专题6.5 空间垂直关系（高效培优讲义）高一数学北师大版必修第二册

专题6.5 空间垂直关系 教学目标 1. 掌握空间中直线与直线垂直的判定方法和性质，能准确判定并证明线线垂直，理解异面直线垂直的定义 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，能熟练判定线面垂直，灵活运用性质解决相关问题 3. 掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，能熟练证明面面垂直，利用性质推导线线、线面垂直关系 4. 理解线线、线面、面面垂直之间的相互转化关系，提升逻辑推理能力和空间想象能力 5. 能解决垂直关系与立体图形、截面、距离等结合的综合问题，规范书写证明过程 教学重难点 1. 重点 （1）线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的理解与应用 （2）垂直关系之间的相互转化（线线→线面→面面） （3）垂直关系的证明与简单应用 2. 难点：线面垂直、面面垂直判定定理的灵活运用，异面直线垂直的判定，垂直关系与平行关系的综合证明，线面垂直性质的应用 知识点01直线与平面垂直 （1）定义 一般地，如果直线l与平面α内的_____直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 直线l叫做平面α的_____，平面α叫做直线l的______. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_____. 过一点垂直于已知平面的直线__________ （2）判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的______直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 图形语言 符号语言 . （3）直线与平面所成角 平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成角的范围是_______. （4）性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言 符号语言 （5）空间距离 ①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的_____，垂线段的长度叫做这个点到该平面的_____. ②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上______到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. ③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 【答案】 任意一条 垂线 垂面 垂足 有且只有一条 两条相交 射影 垂线段 距离 任意一点 相等 【即学即练】 1．空间中直线和三角形所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 【答案】B 【详解】因为平面，平面，所以，，故选：B. 2．直线平面，直线，则与不可能（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】A 【详解】因为平面，直线，由线面垂直的性质可以知道，故选：A． 知识点02 平面与平面垂直 （1）二面角 从一条直线出发的_____所组成的图形叫做二面角. 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的_____，二面角的大小可以用它的平面角度量. 二面角的范围是________. （2）判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直. 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β. （3）性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 图形语言 符号语言 α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，b⊥a⇒b⊥α. 【即学即练】 3．空间四边形ABCD中，若，，那么有（    ） A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC 【答案】D 【详解】∵，，，平面，∴平面BDC． 又∵AD平面ADC，∴平面平面DBC．故选：D 知识点03 垂直、平行关系的相互转化 【答案】 两个半平面 垂直于棱 平面角 [0°，180°] 垂线 【即学即练】 4．已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】选项A：若，则或m与n相交或m与n异面.判断错误；选项B：若，则.判断正确；选项C：若，则或.判断错误；选项D：若，则或或n与相交.判断错误.故选：ACD 题型01 线线垂直的判定与证明 【典例1】已知垂直平行四边形所在平面，若，则平行四边形一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【详解】如图所示，因为平面，所以．因为，且，所以平面，所以．所以平行四边形为菱形．故选：D． 【变式1】一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 【答案】B 【详解】一条直线和三角形的两边同时垂直，根据直线与平面的判定定理可知，该直线垂直与三角形所在平面．直线与平面垂直，根据线面垂直的性质可知与平面内任意一直线垂直．故这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直．故选B 【变式2】已知直线a，b异面，下列判断正确的是（    ） A．过b的平面不可能与a平行 B．过b的平面不可能与a垂直 C．过b的平面有且仅有一个与a平行 D．过b的平面有且仅有一个与a垂直 【答案】C 【详解】如图，与是异面直线，看作直线看作直线， 对于A，过的平面，故A错；对于B，过的平面，故B错；对于C，在上任取一点，过点作交于点，因为，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以确定的平面只有一个，所以过的平面有且仅有一个即平面与平行，故C正确；对于D，若与不垂直，则必不存在过的平面中，有一个垂直于，故D错.故选：C. 【变式3】在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 【答案】A 【详解】设在底面的投影为，易得平面，因为平面，所以， 因为分别为的中点，且为底面中心，所以，因为平面，平面，，所以平面，易得平面与都在平面内，所以平面，因为平面，所以，因为直线与直线不共面，所以直线与直线异面且垂直. 【变式4】已知三条相交于一点的线段两两垂直且在同一平面内，在平面外、 平面于，则垂足是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】连接BH，延长BH与AC相交于E，连接AH，延长AH交BC于D，作图如下，  因为，故平面PBC，又平面PBC，故；因为平面ABC，平面ABC，故；又平面PAH，平面PAH，故平面PAH，又平面PAH，故，即；同理可得：，又BE与AD交于点H，故H点为的垂心.