精品解析：山东省济南中学初中部2024-2025学年八年级3月月考数学试题

绝密★启用前 初中部2024-2025第二学期3月份质量检测题 八年级数学 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 2. 如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（ ） A B. C. D. 3. 估计值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 4. 木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 6，8，10 5. 若，把化成最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 6. 老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ） A. 小明和小丽 B. 小丽和小红 C. 小红和小亮 D. 小丽和小亮 7. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. 52 B. 48 C. 72 D. 76 8. 如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在中点处，与交于点，则折痕的长度为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 在直角三角形中，已知一条直角边长是，斜边长是，则另一条直角边是_______． 10. 实数和在数轴上如图所示，化简的结果是________． 11. 若，求的值是______． 12. 如图，根据图中标注在点所表示的数为______． 13. 如图，用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会 标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为__________ 14. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值_____________． A B 5 C 10 D 15. 若的积是有理数，则无理数m的值为_________． 16. 观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为____． 三、简答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． （3）． （4）． 18. 已知a，b为实数，且－（b－1）＝0，求a2014＋b2015的值． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形， （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、 20. 为了让学生们在课余时间得到实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识，学校在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，如图，经过测量得知：，，，，．求的度数； 21. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 22. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 23. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来路线AC的长． 24. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； （2）若，且、、均为正整数，求值； （3）化简下列各式： ① ② ③． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 初中部2024-2025第二学期3月份质量检测题 八年级数学 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义及分式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；要使分式有意义，分母不为，据此即可求解，掌握二次根式有意义及分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， 则且， ∴且， 故选：． 2. 如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．根据正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方，即可解答． 【详解】解：由图形可知，正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方， ， 正方形、的面积分别为、， 最大正方形的面积， 故选：B． 3. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算．熟练掌握二次根式乘法法则，“夹逼法”估算是解题的关键． 先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值在0和1之间． 故选：A． 4. 木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 6，8，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴能够成直角三角形，故本不选项符合题意． 故选：B． 5. 若，把化成最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握，根据二次根式有意义的条件得到，而，则，再进行化简． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ） A. 小明和小丽 B. 小丽和小红 C. 小红和小亮 D. 小丽和小亮 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键； 【详解】解：，， ∴小丽和小红负责的式子出现了错误； 故选：B 7. 如图1是我国古代著名“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. 52 B. 48 C. 72 D. 76 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 8. 如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在 Rt 中， 求出 ， 设 ， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 ， 求得 ， 在 中， 求出 ， 过点怍 于点 ， 则 ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 则 ． 【详解】解∶ 由折叠可知， ， 等腰Rt 中， ， ， 是 的中点， ， 在Rt 中， ， ， 设 ， 则 ， 在 中， ， ， ， 在 Rt 中， ， 过点 作 于点 ， ， ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 在 Rt 中， ， ， ， ， 故选∶ C． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 在直角三角形中，已知一条直角边长是，斜边长是，则另一条直角边是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】已知一条直角边和斜边的长度，根据勾股定理即可求另一直角边的长． 【详解】解：根据勾股定理： 另一直角边=. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，本题中正确的运用勾股定理求值是解本题的关键． 10. 实数和在数轴上如图所示，化简的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，根据数轴可知，，，再根据化简，最后合并同类项即可得答案，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ． 故答案为：． 11. 若，求的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入中即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则， ∴， 故答案为：2． 12. 如图，根据图中标注在点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，利用勾股定理结合两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：由图和勾股定理，得：到的距离为：， ∴点所表示的数为； 故答案为：． 13. 如图，用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会 标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】观察图形可知，小正方形的边长=长直角边-短直角边，由勾股定理可得BF的长，从而得结论． 【详解】解：Rt△ABF中，AB=10，AF=8， 由勾股定理得：BF==6， ∴FG=8-6=2， ∴小正方形EFGH的面积=22=4， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 14. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值_____________． A B 5 C 10 D 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ， 故答案为：． 15. 若的积是有理数，则无理数m的值为_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】对进行化简，由题意令，（是有理数）即可求解． 【详解】解： 的积是有理数，m是无理数， 是有理数， 令，（是有理数） 解得：， 当即， 时， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则即有理数的性质． 16. 观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】 ， 故答案为． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题 的关键． 三、简答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可； （2）先根据平方差公式计算，然后再计算即可； （3）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （4）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴ 【小问4详解】 解： 18. 已知a，b为实数，且－（b－1）＝0，求a2014＋b2015的值． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得到，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，1+a≥0再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据乘方的意义计算a2014+b2015的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴1+a=0，1-b=0， 解得a=-1，b=1， ∴a2014+b2015=（-1）2014+12015=1+1=2． 【点睛】本题考查了代数式求值，二次根式非负数的性质：二次根式具有非负性．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形， （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形， （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形， 本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长，熟练掌握定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图1所示：正方形即为所求； 【小问2详解】 解：如图2所示：三角形即为所求． 20. 为了让学生们在课余时间得到实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识，学校在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，如图，经过测量得知：，，，，．求的度数； 【答案】． 【解析】 【分析】在中，由勾股定理，得，进而根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，即可得证 【详解】解：在中，，， 由勾股定理，得， ∵， ∴ ∴是直角三角形，即． 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 21. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理的逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 答：这片绿地面积是． 22. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【答案】钟摆的长度 【解析】 【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键． 先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 23. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 【答案】（1）是，见解析；（2）千米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）是； 理由是：在中， ∵， ∴， ∴， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）设，则， 在中， ， ∴， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键． 24. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； （2）若，且、、均为正整数，求的值； （3）化简下列各式： ① ② ③． 【答案】（1）， （2）12或28 （3）①，②，③ 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b； （2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值； （3）设，两边平方得到，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值． 【小问1详解】 设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有，； 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵a、m、n均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 即a值为12或28； 【小问3详解】 ① ② ③设， 则 ， ∴． 【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $