角为的射线上，然后根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解：过点E作于点K， ∵是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴    ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴    ， 根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 过点M作交于点L， 则，， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ②连接，， ∵，， ∴， 又∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点Q在与线段夹角为的射线上， ∴过点D作于点， 当点Q在时，最小， 这时． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与相交于点，由平行四边形的对角线互相平分可得，所以要求的最小值，即求的最小值，由垂线段最短可得，当时，取最小值，则过点作于点，通过解直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 如图，设与相交于点，过点作于点， ， 四边形是平行四边形， ，， 当的长取最小值，的长取最小值， 由垂线段最短可得，当时，即与重合时，取最小值， 此时，， 的最小值是． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， (1)如图，当时，与满足数量关系是_______； (2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)；理由见解析； (3)当时，取得最小值；当时，取得最大值． 【分析】（）作于，作于，可证明，从而； （）作于，作于，可证得，，从而，可证得，进而得出结果； （）可推出，当时，取最小值，当点最大时，取最大值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图，作于，作于， ∴ ∵，，即， ∴平分， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，作于，作于， ∴， 由（）知，， 四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最小值，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，即与重合时，取最大值，如图， 在中，， ∴， ∴， 综上可得：当时，取得最小值；当时，取得最大值 （40分钟限时练） 1．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，．点是上的一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．点在从向运动的过程中，线段的最小值为(   ) A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】过点作于点，连接，过点作于点，则，求得，，进而求得的长得出，证明，进而得出垂直平分，，当时，取得最小值，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接，过点作于点，则 ∵中，，，． ∴，， 在中， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴， 而 ∴， ∴当时，取得最小值，，即线段的最小值为 2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 【答案】4 【分析】通过证明，可得，可求的长，由三角形的面积公式和二次函数的相知可求解最大值． 【详解】解：过点作直线于， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的最大值为， 3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作于点，设，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，，进而求出点与点重合时，的长，当点在点左侧，得到，勾股定理得到，利用二次函数求最值，当点在点右侧得到的长比重合时要大，且，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，设， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴，， 当点与点重合时，则：， 解得， ∴， 当点在点的左侧时，如图， 则：， ∴ ， ∴抛物线的开口向上，当时， 有最小值为， ∴的最小值为； 当点在点的右侧时，如图， 此时的长比重合时要大，且， ∴， ∵， ∴的最小值为． 4．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、．当点E、F在、边上运动时，则的最小值为________． 【答案】 【分析】过点作，，可证得，进而证得点在的角平分线上，当时，最小，此时为等腰直角三角形，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 过点作于点M，于点N，则四边形是矩形， ∴，， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴， ∴当时，最小，此时为等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 5．（2026·江苏连云港·一模）如图，在中，，，以为斜边作，且有，连接，并延长至点，使得，连接，则的最大值为_________． 【答案】16 【分析】以为斜边作，且使得，延长到F，使得，连接，可证明，得到，则；由三角形中位线定理可得；证明垂直平分，得到；根据，得到当A、F、Q三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，以为斜边作，且使得，延长到F，使得，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴为的中位线， ∴； ∵，，即， ∴垂直平分， ∴； ∵， ∴当A、F、Q三点共线时，有最大值，最大值为． 6．（2026·江苏宿迁·二模）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，点是线段上一个动点（与、两点不重合），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，、与反比例函数图象分别交于点、． (1)求点的坐标； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把反比例函数与一次函数的解析式联立起来，解方程即可求出点的坐标； （2）点是线段上一个动点，设点的坐标为，则有点的纵坐标为，点的横坐标为，根据点、在反比例函数上，分别求出点的横坐标和点的纵坐标，即为、的长度，所以可得，再利用二次函数的性质求出的最小值． 【详解】（1）解：解方程， 整理可得：， 解得：，， 点在点左侧， 点的横坐标为， ， 点的坐标为； （2）解：点是线段上一个动点， 设点的坐标为，其中， 点的纵坐标为，点的横坐标为， 点在反比例函数上， ， ， ， 点的横坐标为，点在反比例函数上， 点的纵坐标为， ， ， ， 当取最大值时有最小值， 的最大值为， 的最小值为． 7．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）连接，先证明，得到，进而得到，根据同角的余角相等可得，则，列式计算即可； （2）过点作，交于，交于，易证，再证明，即可得到的比值； （3）根据的比值不变，故当线段取最小值时，线段取最小值，根据垂线段最短可得，当时，取最小值，然后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是矩形，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， （2）解：如图，过点作，交于，交于，则四边形是矩形， ，即， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 即的比值不变，为； （3）解：由（2）可知，，即， 当线段取最小值时，线段取最小值， 根据垂线段最短可得，当时，取最小值，此时点与点重合，如图所示， 在中，， ， ， 即线段的最小值是． 8．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，是边上的中线，是上一点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，，求面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作与的延长线交于点，，，然后根据相似三角形的性质以及三角形的中线的性质证明即可； （2）可得，则，故当最大时，面积最大，而则点在以为直径的圆上运动，过点作于点，那么，即可求解面积的最大值，即可求解面积的最大值． 【详解】（1）证明：过点作与的延长线交于点， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最大时，面积最大， ∵，是边上的中线， ∴ ∴点在以为直径的圆上运动， 过点作于点， ∴， ∴的面积最大值为， ∴面积的最大值为． 9．（2026·江苏无锡·模拟预测）在正方形中，在边上，在上，以为边作等边三角形，使点落在边上．点是的中点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】设正方形的边长，连接，证明四点共圆，得出，根据含度角的直角三角形的性质以及垂线段最短，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长，如图，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴，，则， ∴ ∴四点共圆， ∴ ∴在射线上运动， ∴当时，最小， ∴ 因为，故的最小值为 10．（2025·江苏徐州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标； (3)如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数，两直线的交点，最短路径，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）可得的面积为定值，当的面积取最大值时，的值最大，当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时，求得点，即可求点； （3）过点作，截取，连接，得到的最小值为，利用两点距离公式即可解答． 【详解】（1）解：把，代入， 可得， 解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：令，可得， 解得， ， 点到直线的距离为定值， 的面积为定值， 当的面积取最大值时，的值最大， 当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得，，解得， 所以直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 联立方程， 解得， 把代入，可得， ， 如图，作轴，作交于点， ，， ， 轴， ， 为等腰直角三角形， ， ，即； （3）解：如图，过点作，截取，连接， ，四边形为平行四边形， ， ， 当三点共线时，取最小值，最小值为， 根据（2）可得点的横坐标，纵坐标比点的的横坐标，纵坐标都大， ，即， ， ，即的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $