专题4.3 二倍角的三角函数公式（高效培优讲义）高一数学北师大版必修第二册

专题4.3 二倍角的三角函数公式 教学目标 1. 能由两角和的三角公式推导二倍角公式，理解二倍角的相对性与公式结构特征 2. 熟练记忆并正用、逆用、变形正弦、余弦、正切二倍角公式 3. 能用二倍角公式进行三角函数式的化简、求值、恒等式证明 4. 掌握降幂公式等重要变形，提升三角恒等变换能力 5. 体会从一般到特殊的数学思想，培养逻辑推理与运算素养 教学重难点 1. 重点： （1）二倍角公式的推导、记忆与正用； （2）公式的逆用与变形（降幂、凑角）； （3）化简、求值、证明的规范步骤. 2. 难点： 二倍角的相对性理解、余弦二倍角三形式灵活选用、公式逆用与凑角变换、含参数与范围限定的求值问题. 知识点01二倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：_______ （2）二倍角的余弦（）：______=____________ （3）二倍角的正切（）： ________ 【即学即练】 1．下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 二倍角公式的常用变形 （1）降次扩角公式：__________，__________． （2）__________． 【即学即练】 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 半角公式 __________，        ① __________，        ② __________（无理形式）．    ③ __________．（有理形式）．上面的公式①②③统称为半角公式，分别简记为，，．半角公式的符号需要根据角所在的象限来判断． 【即学即练】 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 题型01 二倍角公式的应用 【典例1】若 则 （    ） A． B． C． D． 【变式1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，若它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若钝角满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 【变式5】已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型03 半角公式的应用 【典例1】已知，求证：． 【变式1】已知角是第二象限角，且终边经过点，则（   ） A． B．2 C．或 D．或2 【变式2】（   ） A． B．0 C． D． 【变式3】（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5】已知，且为第三象限角，则______. 题型03 公式逆用：整体凑角化简 【典例1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知 ，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】若角，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 题型04 降幂公式应用：化简高次式 【典例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式4】若，且，则（    ） A． B． C． D． 题型04 条件求值（限定角范围） 【典例1】（多选）已知为锐角，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）若，且为第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知是锐角，且，则_______，_______． 【变式3】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】若，化简得（    ） A． B． C． D． 【变式5】（多选）已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 1．角的终边过点，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，则的值可能为（ ） A． B．0 C． D． 9．（多选）（    ） A． B． C． D． 10．已知，则的值为__________. 11．已知，则_______ 12．已知，则的值为______. 13．化简：_________，_________． 14．已知，则______. 15．已知，且为第三象限角，则______. 16．已知角满足，则________． 17．若，则___________． 18．函数的最小值是__________. 19．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为______. 20．若，则的最大值是______． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 二倍角的三角函数公式 教学目标 1. 能由两角和的三角公式推导二倍角公式，理解二倍角的相对性与公式结构特征 2. 熟练记忆并正用、逆用、变形正弦、余弦、正切二倍角公式 3. 能用二倍角公式进行三角函数式的化简、求值、恒等式证明 4. 掌握降幂公式等重要变形，提升三角恒等变换能力 5. 体会从一般到特殊的数学思想，培养逻辑推理与运算素养 教学重难点 1. 重点： （1）二倍角公式的推导、记忆与正用； （2）公式的逆用与变形（降幂、凑角）； （3）化简、求值、证明的规范步骤. 2. 难点： 二倍角的相对性理解、余弦二倍角三形式灵活选用、公式逆用与凑角变换、含参数与范围限定的求值问题. 知识点01二倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：_______ （2）二倍角的余弦（）：______=____________ （3）二倍角的正切（）： ________ 【答案】 【即学即练】 1．下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，A错误；，B正确；，C错误；，D错误． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以.故选：B 知识点02 二倍角公式的常用变形 （1）降次扩角公式：__________，__________． （2）__________． 【答案】 【即学即练】 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C. 知识点03 半角公式 __________，        ① __________，        ② __________（无理形式）．    ③ __________．（有理形式）． 上面的公式①②③统称为半角公式，分别简记为，，．半角公式的符号需要根据角所在的象限来判断． 【答案】 【即学即练】 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以， 由，则. 题型01 二倍角公式的应用 【典例1】若 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 故选：C 【变式1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，若它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，若它的终边过点， 所以，所以， 所以.故选：A 【变式2】若钝角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，又为钝角，所以 ，则，计算得．故选：B. 【变式3】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以，所以，故选：C. 【变式4】若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，所以， 所以.故选：A 【变式5】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，又，则， ， .故选：D. 题型03 半角公式的应用 【典例1】已知，求证：． 【详解】证明：因为，所以，，所以，， 所以左边右边，所以等式成立． 【变式1】已知角是第二象限角，且终边经过点，则（   ） A． B．2 C．或 D．或2 【答案】B 【详解】由题得，，所以属于第一象限或第三象限，则，故.故选：B 【变式2】（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以.根据半角公式， 所以.故选：D. 【变式3】（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由，即，得，所以，故A正确； ，而，故B错误；，故C错误； ，故D正确．故选：AD 【变式4】已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，是锐角，则，，故选：B． 【变式5】已知，且为第三象限角，则______. 【答案】 【详解】. 结合为第三象限角，， 则.故答案为：. 题型03 公式逆用：整体凑角化简 【典例1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，因为，所以，因为，所以，所以. 【变式1】，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 【变式2】已知 ，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ，所以 ，所以 .故选：D. 【变式3】已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，根据正切两角和的公式得，根据二倍角公式可知， 根据余弦函数在上单调递减，且值域为，所以，正切函数在上单调递增，所以，所以，故选：D. 【变式4】若角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法1：因为，所以，因为，所以，则，因为，所以， 所以，， 则. 法2：因为，，所以，因为，所以，则，因为，所以. 【变式5】三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由题意，将代入， 可得 . 题型04 降幂公式应用：化简高次式 【典例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以， 所以，故选：C. 【变式1】若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，故选：B 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以. 【变式3】函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由二倍角公式得：，则，利用辅助角公式得：，其中，所以最小正周期：. 【变式4】若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，所以，因为，可得，所以， 所以. 题型04 条件求值（限定角范围） 【典例1】（多选）已知为锐角，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】易得，所以，则，因此是方程的两根，解得．当时，因为，所以，此时不存在，故，，，则，因为均为锐角，所以，．故选：AC. 【变式1】（多选）若，且为第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为,且为第一象限角，所以，且是第一或第三象限角.当是第一象限角时，；当是第三象限角时，,故. 故选：CD 【变式2】已知是锐角，且，则_______，_______． 【答案】 【详解】由题意得，，又是锐角，， ，． 故答案为：；. 【变式3】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，所以.故选：C 【变式4】若，化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，， .故选：C. 【变式5】（多选）已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，且是第二象限角，所以，，A正确，B错误. ，C正确.，D正确. 1．角的终边过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，.故选：C 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，所以 ，所以. 3．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，故，原式． 4．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量，由可得：，整理得， 所以. 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，所以. 6．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以．因为， 根据两角正切值的正负可得，所以，，又因为， 所以，同理可得，，．故选：C. 7．（多选）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A：由二倍角正弦公式可得，故选项A正确； 对于选项B：由二倍角余弦公式，故选项B不正确； 对于选项C：由两角和余弦公式，故选项C正确； 对于选项D：因为，故选项D正确. 故选：ACD. 8．（多选）已知，则的值可能为（ ） A． B．0 C． D． 【答案】BD 【详解】因为，所以，则，所以或，当时，，则，得；当时，.则的值可能是、.故选：BD 9．（多选）（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】依题意，，AB正确；，CD错误.故选：AB 10．已知，则的值为__________. 【答案】 【详解】由，则故答案为： 11．已知，则_______ 【答案】 【详解】由题意有：，故答案为：. 12．已知，则的值为______. 【答案】/ 【详解】因为，所以， 所以.故答案为：. 13．化简：_________，_________． 【答案】 【详解】，， 故答案为：， 14．已知，则______. 【答案】/ 【详解】由正弦平方差公式得，所以，所以.因为，所以.故答案为： 15．已知，且为第三象限角，则______. 【答案】 【详解】. 结合为第三象限角，， 则. 故答案为：. 16．已知角满足，则________． 【答案】 【详解】, . 17．若，则___________． 【答案】 【详解】注意到， 由二倍角公式得. 18．函数的最小值是__________. 【答案】/0.5 【详解】.设， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值为. 19．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为______. 【答案】1 【详解】因为与角的终边关于轴对称，所以，又因为，所以， 令，则.所以， 所以当时，单调递减，所以当时，取得最大值1. 20．若，则的最大值是______． 【答案】 【详解】 当时，，可知在上单调递增； ，可知在上单调递增； 所以在上单调递增， 当时，函数取得最大值为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $