易错06 四边形（7大易错陷阱）（易错专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦四边形7大高频易错点，以“典例-避坑-巩固”三阶体系构建解题方法，强化分类讨论、动态问题转化等核心思维，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错剖析|7典例+21类题|分类讨论（截角/位置）、性质判定逻辑链、动态问题不变量转化|从多边形基础到特殊四边形，构建“概念-性质-判定-应用”递进链条| |易错闯关|14综合题|综合运用截角分类、对角线性质、动点轨迹分析|整合多边形内角和、特殊四边形判定等高频考点，强化知识迁移与综合应用|

易错06 四边形 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：多边形内角和计算错误 易错02：多边形截角问题忽略分类讨论 易错03：平行四边形性质与判定混淆 易错04：对角线性质乱用 易错05：几何题缺少分类讨论 易错06：特殊平行四边形判定与性质混淆 易错07：动点问题找不到定量关系 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 多边形内角和计算错误 易错典例 【典例01】如图，在正六边形中，点M、N分别为边上的点，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【错因分析】概念混淆，把顶点数、边数、对角线数混用；公式记忆错误，漏乘或忘记减2；计算粗心导致结果偏差。 避坑攻略 【技巧点拨】 先明确边数n，直接代入公式；做完后用外角和反向验证；遇到“截角、拼接”等变形题，先确定新图形边数再计算。 【知识链接】 n边形内角和公式为，n为边数且；任意多边形外角和恒为，与边数无关。 类题巩固 1．（2026·辽宁沈阳·一模）凸多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为______． 2．（2026·福建漳州·一模）四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）边长相等的正五边形和正六边形按如图方式拼接在一起，则的度数为_______． 易错02 多边形截角问题忽略分类讨论 易错典例 【典例02】一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为______． 【错因分析】认知偏差，默认截角后边数只增不减，缺少分类意识；画图不全面，只考虑一种情况导致漏解。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到“剪去一个角”立刻分三类讨论：边数不变、加1、减1；先画草图确定边数，再代入内角和公式计算；题目无图时必须写出三种情况的分析过程。 【知识链接】 n边形截去1个角，边数会出现三种情况：过一顶点一边得n边形；过两条邻边得n+1边形；过两个相邻顶点得n-1边形。 类题巩固 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（2025·河北·模拟预测）若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为1260°，则这个多边形原来的边数为（    ） A．12 B．10 C．11 D．10或11 3．（2024 ·山西吕梁·二模）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是_______边形． 易错03 平行四边形性质与判定混淆 易错典例 【典例03】已知：如图，在四边形中，，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 【错因分析】概念混淆，把性质当判定、把判定当性质使用；条件识别错误，把邻边、邻角当成对边、对角使用。 避坑攻略 【技巧点拨】 明确逻辑方向：已知平行四边形用性质，要证平行四边形用判定；做题先圈关键词“对边/对角/邻边/邻角”；判定时必须满足对应定理条件，不凭直观下结论。 【知识链接】 平行四边形性质：两组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分。 平行四边形判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。 类题巩固 1．（2026·河北邯郸·二模）如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为________． 2．（2026·四川成都·二模）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以为圆心，小于长为半径作弧，分别交线段，于点，；②分别以，为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点（在平行四边形内），连接交于，若，，则平行四边形的周长为______． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图，在平行四边形中，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 易错04 ：对角线性质乱用 易错典例 【典例04】如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【错因分析】直接用“对角线相等”证平行四边形；用“对角线垂直”判定矩形。 避坑攻略 【技巧点拨】 对角线判定必须先看基础图形：平分→平行四边形；平分且相等→矩形；平分且垂直→菱形；平分、相等、垂直→正方形。 【知识链接】 平行四边形：对角线互相平分。矩形：对角线相等且平分。菱形：对角线垂直平分且平分内角。 正方形：对角线相等、垂直、平分、平分内角。 类题巩固 1．（2026·安徽亳州·一模）如图，点D是的边的中点，按下列方法尺规作图：先以点D为角的顶点，以所在射线为角的一边，在的右侧作，然后在射线上截取，最后连接．根据以上条件和作法，下列判断不正确的是（   ） A．若，则四边形是菱形 B．若四边形是菱形，则是直角三角形 C．若，则四边形是矩形 D．若是直角三角形，则四边形是正方形 2．（2026·山东日照·一模）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交于点，交于点．则点的坐标为________． 3．（2026·北京石景山·一模）如图，在中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 易错05 几何题缺少分类讨论 易错典例 【典例05】在平行四边形中，对角线与边夹角为，过点作直线的垂线，交直线于点，若，，则平行四边形的面积为_______． 【错因分析】思维定式，只画一种图形；审题不细，忽略“直线/射线/延长线”等关键词。 避坑攻略 【技巧点拨】 无图题必须先标关键词：高、交点、距离、垂直、平行；按位置分情况画图：同侧/异侧、线段上/延长线上；计算或证明后检查是否有第二种情况。 【知识链接】 四边形的高、位置、形状、交点位置不确定时，图形不唯一；点在线段上、延长线上会导致结果不同。 类题巩固 1．（2025 ·浙江杭州·三模）在中，是边上的高，，则的度数为 ____ ． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为________．    3．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平行四边形中，，点P为射线上一动点，连接，点M、N分别为直线，上的点，且垂直平分，若，则线段的长为_________． 易错06 特殊平行四边形判定与性质混淆 易错典例 【典例06】如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【错因分析】概念张冠李戴，把矩形对角线相等套用到菱形上；判定条件缺失，用“对角线垂直”证矩形、用“对角线相等”证菱形。 避坑攻略 【技巧点拨】 按层级判定：先证平行四边形，再补直角/邻边相等；记忆口诀：矩等菱垂方正兼具；性质与判定一一对应，不跨层级乱用条件。 【知识链接】矩形：平行四边形+一个直角；对角线相等且平分。 菱形：平行四边形+一组邻边相等；对角线垂直平分。 正方形：矩形+邻边相等；菱形+一个直角；平行四边形+直角+邻边相等。 逻辑链：平行四边形→矩形/菱形→正方形。 类题巩固 1．（2026·广东广州·一模）如图，已知菱形的面积为20，对角线，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·一模）如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． (1)求证：； (2)从条件“①，②”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 3．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 易错07 动点问题找不到定量关系 易错典例 【典例07】如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)如果，求证：． 【错因分析】被“动”迷惑，找不到静态不变关系；不会画关键位置图形，无法建立等式。 避坑攻略 【技巧点拨】 动点问题先找不变量：定点、定长、定角、定垂直；画特殊位置：起点、终点、垂直、中点；把动态问题转化为静态证明或计算。 【知识链接】 动点问题本质是找不变量：定长、定角、定直线、定点、定垂直、定平行；轨迹为线段→距离不变；轨迹为圆弧→到定点距离不变。 类题巩固 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 3．（2025·山东济宁·一模）如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 易●错●闯●关 1．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽滁州·二模）如图，是边长为的正方形的边上的一动点，是线段上的一动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．2 3．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，在矩形中，点在边上，连接，，平分，若，则的长为（   ） A．1 B．5 C． D． 4．（2025 ·湖北宜昌·二模）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为（秒），以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（   ）秒． A．2或 B． C．或 D． 5．（2020·浙江杭州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______． 6．（2026·上海闵行·二模）已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为_____． 7．（2024·湖北·模拟预测）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 8．（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，，，边上的高为4，则平行四边形周长等于__________． 9．（2026·河北邢台·一模）如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分，若，，则的长为_____． 10．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点．若是的中点，正方形的面积为7，则的值为____． 11．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为______．当为直角三角形时，的长为______． 12．（2026·云南·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 13．（2026·黑龙江大庆·一模）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 14．（2026·湖南·模拟预测）在矩形中，，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以，为边作矩形，连接线段，线段与对角线交于点． (1)求证； (2)求； (3)当时，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错06 四边形 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：多边形内角和计算错误 易错02：多边形截角问题忽略分类讨论 易错03：平行四边形性质与判定混淆 易错04：对角线性质乱用 易错05：几何题缺少分类讨论 易错06：特殊平行四边形判定与性质混淆 易错07：动点问题找不到定量关系 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 多边形内角和计算错误 易错典例 【典例01】如图，在正六边形中，点M、N分别为边上的点，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【错因分析】概念混淆，把顶点数、边数、对角线数混用；公式记忆错误，漏乘或忘记减2；计算粗心导致结果偏差。 避坑攻略 【技巧点拨】 先明确边数n，直接代入公式；做完后用外角和反向验证；遇到“截角、拼接”等变形题，先确定新图形边数再计算。 【知识链接】 n边形内角和公式为，n为边数且；任意多边形外角和恒为，与边数无关。 类题巩固 1．（2026·辽宁沈阳·一模）凸多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为______． 【答案】 【详解】解：∵外角和与内角和之比为， 任意凸多边形的外角和为， 得多边形内角和为， 由边形内角和公式得， 解得． 2．（2026·福建漳州·一模）四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 【答案】 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是正方形, ∴，, ∵以为边作一个正六边形， ∴正六边形的内角为， ∴． 在四边形中，由四边形内角和定理得：， 即， ∴． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）边长相等的正五边形和正六边形按如图方式拼接在一起，则的度数为_______． 【答案】 【详解】解：∵正五边形的一个内角的度数为， 正六边形的一个内角的度数为， ∴， 由题意得，， ∴． 易错02 多边形截角问题忽略分类讨论 易错典例 【典例02】一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为______． 【答案】6或7或8 【详解】解：设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形， 或或， 解得或7或6， 故答案为：8或7或6． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，判定边形截去一个角后形成的多边形形状是解题的关键，注意分类讨论． 【错因分析】认知偏差，默认截角后边数只增不减，缺少分类意识；画图不全面，只考虑一种情况导致漏解。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到“剪去一个角”立刻分三类讨论：边数不变、加1、减1；先画草图确定边数，再代入内角和公式计算；题目无图时必须写出三种情况的分析过程。 【知识链接】 n边形截去1个角，边数会出现三种情况：过一顶点一边得n边形；过两条邻边得n+1边形；过两个相邻顶点得n-1边形。 类题巩固 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n，则， 解得：． ∵一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变， ∴原多边形的边数可能为7或8或9． 故选：A． 2．（2025·河北·模拟预测）若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为1260°，则这个多边形原来的边数为（    ） A．12 B．10 C．11 D．10或11 【答案】D 【详解】多边形裁掉2个角，有两种情况，从顶点到顶点裁剪，从顶点到边裁剪． ∵新多边形内角和为1260°， ∴根据多边形内角和公式180°×（n-2）=1260°， 解得：n=9， ∴新多边形的边数为9． ①从顶点到顶点裁剪，多边形会减少两个角，则原多边形的边数为11； ②从顶点到边裁剪，多边形会减少一个角，则原多边形的边数为10． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握截角的方法是解题的关键． 3．（2024 ·山西吕梁·二模）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是_______边形． 【答案】五或六或七 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是， ， 解得：， 包装盒的底面是六边形， 如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形； 如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形； 如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形． 故答案为：五或六或七． 【点睛】本题考查多边形知识，注意截去一个角有三种情况需要考虑． 易错03 平行四边形性质与判定混淆 易错典例 【典例03】已知：如图，在四边形中，，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵ ∴ ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴即 又 ∴． 【错因分析】概念混淆，把性质当判定、把判定当性质使用；条件识别错误，把邻边、邻角当成对边、对角使用。 避坑攻略 【技巧点拨】 明确逻辑方向：已知平行四边形用性质，要证平行四边形用判定；做题先圈关键词“对边/对角/邻边/邻角”；判定时必须满足对应定理条件，不凭直观下结论。 【知识链接】 平行四边形性质：两组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分。 平行四边形判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。 类题巩固 1．（2026·河北邯郸·二模）如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为________． 【答案】12 【详解】解：作点关于y轴的对称点G，将点向x轴的负半轴平移两个单位至点E，作点关于x轴的对称点F，连接，，，分别交y、x轴于点P、Q，如图， 即有，，， ∴， ∴， 根据平移有：，轴， 又∵， ∴，即四边形是平行四边形， ∴， 根据轴对称的性质有：，， 根据两点之间线段最短，即此时的骑行路线为最短， 且为：． 【点睛】根据轴对称的特点构造出辅助线，确定最短骑行路线是解答本题的关键． 2．（2026·四川成都·二模）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以为圆心，小于长为半径作弧，分别交线段，于点，；②分别以，为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点（在平行四边形内），连接交于，若，，则平行四边形的周长为______． 【答案】16 【详解】解：由作图可知，是 的角平分线，， ∵四边形 是平行四边形， ，，， （两直线平行，内错角相等）， ， （等角对等边）， ， ， ， ， 平行四边形 的周长 ． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图，在平行四边形中，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中： ， ∴； （2）解：∵、交于， 四边形是平行四边形， ∴， 由（1）中全等三角形对应边相等，得， ∵， ∴， ∴． 易错04 ：对角线性质乱用 易错典例 【典例04】如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【错因分析】直接用“对角线相等”证平行四边形；用“对角线垂直”判定矩形。 避坑攻略 【技巧点拨】 对角线判定必须先看基础图形：平分→平行四边形；平分且相等→矩形；平分且垂直→菱形；平分、相等、垂直→正方形。 【知识链接】 平行四边形：对角线互相平分。矩形：对角线相等且平分。菱形：对角线垂直平分且平分内角。 正方形：对角线相等、垂直、平分、平分内角。 类题巩固 1．（2026·安徽亳州·一模）如图，点D是的边的中点，按下列方法尺规作图：先以点D为角的顶点，以所在射线为角的一边，在的右侧作，然后在射线上截取，最后连接．根据以上条件和作法，下列判断不正确的是（   ） A．若，则四边形是菱形 B．若四边形是菱形，则是直角三角形 C．若，则四边形是矩形 D．若是直角三角形，则四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点D是的边的中点， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故A选项正确，不符合题意； ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ， ∴， ∴， 则是直角三角形, 故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故C选项正确，不符合题意； ∵是直角三角形， ∴当时， ∵ ∴ 此时， 则四边形不是正方形， 或当时， 此时， 则四边形不是正方形， 或当时， ∵， ∴， 但不一定相等， 则四边形不是正方形， 故D选项不正确，符合题意； 2．（2026·山东日照·一模）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交于点，交于点．则点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是正方形，点， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 由作图可知：平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·北京石景山·一模）如图，在中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接与交于点， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错05 几何题缺少分类讨论 易错典例 【典例05】在平行四边形中，对角线与边夹角为，过点作直线的垂线，交直线于点，若，，则平行四边形的面积为_______． 【答案】或 【分析】 【详解】解：第一种情况：过点作于点，如答图1所示， ∵过点作直线的垂线，即， 则， ∵， ∴， ∵对角线与边夹角为，即， ∴在平行四边形中，， ∴在中，， ∴， ∴． 第二种情况：过点作于点，如答图2所示， ∵过点作直线的垂线，即， 则， ∵， ∴， ∵对角线与边夹角为，即， ∴在平行四边形中，， ∴在中，， ， ∴． 故答案为：或． 【错因分析】思维定式，只画一种图形；审题不细，忽略“直线/射线/延长线”等关键词。 避坑攻略 【技巧点拨】 无图题必须先标关键词：高、交点、距离、垂直、平行；按位置分情况画图：同侧/异侧、线段上/延长线上；计算或证明后检查是否有第二种情况。 【知识链接】 四边形的高、位置、形状、交点位置不确定时，图形不唯一；点在线段上、延长线上会导致结果不同。 类题巩固 1．（2025 ·浙江杭州·三模）在中，是边上的高，，则的度数为 ____ ． 【答案】或 【详解】①当点在上时，如图： ∵是边上的高， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． ②当点在的延长线上时，如图： ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴， ∴． 故答案为：或． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为________．    【答案】或 【详解】解：如图，过点E作于点K，则，，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 如图，当点F在线段延长线上上时，过点E作于点M，则，，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的长为或． 故答案为：或 3．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平行四边形中，，点P为射线上一动点，连接，点M、N分别为直线，上的点，且垂直平分，若，则线段的长为_________． 【答案】或 【详解】解：如图，当点M在线段上时，过点B作于点H，连接， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； 如图，当点M在直线上时，过点B作于点H，连接， 在平行四边形中，， ∴， ∴，即此时点M与点H重合， ∵垂直平分， ∴， ∴； 综上，线段的长为或， 故答案为：或． 【点睛】该题考查了平行四边形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，含30度的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是分类讨论，掌握以上知识点． 易错06 特殊平行四边形判定与性质混淆 易错典例 【典例06】如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图： ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即有最小值， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 【错因分析】概念张冠李戴，把矩形对角线相等套用到菱形上；判定条件缺失，用“对角线垂直”证矩形、用“对角线相等”证菱形。 避坑攻略 【技巧点拨】 按层级判定：先证平行四边形，再补直角/邻边相等；记忆口诀：矩等菱垂方正兼具；性质与判定一一对应，不跨层级乱用条件。 【知识链接】矩形：平行四边形+一个直角；对角线相等且平分。 菱形：平行四边形+一组邻边相等；对角线垂直平分。 正方形：矩形+邻边相等；菱形+一个直角；平行四边形+直角+邻边相等。 逻辑链：平行四边形→矩形/菱形→正方形。 类题巩固 1．（2026·广东广州·一模）如图，已知菱形的面积为20，对角线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图，连接，交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵菱形的面积为20，且， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·广东·一模）如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． (1)求证：； (2)从条件“①，②”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)选①，四边形是矩形；选②，四边形是菱形；证明见解析 【详解】（1）证明：在中， ， ∴ ， ∵点E，F分别为的中点， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵即， ∴四边形是平行四边形； ①当时，如图，则是等腰三角形， ∵点E为的中点， ∴，即 ， ∴四边形是矩形； ②当时，如图，则是直角三角形， ∵点E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 3．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形． （2）解：连接、，如图所示：   于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 易错07 动点问题找不到定量关系 易错典例 【典例07】如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）证明：连接， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， 由勾股定理得： ， ∵ ， ∴， 即， ∵， ∴， ∵由（）知 ，即， ∴， ∵是的外角， ∴， 在中，由内角和定理： ， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴，即，代入， 得：． 【错因分析】被“动”迷惑，找不到静态不变关系；不会画关键位置图形，无法建立等式。 避坑攻略 【技巧点拨】 动点问题先找不变量：定点、定长、定角、定垂直；画特殊位置：起点、终点、垂直、中点；把动态问题转化为静态证明或计算。 【知识链接】 动点问题本质是找不变量：定长、定角、定直线、定点、定垂直、定平行；轨迹为线段→距离不变；轨迹为圆弧→到定点距离不变。 类题巩固 （2026·广东省省一模） 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，当点P从点O向点A，点Q从点O向点C运动时，间距离y逐渐增大， 当点P运动到点A，点Q运动到点C时，由图象可知， ∴， ∵四边形四边形是平行四边形， ∴， 此时它们运动了， 当点P在上，点Q在上运动时， 过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离 ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P，Q的运动速度相同， ∴当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时， 根据图象可知点P从点A运动至点E，需要， ∴， ∵， ∴中，， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：B 2．（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动， 点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒， ， 由点P和点Q的运动可知，， 当点Q在上时，即时，， 过点P作交于，   ， ， ， 当点Q在上时，即时，   四边形是菱形， ， ， 由上可知，当点Q到达点C时，， 即当时，， 故选：C 3．（2025·山东济宁·一模）如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 【答案】 【详解】解：如图，分别延长交于点H， ∵，均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． ∵G为的中点， ∴G正好为中点， 即在P的运动过程中，G始终为的中点， ∴G的运行轨迹为的中位线， ∴，， ∵当P在中点时，， ∴当P在中点时，的值最小，此时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时， ∴的最小值为， 故答案为： 易●错●闯●关 1．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正六边形的内角为， 正五边形的内角为， 在正六边形中，由对称性可知, ， 在四边形中，， 即， 解得． 2．（2025·安徽滁州·二模）如图，是边长为的正方形的边上的一动点，是线段上的一动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接． ∵正方形，边长为2， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为． 故选：A． 3．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，在矩形中，点在边上，连接，，平分，若，则的长为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即 ∴． 在中，， 即． 4．（2025 ·湖北宜昌·二模）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为（秒），以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（   ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， 当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图： ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 5．（2020·浙江杭州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______． 【答案】9或10或11 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为9或10或11． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少． 6．（2026·上海闵行·二模）已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为_____． 【答案】 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意得， 解得， ∴该正多边形为正八边形，如图正八边形，连接，，，交于点O，过点A作于I， ∵半径为2 ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴正八边形的面积． 7．（2024·湖北·模拟预测）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 【答案】 【详解】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式， 解得． 因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了， 所以原多边形边数为． 故答案为：． 8．（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，，，边上的高为4，则平行四边形周长等于__________． 【答案】20或12 【详解】解：如图1所示:   在平行四边形中，边上的高为4，， , , , , 的周长等于 如图2所示:   在中，边上的高为4，， , , 的周长等于：, 则的周长等于20或12， 故答案为：20或12． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论的方法是解题的关键． 9．（2026·河北邢台·一模）如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分，若，，则的长为_____． 【答案】13 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ ． 10．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点．若是的中点，正方形的面积为7，则的值为____． 【答案】7 【详解】解：四边形是正方形，面积为 ，， 是的中点 ，是斜边 的中点 ，即 在和 中 ， ． 11．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为______．当为直角三角形时，的长为______． 【答案】 8 或5 【详解】解：连接， 在矩形中，，， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴ ∵， ∴当在上时，取最小值，最小值为； ∵为直角三角形， 当时， ∵点N是边上的中点，， ∴， ∵， ∴点B的对应点不能落在所在直线上， ∴，不存在此类情况； 当时，如图所示， 由折叠性质可得， ， ∴； 当时，如图所示 ∵， ∴、N、C三点共线， 设，则， ∴， 解得：， 综上所述的长为或5． 故答案为：8；或5． 12．（2026·云南·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（2026·黑龙江大庆·一模）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 14．（2026·湖南·模拟预测）在矩形中，，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以，为边作矩形，连接线段，线段与对角线交于点． (1)求证； (2)求； (3)当时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）证明：连接和，交点为， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴点在矩形的外接圆上，且是直径， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $