专题08 解三角形的实际应用（6大题型，大题专练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题08 解三角形的实际应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势＋2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题＋名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对该热点的考查形式非常稳定，主要分为以下两类： 1. 实际测量与应用题：这是高频必考的中档解答题，分值通常在8-10分。题目会创设一个现实情境（如测量建筑物高度、河宽、塔高、仰角俯角、坡度坡角、方向角等），要求学生根据测量数据，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解 2. 融入几何综合题的三角函数计算：在三角形、四边形或圆的综合题中，将锐角三角函数作为计算线段长度或角度大小的工具。 二、命题特点 1. 情境化：题目背景高度生活化，紧密联系实际，如“测量楼高”（2025年威海第20题）、“登山缆车”（2025年德州第17题）、“楼房采光”（2025年东营第22题）、“无人机测距”（2024年泰安第15题）、“滑梯”（2025年济南第19题）等。情境真实，数据贴近实际。 2. 模型化：核心模型就是解直角三角形。无论情境如何变化，最终都是将实际问题抽象为数学问题，在一个或多个直角三角形中，利用已知的边角关系求解未知量。 3. 工具性：锐角三角函数不仅是独立的考点，更是解决几何综合题（如求线段长、证明位置关系）和函数综合题（如求点坐标）的重要工具。 4. 规范性：对解题过程的规范性要求较高，包括：正确理解仰角、俯角、方向角等术语；规范书写三角函数关系式；计算结果按要求取近似值；最后要有“答”。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 锐角三角函数定义：sinA＝对边/斜边，cosA＝邻边/斜边，tanA＝对边/邻边。 (2) 特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的三角函数值。 (3) 解直角三角形：已知直角三角形中的两个元素（至少一个是边），求其他未知元素。 (4) 实际应用：仰角、俯角、坡度（i＝tanα）、坡角、方向角。 2. 能力要求： (1) 模型观念：能将实际问题中的测量情境抽象为数学中的直角三角形模型。 (2) 运算能力：准确进行含三角函数的代数运算，并能使用计算器求三角函数值或由三角函数值求角。 (3) 几何直观：能根据题意画出或想象出几何图形，并准确标注已知量和未知量。 (4) 应用意识：能用数学知识解决现实生活中的测量、航海、建筑等问题。 四、趋势展望 1. 情境设计更丰富：预计2026年中考，情境设计会更加多元化，可能会融入“跨学科主题学习”背景，如与物理（光的反射、力的分解）、地理（等高线、方位）等学科结合，或与“项目式学习”结合，如“校园测量”、“家乡河宽”等。 2. “双直角三角形”模型仍是主流：题目中往往需要构造两个直角三角形，通过设未知数列方程求解，这种模型会继续高频出现。 3. 与几何变换结合：可能会与图形的平移、旋转、轴对称结合，在变换后的图形中利用三角函数求解。 4. 注重过程与估算：对计算结果的近似处理（精确到0.1米、1米等）和解题过程的完整性要求不会降低。 五、备考策略建议 1. 夯实基础，过好“三关”： (1) 定义关：熟记sinA、cosA、tanA的定义，并能根据图形准确写出。 (2) 特殊值关：对30°、45°、60°角的三角函数值要倒背如流，并能进行混合运算。 (3) 计算器使用关：熟练使用计算器求任意锐角的三角函数值，以及由三角函数值求锐角。 2. 重点攻关“双直角三角形”模型： (1) 形成解题流程：训练学生建立“审题→画图→标数据→构造Rt△→设未知数→列方程→求解→检验→作答”的标准解题流程。 (2) 掌握两种基本模型： 1 “背靠背”型：两个直角三角形共用一条直角边（如测楼高，从两个不同位置测量）。 2 “母子”型：一个直角三角形包含另一个直角三角形（如测塔高，从地面和一定高度测量）。 (3) 强化方程思想：当不能直接求解时，要引导学生设未知数，利用两个直角三角形中的三角函数关系列出方程。 3. 规范书写，养成良好习惯： (1) 术语准确：正确使用“仰角”、“俯角”、“坡度”、“方向角”等术语。 (2) 步骤完整：解题过程要包括“解”、“在Rt△……中”、“由……得”、“所以……”、“答……”等关键步骤。 (3) 结果处理：注意题目对结果精确度的要求，按要求取近似值。 4. 联系生活，积累背景素材： (1) 课堂引入：多引入生活中的测量实例（如测旗杆、测教学楼、测河宽），让学生感受数学的应用价值。 (2) 实践活动：可以组织学生进行简单的实地测量活动，加深对模型的理解。 题型01 单直角三角形直接求解 析典例·建模型 1．（2026·山东临沂·一模）某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】13米 【分析】根据光的反射定律，可得，结合相等的角的正切值相等，得到；过点D作于点F，构造矩形，得，在中利用角的正切值列方程求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F． 根据题意可知， 在中，， ∴， 由题意可知四边形是矩形， 米， 设米，米，则米，米， 在中，，即， 解并检验得，所以北水门的高度约13米． 【点睛】本题关键是将实际测量问题转化为解直角三角形的数学模型，利用光的反射定律得到角相等是解决问题的关键；构造矩形和含仰角的直角三角形，建立水平距离与高度的等量关系，是解题的桥梁；此问题需注意结合参考数据进行近似计算，最终结果按题目要求取近似值． 研考点·通技法 考查知识点结合： 已知一边一角，求另一边；已知两边，求角 通用思路：“知二求三”。 1. 已知一边一角：用三角函数求另一边；用互余关系求另一角。 2. 已知两边：用勾股定理求第三边；用三角函数求角。 核心公式： 1. （∠C=90°，∠A对边为a，邻边为b，斜边为c）。 2. 3. ∠A＋∠B＝90°。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）如图，数学兴趣小组在水平地面上开展测量活动：已知，距离是40米，距离是50米，点处有一垂直于地面的高20米的立柱．从点观测点的仰角为；从点D观测点C的俯角为，连接．求到水平地面的垂直高度是多少米？（参考数据：，，，，，） 【答案】到水平地面的垂直高度约是米 【分析】过点作于点，延长，交于点，先证明四边形是矩形，则可得，再设米，则米，解直角三角形可得的长，从而可得的长，最后在中，解直角三角形即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点， ∴， 由题意得：米，米，米，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 设米，则米， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，，即， 解得， 即米， 答：到水平地面的垂直高度约是米． 3．（2026·山东临沂·模拟预测）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．为了让学生们感受国家航天事业的伟大，学校组织九年级同学参观航天博物馆，在展览场地展示了长征二号F遥十七运载火箭模型．有数学兴趣小组的同学观察到以下情况：如图，火箭模型后有一个山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，火箭模型在小山坡上的影长为20米，测得坡脚C与楼房的水平距离米，求火箭模型的高． 【答案】火箭模型AB的高度为米 【分析】作辅助线可知四边形是矩形，由坡度可得，从而通过解三角形可得到的值． 本题主要考查了勾股定理，解直角三角形以及矩形的判定及性质，通过作恰当的辅助线，构造直角三角形，将实际问题转化成解直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：过点D分别作，交的延长线于点E，于点F， 则四边形是矩形， ∵斜坡坡度, 在中，米， （米） ∴（米），（米） ∴（米） ∴（米） 在中， （米） （米） ∴火箭模型AB的高度为米． 4．（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 【答案】(1)间的距离为 (2)原计划单向开挖每天挖 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用．熟练掌握解直角三角形的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，，，，则，根据，求解作答即可； （2）设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴， ∴， ∴间的距离为； （2）解：设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴原计划单向开挖每天挖． 题型02 “背靠背”双直角三角形 析典例·建模型 1．（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 【答案】(1)1.7米 (2)0.6米 【分析】（1）作于点，则，由题意得：，，求得，米，根据，即可求解； （2）由（1）知，，，可求得米，作于点，则，同理可得，，，根据，可求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，米， ∴米， 在中，， ，， ∴支点到小竹竿的距离（米）； （2）解：由（1）知，，， ∴米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴米， ∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米． 研考点·通技法 考查知识点结合： 两个直角三角形共用一条直角边；仰角/俯角；设未知数列方程 通用思路：“公共边搭桥，设未知数列方程”。 关键步骤： 1. 识别两个直角三角形，并找到它们的公共直角边（设为h）。 2. 在两个三角形中，分别用h和已知角表示出另一条直角边。 3. 根据这两个直角边的和或差等于已知线段长，列出关于h的方程。 破类题·提能力 2．（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）通过解，求出，再通过即可求出两滑梯的高度差． （2）通过解，求出，通过解，求出，再通过 ，代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中， ，， ∴， ∴， 答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ， ，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴ 答：长． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）学校正推进“智慧校园”建设，如图，分别为学生公寓、训练广场、学校大门、图书馆，点在点的南偏东方向，点在点的西北方向，点，在点的正南方向，长为120米． (1)求学生公寓到图书馆的距离；（结果精确到0.1米） (2)为了进一步推进“智慧校园”建设，学校需要进一步优化校园网络，技术人员准备在中选择一个地址部署一台核心交换机并为这台核心交换机铺设专用光纤．已知在的南偏西方向，若在地址部署核心交换机，需铺设与两条路线的光纤并在地址再部署一台价值400元的微型交换机（防止之间出现拥堵）；若在地址部署核心交换机，需铺设这3条路线的光纤，不需要再部署微型交换机．已知光纤铺设费用为3元/米，请从费用成本最小的角度说明技术人员应该选择在哪里部署核心交换机？（忽略其他费用，参考数据：） 【答案】(1)231.8米 (2)D地址 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键； （1）过点B作于点E，如图，解直角三角形分别求出，即可解决问题； （2）设过点D的东西方向线与交于点F，解直角三角形求出，解直角三角形求出，解直角三角形求出，即可求出分别在A地址和D地址部署核心交换机的费用，再比较即可得出答案. 【详解】（1）解：过点B作于点E，如图， 由题意，， ∴， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴（米）， 答：学生公寓A到图书馆D的距离约为231.8米； （2）解：设过点D的东西方向线与交于点F， 由题意，知， 在直角三角形中，（米）， 在直角三角形中，（米）， 在直角三角形中，（米）， （米）， ∴在A地址部署核心交换机的费用（元）， 在D地址部署核心交换机的费用（元）， ∵， 应该选择在D地址部署核心交换机. 4．（2025·山东临沂·二模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．．    【拓展应用】 如图，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得的坡度为，同时测得的长度为米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)BM的长度为36.7米 【分析】（1）设 ，根据 与边的关系设出 ，再设 ，在 中利用勾股定理求出 关于 的表达式，最后根据正切函数的定义求出 的值． （2）利用矩形对边相等的性质得到 ，再根据 中 与边的关系求出 的长度． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线EF，连结，如图示：    ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． 由题意得：，． 设，则．设， 在中，由勾股定理得：， 解得：． ∴． （2）解：∵的坡度为， ∴． ∵， ∴． ∵四边形ABCD为矩形， ∴． 在中， ∵， ∴． 答：BM的长度为36.7米． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、坡度的概念以及三角函数的应用．解题的关键在于通过作辅助线构造等腰三角形，利用相关性质和定理建立边与角的关系，再结合已知条件逐步求解． 题型03 “母子”双直角三角形 析典例·建模型 1．（2026·山东淄博·一模）综合实践：测量底部不可以到达的物体的高度． 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．如图所示，要测量物体的高度，可以按下列步骤进行： （1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角． （2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在同一条直线上），测得此时M的仰角． （3）量出测倾器的高度，以及测点A和测点B之间的水平距离．根据测量数据，请求出物体的高度． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，由题易知，，设，结合解直角三角形的相关计算表示出，再结合建立等式求出，进而即可求出物体的高度． 【详解】解：连接，延长交于点， ，， 由题意知，， 设， 则，， ， ， 解得， ． 研考点·通技法 考查知识点结合： 大直角三角形包含小直角三角形；仰角/俯角；设未知数列方程 通用思路：“高度差搭桥，设未知数列方程”。 关键步骤： 1. 识别大直角三角形和小直角三角形，它们共用一条水平直角边。 2. 设公共水平边为d。 3. 在两个三角形中，分别用d和已知角表示出垂直边。 4. 根据两个垂直边的差等于已知高度差，列出关于d的方程。 破类题·提能力 2．（2026·山东菏泽·一模）图片中的灯塔是某县地标性建筑，某中学数学兴趣小组要测量灯塔的高度，先在地面上选取一点，在此处用测角仪测得灯塔顶端的仰角，前进米到达处时测得灯塔顶端的仰角（点，，在一条直线上）．已知测角仪支架的高为米，求灯塔的高度． （参考数据：，，） 【答案】的高度为米 【分析】设为米，根据三角函数值，可得出，由，可得出方程，求解后即可求出的高度． 【详解】解：设为米， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故米． 3．（2026·山东聊城·一模）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于青草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 【答案】台阶的高度为，孔子雕像的高度为 【分析】作，根据斜坡的坡比为，求出的长，设，得到，分别解，求出的长，利用线段的和差关系，列出方程进行求解即可． 【详解】解：作，由题意，得， ∵教学楼门前台阶斜坡的坡比为， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴； 答：台阶的高度为，孔子雕像的高度为． 4．（2025·山东威海·二模）图1是太阳能路灯，图2是路灯的简易平面图．在地面E，F处测得灯管D的仰角分别为，．点A，E，F在同一条直线上，．求灯管D距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】灯管D距地面的高度约为 【分析】过点D作，垂足为G，设，则．解直角三角形得出．，证明．得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，垂足为G． 设，则． 在中， ． 在中， ， ∴． ∴， 解得． ∴． ∴灯管D距地面的高度约为． 题型04 坡度（坡比）与解直角三角形 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，小明想测量斜坡上树的高度，测得树根部E到坡脚B的距离为5米，斜坡的坡度为，小明在距离B点1米远的D处测得树顶点F的仰角为，树，斜坡的剖面，点D在同一平面上，树与地面垂直，求树的高度．（结果精确到米．）（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】延长交于点，则，根据，，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：延长交于点，则， 在中，， ∴ 设 由勾股定理得，，即 解得（舍） ∴ 在中， ∵ ∴ ∴           答：树的高度为米． 研考点·通技法 考查知识点结合： 坡度i＝tanα；坡角；水平距离与垂直距离 通用思路：“坡度即正切”。 核心公式： 1. 坡度。 2. 坡角α是坡面与水平面的夹角。 关键步骤： 1. 将坡度i转化为tanα的值。 2. 构造直角三角形，利用求出垂直高度或水平宽度。 3. 利用勾股定理求出坡面长度。 破类题·提能力 2．（2025·山东青岛·模拟预测）“星星之火，可以燎原！”1927年34岁的伟大领袖毛主席带领红军登上井冈山，点燃了“农村包围城市”的星星之火．为了弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往井冈山革命根据地缅怀先烈．大家被星火相传雕塑的雄伟壮观所震撼，想知道火炬的高度，于是师生组成了综合活动小组进行测量．他们在地面A点用测角仪测得雕塑顶端M的仰角为，沿水平地面向前走到达台阶底端B点处，测得雕塑顶端M的仰角为．已知测角仪高，台阶长为，坡度．底座高为，标志着根据地在1927年创立．根据以上数据求星火相传雕塑的高度．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】星火相传雕塑的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，作于点，由台阶长为，坡度，求得，，连接并延长与的延长线于点，的延长线交直线于点，求得，再在和中，解直角三角形，求得，解得，据此求解即可． 【详解】解：设，作于点， ∵台阶长为，坡度， ∴设，则， ∴， 解得， ∴，， 连接并延长与的延长线于点，的延长线交直线于点， 则四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 答：星火相传雕塑的高度约为． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）某校数学社团开展"探索生活中的数学"研学活动，准备测量一栋大楼的高度，如图所示，其中观景平台斜坡的长是30米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，．） 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 延长交延长线于，过作于，则四边形是矩形，得，，由锐角三角函数定义求出的长，得出的长，然后由锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点M，过点A作于点N． 由题意，得， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，， ∴， 即， ∴． 又， ∴， ∴． 故大楼的高度约为米． 4．（2025·山东济南·二模）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，，之间必须达到一定的距离． (1)要使身高的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么，之间的距离要大于多少米？（精确到） (2)商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度不能超过．商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息．在其他条件不变的情况下，请探究平台的最大长度．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1)大于米 (2)约为米 【分析】（）连接，过点作交于点，可得，再解即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，即得，由坡度的定义得米，解得米，进而求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （2）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 题型05 方向角与解直角三角形 析典例·建模型 1．（2022·山东青岛·三模）如图，某特种兵在执行任务时，测得研究所位于P城北偏东的方向，且P城与研究所的距离大约为1200米，Y城在P城北偏东方向，在研究所北偏东方向．求Y城到研究所之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】Y城到研究所之间的距离约为1656米 【分析】点的正东方向和点的正南方向交于点，过B作于D，过B作于F，利用锐角三角函数表示出相关线段的长度，设米，表示出相关线段的长度，利用锐角三角函数表示出的长度，最后利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：根据题意可知：米， 如图所示，点的正东方向和点的正南方向交于点，过B作于D，过B作于F， ∴， ∴，， 在中，， ∵， ∴（米）， ∵， ∴（米）， 设米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴米，米， 在中，， ∵， ∴， 解得： ， ∴（米）， 在中，， ∵， ∴（米）， 答：Y城到研究所之间的距离约为1656米． 研考点·通技法 考查知识点结合： 方向角（北偏东、南偏西等）；构造直角三角形 通用思路：“画方向线，构造Rt三角形”。 关键步骤： 1. 以观测点为原点，画出正北、正南方向线。 2. 根据方向角（如北偏东30°）画出目标点的方向线。 3. 过目标点作正北或正南方向线的垂线，构造直角三角形。 4. 利用三角函数求解。 破类题·提能力 2．（2025·山东潍坊·三模）如图是路线平面示意图，是动物园入口，是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．已知展区在起点的东北方向，小亮从起点出发沿正北方向走了900米到达展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区；小颖从起点出发沿正东方向走到展区，在展区参观9分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区． (1)求的长度； (2)已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区． 【答案】(1)米 (2)小亮先到 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解； （）过点作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； （2）解：如图，过点作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， （米）， ∴米， ∴小亮所花时间：（秒）， 小颖所花时间：（秒）， ∵， ∴小亮先到达展区． 3．（2025·山东烟台·模拟预测）某公园的平面示意图上，，，，是公园的四处主要景点，景点间有道路连接，经测量，景点在景点的正东方向，且距离为米，点在点的南偏东方向，相距600米，点在点的西南方向．（参考数据：，，，） (1)求景点与景点之间的距离（结果保留根号）； (2)景点规划时，计划在公园主干道上修建一处凉亭，使游客从景点来到凉亭休息后回到景点，再依次参观景点的游玩路程最短，求出这个最短游玩路程（结果保留整数）． 【答案】(1)米 (2)3446米 【分析】本题考查解直角三角形的应用－方向角问题及最短路径问题，解题的关键是利用方向角构建直角三角形，运用三角函数求解，以及利用轴对称求最短路径． （1）过作交的延长线于H，过作交于F，得到四边形是矩形，从而得到，在和运用解三角形计算即可； （2）作B关于的对称点，连接交于，则，， 最短，从而得到最短游玩路程为，接下来计算即可． 【详解】（1） 过作交的延长线于H，过作交于F， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 米， 米， 米， 米， 在中，， 米 （2）作B关于的对称点，连接交于， ，， 最短， 最短游玩路程为， 在中，米，米 米 在中，， 米， 米 最短游玩路程为：米， 答：最短游玩路程约为3446米． 4．（2025·山东聊城·三模）【实践课题】通过测量相关距离及角度，计算线段的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】某地新建设了一个五边形的物流中心，数学小组经过现场测量并画出如图的示意图，经过多次测量，得到如下数据：B在A北偏东的方向上，千米，千米，，C在A的正东方向． 【问题解决】 (1)求的长度； (2)求的长度．（参考数据：） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过点B作于F，则，进而可得，解可求出的长，再解求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，则四边形是矩形，千米，解求出的长，解求出的长；求出，解求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接，过点B作于F， ∴， 由题意得， ∴， 在中，千米， 在中，千米， 答：的长度约为千米； （2）解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴千米， 在中，千米， 在中，千米； ∵， ， ∴， ∴在中，千米， ∴千米， ∴千米， 答：的长度为千米． 题型06 解直角三角形与几何综合 析典例·建模型 1．（2026·山东滨州·一模）综合与实践 【阅读材料】如图，在中，的对边长分别为a，b，c，则有，称为正弦定理，这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题解决】结合以上重要结论，尝试求解如下问题： 某校学生利用以上知识进行数学实践活动．如图，A处有一栋大楼，该学生选择B，C两处作为测量点，测得的距离为，，在C处测得大楼楼顶D的仰角为求大楼的高度．（运用正弦定理求解，结果保留整数，参考数据：） 【答案】 【分析】根据正弦定理，得，结合求解即可． 【详解】解：， ， 由测得的距离为， 根据正弦定理，得， ， ， 解得， , ， ． 研考点·通技法 考查知识点结合： 三角函数＋勾股定理＋相似＋四边形/圆 通用思路：“三角函数作为工具，融入几何推理”。 关键步骤： 1. 在几何图形中，找到或构造直角三角形。 2. 利用已知的边角关系，通过三角函数求出某条线段的长度或某个角的度数。 3. 将求出的结果作为新的已知条件，继续用于后续的几何证明或计算。 方法技巧： 当题目中出现特殊角（30°、45°、60°）或给出某个角的三角函数值时，要立刻联想到构造直角三角形，利用三角函数建立等量关系。 破类题·提能力 2．（2026·山东滨州·一模）在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． (1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离． (2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，延长交于点，设的半径为，由可得，；根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理构造方程并解出的值，进而计算出的长； （2）延长，交于点，易证明四边形是矩形，则，在和中，利用三角函数计算出和即可． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点，设的半径为， 由题意可知，， ，， ， 弓形高，， ，， 在中，， ， 解得， ， 即圆心 到的距离为． （2）解：如图，延长，交于点， 由题意可知，，， 在中，， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ． 即的长度约为． 3．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，． (1)的面积为__________；（用含的代数式表示） (2)如图，在图的基础上，延长到，延长到，连接．在上依次取点，使得；在上依次取点，使得．连接，请利用（）的结论，试探究四边形的面积与四边形的面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（）过点作于，利用锐角三角函数的定义表示出高，再根据三角形的面积公式解答即可求解； （）利用（）的结论分别表示出四边形与四边形的面积，即可说明 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， 在中，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（）可得， ， ∴． 4．（2026·山东青岛·一模）在一次无人机搜救演练中，无人机起飞后在处悬停，操作员在处测得的仰角为．随后，无人机保持高度不变水平飞行250米到达搜寻目标的正上方处，此时操作员沿无人机飞行方向水平行走180米到达处（在同一水平地面上），在处测得无人机（处）仰角为，求操作员到搜寻目标的水平距离． （结果精确到1米，参考数据：．） 【答案】187米 【分析】过点作于点，设，先证明四边形是矩形，得到后列方程求解，继而求出． 【详解】解：过点作于点， 设， 则，， ， ， 平行于， ， 四边形是矩形， ， ， 即， ， 解得：， ． 答：操作员到搜寻目标的水平距离为187米． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 解三角形的实际应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势＋2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题＋名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对该热点的考查形式非常稳定，主要分为以下两类： 1. 实际测量与应用题：这是高频必考的中档解答题，分值通常在8-10分。题目会创设一个现实情境（如测量建筑物高度、河宽、塔高、仰角俯角、坡度坡角、方向角等），要求学生根据测量数据，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解 2. 融入几何综合题的三角函数计算：在三角形、四边形或圆的综合题中，将锐角三角函数作为计算线段长度或角度大小的工具。 二、命题特点 1. 情境化：题目背景高度生活化，紧密联系实际，如“测量楼高”（2025年威海第20题）、“登山缆车”（2025年德州第17题）、“楼房采光”（2025年东营第22题）、“无人机测距”（2024年泰安第15题）、“滑梯”（2025年济南第19题）等。情境真实，数据贴近实际。 2. 模型化：核心模型就是解直角三角形。无论情境如何变化，最终都是将实际问题抽象为数学问题，在一个或多个直角三角形中，利用已知的边角关系求解未知量。 3. 工具性：锐角三角函数不仅是独立的考点，更是解决几何综合题（如求线段长、证明位置关系）和函数综合题（如求点坐标）的重要工具。 4. 规范性：对解题过程的规范性要求较高，包括：正确理解仰角、俯角、方向角等术语；规范书写三角函数关系式；计算结果按要求取近似值；最后要有“答”。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 锐角三角函数定义：sinA＝对边/斜边，cosA＝邻边/斜边，tanA＝对边/邻边。 (2) 特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的三角函数值。 (3) 解直角三角形：已知直角三角形中的两个元素（至少一个是边），求其他未知元素。 (4) 实际应用：仰角、俯角、坡度（i＝tanα）、坡角、方向角。 2. 能力要求： (1) 模型观念：能将实际问题中的测量情境抽象为数学中的直角三角形模型。 (2) 运算能力：准确进行含三角函数的代数运算，并能使用计算器求三角函数值或由三角函数值求角。 (3) 几何直观：能根据题意画出或想象出几何图形，并准确标注已知量和未知量。 (4) 应用意识：能用数学知识解决现实生活中的测量、航海、建筑等问题。 四、趋势展望 1. 情境设计更丰富：预计2026年中考，情境设计会更加多元化，可能会融入“跨学科主题学习”背景，如与物理（光的反射、力的分解）、地理（等高线、方位）等学科结合，或与“项目式学习”结合，如“校园测量”、“家乡河宽”等。 2. “双直角三角形”模型仍是主流：题目中往往需要构造两个直角三角形，通过设未知数列方程求解，这种模型会继续高频出现。 3. 与几何变换结合：可能会与图形的平移、旋转、轴对称结合，在变换后的图形中利用三角函数求解。 4. 注重过程与估算：对计算结果的近似处理（精确到0.1米、1米等）和解题过程的完整性要求不会降低。 五、备考策略建议 1. 夯实基础，过好“三关”： (1) 定义关：熟记sinA、cosA、tanA的定义，并能根据图形准确写出。 (2) 特殊值关：对30°、45°、60°角的三角函数值要倒背如流，并能进行混合运算。 (3) 计算器使用关：熟练使用计算器求任意锐角的三角函数值，以及由三角函数值求锐角。 2. 重点攻关“双直角三角形”模型： (1) 形成解题流程：训练学生建立“审题→画图→标数据→构造Rt△→设未知数→列方程→求解→检验→作答”的标准解题流程。 (2) 掌握两种基本模型： 1 “背靠背”型：两个直角三角形共用一条直角边（如测楼高，从两个不同位置测量）。 2 “母子”型：一个直角三角形包含另一个直角三角形（如测塔高，从地面和一定高度测量）。 (3) 强化方程思想：当不能直接求解时，要引导学生设未知数，利用两个直角三角形中的三角函数关系列出方程。 3. 规范书写，养成良好习惯： (1) 术语准确：正确使用“仰角”、“俯角”、“坡度”、“方向角”等术语。 (2) 步骤完整：解题过程要包括“解”、“在Rt△……中”、“由……得”、“所以……”、“答……”等关键步骤。 (3) 结果处理：注意题目对结果精确度的要求，按要求取近似值。 4. 联系生活，积累背景素材： (1) 课堂引入：多引入生活中的测量实例（如测旗杆、测教学楼、测河宽），让学生感受数学的应用价值。 (2) 实践活动：可以组织学生进行简单的实地测量活动，加深对模型的理解。 题型01 单直角三角形直接求解 析典例·建模型 1．（2026·山东临沂·一模）某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 研考点·通技法 考查知识点结合： 已知一边一角，求另一边；已知两边，求角 通用思路：“知二求三”。 1. 已知一边一角：用三角函数求另一边；用互余关系求另一角。 2. 已知两边：用勾股定理求第三边；用三角函数求角。 核心公式： 1. （∠C=90°，∠A对边为a，邻边为b，斜边为c）。 2. 3. ∠A＋∠B＝90°。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）如图，数学兴趣小组在水平地面上开展测量活动：已知，距离是40米，距离是50米，点处有一垂直于地面的高20米的立柱．从点观测点的仰角为；从点D观测点C的俯角为，连接．求到水平地面的垂直高度是多少米？（参考数据：，，，，，） 3．（2026·山东临沂·模拟预测）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．为了让学生们感受国家航天事业的伟大，学校组织九年级同学参观航天博物馆，在展览场地展示了长征二号F遥十七运载火箭模型．有数学兴趣小组的同学观察到以下情况：如图，火箭模型后有一个山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，火箭模型在小山坡上的影长为20米，测得坡脚C与楼房的水平距离米，求火箭模型的高． 4．（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 题型02 “背靠背”双直角三角形 析典例·建模型 1．（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 研考点·通技法 考查知识点结合： 两个直角三角形共用一条直角边；仰角/俯角；设未知数列方程 通用思路：“公共边搭桥，设未知数列方程”。 关键步骤： 1. 识别两个直角三角形，并找到它们的公共直角边（设为h）。 2. 在两个三角形中，分别用h和已知角表示出另一条直角边。 3. 根据这两个直角边的和或差等于已知线段长，列出关于h的方程。 破类题·提能力 2．（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 3．（2025·山东青岛·模拟预测）学校正推进“智慧校园”建设，如图，分别为学生公寓、训练广场、学校大门、图书馆，点在点的南偏东方向，点在点的西北方向，点，在点的正南方向，长为120米． (1)求学生公寓到图书馆的距离；（结果精确到0.1米） (2)为了进一步推进“智慧校园”建设，学校需要进一步优化校园网络，技术人员准备在中选择一个地址部署一台核心交换机并为这台核心交换机铺设专用光纤．已知在的南偏西方向，若在地址部署核心交换机，需铺设与两条路线的光纤并在地址再部署一台价值400元的微型交换机（防止之间出现拥堵）；若在地址部署核心交换机，需铺设这3条路线的光纤，不需要再部署微型交换机．已知光纤铺设费用为3元/米，请从费用成本最小的角度说明技术人员应该选择在哪里部署核心交换机？（忽略其他费用，参考数据：） 4．（2025·山东临沂·二模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．．    【拓展应用】 如图，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得的坡度为，同时测得的长度为米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）． 题型03 “母子”双直角三角形 析典例·建模型 1．（2026·山东淄博·一模）综合实践：测量底部不可以到达的物体的高度． 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．如图所示，要测量物体的高度，可以按下列步骤进行： （1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角． （2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在同一条直线上），测得此时M的仰角． （3）量出测倾器的高度，以及测点A和测点B之间的水平距离．根据测量数据，请求出物体的高度． 研考点·通技法 考查知识点结合： 大直角三角形包含小直角三角形；仰角/俯角；设未知数列方程 通用思路：“高度差搭桥，设未知数列方程”。 关键步骤： 1. 识别大直角三角形和小直角三角形，它们共用一条水平直角边。 2. 设公共水平边为d。 3. 在两个三角形中，分别用d和已知角表示出垂直边。 4. 根据两个垂直边的差等于已知高度差，列出关于d的方程。 破类题·提能力 2．（2026·山东菏泽·一模）图片中的灯塔是某县地标性建筑，某中学数学兴趣小组要测量灯塔的高度，先在地面上选取一点，在此处用测角仪测得灯塔顶端的仰角，前进米到达处时测得灯塔顶端的仰角（点，，在一条直线上）．已知测角仪支架的高为米，求灯塔的高度． （参考数据：，，） 3．（2026·山东聊城·一模）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于青草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 4．（2025·山东威海·二模）图1是太阳能路灯，图2是路灯的简易平面图．在地面E，F处测得灯管D的仰角分别为，．点A，E，F在同一条直线上，．求灯管D距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 题型04 坡度（坡比）与解直角三角形 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，小明想测量斜坡上树的高度，测得树根部E到坡脚B的距离为5米，斜坡的坡度为，小明在距离B点1米远的D处测得树顶点F的仰角为，树，斜坡的剖面，点D在同一平面上，树与地面垂直，求树的高度．（结果精确到米．）（参考数据：，，） 研考点·通技法 考查知识点结合： 坡度i＝tanα；坡角；水平距离与垂直距离 通用思路：“坡度即正切”。 核心公式： 1. 坡度。 2. 坡角α是坡面与水平面的夹角。 关键步骤： 1. 将坡度i转化为tanα的值。 2. 构造直角三角形，利用求出垂直高度或水平宽度。 3. 利用勾股定理求出坡面长度。 破类题·提能力 2．（2025·山东青岛·模拟预测）“星星之火，可以燎原！”1927年34岁的伟大领袖毛主席带领红军登上井冈山，点燃了“农村包围城市”的星星之火．为了弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往井冈山革命根据地缅怀先烈．大家被星火相传雕塑的雄伟壮观所震撼，想知道火炬的高度，于是师生组成了综合活动小组进行测量．他们在地面A点用测角仪测得雕塑顶端M的仰角为，沿水平地面向前走到达台阶底端B点处，测得雕塑顶端M的仰角为．已知测角仪高，台阶长为，坡度．底座高为，标志着根据地在1927年创立．根据以上数据求星火相传雕塑的高度．（结果保留整数．参考数据：） 3．（2025·山东青岛·模拟预测）某校数学社团开展"探索生活中的数学"研学活动，准备测量一栋大楼的高度，如图所示，其中观景平台斜坡的长是30米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，．） 4．（2025·山东济南·二模）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，，之间必须达到一定的距离． (1)要使身高的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么，之间的距离要大于多少米？（精确到） (2)商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度不能超过．商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息．在其他条件不变的情况下，请探究平台的最大长度．（精确到）（参考数据：，，） 题型05 方向角与解直角三角形 析典例·建模型 1．（2022·山东青岛·三模）如图，某特种兵在执行任务时，测得研究所位于P城北偏东的方向，且P城与研究所的距离大约为1200米，Y城在P城北偏东方向，在研究所北偏东方向．求Y城到研究所之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，） 研考点·通技法 考查知识点结合： 方向角（北偏东、南偏西等）；构造直角三角形 通用思路：“画方向线，构造Rt三角形”。 关键步骤： 1. 以观测点为原点，画出正北、正南方向线。 2. 根据方向角（如北偏东30°）画出目标点的方向线。 3. 过目标点作正北或正南方向线的垂线，构造直角三角形。 4. 利用三角函数求解。 破类题·提能力 2．（2025·山东潍坊·三模）如图是路线平面示意图，是动物园入口，是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．已知展区在起点的东北方向，小亮从起点出发沿正北方向走了900米到达展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区；小颖从起点出发沿正东方向走到展区，在展区参观9分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区． (1)求的长度； (2)已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区． 3．（2025·山东烟台·模拟预测）某公园的平面示意图上，，，，是公园的四处主要景点，景点间有道路连接，经测量，景点在景点的正东方向，且距离为米，点在点的南偏东方向，相距600米，点在点的西南方向．（参考数据：，，，） (1)求景点与景点之间的距离（结果保留根号）； (2)景点规划时，计划在公园主干道上修建一处凉亭，使游客从景点来到凉亭休息后回到景点，再依次参观景点的游玩路程最短，求出这个最短游玩路程（结果保留整数）． 4．（2025·山东聊城·三模）【实践课题】通过测量相关距离及角度，计算线段的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】某地新建设了一个五边形的物流中心，数学小组经过现场测量并画出如图的示意图，经过多次测量，得到如下数据：B在A北偏东的方向上，千米，千米，，C在A的正东方向． 【问题解决】 (1)求的长度； (2)求的长度．（参考数据：） 题型06 解直角三角形与几何综合 析典例·建模型 1．（2026·山东滨州·一模）综合与实践 【阅读材料】如图，在中，的对边长分别为a，b，c，则有，称为正弦定理，这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题解决】结合以上重要结论，尝试求解如下问题： 某校学生利用以上知识进行数学实践活动．如图，A处有一栋大楼，该学生选择B，C两处作为测量点，测得的距离为，，在C处测得大楼楼顶D的仰角为求大楼的高度．（运用正弦定理求解，结果保留整数，参考数据：） 研考点·通技法 考查知识点结合： 三角函数＋勾股定理＋相似＋四边形/圆 通用思路：“三角函数作为工具，融入几何推理”。 关键步骤： 1. 在几何图形中，找到或构造直角三角形。 2. 利用已知的边角关系，通过三角函数求出某条线段的长度或某个角的度数。 3. 将求出的结果作为新的已知条件，继续用于后续的几何证明或计算。 方法技巧： 当题目中出现特殊角（30°、45°、60°）或给出某个角的三角函数值时，要立刻联想到构造直角三角形，利用三角函数建立等量关系。 破类题·提能力 2．（2026·山东滨州·一模）在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． (1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离． (2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 3．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，． (1)的面积为__________；（用含的代数式表示） (2)如图，在图的基础上，延长到，延长到，连接．在上依次取点，使得；在上依次取点，使得．连接，请利用（）的结论，试探究四边形的面积与四边形的面积之间的关系，并说明理由． 4．（2026·山东青岛·一模）在一次无人机搜救演练中，无人机起飞后在处悬停，操作员在处测得的仰角为．随后，无人机保持高度不变水平飞行250米到达搜寻目标的正上方处，此时操作员沿无人机飞行方向水平行走180米到达处（在同一水平地面上），在处测得无人机（处）仰角为，求操作员到搜寻目标的水平距离． （结果精确到1米，参考数据：．） / 学科网（北京）股份有限公司 $