精品解析：山东济南稼轩学校2025-2026学年八年级下册5月阶段性测试数学试题

济南稼轩学校八年级5月阶段性测试数学试题 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．根据把多项式写成几个整式积的形式叫做分解因式．对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、不是多项式，故本选项不符合题意； B、，属于整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、，右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、，是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下： ． 4. 已知，则下列不等式变形不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、在的两边同时加上，不等号的方向不变，即，正确，不符合题意； B、在的两边同时乘以再加，不等号的方向改变，即，原变形错误，符合题意； C、在的两边同时乘以再减，不等号的方向改变变，即，正确，不符合题意； D、在的两边同时除以，不等号的方向不变，即，正确，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点D为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键．连接，则，，若要的周长最小，则三点共线，即为与的交点，的周长为，问题可解． 【详解】解：连接，如图， 依题意， 为边的垂直平分线， 的周长， 故选：C． 6. 已知，则分式的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把已知整理成，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴，即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，在本题中能理解整体思想并且将整体代入是解题关键． 7. 如图，在中，平分，交于点，，，．则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，，根据勾股定理可求的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在中，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的定义，勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等． 8. 如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断； 利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断； 利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断． 利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， 由作法得AD平分∠BAC，所以①正确； ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确； ∵∠B＝∠BAD， ∴DA＝DB， ∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确； ∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°， ∴CD＝AD， ∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD． ∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD， ∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3， ∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质． 9. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式方程化简，再求解，最后根据解为负数求得k的取值范围． 【详解】∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的求解，将分式方程化简后再求解是解本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A在x轴的正半轴上， 且， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点B的坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质与坐标变化，直角三角形性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转角度和旋转次数确定旋转周期，得出第次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置，过点作轴于点H，利用直角三角形性质和勾股定理即可求得点坐标． 【详解】解：将绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∵， ∴每旋转4次回到初始位置， ∵， 即次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置． ∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， 过点作轴于点H， ， 在中，， ∴， ， ∴的坐标为． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵分式有意义， ∴ 解得：． 12. 一个多边形的外角和与所有的内角相加是，则这个多边形的边数为_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得： 解得： ∴这个多边形的边数为6． 13. 如图，直线（k，b为常数，且）和（m，n为常数，且）交于点，那么关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一次函数交点坐标求解不等式的解集，解题的关键是具有数形结合的思想．观察图形，根据交点坐标可直接得出答案． 【详解】解：由图可知，当时，的图象在的图象的下方， 因此关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 14. 如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和周长得出相等的边，求出，利用勾股定理求出，证明是的中位线，得出，最后可求出三角形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵点E是的中点，点是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴的周长为． 15. 如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的最小值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】在上取一点，连接，使,在上截取，连接， 作直线, 因为, ,所以，，求得，可证明，得， 可知点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， 则，，则，， 可证明，所以点在的延长线上，，作于点，则 ，， 所以，求得，由得，则的最小值，于是得到问题的答案． 【详解】解：在上取一点，连接，使，在上截取，连接，作直线， ∵，， ∴，，， ∴， ∵由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， ∵垂直平分，是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， 作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10道小题，共计90分） 16. 分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】 不等式组的解集为，所有整数解为，，， 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定原则，“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”得到原不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解：解不等式①得，, 解不等式②得，， 原不等式组的解集为， 它的所有整数解为，，，． 18. 化简与求值 （1）分式化简：； （2）先化简，再求值：，其中从、0、中选取恰当的数． 【答案】（1） （2），当时，原式；当时，原式 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式；当时，原式． 19. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解． 20. 如图，的对角线、相交于点O，E、F是上的两点，并且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴互相平分， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，则可得，再根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】略 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点． （1）将向左平移6个单位长度得到； （2）将绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出； （3）若点O的坐标为，点B的坐标为；写出与的对称中心的坐标 ． 【答案】（1） 如图所示； （2）如图所示； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换、作图-平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质． （1）根据平移的性质即可将向左平移6个单位长度得到； （2）根据旋转的性质即可将绕点O按逆时针方向旋转得到； （3）根据点O的坐标为，点B的坐标为，即可写出与的对称中心的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：旋转中心． 22. 四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 【答案】（1）每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元 （2）商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式，一次函数最值的计算，掌握以上知识，正确列式是关键． （1）设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元，由此列分式方程求解即可； （2）设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克，根据题意得到，设利润为，则，根据一次函数求最值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元， ∴设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元， ∵4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（元）， ∴每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元； 【小问2详解】 解：计划购进两种茶叶共30千克， ∴设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克， ∵甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的， ∴， 解得，， ∵甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售， ∴甲种茶叶每千克的利润为（元），乙种茶叶每千克利润为（元）， 设利润为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为（元）， ∴商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元． 23. 先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … （1）根据上面的规律，猜想方程的解是 ； （2）利用材料提供的方法解关于x的方程：； （3）已知，利用材料提供的方法解关于x的方程：.（结果保留a） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题关键是正确理解题意给出的规律． （1）根据题意给出的规律即可求出答案； （2）先将原方程变形为：, 然后根据题意给出的规律，即可得出答案； （3）方程两边同时乘以2，将原方程变形为：, 再方程两边同时减去3，方程变形为, 再根据题意给出的规律，即可得出答案 【小问1详解】 解：根据题中的规律，猜想方程的解为： ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意，得， ∴， ∴或， 解得：，， 经检验：，是原方程的解； 【小问3详解】 解：， 方程两边同时乘以2，得， 方程两边再同时减去3，得， ∴或， 解得：，， 经检验：，是原方程的解． 24. 如图1，在平面直角坐标系平行四边形中，点C坐标为，点A在x轴上，，．动点P从点O出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）的长为 ，的长为 ； （2）当t为何值时，线段恰好被平分？ （3）如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （直接写出答案）． 【答案】（1）4，8 （2）4秒 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线，构造直角三角形，注意理解运动情况，分类讨论思想是解题的关键． （1）过C作于E，根据直角三角形的性质，结合点C坐标求出，从而求出和； （2）过Q作交于N，设与交于M，根据平行四边形的性质证明得到，从而求出t值； （3）分为平行四边形对角线，为平行四边形对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解． 【小问1详解】 解：过C作于E，如图1， ∴， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 【小问2详解】 解： 运动时间为t（）， 由题意，得，， 如图，过Q作交于N，设与交于M，如图2， 线段被平分， ， 四边形为平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ∴当t为4秒时，线段恰好被平分； 【小问3详解】 解：在中，， ， ， ，， ， ， 过P作于F，则，如图1， ， ， ， ， ， D在y轴上， ， 当为平行四边形对角线时，如图所示， 平行四边形中，，， ， ， ， ， ； 当为平行四边形对角线时，如图所示， 平行四边形中，，， ， ， ， ， ； 综上，点D的坐标为或 25. 如图，等腰直角与等腰直角按图1位置放置，已知，． （1）填空：___________，___________； （2）现将图1中等腰直角绕点旋转，当旋转到点、、在一条直线上时，直接写出的长度； （3）当图1中等腰直角绕点顺时针方向旋转到满足时，如图2所示，求线段的长度． 【答案】（1）， （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）过作于，由直角三角形斜边中线的性质得，由勾股定理得，然后分两种情况讨论求出的长度； （3）连接交于F，交于G，证明得，再证明得． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过作于， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴， 如图，当点D在线段上时， ∴； 如图，当点E在线段上时， ∴； 综上所述，的长度为或； 【小问3详解】 解：连接交于F，交于G ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ 又∵且 ∴ ∵ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南稼轩学校八年级5月阶段性测试数学试题 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式变形不正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点D为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 6. 已知，则分式的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4 7. 如图，在中，平分，交于点，，，．则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A在x轴的正半轴上， 且， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点B的坐标为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_____________． 12. 一个多边形的外角和与所有的内角相加是，则这个多边形的边数为_____________． 13. 如图，直线（k，b为常数，且）和（m，n为常数，且）交于点，那么关于x的不等式的解集是________． 14. 如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 15. 如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的最小值是 _____． 三、解答题（本大题共10道小题，共计90分） 16. 分解因式 （1）； （2）． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 化简与求值 （1）分式化简：； （2）先化简，再求值：，其中从、0、中选取恰当的数． 19. 解分式方程： （1）； （2）． 20. 如图，的对角线、相交于点O，E、F是上的两点，并且，求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点． （1）将向左平移6个单位长度得到； （2）将绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出； （3）若点O的坐标为，点B的坐标为；写出与的对称中心的坐标 ． 22. 四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 23. 先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … （1）根据上面的规律，猜想方程的解是 ； （2）利用材料提供的方法解关于x的方程：； （3）已知，利用材料提供的方法解关于x的方程：.（结果保留a） 24. 如图1，在平面直角坐标系平行四边形中，点C坐标为，点A在x轴上，，．动点P从点O出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）的长为 ，的长为 ； （2）当t为何值时，线段恰好被平分？ （3）如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （直接写出答案）． 25. 如图，等腰直角与等腰直角按图1位置放置，已知，． （1）填空：___________，___________； （2）现将图1中等腰直角绕点旋转，当旋转到点、、在一条直线上时，直接写出的长度； （3）当图1中等腰直角绕点顺时针方向旋转到满足时，如图2所示，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $