6.6.3球的表面积和体积 教案-2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

球的表面积和体积 【教学目标】 【核心素养】 1．了解球的表面积和体积公式． 2．会用球的表面积和体积公式解决实际问题. 1．通过学习球的体积、表面积公式培养直观想象素养. 2．通过求球的表面积和体积提升数学运算素养. 【教学重难点】 1．了解球的表面积和体积公式． 2．会用球的表面积和体积公式解决实际问题. 【教学过程】 一、基础铺垫 1．与球相关的概念： （1）球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆. （2）与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点. （3）过球外一点所有切线的切线长都相等. 2．球的表面积 球的半径为R，那么它的表面积S球＝4πR2． 思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形． 3．球的体积 球的半径为R，那么它的体积V球＝πR3． 二、合作探究 1．球的体积与表面积 【例1】 （1）球的体积是，则此球的表面积是( ) A．12π B．16π C． D． （2）若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________． （1）B （2） [（1）πR3＝π，故R＝2，球的表面积为4πR2＝16π. （2）设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，则由题意得 ∴π(2R)2·h＝πR3，∴R＝h，r＝2h， ∴l＝＝h， ∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2，S球＝4πR2＝4πh2， ∴＝＝.] 【规律方法】 求球的体积与表面积的方法 1要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解. 2半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. 2．球的表面积及体积的应用 【例2】 一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？ [思路探究] 设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决． [解] 设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC＝h，球