故选：D. 【变式5】在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC.求证：. 【详解】证明：如图所示，在平面AB内作于点D. ∵平面平面PBC，且平面平面，∴平面PBC. 又平面PBC，∴. ∵平面ABC，平面ABC，∴. ∵，∴平面PAB. 又平面PMB，∴. 【变式6】如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 【变式7】如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 题型02 线面垂直的判定与证明 【典例1】如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 【变式1】下列条件中，能使直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A：如果直线不相交，则不一定垂直于平面，故A错误； 对于选项B：，则可能与平面平行，也可能在平面内，也可能与平面相交，故B不正确； 对于选项C：，则一定不垂直于平面，故C不正确； 对于选项D：由，则平面内的任意直线，又，所以，故，故D正确. 故选：D. 【变式2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（   ） A．平面DD1C1C B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 【答案】B 【详解】如图：连接A1D，DB1，由正方形A1 D1DA得，A1D⊥AD1，又由正方体A1 C得，A1B1⊥AD1， 又因为A1D∩A1B1＝A1，A1D⊂平面A1DB1，A1B1⊂平面A1DB1，所以AD1⊥平面A1DB1．故选：B 【变式3】已知长方体，在平面上任取一点M，作于E（与不重合），则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．以上都有可能 【答案】A 【详解】平面，，即平面，平面， 又平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD．故选：A． 【变式4】如图，S是 所在平面外一点，且 ，D为斜边AC的中点． (1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 【详解】（1）如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE， 在中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB， ∵SA＝SB，∴SE⊥AB. 又SE∩DE＝E，且平面SDE， 平面SDE. ∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD. 在中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC. 又AC∩AB＝A，且 平面ABC， 平面ABC. ∴SD⊥平面ABC. （2）由于AB＝BC，则BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC， ∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，且 平面SAC， 平面SAC. ∴BD⊥平面SAC. 【变式5】已知正方体，求证：平面． 【详解】在正方体中，连接， 因为平面，平面，所以， 由正方形得， 而，平面，因此平面， 而平面，则， 同理，又，平面， 所以平面． 题型03 面面垂直的判定与证明 【典例1】如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，，M是上的一动点，当点M满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一，，等都可） 【详解】由题知底面为菱形，则．因为平面，平面，所以． 又，，平面，所以平面．又平面，所以． 又，，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．故答案为：（答案不唯一，，等都可）. 【变式1】如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（    ）   A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PAB 【答案】C 【详解】解：由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，平面，所以平面PCD⊥平面PAD．故选：C． 【变式2】（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，任一点，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C．平面 D．平面平面 【答案】BD 【详解】因为垂直于以为直径的圆所在的平面，所以，，又点是圆周上异于，任一点，所以，对于A，若，则可得平面，则，与矛盾，故A错误；对于B、D，可知平面，所以，由平面可得平面平面，故B、D正确；对于C，由与不垂直可得平面不成立，故C错误.故选：BD. 【变式3】如图，在四面体中，，． 求证：平面平面． 【详解】由题设知，与是全等的等腰三角形，取的中点E，连接，，则，．在中，，，所以，同理， 在中，，．由于，所以，又，平面．又平面，所以平面平面． 【变式4】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点． 证明：平面ABM⊥平面A1B1M． 【详解】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1， 又BM⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BM． 又CC1＝2，M为CC1的中点，∴C1M＝CM＝1．在Rt△B1C1M中，B1M， 同理BM，又B1B＝2，∴B1M2+BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M． 又A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M， ∵BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M． 【变式5】在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 题型04 平行与垂直关系的综合证明 【典例1】如图，点在正方体的面对角线上运动，则下面四个结论：①三棱锥的体积不变；②平面；③；④平面平面．其中正确结论的序号是 ．（写出所有你认为正确结论的序号） 【答案】①②④ 【详解】如下图所示：对于①，在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设正方体的棱长为，所以，①对；对于②，在正方体中，且，故四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，，、平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，②对；对于③，连接、、，因为，若，则为的中点，所以当为的中点时才有，③错；对于④，因为平面，平面，所以．又，，、平面，所以平面．连接，又平面，所以，同理可证．又、平面，，所以平面． 又平面，所以平面平面，④对．故答案为：①②④. 【变式1】若a，b表示直线，表示平面，下列命题中正确的个数为（    ） ①；      ②；③；   ④． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【详解】由线面垂直的性质知①④正确．②中b可能满足，故②错误．③中b与可能斜交，也可能平行，还可能在内，故③不正确．故选:B． 【变式2】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　) A．平行 B．EF平面A1B1C1D1 C．相交但不垂直 D．相交且垂直 【答案】D 【详解】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1平面A1B1C1D1，且平面ABB1A1平面A1B1C1D1= A1B1 ，∵EF平面ABB1A1，且EF A1B1, ∴EF平面A1B1C1D1.故选D. 【变式3】如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.   求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC. 【详解】证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.   又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC. （2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD， 平面BCD，， 所以平面. 因为平面，所以 . 又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC， 所以AD⊥平面ABC， 又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC. 【变式4】已知四棱柱中，四边形为菱形，平面平面，且，，分别是线段，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【详解】 （1）连接，四棱柱中，则，是平行四边形， ∴，，且，， 又点，分别为线段，的中点， ∴，，所以四边形是平行四边形； ∴，又∵平面，平面， ∴平面． （2）四棱柱中，四边形是平行四边形， ∴，在中，， ，点为线段的中点， ∴，又∵，∴， 又∵平面平面，故平面平面， 而平面平面，平面， ∴平面；又平面，∴； ∵底面是菱形， ∴，又∵，，平面， ∴平面，而平面，故平面平面． 【变式5】在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【详解】（1）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，是的中点； 是的中点，为的中位线，则； 平面，平面，平面. （2）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，； ,，，即; 六棱柱是正六棱柱，底面； 底面，； ，平面； 平面，； 底面是正六边形，，，； 底面，底面，； ，； ，，，，四边形为正方形； ，为正方形的对角线，； ，，平面，平面，且， 平面. 1．给出下列三个命题： ①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直； ②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角都相等，则这条直线和这个平面垂直； ③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直. 其中真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线和这个平面垂直；一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，也不能说明这条直线和这个平面垂直；①错误；一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直，②正确；一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直，③正确；选C. 2．若直线直线，且平面，则 A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】当时，，则，当时，，则，当与相交时，，则与不垂直，所以直线，且，所以或，故选D． 3．若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，则的位置关系可以是平行或相交或异面，故A错误； 对于B，若，则的位置关系可以是平行或或异面，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则的位置关系可以是平行或相交或异面，故D错误. 4．已知直线，平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】选项A：若，，则或，故A错误； 选项B：面面平行的判定定理：内两条相交直线，，则， 由于直线不一定相交，故命题不一定成立，故B错误； 选项C：若，，则，或，故C错误； 选项D：若，则垂直于平面内所有直线；又，由线面平行性质定理可知：存在直线，使得，又，所以，D正确. 5．已知为两两垂直的三条异面直线，过作平面α与直线垂直，则直线与平面的关系是（　　） A．∥ B．∥或 C．或与不平行 D． 【答案】A 【详解】因为，且与异面，故，又，，故∥.故选：A. 6．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【详解】A：当，时，，所以本选项不符合题意； B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 7．如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（ ）条. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，对A：因为为正三棱柱，所以平面平面，平面，所以面.故A正确；对B：因为为正三棱柱，所以平面，平面，所以.因为是正三角形，且为中点，所以.平面，且，所以平面.平面，所以.故B正确；对C：连接和，相交于点，因为为正三棱柱，所以为中点，又因为为的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.故C正确；对D：假设平面，因为平面，所以.这需要四边形是正方形才可以.而条件中并无四边形是正方形，所以假设不成立，故D错误. 8．在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 平面，平面平面； 所以平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有3对. 9．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是 A． B．平面 C．直线∥平面 D． 【答案】D 【详解】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选D． 10．如图，四面体中，平面，，垂足为，，垂足为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则平面 D．若，则 【答案】BC 【详解】选项A：与异面，则与不平行，故选项A不正确； 选项B：若，易得， 又，，则，所以，故选项B正确； 选项C与选项D：因为平面，平面，所以， 又，，是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故． 又，且，是平面内两条相交直线，所以平面． 又平面，故． 又，且，是平面内两条相交直线，所以平面．故选项C正确； 又平面，故． 若与也垂直，由、与共面，则与重合，故选项D不正确． 11．如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【详解】选项A：平面与平面为同一平面，故平面，故A错误； 选项B：易知，与不垂直，故与不垂直，故与平面不垂直，故B错误. 选项C：如图，连接，平面与平面为同一平面，因为与平面相交，所以与平面相交，故C错误. 选项D：因为直四棱柱的底面为长方形，所以，，，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 如图，连接，，易知，，故， 因为四边形为正方形，所以，则， 又平面，所以平面，故D正确. 12．设P为菱形所在平面外一点，与交于，为上（异于，）的一点，则（    ） A． B．与异面 C．若为的中点，则平面 D．若，则平面 【答案】BCD 【详解】A.平面，平面，且，所以与是异面直线，故A错误； B. 平面，平面，且，所以与是异面直线，故B正确； C.点分别是的中点，所以，平面，平面，所以平面，故C正确； D. 因为，为的中点，所以，且，， 且平面，所以平面，故D正确. 13．如图，在直三棱柱中，．为的中点，为棱的中点，下列说法正确的是（   ） A．平面 B．四点共面 C．平面 D．平面 【答案】ACD 【详解】由，，且，平面， 所以平面，则平面，A对， 由平面，平面，则平面， 而平面，且，则为异面直线，B错， 若为的中点，连接，为的中点，则且， 而，且，即，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 由平面，平面，则平面，C对， 由直棱柱中平面，平面，则平面平面， 由，则，而平面，平面平面， 所以平面，结合C的结论，知平面，D对. 14．如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【详解】因为平面，平面，所以平面平面，故A项正确; 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面，故B项正确， 对于C，若平面平面，由B选项分析知平面平面， 所以平面平面平面，显然不垂直平面，所以C错误; 因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故D项正确. 15．若是正四棱台的棱上的动点（包括端点），则（    ） A．存在点，使得平面 B．直线与异面 C．平面平面 D．若，则平面平面 【答案】BC 【详解】A，若存在点，使得平面，因为平面，所以，又因为四边形为正方形，所以，因为，、平面，所以平面，平面，所以，事实上，四边形为等腰梯形，即与不垂直，A错；B，将正四棱台补成正四棱锥，如下图所示： 则平面，若直线与共面，则点与点重合时，直线与共面， 但为线段上的点，即点不可能与点重合，故与异面，B对； C，设，则为正方形的中心，所以平面， 因为平面，所以，因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面，C对； D，设，则为的中点， 若平面平面，且平面平面，平面平面， 由面面平行的性质定理可得， 因为，则为的中点，为的中点，所以， 在平面内，过点且平行于的直线有且只有一条，矛盾，故假设不成立，D错. 16．在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【详解】如图正方体为中，分别为的中点，   对选项A ：因为正方体中，又分别为的中点，可得， 因此， 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，得平面，A正确； 对选项B：正方体中，且 ，，平面， 因此平面， 平面，故 ，B正确； 对选项C ：设是的中点，连接，由A选项的分析知， 又因为分别是棱的中点，所以且，且， 所以四边形是平行四边形，得. 因为，平面,平面,所以平面, 同理，平面,平面,所以平面, 而平面，所以平面平面， 而平面平面，所以平面与平面必相交，故C错误； 对选项D ：由B选项分析知平面，又，因此平面. 又因为 平面，根据面面垂直的判定定理，得平面平面，D正确. 17．如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【答案】的中点 【详解】如图，连接，则， 因为平面，又平面，所以. 又，平面. 所以平面，又平面，所以. 于是若平面，平面，则， 平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以，，所以， 因为是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面. 18．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________． 【答案】1 【详解】由题意可得，，，，平面， 所以平面. 又平面，所以，作交于点（如图）， 连接，，此时平面， 在矩形中，，所以四边形是正方形，所以，. 又为的中点，所以为的中点，， 因为，所以．故答案为：1． 19．若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 【答案】①④⑤ 【详解】对于①，若，，则，故①正确； 对于②，由，，可以得出 或，故②错误； 对于③，由，，可以得出，,或与相交，故③错误； 对于④，若，，则，故④正确； 对于⑤，若，，则，故⑤正确. 20．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，，M是上的一动点，当点M满足__________时，平面平面．（只要填写一个你认为正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一，，等都可） 【详解】由题知底面为菱形，则．因为平面，平面，所以． 又，，平面，所以平面．又平面，所以． 又，，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．故答案为：（答案不唯一，，等都可）. 21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 【详解】取的中点，连接， 在中，因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 22．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 【详解】证明：设的中点为，连接，连接，则， 又因为为等腰直角三角形，， ，又是正三角形，， 又因为平面，则面，面， . 23．如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 【详解】连接，交于点，连接． 因为四边形是菱形，则，， 因为为的中点，则， 又，且，故得， 故四边形是平行四边形，则． 又平面平面，平面平面，，平面， 则平面，又平面， 则，故． 24．如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形.点是棱上的动点（不与端点重合），且.证明：平面. 【详解】在正方形中，由， 得，， 则，， 因此， 由是圆柱的母线，得平面， 而平面，则， 又平面， 所以平面. 25．如图，已知正方体，试求证：平面平面． 【详解】因为平面，平面，所以. 又，，平面 所以平面，又平面，所以平面平面． 26．如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.求证：平面平面. 【详解】平面 平面，∴平面平面， 又∵平面平面，且，平面， 平面， 又平面，故. 在中，，E为线段的中点，则. 因为平面，平面，，平面. 平面，∴平面平面. 27．如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 空间垂直关系 教学目标 1. 掌握空间中直线与直线垂直的判定方法和性质，能准确判定并证明线线垂直，理解异面直线垂直的定义 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，能熟练判定线面垂直，灵活运用性质解决相关问题 3. 掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，能熟练证明面面垂直，利用性质推导线线、线面垂直关系 4. 理解线线、线面、面面垂直之间的相互转化关系，提升逻辑推理能力和空间想象能力 5. 能解决垂直关系与立体图形、截面、距离等结合的综合问题，规范书写证明过程 教学重难点 1. 重点 （1）线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的理解与应用 （2）垂直关系之间的相互转化（线线→线面→面面） （3）垂直关系的证明与简单应用 2. 难点：线面垂直、面面垂直判定定理的灵活运用，异面直线垂直的判定，垂直关系与平行关系的综合证明，线面垂直性质的应用 知识点01直线与平面垂直 （1）定义 一般地，如果直线l与平面α内的_____直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 直线l叫做平面α的_____，平面α叫做直线l的______. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_____. 过一点垂直于已知平面的直线__________ （2）判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的______直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 图形语言 符号语言 . （3）直线与平面所成角 平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成角的范围是_______. （4）性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言 符号语言 （5）空间距离 ①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的_____，垂线段的长度叫做这个点到该平面的_____. ②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上______到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. ③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 【即学即练】 1．空间中直线和三角形所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 2．直线平面，直线，则与不可能（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 知识点02 平面与平面垂直 （1）二面角 从一条直线出发的_____所组成的图形叫做二面角. 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的_____，二面角的大小可以用它的平面角度量. 二面角的范围是________. （2）判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直. 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β. （3）性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 图形语言 符号语言 α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，b⊥a⇒b⊥α. 【即学即练】 3．空间四边形ABCD中，若，，那么有（    ） A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC 知识点03 垂直、平行关系的相互转化 【即学即练】 4．已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型01 线线垂直的判定与证明 【典例1】已知垂直平行四边形所在平面，若，则平行四边形一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【变式1】一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 【变式2】已知直线a，b异面，下列判断正确的是（    ） A．过b的平面不可能与a平行 B．过b的平面不可能与a垂直 C．过b的平面有且仅有一个与a平行 D．过b的平面有且仅有一个与a垂直 【变式3】在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 【变式4】已知三条相交于一点的线段两两垂直且在同一平面内，在平面外、 平面于，则垂足是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式5】在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC.求证：. 【变式6】如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【变式7】如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 题型02 线面垂直的判定与证明 【典例1】如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【变式1】下列条件中，能使直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（   ） A．平面DD1C1C B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 【变式3】已知长方体，在平面上任取一点M，作于E（与不重合），则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．以上都有可能 【变式4】如图，S是 所在平面外一点，且 ，D为斜边AC的中点． (1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 【变式5】已知正方体，求证：平面． 题型03 面面垂直的判定与证明 【典例1】如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，，M是上的一动点，当点M满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为正确的条件即可） 【变式1】如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（    ）   A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PAB 【变式2】（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，任一点，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C．平面 D．平面平面 【变式3】如图，在四面体中，，． 求证：平面平面． 【变式4】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点． 证明：平面ABM⊥平面A1B1M． 【变式5】在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 题型04 平行与垂直关系的综合证明 【典例1】如图，点在正方体的面对角线上运动，则下面四个结论：①三棱锥的体积不变；②平面；③；④平面平面．其中正确结论的序号是 ．（写出所有你认为正确结论的序号） 【变式1】若a，b表示直线，表示平面，下列命题中正确的个数为（    ） ①；      ②；③；   ④． A．1 B．2 C．3 D．0 【变式2】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　) A．平行 B．EF平面A1B1C1D1 C．相交但不垂直 D．相交且垂直 【变式3】如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.   求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC. 【变式4】已知四棱柱中，四边形为菱形，平面平面，且，，分别是线段，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【变式5】在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面；(2)证明：平面. 1．给出下列三个命题： ①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直； ②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角都相等，则这条直线和这个平面垂直； ③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直. 其中真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若直线直线，且平面，则 A． B． C． D．或 3．若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知直线，平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知为两两垂直的三条异面直线，过作平面α与直线垂直，则直线与平面的关系是（　　） A．∥ B．∥或 C．或与不平行 D． 6．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 7．如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（ ）条. A． B． C． D． 8．在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 9．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是 A． B．平面 C．直线∥平面 D． 10．如图，四面体中，平面，，垂足为，，垂足为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则平面 D．若，则 11．如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 12．设P为菱形所在平面外一点，与交于，为上（异于，）的一点，则（    ） A． B．与异面 C．若为的中点，则平面 D．若，则平面 13．如图，在直三棱柱中，．为的中点，为棱的中点，下列说法正确的是（   ） A．平面 B．四点共面 C．平面 D．平面 14．如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 15．若是正四棱台的棱上的动点（包括端点），则（    ） A．存在点，使得平面 B．直线与异面 C．平面平面 D．若，则平面平面 16．在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B． C．平面平面 D．平面平面 17．如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 18．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________． 19．若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 20．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，，M是上的一动点，当点M满足__________时，平面平面．（只要填写一个你认为正确的条件即可） 21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 22．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 23．如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：. 24．如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形.点是棱上的动点（不与端点重合），且.证明：平面. 25．如图，已知正方体，试求证：平面平面． 26．如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.求证：平面平面. 27．如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面；(2)证明：平面． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $