专题06 二次函数及其应用（9大题型，大题专练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数及其应用 ee。e●ee●。●。。。。●。。。●。。。●e●0e0●0e●00●。●●●9●●●。●●●●●●●●●●●●●。●。e●●●ee●●e●e●。。。。。●。●e●e●。●●●9●● 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 ☑PART 命题解码•定方向 一、具体考查形式 近三年山东中考对“二次函数”的考查是压轴题的核心，形式非常稳定，主要分为以下两类： 1. 二次函数图象与性质基础题：通常以选择题或填空题的形式出现，分值3-4分。考查二次函数的图 象特征，如开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴的交点坐标等。 2. 二次函数综合探究题（压轴题）：这是近三年山东中考压轴题的绝对主流，通常以10-14分的解答 题形式出现在试卷最后位置。题目往往将二次函数与三角形、四边形、相似三角形、圆等几何图形深度 融合，考查存在性问题、最值问题、图形变换（平移、旋转、轴对称）等。 二、命题特点 1.压轴地位：二次函数综合题是区分学生水平的关键，难度最大，综合性最强，设计精巧。 2.知识融合度高：题目几乎不会单纯考查二次函数本身，而是将二次函数作为背景，与一次函数、 反比例函数、一元二次方程、不等式、几何图形（三角形、四边形、圆）的性质与变换、几何最值模型 (将军饮马、胡不归、阿氏圆)、相似三角形、三角函数等知识融合在一起进行考查。 3. 问题类型固定：考查的问题类型高度集中，主要包括： (1)求函数解析式（待定系数法）。 (2)与坐标轴的交点、顶点、对称轴等基本要素。 (3)线段、面积的最值与和差倍分问题。 (4)特殊三角形（等腰、直角、等边）的存在性问题。 (⑤)特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的存在性问题。 (⑥角度关系（相等、和差、倍分）的存在性问题。 (⑦图形变换（平移、旋转、轴对称）后的新函数或新图形问题。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.高区分度：这类题目往往设置23个小问，难度层层递进。第一问通常较简单（求解析式），第二 问中等难度（求最值或常规存在性），第三问难度大（复杂的几何关系或参数范围）。 三、核心考查内容与能力要求 1.核心内容： (I)解析式：一般式y=ax2+br+c,顶点式y=ax-h)+k,交点式y=a(x-x)(x-x,)。能根据已知 条件（三点、顶点十一点、与x轴交点十一点）灵活设出并求解。 (2) 图象与性质：开口方向(a)、对称轴(x=-。)、顶点坐标 b 4ac-b2 增减性、最值。 2a 2a 4a (3)与方程、不等式的关系：函数与x轴的交点对应一元二次方程的解；函数值的大小比较对应不等 式解集。 (④)系数与图象的关系：a,b,c对图象位置和形状的影响。 2.能力要求： (I)运算能力：准确、快速地进行含字母系数的代数计算、配方、方程求解。 (2)推理能力：能从复杂的条件中提取关键信息，进行逻辑推理，建立等量关系。 (3)几何直观：能将代数问题转化为几何图象分析，利用图象性质辅助解题。 (④)模型观念：能将实际问题（如利润、面积、抛射）中的变量关系抽象为二次函数模型。 (⑤)化归与转化思想：能将未知问题转化为已知模型（如将平行四边形存在性转化为中点坐标等）。 (⑥分类讨论思想：解决存在性问题时，能对不同的情况进行全面、不重不漏的讨论。 四、趋势展望 1.难度维持高位：作为压轴题，其难度和区分度功能不会降低，题型仍将以综合探究为主。 2.动态几何与函数结合更紧密：点在线段、折线或抛物线上运动，引出的图形重叠面积、长度、角 度等变量与函数关系的问题会持续热门。 3.新定义与材料阅读题可能出现：结合新定义运算或新几何背景，考查学生即时学习和知识迁移能 力，题目设置会更灵活。 4. “设问前置化”：压轴题的第一问可能不再是简单求解析式，而是融入到一个更复杂的情境中， 比如需要先通过几何推理求得点坐标，再求解析式。 5.强调过程与逻辑：对解题过程的完整性、逻辑性、分类讨论的全面性要求极高。 五、备考策略建议 1.万丈高楼平地起，夯实基础是关键： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ()“三式”过关：要求学生能根据题目条件，迅速、准确地选择并求出二次函数的一般式、顶点式、 交点式。训练从“三点”、“顶点+一点”、“与x轴两交点+一点”的条件中设解析式并求解。 (2)图象性质烂熟于心：掌握，b,c对图象开口、位置、形状的影响；能快速画出二次函数草图，标 出对称轴、顶点、与坐标轴的交点。理解抛物线上的点的坐标与距离、面积的关系。 2. 专题分类，逐个突破： (1)第一梯队（必会）： ① 存在性问题（等腰、直角、平行四边形、矩形、菱形、正方形）：这是重中之重。需要总结每种 图形的判定方法，并熟练掌握“设点坐标→表示线段→根据几何关系列方程”的标准化解题流程。 例如，平行四边形对角线互相平分。 ②线段与面积最值问题：掌握“铅垂法”求三角形面积；利用二次函数的顶点（配方法或公式法） 求最值；熟练掌握“胡不归”、“阿氏圆”、“将军饮马”及其变式的模型和解法。 ③角度关系问题：能通过构造全等、相似、三角函数或利用“一线三等角”模型，将角度相等转化 为线段比例或坐标关系。 (2)第二梯队（提分关键）： ①含参数二次函数问题：训练讨论二次项系数是否为零，根据对称轴和自变量的取值范围讨论最值。 ② 二次函数与几何变换（翻折、旋转、平移）：理解变换前后对应点的坐标关系，以及函数解析式 的变化规律（遵循“左加右减，上加下减”以及翻折时α的符号变化）。 ③定点定值问题：理解“参数分离”的技巧，找到与变量无关的定点。 3.培养解题规范与检查意识： (1)书写规范：压轴题步骤多、分值高，必须训练学生写出清晰、完整、逻辑严谨的解题步骤，特别 是设点坐标、列方程、消元、讨论的过程。关键步骤的说明性文字不能省。 (2)学会“踩点得分”：即使最终结果算错，也要确保第一小问（求解析式）正确，第二、三小问的 关键步骤（如设出点的坐标、列出方程）正确，争取拿到大部分步骤分。 (3)养成检验习惯：解出的点坐标要代入原函数或几何条件中验证是否满足题目所有要求（如点是否 在抛物线上、线段是否存在、图形是否成立)。 ☑ PART 02 解题建模•通技法 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 >题型01二次函数解析式的确定与图象性质<〈 析典侧建模型 1.(2026山东德州一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-4x+3a(a为常数).此抛物线与y 轴交于点A,过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合 (1)抛物线的对称轴为直线x=; (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式： ②当m≤x≤m+2(m为常数)时，y的最小值为-3，求m的值； (3)在(2)的条件下，将该二次函数y=x2-4x+3a的图象沿着x轴的正方向平移k(k>0)个单位长度得 到新的二次函数图象，当3≤x≤5时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的 表达式 考点通技法 一一一-一。。 |考查知识点结合： 待定系数法；顶点、对称轴、与坐标轴交点；配方法 |通用思路：“审条件→选形式→设→代→解→写→求性质”。 关键步骤与模板： |1.己知三点（一般式）：设y=a2+bx+c,代入三点坐标解三元一次方程组。 12. 己知顶点(，k)和另一点（顶点式）：设y=ax-h)2+k,代入另一点坐标解a。 13 已知与x轴两交点和另一点（交点式)：设y=a(x-x)(x-x2),代入另一点坐标解a。 」核心公式： b 4ac-b2 1. 顶点坐标： 2a’4a 6 2 对称轴：x= 2a b 2 3 配方法：y=ax+ 4ac-b2 2a 4a 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -一一-一-一-一一-一一一一一一一一-一一一-一-一一 易错提醒：代入计算要仔细；三种解析式形式要灵活选择，不能生搬硬套；最后一定要写成最简形式。 破送题提能力 .（2026山东济南一模)己知，抛物线y=-x2+2mx-m2+4m>0)与x轴交于A、B两点，交y轴于点 C VA D B 图1 图2 备用图 (1)当点C坐标为0,3)时，求抛物线的表达式及点B的坐标： (2)如图1，在(1)的条件下，点M是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点M作MF∥y轴交BC于 点F,ME⊥BC交BC于点E,求△MEF周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点D,直线1经过点A,与抛物线交于点P,直线1与直线AD所夹的锐角为， 若tana 3,请直接写出PD的长 3. (2026山东滨州一模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式y=ax2+bx+4(a≠0)分别交 x轴于A,B两点(A在B的左侧)，交y轴于点C,连接AC,BC,其中OA=4,tan∠OCB=, 4… 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC交直线AC于点D,PE∥y轴交直线AC 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 于点E.点M、点N是直线BC上的动点，满足点M在点N的右侧且MN=7,当△PDE周长最大时， 求P的坐标及OM-PN的最大值； (3)如图2，在第(2)问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线BC方向平移√7个单位长度得 到抛物线y，将点C向下平移一个单位长度得到点F,点Q为抛物线y上且在抛物线y对称轴左侧的 一动点.若∠PAO+∠OCB=∠BCQ+∠PAF,直接写出所有符合条件的点Q的横坐标. 4.（2026山东德州一模)已知抛物线y=x2-+3(a为常数)经过点(3,0). (1)求抛物线的对称轴. (2)过点A(0,)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值. (3)设m<2<n,抛物线的一段y=x2-ax+3(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线4，Z☑之间.若直 线Z,2之间的距离为9，求n-m的最大值. >题型02二次函数图象与系数判断<〈 析典侧建摸型 1.(2026山东济南一模)定义：对于平面直角坐标系中的点M和点P,若将点P绕点M顺时针旋转 a(0°≤a≤180)后得到对应点Q,则称对应点Q为点P关于M旋转a的正旋点”，特别的，当a=90°时， 点Q为点P关于点M的正垂旋点”. V B 图1 图2 图3 (1)已知点M的坐标为(2,0)，若点P的坐标为(4,0)，点P关于点M的正垂旋点坐标是 ；点P关 于点M旋转60°的正旋点坐标是 (2)直线y=-3x+3的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B. ①如图1，点C是该直线上一动点，若点C关于点B的“正垂旋点”横坐标为6，此时点C的坐标为 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②如图2，若该直线上动点C关于点B的正垂旋点"为点E,反比例函数y=2的图象恰好经过点E,请 你求出此时点C的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线y=-x2+2x+3的图象上存在一点P,连接PA,当∠PAB=45°时， 请你判断点B是否为点P关于点A旋转45°的“正旋点”，并说明理由. 考点通技法 厂二- 考查知识点结合： 系数a,b,c与图象关系；判别式；特殊点的函数值 通用思路：“看开口→看对称轴→看交点→看特殊点”。 1. 开口方向：a>0开口向上；a<0开口向下。 12 对称轴：x=- 。利用对称轴判断b与α的符号关系（左同右异）。 2a 3 与y轴交点：在(0，c处，其正负决定c的符号。 14. 与x轴交点：交点的个数由△=b2-4ac决定。 15. 特殊点：当x=1时，y=a+b+c;当x=-1时，y=a-b+c。根据图象上这些点的位置，判断代数式 的正负。 」方法技巧：图象中给出的对称轴、过原点的点、与坐标轴的交点等信息都是关键突破口。 破类题提能力 2.（2025·山东济南二模)如图1，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0), B(3,O),与y轴交于点C,顶点为D. D C B B F B 图1 图2 图3 (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，连接CB,DB,若抛物线上存在点E,满足∠CBD=∠BDE,求点E的坐标； (3)如图3，点F为x轴上一动点，连接CF,DF,当∠CFD最大时，请直接写出点F的坐标. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.（2025山东临沂.一模)在平面直角坐标系xOy中，点P(2,4)在二次函数y=ax2+2x+c(a>0)的图象上， (I)用含a的代数式表示c= (2)当0≤x≤2时，求二次函数的最大值； (3)已知直线y=x与抛物线y=ax2+2x+c(a>0)相交于A,B两点，若2V0≤AB<8,求a的取值范围. 4.2025山东期城二模)知图.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，二次函数)=号x-+4的图 象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），顶点为C. VA 0 (I)求A,B,C三点的坐标： (2)一个二次函数的图象经过B,C,M(t,4)三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D,点D在 线段OB上（与点O,B不重合）. ①若D点的坐标为(3,0)，求t的值； ②用t表示OD和DB,并求OD·DB的最大值. >题型03二次函数与方程、不等式<《 析典侧：建模型 1.(2026山东日照.一模)在平面直角坐标系中，二次函数y=(a-1)x2-2ax+3a的图像经过点(1,3). (1)求二次函数的表达式： (2)将抛物线y=(a-)x2-2ax+3a向下平移t个单位后与x轴交于P、Q两点，若线段P0>6,求t的取 值范围； (3)若定义：当m≤x≤n在抛物线的对称轴同一侧，且满足m≤y≤n时，称m≤x≤n为二次函数的黄金 区间.请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点通技法 !考查知识点结合： 函数与x轴交点；图象法解一元二次方程；函数值比较 !通用思路：“设点坐标→表示线段长点→建立几何关系方程→解方程并检验”。 11. 设点坐标：通常设出抛物线上或直线上动点的坐标。 12. 表示线段长：利用两点的横坐标或纵坐标之差的绝对值表示水平或竖直线段；利用两点间距离公式表 示任意线段。 13. 建立几何关系：将题目中的几何条件（如等腰、垂直、平行四边形等）转化为关于x的方程。 14. 解方程并检验：解方程求x,代入解析式得y,最后必须检验点是否在图象上、三角形或四边形的顶点 是否存在、图形是否合理（如面积是否有意义）。 破类题提能力 2.(2026山东潍坊一模)已知二次函数y=x2-2kx+k-1,其中k为常数. (1)证明：不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点： (2)将该函数的图象沿y轴向上平移，个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度，得到的新二次函数 的图象与x轴的交点分别为Ax,0),B(x?,0),且x,<x2,记线段AB的长度为d,求d的最小值； (3)该二次函数与一次函数y=(1-2)x+k-三的图象交于点M,过点(2,0)作x轴的垂线，分别交二次函 数和一次函数的图象于点P、Q,若MQ=PQ,求k的值. 3.(2026山东青岛一模)已知二次函数y=x(x-c+(x-c)(x-d),其中c,d为两个不相等的实数，与 y轴交点坐标为(0，n). (1)当c=3,d=4时，求n的值； (2)当d=3c>0时，点C(1,y3,D(2,y4在该函数图像上，且y<y4,求整数n的值； (3)若=-3，对于该函数图像的顶点坐标(x,y),满足x≥1，求的取值范围. 4. (2023山东模拟预测)已知二次函数y=nx2-(n+3x+3(n为正整数)，将n取1,2,3，，n时， 函数，，，，，的系列图像称为“抛物线簇”. (1)求的图像的顶点与x轴两个交点的坐标； (2)“抛物线簇”中某条抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成的三角形是直角三角形，求n的值； 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)设“抛物线簇”中相邻两抛物线与x轴的左交点之间的距离为4，，与直线y=3的交点不在y轴上，且两 交点之间的距离为4.试判断当n取不小于4的任意两个相邻整数时，4和4是否都相等？请说明理由. >题型04二次函数的实际应用<《 析典侧：建摸型 1,(2026山东菏泽一模)项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中 的精准设计问题，开展实践探究. 项目主题：合理设计，智慧泉源一基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温 除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌.如图1，如何科学把控洒水车行驶路 线与绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的 重要课题.数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计智慧泉源”为 主题的项目式学习， 喷水口 上边缘 h+0.4 A H 边缘 h B d D 图1 图2 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将 洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象.已知喷水口H离地面的竖直高度为1.2米， 上边缘拋物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口0.4米. (1)求上边缘拋物线的函数解析式； 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即 抛物线的开口方向和开口大小不变)，下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到.为判断浇灌效果， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 将绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=1.8米，竖直高度EF=1.1米，洒水车到绿化带的 水平距离OD为d米。 (2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； (3)若d=2.2米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由， 研考点通技法 |考查知识点结合： 利润最大化；面积最值；抛物线的运动轨迹（抛射） 1通用思路：“设点坐标→表示线段长点→建立几何关系方程→解方程并检验”。 |1.设点坐标：通常设出抛物线上或直线上动点的坐标。 12. 表示线段长：利用两点的横坐标或纵坐标之差的绝对值表示水平或竖直线段；利用两点间距离公式表 示任意线段。 |3.建立几何关系：将题目中的几何条件（如等腰、垂直、平行四边形等）转化为关于x的方程。 14. 解方程并检验：解方程求x,代入解析式得y,最后必须检验点是否在图象上、三角形或四边形的顶点 是否存在、图形是否合理（如面积是否有意义）。 破送题提能力 2.(2026山东青岛一模)某航站楼正门为如图(1)所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为18m,最高点 离地面高度为9，随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图(2)所示 的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到24m· 9m 18m -24m1 图(1) 图(2) G M H B 图(3) 图(4) 建立如图(3)所示的平面直角坐标系，解答下列问题： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求左侧抛物线OM的表达式，并求M点离地面的高度： (2)直接写出右侧抛物线MN的表达式： (3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架BADC,使A点，D点在抛物线上，B点， C点在地面上，其中AB,AD,DC三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ (4)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用EH和GF两根斜拉钢梁加固，其中G,H为两抛物 线的顶点，E,F在抛物线上，且EH和GF交于点M,求需用钢梁的总长度， 3.(2026山东青岛一模)学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间 从喷口A点喷出（如图2）·以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角 坐标系，已知喷口A点到台面高度AB为18cm,OB为4cm,喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关 系式为y=ax2+bx+15,这滴洗手液在水平方向喷出3cm时，到台面高度为15cm. B 图1 图2 图3 (1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式； (②)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ (3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心MN约为4cm,现在点M到喷口A点的水平距 离为3cm,若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心MW到台面的高度h的取值范围， 4.(2026山东青岛·一模)某智慧网球馆部署了AI鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、 落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案.在一次训 练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点O正上方2米的A点将球击出，球在距离发球点A水 平距离6米处达到最高，最高点距离地面3.5米，在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴 上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中y(米)是球的高度，x(米)是球与原点的水平 距离 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y/米 3.5 6 x/米 (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知球网高1.07米，发球点A到球网的水平距离为13米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端 的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到0.01米） (3)鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点16米处准备接球.己知小亮的有效接球 高度范围为米至3米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞 6 6 行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球.经系统计算，球会在小亮站立位 置之前落地，因此小亮需要向前移动d米(0<d<3)才能击到球.那么小亮刚好能在有效接球高度范 围成功击球时，d的最小值是多少？ >题型05二次函数与线段、面积的最值问题<《 析典侧：.建摸型 1.（2026山东聊城一模)已知二次函数y=ax2+bx+4的图像经过点，A(-2,m),B(5,m）. (0求的值： (②)已知二次函数y=ar2+br+4的最小值为a-8a+10 求该函数的表达式： 4 (3)若a>0,当1≤x≤4时，y的最小值是-5， ①当1≤x≤4时，求y的最大值，并写出取得最大值时点C的坐标： ②在①中y取最大值时的点为C,设过点A,C的直线为片，垂直于x轴的直线x=(-2<t<4)分别交 直线和抛物线于点M,N,求线段MW的最大值. 研考点通技法 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考查知识点结合： 铅垂法；水平宽×铅垂高；二次函数配方法求最值；胡不归、阿氏圆模型 通用思路：“铅重法十配方法”。 铅垂法求面积：S=一×x-x×以-y, ！关键步骤： !1.求出直线AB的解析式。 12. 设出C,表示出D。 13 计算铅垂高。 4. 计算面积。 对S进行配方，利用二次函数性质求出最值及此时x的值。 破类题提能力 2.（2023山东日照.二模)二次函数y=ax2+bx+4a≠0)的图象经过点A-4,0),B(1,0),与y轴交于点 C,点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点Q,过点P作PD⊥x轴于点D. 图1 图2 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，连接BC,当LDPB=2LBCO时，求直线BP的解析式： ③)如图2，连接PC,请判断。心是否有最大值，如有请求出最大值及有最大值时点P的坐标，如没有 SACOB 请说明理由 3.(2024山东东营.一模)如图①，抛物线y=ax2+bx+ca≠0)经过点A-4,0),点B(2,0)和点C(0,-4), 它的对称轴为直线1，顶点为D. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 B衣 D D D 图① 图② 备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)如图②，点P是直线AC下方该抛物线上的一个动点，连接AP、CP、AC,当△APC的面积取得最大 值时，在抛物线对称轴1上找一点M,使MP-MB的值最大，求点M的坐标，并求出这个最大值. 4.(2024山东临沂一模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A,B（点 A在点B的左侧)，交y轴于点C,点A的坐标为(-1，O),点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点 E. D C D D B E H GE H 图1 图2 (1)填空：a=，点B的坐标是 (2)连接BD,点M是线段BD上一动点（点M不与端点B,D重合），过点M作MN⊥BD,交抛物线 于点N(点N在对称轴的右侧)，过点N作NH⊥x轴，垂足为H,交BD于点F,点P是线段OC上一 动点，当△MNF的周长取得最大值时，求FP+PC的鼓小值： (3)在(2)中，当aMNF的周长取得最大值时，FP+PC取得最小值时，如图2，把点P向下平移 25个单位得到点Q,连接A0,把△A00绕点0顺时针旋转一定的角度a(0°<a<360,得到 △AOg,其中边AQ'交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使得GQ'=OG？若存在，请 直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 >题型06二次函数与特殊三角形的存在性<〈 析典侧建模型 1. (2025山东淄博二模)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(-3,0),与y轴交于点C. 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，连结BC,过抛物线顶点D作直线I∥x轴，点P是直线1上一动点，若满足△PBC为直角三 角形，求点P的坐标； (3)如图2，点Q为线段0C上一动点（不与端点重合），连结AQ并延长交抛物线于点E,连结BQ并延 长交抛物线于点F,设EBQ面积为S,△FA0面积为S,求的值. S 研考点：通技法 」考查知识点结合： 勾股定理；两点间距离公式；“两圆一线”（等腰）；“两线一圆”（直角）；相似 !等腰三角形： “两圆一线”。两圆（以两个点为圆心，定长为半径的圆）和一线（已知线段的垂直平分线）的交点 ·即为所求的第三个顶点。 ·直角三角形： “两线一圆”。两条线（过已知两点作垂线）和一个圆（以已知线段为直径的圆）的交点即为所求的 ·第三个顶点。 ·方法技巧： 先设出点坐标，再用两点间距离公式表示出各边长度，根据边相等（等腰）或勾股定理（直角）建立 1方程。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 破类题提能力 2.(2025山东一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=-(x-1)2+4与x轴交于A,B两点(A在B的右侧)， 与y轴交于点C. 备用图 (I)如图，直线x:m与抛物线在第一象限交于点D,交CA于点E,交x轴于点F,DG⊥CA于点G, 若E为GA的中点，求m的值。 (2)直线y=nx+n与抛物线交于M(x,y),N(x2,y2)两点，其中x<x2.若x2-x1>3且y2-y,>0,结 合函数图象，探究的取值范围. (3)已知二次函数y=3x2-(2m+6)x+3. ①若该函数的取值恒为非负数，求实数m的取值范围 ②当3<x<4,该二次函数的增减性不发生变化，求实数m的取值范围. 3.(2025山东临沂一模)如图，已知抛物线y=-x2+2x+c经过点(2,3)，与x轴交于A、B两点，与 y轴交于点C,点P的坐标为(m,0)，点Q在该抛物线上，横坐标为1-m.其中m>0. A( B (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)点M是对称轴上的动点，当△MAC是以AM为底的等腰三角形时，求M点坐标； (3)当抛物线在点B和点Q之间的部分（包括B、Q两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为3+m时， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 求m的值， 4.(2024山东青岛一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A-4,0), B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2),连接AE. D B (1)求二次函数的表达式： (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值及此时D点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为以AE为底的等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐 标即可；若不存在，请说明理由. >题型07二次函数与特殊四边形的存在性<了 析典侧建摸黑 1.(2026山东淄博一模)如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（其中a,b为常数)的图象经过点A(6,2 ,顶点为点M,过点A作AB∥x轴，交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,线段AB的长为8. B B D D 备用图 (I)求该二次函数的解析式： (②)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥AC于点E,过点P作PF∥y轴交AC于点F, 求PE+PF的和的最大值及此时点P的坐标； (3)点Q是直线AC上的动点，过点Q作直线AC的垂线1，顶点M关于直线I的对称点为N,当以点Q、 A、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 研哮点通技法 |考查知识点结合： 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定；中点坐标公式；平移；点的存在性 |平行四边形： 11.方法一：对角线平分。 2.方法二：对边平行且相等。利用平移，将一条对角线上的点平移到另一对角线上。 矩形菱形正方形：在平行四边形的基础上，附加条件，如： 11.矩形：对角线相等或一个内角为直角。 2.菱形：一组邻边相等或对角线互相垂直。 3.正方形：矩形且菱形。 破送题提能力 2.(2022山东东营模拟预测)如图，已知二次函数y=二x2+bx的图像经过点A-4,0),顶点为B,一次 函数y=2r+2的图像交y轴于点M,P是抛物线上一点，点M关于直线AP的对称点N恰好落在抛物 线的对称轴直线BH上（对称轴直线BH与x轴交于点H)· 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)求点P的坐标： (3)若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E,连接0G,点F是线段 OG上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形BDEF是正方形，求点G的坐标 3(2026山东济南一模)如图，在平面直角标系中，抛物线y)X+bx+c经过点D4 与x轴交 于点A(-1,0)和点B,直线AD与y轴正半轴交于点C. 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点E在第四象限对称轴右侧抛物线上，点M在坐标平面内，四边形AEMC是面积为3的 平行四边形，求点M的坐标； (3)如图2，抛物线与y轴交于点F,抛物线的对称轴与抛物线交于点H,与x轴交于点G.若点Q为抛 物线对称轴上一点，点P(t,0为x轴上任意一点，且PQ1FQ,当点Q在线段GH(含端点)上运动时， 求t的取值范围. 4.(2026山东临沂模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、 B(3,0)两点，与y轴相交于C(0,3)点，直线y=x+2与抛物线交于D、E两点. E (1)求二次函数的解析式； (2)点P为直线ED上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交ED于Q点，当PQ最长时，求此时点P的 坐标： (3)抛物线顶点为M,在平面内是否存在点N,使以D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若 存在，请求出N点坐标；若不存在，请说明理由 >题型08二次函数与角度关系<《 析典侧，建模里 1.(2025山东淄博中考真题)如图，一条抛物线y=a2+bx+与x轴相交于A(-1,0),B(5,0)两点，与 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y轴相交于点C. (1)求抛物线对应的函数表达式： (Q间在抛物线上是否存在点P,使得∠A8C=方<PA8?若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理 由： (3)将射线CB绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D,再将抛物线沿直线CD平移， 得到一条新的抛物线（其顶点为M)·设这两条抛物线的交点为Q. ①求旋转角度的正切值： ②当∠CQM=90°时，求原抛物线平移的距离. 研考点：通技法 !考查知识点结合： 三角函数；相似三角形：全等三角形；旋转 !通用思路：“设点坐标→表示线段长点→建立几何关系方程→解方程并检验”。 !1.设点坐标：通常设出抛物线上或直线上动点的坐标。 12. 表示线段长：利用两点的横坐标或纵坐标之差的绝对值表示水平或竖直线段；利用两点间距离公式表 示任意线段。 13. 建立几何关系：将题目中的几何条件（如等腰、垂直、平行四边形等）转化为关于x的方程。 14. 解方程并检验：解方程求x,代入解析式得y,最后必须检验点是否在图象上、三角形或四边形的顶点· 是否存在、图形是否合理（如面积是否有意义）。 破类题提能力 2.(2024山东淄博.一模)如图1，在平面直角坐标系x0y中，抛物线与x轴交于点A-1,0,B(3,0),与 y轴交于点C(0,-3),点D为抛物线的顶点. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 图1 图2 图3 备用图 (1)求该抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，己知经过点A的直线y=kx+b(k>0)与抛物线在第一象限交于点E,与y轴交于点F,连接 D,DE,BE.当S。DE三SME时，求点E的坐标 (3)如图3，在(2)的条件下，将直线AE与y轴的交点F向下平移+V5个单位长度得到点P. ①连接PB,求∠BPO的度数： ②将△B0P绕点O逆时针旋转一定的角度α(0°<a<360)得到△B'OP',直线B'P'与x轴交于点M,设 点N为平面直角坐标系内的任意一点，问在旋转过程中是否存在某个位置，使得四边形OP'MN为菱形？ 若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 3.(2024山东潍坊一模)已知边长分别为4和3的两个等边三角形ABC和△DEF,有如下操作，请作 答问题. 图1 图2 图3 图4 (1)如图1， ABC的顶点C是△DEF的边EF的中点，AB平行EF,AC交DE于点M,BC交DF于点 N. ①EM·FN= ②将图1中的aDEF固定，ABC绕点C顺时针旋转(0°<a<30°)，在旋转过程中EM·FN的值是 否有变化？请说明理由 (2)如图2，ABC和ADEF顶点C与D重合，边DE在∠ACB的角平分线上.将图2中的△DEF沿CE方 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 向以每秒1个单位的速度平移，CE的延长线交AB于点G,点E运动到点G时停止，EF,DF与AC分 别相交于H,I,如图3.设△DEF的移动时间为x秒，ABC和△DEF重叠部分的面积为y,直接写出y 与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围 (3)如图4，将图2中的a△DEF绕点C(D)顺时针旋转一定的角度，连接BE,AF,分别取BE,AF的 中点M,N,连接CM,CN,MN.求证：aCMN是等边三角形. 4.(2024山东济南二模)如图，己知抛物线C:y=-x2+bx+c与y轴相交于点C(0,1),对称轴为直线 x=2.坐标原点为O点，抛物线C的对称轴交x轴于A点. (备用图) (1)抛物线的关系表达式： (2)若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B,当PB=2BO时，求点P的坐标： (3)将抛物线C向左平移2个单位长度得到抛物线C,,C,与C相交于点E,点F为抛物线C对称轴上的 一点，在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点C,E,F,H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直 接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由 >题型09二次函数与动态几何、图形变换<《 析典例.建模型 1.(2025山东济南一模)抛物线y=ax2-2x+ca≠0)交x轴于A-1,0),B两点(B在A的右侧)，交y 轴于点CQ-引，M是第四象限内抛物线上一动点. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M M 图1 图2 (1)求此抛物线的表达式； ②如图1，连接BC,过动点M作MD上BC,垂足为点D,连接CM,当DM-5时，求CM的张 (3)如图2，过动点M作BC的平行线交y轴于点N,若射线AC平分线段MN,求点M的坐标 考点通技法 「考查知识点结合： 点的运动；图形翻折、旋转、平移；重叠面积 通用思路：“设点坐标→表示线段长点→建立几何关系方程→解方程并检验”。 11. 设点坐标：通常设出抛物线上或直线上动点的坐标。 12. 表示线段长：利用两点的横坐标或纵坐标之差的绝对值表示水平或竖直线段；利用两点间距离公式表 示任意线段。 13. 建立几何关系：将题目中的几何条件（如等腰、垂直、平行四边形等）转化为关于x的方程。 14. 解方程并检验：解方程求x,代入解析式得y,最后必须检验点是否在图象上、三角形或四边形的顶点 是否存在、图形是否合理（如面积是否有意义）。 破送题提能力 2.(2023山东泰安三模)如图，直线y=二x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线 y=-二x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C,已知动点D在直线AB上方的抛物线上， 2 动点P在线段AB上. / 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)点D是直线AB上方抛物线上的一动点，求D到AB的距离最大值及此时的D点坐标； (3)连接DP、DB,请直接写出当△BDP为等腰直角三角形时点P的坐标. 3.（2024山东济南模拟预测)已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为4，-) 16 图1 图2 (1)求该二次函数的解析式： (2)如图1，在x轴下方作x轴的平行线1，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线， 垂足分别为点D、点C,当矩形ABCD为正方形时，求A点的坐标： (3)如图2，在(2)的条件下，作直线AC,动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动， 同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到 点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒(>0).过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E, 交直线AC于点F,当以AE、F、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值， 4.(2023山东聊城三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0),与y轴交于点C(0,3,点P为抛 物线上的动点. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求b,c的值： (2)若P为直线AC上方抛物线上的动点，作PH∥x轴交直线AC于点H,求PH的最大值； (3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N,使直线AC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出 点N的纵坐标；若不存在，请说明理由 5.(2023山东日照.三模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A-4,0)和 B(1,0),与y轴交于点C,连接AC,BC, 图1 图2 备用图 (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，在x轴上有一动点D,平面内是否存在一点E,使以点A、D、C、E为顶点的四边形是菱形？ 若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由. (3)如图2，点M为抛物线上的一动点： ①若点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N,过点M作x 轴的平行线，交直线AC于点Q,求△MNQ周长的最大值； ②若点M为抛物线上的任意一动点，且∠ACM=45°-∠BAC,请直接写出满足条件的点M的坐标. / 专题06 二次函数及其应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对“二次函数”的考查是压轴题的核心，形式非常稳定，主要分为以下两类： 1. 二次函数图象与性质基础题：通常以选择题或填空题的形式出现，分值3-4分。考查二次函数的图象特征，如开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴的交点坐标等。 2. 二次函数综合探究题（压轴题）：这是近三年山东中考压轴题的绝对主流，通常以10-14分的解答题形式出现在试卷最后位置。题目往往将二次函数与三角形、四边形、相似三角形、圆等几何图形深度融合，考查存在性问题、最值问题、图形变换（平移、旋转、轴对称）等。 二、命题特点 1. 压轴地位：二次函数综合题是区分学生水平的关键，难度最大，综合性最强，设计精巧。 2. 知识融合度高：题目几乎不会单纯考查二次函数本身，而是将二次函数作为背景，与一次函数、反比例函数、一元二次方程、不等式、几何图形（三角形、四边形、圆）的性质与变换、几何最值模型（将军饮马、胡不归、阿氏圆）、相似三角形、三角函数等知识融合在一起进行考查。 3. 问题类型固定：考查的问题类型高度集中，主要包括： (1) 求函数解析式（待定系数法）。 (2) 与坐标轴的交点、顶点、对称轴等基本要素。 (3) 线段、面积的最值与和差倍分问题。 (4) 特殊三角形（等腰、直角、等边）的存在性问题。 (5) 特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的存在性问题。 (6) 角度关系（相等、和差、倍分）的存在性问题。 (7) 图形变换（平移、旋转、轴对称）后的新函数或新图形问题。 4. 高区分度：这类题目往往设置2-3个小问，难度层层递进。第一问通常较简单（求解析式），第二问中等难度（求最值或常规存在性），第三问难度大（复杂的几何关系或参数范围）。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 解析式：一般式，顶点式，交点式。能根据已知条件（三点、顶点＋一点、与x轴交点＋一点）灵活设出并求解。 (2) 图象与性质：开口方向（a）、对称轴（）、顶点坐标、增减性、最值。 (3) 与方程、不等式的关系：函数与x轴的交点对应一元二次方程的解；函数值的大小比较对应不等式解集。 (4) 系数与图象的关系：a, b, c对图象位置和形状的影响。 2. 能力要求： (1) 运算能力：准确、快速地进行含字母系数的代数计算、配方、方程求解。 (2) 推理能力：能从复杂的条件中提取关键信息，进行逻辑推理，建立等量关系。 (3) 几何直观：能将代数问题转化为几何图象分析，利用图象性质辅助解题。 (4) 模型观念：能将实际问题（如利润、面积、抛射）中的变量关系抽象为二次函数模型。 (5) 化归与转化思想：能将未知问题转化为已知模型（如将平行四边形存在性转化为中点坐标等）。 (6) 分类讨论思想：解决存在性问题时，能对不同的情况进行全面、不重不漏的讨论。 四、趋势展望 1. 难度维持高位：作为压轴题，其难度和区分度功能不会降低，题型仍将以综合探究为主。 2. 动态几何与函数结合更紧密：点在线段、折线或抛物线上运动，引出的图形重叠面积、长度、角度等变量与函数关系的问题会持续热门。 3. 新定义与材料阅读题可能出现：结合新定义运算或新几何背景，考查学生即时学习和知识迁移能力，题目设置会更灵活。 4. “设问前置化”：压轴题的第一问可能不再是简单求解析式，而是融入到一个更复杂的情境中，比如需要先通过几何推理求得点坐标，再求解析式。 5. 强调过程与逻辑：对解题过程的完整性、逻辑性、分类讨论的全面性要求极高。 五、备考策略建议 1. 万丈高楼平地起，夯实基础是关键： (1) “三式”过关：要求学生能根据题目条件，迅速、准确地选择并求出二次函数的一般式、顶点式、交点式。训练从“三点”、“顶点+一点”、“与x轴两交点+一点”的条件中设解析式并求解。 (2) 图象性质烂熟于心：掌握a, b, c对图象开口、位置、形状的影响；能快速画出二次函数草图，标出对称轴、顶点、与坐标轴的交点。理解抛物线上的点的坐标与距离、面积的关系。 2. 专题分类，逐个突破： (1) 第一梯队（必会）： 1 存在性问题（等腰、直角、平行四边形、矩形、菱形、正方形）：这是重中之重。需要总结每种图形的判定方法，并熟练掌握“设点坐标 → 表示线段 → 根据几何关系列方程”的标准化解题流程。例如，平行四边形对角线互相平分。 2 线段与面积最值问题：掌握“铅垂法”求三角形面积；利用二次函数的顶点（配方法或公式法）求最值；熟练掌握“胡不归”、“阿氏圆”、“将军饮马”及其变式的模型和解法。 3 角度关系问题：能通过构造全等、相似、三角函数或利用“一线三等角”模型，将角度相等转化为线段比例或坐标关系。 (2) 第二梯队（提分关键）： 1 含参数二次函数问题：训练讨论二次项系数是否为零，根据对称轴和自变量的取值范围讨论最值。 2 二次函数与几何变换（翻折、旋转、平移）：理解变换前后对应点的坐标关系，以及函数解析式的变化规律（遵循“左加右减，上加下减”以及翻折时a的符号变化）。 3 定点定值问题：理解“参数分离”的技巧，找到与变量无关的定点。 3. 培养解题规范与检查意识： (1) 书写规范：压轴题步骤多、分值高，必须训练学生写出清晰、完整、逻辑严谨的解题步骤，特别是设点坐标、列方程、消元、讨论的过程。关键步骤的说明性文字不能省。 (2) 学会“踩点得分”：即使最终结果算错，也要确保第一小问（求解析式）正确，第二、三小问的关键步骤（如设出点的坐标、列出方程）正确，争取拿到大部分步骤分。 (3) 养成检验习惯：解出的点坐标要代入原函数或几何条件中验证是否满足题目所有要求（如点是否在抛物线上、线段是否存在、图形是否成立）。 题型01 二次函数解析式的确定与图象性质 析典例·建模型 1．（2026·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．此抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点，点与点不重合． (1)抛物线的对称轴为直线_____； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当（为常数）时，的最小值为，求的值； (3)在（2）的条件下，将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式． 【答案】(1)2； (2)①；②或3； (3) 【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴是求出解； （2）①将点代入关系式可得解； ②分三种情况讨论：当，即时，，取最小值，再代入得出方程，求出解；当，即时，，取最小值，求出最小值，并判断；当时，，取最小值，然后代入求出方程的解； （3）设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线，再分三种情况讨论：当，即时，在对称轴的右侧，再根据最小值得出方程，求出解，并判断；当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，并判断；当，即时，在对称轴的左侧，然后代入得出方程，求出解，即可得出符合条件的关系式． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①把代入得：， ， 抛物线所对应的二次函数表达式为； ②当，即时，，取最小值， ， 解得或（舍去）， ； 当，即时，，取最小值， 此时最小值为，不符合题意； 当时，，取最小值， ， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为或3； （3）解：设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线． 分三种情况讨论： ①当，即时，在对称轴的右侧， 二次函数在取得最小值， ， 解得或，不符合题意； ②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意； ③当，即时，在对称轴的左侧， 二次函数在时取得最小值， ， 解得或（舍去）， 此时二次函数的表达式为， 即． 综上所述，平移后新的二次函数的表达式为． 研考点·通技法 考查知识点结合： 待定系数法；顶点、对称轴、与坐标轴交点；配方法 通用思路：“审条件→选形式→设→代→解→写→求性质”。 关键步骤与模板： 1. 已知三点（一般式）：设，代入三点坐标解三元一次方程组。 2. 已知顶点和另一点（顶点式）：设，代入另一点坐标解a。 3. 已知与x轴两交点和另一点（交点式）：设，代入另一点坐标解a。 核心公式： 1. 顶点坐标：。 2. 对称轴：。 3. 配方法：。 易错提醒：代入计算要仔细；三种解析式形式要灵活选择，不能生搬硬套；最后一定要写成最简形式。 破类题·提能力 2．（2026·山东济南·一模）已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)周长的最大值为 (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令求解点B坐标； （2）先求解直线，然后证明为等腰直角三角形，则，那么，故当取得最大值时，取得最大值，设，则，则，再由二次函数的性质求解的最大值，即可求解的最大值； （3）根据抛物线的解析式可得，；当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接，可得，则，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解；当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 则 解得 ∵ ∴， ∴解析式为： 令，则 解得， ∴； （2）解：设直线， 则代入点得，，解得 ∴直线 ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵轴， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，的最大值为 ∴周长的最大值为； （3）解：在中，当，则， 解得， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接， ∴，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点， 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 综上：的长为或． 3．（2026·山东滨州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值； (3)如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）求出得到，由正切的定义求出，即，由题意可得，再利用待定系数法计算即可得解； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，由勾股定理可得，从而得出，，设，则，，求出，得到，，表示出周长，由二次函数的性质可得，当时，周长最大为，此时；将点沿直线平移个单位长度得到点，连接、、，则向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，由平移的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，由并结合勾股定理计算即可得解； （3）由题意可得，抛物线关于原点对称的解析式为，求出，由，得出，根据点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点，作轴于，此时，从而可得，设，则，，由，得出，求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 将，代入二次函数的解析式可得， ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵点是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵轴交直线于点， ∴，， ∴， ∵点作交直线于点， ∴，， ∴周长 ， ∵， ∴当时，周长最大为，此时， ∴； 如图，将点沿直线方向平移个单位长度得到点，连接、、， ∵直线的解析式为， ∴点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，则 由平移的性质可得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴的最大值为； （3）解：∵将点向下平移一个单位长度得到点， ∴， 抛物线关于原点对称的解析式为， ∵将抛物线关于原点对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴将抛物线关于原点对称后向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点，作轴于， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴点的横坐标为． 4．（2026·山东德州·一模）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的对称轴． (2)过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点，求的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得抛物线的解析式，然后利用二次函数的性质求对称轴即可； （2）由题意可知，，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出t的值即可； （3）先求出新函数的顶点坐标为，当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为；再画出图形，并根据图形求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得：； ， 对称轴为直线． （2）解：由（1）知：抛物线解析式为， 点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，，的纵坐标均为， 又点为线段的中点， ， ， ， 代入，得：， ． （3）解：， 抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线，之间时，，为直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又直线，之间的距离为9，为定值， 当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： 当时，解得：，，即：， 的最大值为：． 题型02 二次函数图象与系数判断 析典例·建模型 1．（2026·山东济南·一模）定义：对于平面直角坐标系中的点和点，若将点绕点顺时针旋转后得到对应点，则称对应点为点关于旋转的“正旋点”，特别的，当时，点为点关于点的“正垂旋点”． (1)已知点的坐标为，若点的坐标为，点关于点的正垂旋点坐标是_________；点关于点旋转的正旋点坐标是_________； (2)直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图1，点是该直线上一动点，若点关于点的“正垂旋点”横坐标为6，此时点的坐标为_________； ②如图2，若该直线上动点关于点的“正垂旋点”为点，反比例函数的图象恰好经过点，请你求出此时点的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点，连接，当时，请你判断点是否为点关于点旋转的“正旋点”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②的坐标为或；③点不是点关于点的的“正旋点”，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，利用旋转的性质得出相等的边，利用等边三角形的判定和性质以及勾股定理进行求解； （2）①假设点关于点的“正垂旋点”为点，过点作轴于点， 根据直线解析式求出点的坐标，确定线段的长度，证明，根据对应边成比例求解； ②作轴于点，轴于点，证明，得出，设点的坐标是，则，表示出的坐标为，然后代入反比例函数解析式求解即可； ③过点作，且，连接交抛物线于，过点作轴于点，则，证明，得出，求出直线的解析式为，联立解析式求出点的坐标为，然后根据勾股定理求出，，进行比较即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，若点的坐标为，根据旋转的性质得， ∴点关于点的正垂旋点坐标是； 如图所示，令点为点关于点旋转的正旋点，过点作轴于点， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴点关于点旋转的正旋点坐标是； （2）解：①如图1所示，假设点关于点的“正垂旋点”为点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； 当时，， 解得， ∴， ∴； ∵点的横坐标为6， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上一动点， ∴点的横坐标为， 将代入得， ， ∴点的坐标为； ②如图所示，作轴于点，轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标是，则， ∴，， ∴的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好经过点， ∴， ∴， 解得：． ∴的坐标为或； ③如图3，过点作，且，连接交抛物线于，过点作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立解析式得， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为． ∵，， ∴， ∴点不是点关于点的的“正旋点”． 研考点·通技法 考查知识点结合： 系数a, b, c与图象关系；判别式；特殊点的函数值 通用思路：“看开口→看对称轴→看交点→看特殊点”。 1. 开口方向：开口向上；开口向下。 2. 对称轴：。利用对称轴判断b与a的符号关系（左同右异）。 3. 与y轴交点：在处，其正负决定c的符号。 4. 与x轴交点：交点的个数由决定。 5. 特殊点：当时，；当 时，。根据图象上这些点的位置，判断代数式的正负。 方法技巧：图象中给出的对称轴、过原点的点、与坐标轴的交点等信息都是关键突破口。 破类题·提能力 2．（2025·山东济南·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D．          (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点E，满足，求点E的坐标； (3)如图3，点F为x轴上一动点，连接，当最大时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)，顶点 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再将抛物线一般式化成顶点式即可得出点D的坐标． （2）分两种情况，当点E在x轴上方的抛物线上，和点E在x轴下方的抛物线上，画出图形，根据分解求解即可． （3）延长到点M，利用待定系数法求出的解析式，进而可得出点M的坐标，根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ 解得 ∴抛物线 ∴顶点 （2）解：如图， ∵ ∴， 设直线的解析式为，将点D的坐标代入得： ， ∴直线的解析式为 联立， 解得：（舍）或 ∴； ②∵ ∴当时， ∴ ∵ ∴直线 如图，设交于点G ∵ ∴， 设 解得 解得 设直线的解析式为， 则， 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：（舍）或 ∴； （3）解：延长到点M， ，， ∴设的解析式为： 把代入，可得出， ∴的解析式为：， 当时，则， ∴， ∴， 根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数角度综合题，相似三角形的判定和性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 3．（2025·山东临沂·一模）在平面直角坐标系xOy中，点在二次函数的图象上， (1)用含的代数式表示______________________； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数有最大值为4 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点形成的“弦长”问题． （1）将点代入即可求解； （2）确定二次函数解析式，由于对称轴直线，开口向上，再根据二次函数的性质即可求解； （3）设的图象与直线交点为．联立解析式得，则，由根与系数的关系代入得到，而，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意将点代入得：， ∴ （2）解：由（1）得 二次函数解析式： 对称轴为直线 当时，函数有最大值为； （3）解：设的图象与直线交点为． 则有， 联立解析式得，即， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 即． 4．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)一个二次函数的图象经过B，C，三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O，B不重合）． ①若D点的坐标为，求t的值； ②用t表示和，并求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①；②，，的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性和最值是解题关键． （1）令，求出的值即可得点，的坐标，再根据二次函数的顶点式即可得顶点的坐标； （2）①先求出二次函数的对称轴为直线，再根据点，关于对称轴对称可得，由此即可得； ②设点的坐标为，根据二次函数的对称性可得，则，再求出，的值，然后求出，利用二次函数的性质求最值即可得． 【详解】（1）解：令，则 解得或， 二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）， ，， 二次函数的顶点为， ； （2）解：①由（1）可知，，， 这个二次函数的图象经过点，， 这个二次函数的对称轴为直线， 又这个二次函数的图象经过点，， 点，关于对称轴对称， 解得； ②由题意，设点的坐标为， 这个二次函数的图象经过点，， 这个二次函数的对称轴为直线， 又这个二次函数的图象经过点，， ， ， ， 点在线段上（与点O，不重合）， ，， 又点在线段上（与点O，不重合）， ， ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为， 综上，，，的最大值为． 题型03 二次函数与方程、不等式 析典例·建模型 1．（2026·山东日照·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于、两点，若线段，求的取值范围； (3)若定义：当在抛物线的对称轴同一侧，且满足时，称为二次函数的黄金区间．请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，黄金区间为 【分析】（1）把代入求得a的值即可解答； （2）先求得平移后新的函数解析式，再求出新函数解析式于x轴的交点坐标，再根据线段列关于t的不等式求解即可； （3）分对称轴左侧和右侧两种情况，结合函数增减性和黄金区间的定义，建立方程或方程组，求解并判断是否有符合条件的区间即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为． （2）解：抛物线向下平移个单位后的函数解析式为， 令，则． 设方程的两根为​，则． 由根与系数的关系可得， ∵， ∴，即，解得：． 所以 t 的取值范围为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线，开口向上，顶点为． ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 黄金区间定义： 在对称轴同一侧，且． ①区间在对称轴右侧（），此时y随x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴m，n 是方程 的两个根，解得， ∴，即； ②区间在对称轴左侧，此时y随x的增大而减小； ∴当时，，当时，， ∴​ 两式相减： ， ∵，即， ∴，即， 将代入得，即， ∴， ∴方程无实根，故左侧不存在黄金区间． 综上，存在黄金区间，为． 研考点·通技法 考查知识点结合： 函数与x轴交点；图象法解一元二次方程；函数值比较 通用思路：“设点坐标→表示线段长/点→建立几何关系方程→解方程并检验”。 1. 设点坐标：通常设出抛物线上或直线上动点的坐标。 2. 表示线段长：利用两点的横坐标或纵坐标之差的绝对值表示水平或竖直线段；利用两点间距离公式表示任意线段。 3. 建立几何关系：将题目中的几何条件（如等腰、垂直、平行四边形等）转化为关于x的方程。 4. 解方程并检验：解方程求x，代入解析式得y，最后必须检验点是否在图象上、三角形或四边形的顶点是否存在、图形是否合理（如面积是否有意义）。 破类题·提能力 2．（2026·山东潍坊·一模）已知二次函数，其中k为常数． (1)证明：不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； (2)将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度，得到的新二次函数的图象与x轴的交点分别为，，且，记线段的长度为d，求d的最小值； (3)该二次函数与一次函数的图象交于点M，过点作x轴的垂线，分别交二次函数和一次函数的图象于点P、Q，若，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)或 【分析】（1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）根据二次函数的平移规律得到新的二次函数解析式，令，由韦达定理可得，，从而得出，即可得解． （3）先表示出点、的坐标，从而得出，联立二次函数与一次函数，求出交点坐标，从而得出，再根据，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，即， 不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； （2）解：， 将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度， 得到的新二次函数为， 令，则， ∵新二次函数的图象与x轴的交点分别为，， ∴，， ， ∵记线段的长度为d， ， 的最小值为1； （3）解：当时，， 当时，， ，， ， 联立， 整理得：，即， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，． 综上可知，k的值为或． 3．（2026·山东青岛·一模）已知二次函数，其中c，d为两个不相等的实数，与y轴交点坐标为． (1)当时，求n的值； (2)当时，点在该函数图像上，且，求整数n的值； (3)若，对于该函数图像的顶点坐标，满足，求的取值范围． 【答案】(1)12 (2)1，2，3，4 (3) 【分析】（1）将，代入解析式求解即可； （2）分别表示出，根据得出，根据得出，则，根据抛物线与y轴交点坐标为，得出，进而求得n的取值范围，即可确定n的整数值； （3）根据题意可得，根据函数图像的顶点坐标，得出，根据得出，进而求得的取值范围． 【详解】（1）解：当时，二次函数． ∵函数与y轴交点坐标为， ∴． （2）解：当时，二次函数， 已知点在该函数图像上，则，， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，即． ∵函数与y轴交点坐标为， 当时，． ∵， ∴， ∴，即， ∴整数n的值为1，2，3，4． （3）解：∵二次函数，函数与y轴交点坐标为， ∴当时，． 当，即时，， 该函数图像的顶点坐标， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 4．（2023·山东·模拟预测）已知二次函数（n为正整数），将n取1，2，3，…，n时，函数，，，…，的系列图像称为“抛物线簇”． (1)求的图像的顶点与x轴两个交点的坐标； (2)“抛物线簇”中某条抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成的三角形是直角三角形，求n的值； (3)设“抛物线簇”中相邻两抛物线与x轴的左交点之间的距离为，与直线的交点不在y轴上，且两交点之间的距离为．试判断当n取不小于4的任意两个相邻整数时，和是否都相等？请说明理由． 【答案】(1)，、 (2)1或5 (3)．理由见解析 【分析】（1）当时，代入求解即可； （2）抛物线与x轴的交点坐标分别为、，故两点之间的距离为，根据题意，得抛物线顶点坐标为，故抛物线的顶点坐标在直线上，故抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成的三角形是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，整理后解方程即可； （3）根据题意，得，证明即可． 【详解】（1）解：当时，， 故抛物线的顶点为， 令， 故， 解得， 故抛物线与x轴的交点坐标分别为、； （2）解：令， 故， 解得， 故抛物线与x轴的交点坐标分别为、， 故两点之间的距离为， ， 则抛物线顶点坐标为， 故抛物线的顶点坐标在直线上， 故抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成的三角形是等腰三角形， 又因为抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成的三角形是直角三角形， 故抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成的三角形是等腰直角三角形， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半且， ， ， 或， 整理，得，或， 解得或；或或， 当时，抛物线与x轴的交点坐标为，只有一个交点，与题意要求不相符，舍去， 故n的值为1或5； （3）解：．理由如下： 当时，抛物线、与x轴的左交点分别为，， 令， 解得，， ∵由题意知：， 故抛物线与直线的交点横坐标为， 同理：抛物线与直线的交点横坐标为， 由于“抛物线簇”中相邻两抛物线与x轴的左交点之间的距离为，与直线的交点不在y轴上，且两交点之间的距离为． ∴，， ∴． 题型04 二次函数的实际应用 析典例·建模型 1．（2026·山东菏泽·一模）项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中的精准设计问题，开展实践探究． 项目主题：合理设计，智慧泉源——基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌．如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课题．数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计  智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖”的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米． (1)求上边缘拋物线的函数解析式； 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即抛物线的开口方向和开口大小不变），下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到．为判断浇灌效果，将绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的水平距离为米． (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见详解 【分析】（1）根据题意得到，抛物线过点，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，设上边缘抛物线向左平移，且抛物线过点，代入计算得到平移后的解析式，再令，解一元二次方程即可求解； （3）根据题意，当米时，米，把代入上边缘抛物线计算出高度，再与绿化带横截面的比较即可求解． 【详解】（1）解：喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米， ∴，抛物线过点， ∴设抛物线解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到， ∴设上边缘抛物线向左平移， ∴平移后的抛物线解析式为：， 把代入得，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴平移后的解析式为， 令时，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴； （3）解：洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下， 当米时，米， 当时，， ∵， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 研考点·通技法 考查知识点结合： 利润最大化；面积最值；抛物线的运动轨迹（抛射） 通用思路：“设点坐标→表示线段长/点→建立几何关系方程→解方程并检验”。 1. 设点坐标：通常设出抛物线上或直线上动点的坐标。 2. 表示线段长：利用两点的横坐标或纵坐标之差的绝对值表示水平或竖直线段；利用两点间距离公式表示任意线段。 3. 建立几何关系：将题目中的几何条件（如等腰、垂直、平行四边形等）转化为关于x的方程。 4. 解方程并检验：解方程求x，代入解析式得y，最后必须检验点是否在图象上、三角形或四边形的顶点是否存在、图形是否合理（如面积是否有意义）。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到． 建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)求左侧抛物线的表达式，并求点离地面的高度； (2)直接写出右侧抛物线的表达式； (3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点，点在抛物线上，点，点在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ (4)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用和两根斜拉钢梁加固，其中，为两抛物线的顶点，，在抛物线上，且和交于点，求需用钢梁的总长度． 【答案】(1)，点的离地高度为 (2) (3)米 (4)米 【分析】（1）由题意，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式，由题意可知点的横坐标为12，代入即可求解点的离地高度； （2）由题意可得，段抛物线顶点坐标为，，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式； （3）设，则，，，设钢材长度为米，根据即可求解； （4）先求出的表达式为，联立抛物线即可求得的长，再根据对称性即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ， 由题意知：， ∴点的横坐标为12， 当时，， ∴抛物线的表达式为，点的离地高度为． （2）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为，， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （3）解：抛物线的表达式， 设，则，，， 设钢材长度为米，则： ，抛物线开口向下， 当时，． ∴最多需要米钢材． （4）解：由（3）可知，，，设直线的表达式为， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 由， 解得，， ， ， ∴由对称性知需用钢梁的总长度为米． 3．（2026·山东青岛·一模）学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为． (1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式； (2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ (3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）分当洗手液恰好落到手心左端M和洗手液恰好落到手心右端N两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线过、两点． 把、代入， 得： 解得： 所以洗手液轨迹的函数关系式为． （2）解：令，得． 解得或（舍去）． 与喷口水平距离为cm． 故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离的位置． （3）解：由题意得，点M横坐标为，点N横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∵，抛物线开口向下； ∴在时，y随x增大而减小． ∴手心离台面的高度h的范围是． 4．（2026·山东青岛·一模）某智慧网球馆部署了鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点正上方米的点将球击出，球在距离发球点水平距离米处达到最高，最高点距离地面米．在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球与原点的水平距离． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知球网高米，发球点到球网的水平距离为米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到米） (3)鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点米处准备接球．已知小亮的有效接球高度范围为米至米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动米（）才能击到球．那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)球离球网顶端的高度差为米 (3)的最小值是2米 【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，把代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求得，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入可得， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意，把代入得， ， ， ∴球离球网顶端的高度差为米． （3）解：由题意，把代入得，， 解得，（舍去）， （米）， ∴的最小值是米． 题型05 二次函数与线段、面积的最值问题 析典例·建模型 1．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数的图像经过点，，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最小值为，求该函数的表达式； (3)若，当时，y的最小值是， ①当时，求y的最大值，并写出取得最大值时点的坐标； ②在①中y取最大值时的点为C，设过点A，C的直线为，垂直于x轴的直线分别交直线和抛物线于点M，N，求线段MN的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①，此时点 ②36 【分析】（1）二次函数图像上，纵坐标相等的两点、关于对称轴对称，先求对称轴，再结合对称轴公式求解； （2）利用二次函数最值公式列出方程，解出得值即可； （3）①当时，y的最小值是，可得，写出二次函数解析式，开口向上的抛物线，离对称轴更远，最大值在处取得，把代入二次函数解析式即得点的坐标； ②把代入二次函数解析式，求出点的坐标，通过点和点坐标求出直线 的解析式，直线与直线、抛物线的交点为点，，利用两点纵坐标的差得到线段的长度为，求二次函数 在内的最大值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴对称轴为直线， ， ． （2）∵二次函数最小值为， ∴， 由（1）可知：， 化简得， 解得：． ∵二次函数有最小值， ∴， ∴， ∴， ∴函数表达式为． （3）①若，时，，且由（1）可知：， 即时，， ， ∴， 当时，时，取最大值，， 此时点． ②把代入， ， 设直线表达式为， 将，代入， 解得：， ∴． ∴，， 令， 得，， ∴当时，， ∴点在点上方， ， ∴当时，取最大值36． 研考点·通技法 考查知识点结合： 铅垂法；水平宽×铅垂高；二次函数配方法求最值；胡不归、阿氏圆模型 通用思路：“铅垂法＋配方法”。 铅垂法求面积： 关键步骤： 1. 求出直线AB的解析式。 2. 设出C，表示出D。 3. 计算铅垂高。 4. 计算面积。 5. 对S进行配方，利用二次函数性质求出最值及此时x的值。 破类题·提能力 2．（2023·山东日照·二模）二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接、交于点，过点作轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，当时，求直线的解析式； (3)如图2，连接，请判断是否有最大值，如有请求出最大值及有最大值时点的坐标，如没有请说明理由 【答案】(1) (2)直线的表达式为． (3)有最大值，此时 【分析】（1）将，代入中，列出关于、的二元一次方程组，求出、的值即可； （2）设与轴交于点，根据轴可知，，当，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点的坐标，用待定系数法确定出的函数解析式即可； （3）设与交于点，过作轴的平行线与相交于点．由、两点坐标可得所在直线表达式，求得 点坐标，则，易得，，设，则，，根据二次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）设与y轴交于点，   轴， ， ， ， ， ，设， 则，， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 设所在直线表达式为 解得 ∴直线的表达式为． （3）设与交于点N． 过作轴的平行线与相交于点．    由、两点坐标分别为， 可得所在直线表达式为 ∴点坐标为， 由，可得， 设，则 ， ∴当时，有最大值， 此时点坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键． 3．（2024·山东东营·一模）如图①，抛物线经过点，点和点，它的对称轴为直线l，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图②，点P是直线下方该抛物线上的一个动点，连接，当的面积取得最大值时，在抛物线对称轴l上找一点M，使的值最大，求点M的坐标，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，几何图形面积的计算方法，二次函数最值的计算方法是解题的关键． （1）将点，点，点代入，即可求解； （2）过P点作x轴垂线交于点Q，直线的解析式为，设，则，，当时，有最大值，即可求P点坐标； 【详解】（1）解：将点，点，点代入， 得， ∴， ∴； （2）解：过P点作x轴垂线交于点Q，设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， ∴， ∵，点B关于对称轴的对称点为， ∴，与对称轴的交点即为， ∴，， ∴． 4．（2024·山东临沂·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．    (1)填空：a＝_____，点B的坐标是______； (2)连接，点M是线段上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作轴，垂足为H，交于点F，点P是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点P向下平移个单位得到点Q，连接，把绕点O顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）将点代入，求得a，再令，解方程即可得出答案； （2）将（1）中所得的解析式写成顶点式，则可得点D的坐标，用待定系数法求得直线的解析式，设点，利用等角的三角函数值相等得出，利用二次函数的性质求出使的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点，则，过F作的垂线段交y轴于点P，可得，连接，设交y轴于点J，利用的面积计算出即可； （3）由（2）求出点Q的坐标，取的中点G，在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可使得，分四种情况计算即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴点B的坐标是； 故答案为：，； （2）解：∵ ， ∴点，点， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得，， ∴， 设点， 由图形可知，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时，， 在x轴上取点，则，过F作的垂线段交y轴于点P，此时， ∴， ∴当点F，P，G三点共线时，有最小值为， 而此时点P不在线段上，故不符合题意， ∴的最小值为的长度， ∵点，点， ∴， ∴当的周长取得最大值时，的最小值为；    （3）解：存在． 由（2）可知，点， 将点P向下平移个单位得到点Q， ∴点， 在中，，则， 取的中点G，则有， ∴在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可使得， 如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点作轴，垂足为I， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则有： ， ∴，则点， 同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点； 当点G在y轴负半轴上时，点； 当点G在x轴负半轴上时，点． 综上，点的坐标为．      【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、直角三角形的性质与解直角三角形等知识点，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型06 二次函数与特殊三角形的存在性 析典例·建模型 1．（2025·山东淄博·二模）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连结，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点，若满足为直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，点为线段上一动点（不与端点重合），连结并延长交抛物线于点，连结并延长交抛物线于点，设面积为，面积为，求的值． 【答案】(1) (2)点为或． (3)9 【分析】（1）已知抛物线与轴两个交点坐标，将其代入抛物线一般式，通过解方程组求出系数和，进而确定抛物线解析式. （2）先得出抛物线顶点坐标及直线上点的纵坐标，因为为直角三角形，直角不确定，所以分、、三种情况．每种情况都通过角之间的等量关系证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例列方程求解点坐标． （3）设出点坐标，分别求出直线、解析式，然后与抛物线方程联立，求出点、坐标．通过用含的式子表示和的面积、，最后求的值． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得 解得 抛物线的解析式为 （2）解： 顶点 设 为直角三角形 ①当时，作轴 ， 又 ②当时，作，直线与轴交于点． ， 又 方程无解 此时不存在 ③当时， ， 又 满足条件的点为或． （3）解：设，直线的解析式为 将代入，得 直线的解析式为 联立方程，得 即 整理得， 解得， 当时， 点的坐标为 设直线的解析式为 将代入， 得 直线的解析式为 联立方程，得 即 整理得， 解得，， 当时， 点的坐标为 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，包括用待定系数法求抛物线解析式；相似三角形的判定与性质；直线解析式的求解及直线与抛物线交点坐标的求法；三角形面积的计算．解题关键在于：第（1）问准确代入求解系数；第（2）问全面分类讨论直角情况，利用角的关系找相似三角形；第（3）问正确求出直线解析式并与抛物线联立求交点，再用合适方法表示三角形面积并化简求值． 研考点·通技法 考查知识点结合： 勾股定理；两点间距离公式；“两圆一线”（等腰）；“两线一圆”（直角）；相似 等腰三角形： “两圆一线”。两圆（以两个点为圆心，定长为半径的圆）和一线（已知线段的垂直平分线）的交点即为所求的第三个顶点。 直角三角形： “两线一圆”。两条线（过已知两点作垂线）和一个圆（以已知线段为直径的圆）的交点即为所求的第三个顶点。 方法技巧： 先设出点坐标，再用两点间距离公式表示出各边长度，根据边相等（等腰）或勾股定理（直角）建立方程。 破类题·提能力 2．（2025·山东·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C． (1)如图，直线与抛物线在第一象限交于点，交于点，交轴于点，于点，若为的中点，求的值． (2)直线与抛物线交于，两点，其中．若且，结合函数图象，探究的取值范围． (3)已知二次函数． ①若该函数的取值恒为非负数，求实数的取值范围． ② 当，该二次函数的增减性不发生变化， 求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质等知识，解题的关键是用含的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度、分类讨论思想的应用． （1）根据直线与抛物线在第一象限交于点，交于点，交轴于点，设，且，则，，从而，，而是等腰直角三角形，可得，是等腰直角三角形，即可列，解得或（舍去）； （2）由得或，①若，即，根据且，可得，且，即解得；②若，即，可得：且，即解得； （3）①根据抛物线的性质即可解答； ②根据抛物线的性质即可解答． 【详解】（1）解：在中，令得，令得或3， ，，， 设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为， ∵直线与抛物线在第一象限交于点D，交于点E，交x轴于点F， 设，且，则，， ∴，， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， 解得或， ∵时，D与A重合，舍去， ∴； （2）解：由得：或， 若，即， ∵且， ∴，且， 解得； 若，即， 可得：且， 解得． 综上所述，n的取值范围是或． （3）解：①由条件知抛物线落在轴上方或与轴只有唯一一个交点, 设，则, 即， 可得， 设， 得，解得， 则与轴的交点为， 开口向上， 当时，解得． ②由抛物线的对称轴是直线, 由题意可知:或, 解得或． 3．（2025·山东临沂·一模）如图，已知抛物线 经过点，与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，点 P 的坐标为，点 Q 在该抛物线上，横坐标为．其中． (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)点 M 是对称轴上的动点，当 是以为底的等腰三角形时， 求 M 点坐标； (3)当抛物线在点B和点Q之间的部分（包括 B 、Q 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值． 【答案】(1)， (2)M点坐标为 (3)m的值为1或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）根据 是以为底的等腰三角形，得到，进行求解即可； （3）分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：， ∴， ∴，顶点坐标为：； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，解得：， ∴，， 当时，， ∴， ∴， 设，则：， 由题意，得：， 解得：（舍去）， ∴； （3）当时，， ∴， ∵， ∴， ∴点在对称轴的左侧， 当时，最高点为顶点，最低点为点，则：， 解得：； 当时，最高点为顶点，最低点为点，则：， 解得： ，（舍去）； 综上：m的值为1或． 4．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)面积的最大值为，此时D点坐标为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 题型07 二次函数与特殊四边形的存在性 析典例·建模型 1．（2026·山东淄博·一模）如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)的和的最大值为，点的坐标为 (3)当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）通过论证为等腰直角三角形，得到， 即当取得最大值时，有最大值，设点，求解的最大值即可； （3）分情况讨论四边形为平行四边形和四边形为平行四边形时的点坐标即可. 【详解】（1）解：如图，，，， ， 将、代入， 得， 解得， ， 二次函数的解析式为 ； （2）解：令，得， ， 设直线的解析式为， 代入，解得， 直线的解析式为 ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当取得最大值时，有最大值， 设点，则， ， ∵，， 当时，有最大值， 的和的最大值为，点的坐标为 ； （3）解：①当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， ， ∴二次函数顶点为， ∵， ，， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， ，， ， ， 设，则， ， ， ； ②当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， 二次函数顶点为，， ，， ， ， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， ， 过点作轴于点， ，， ， ，， ∴， ； 综上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或. 研考点·通技法 考查知识点结合： 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定；中点坐标公式；平移；点的存在性 平行四边形： 1. 方法一：对角线平分。 2. 方法二：对边平行且相等。利用平移，将一条对角线上的点平移到另一对角线上。 矩形/菱形/正方形：在平行四边形的基础上，附加条件，如： 1. 矩形：对角线相等或一个内角为直角。 2. 菱形：一组邻边相等或对角线互相垂直。 3. 正方形：矩形且菱形。 破类题·提能力 2．（2022·山东东营·模拟预测）如图，已知二次函数的图像经过点，顶点为B，一次函数的图像交y轴于点M，P是抛物线上一点，点M关于直线的对称点N恰好落在抛物线的对称轴直线上（对称轴直线与x轴交于点H）． (1)求二次函数的表达式； (2)求点P的坐标； (3)若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E，连接，点F是线段上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)P1， (3) 【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）先由勾股定理以及对称可得，由，得到．由对称可得，则，过点P作于Q，交y轴于R．设点，当点N在上方时，，由建立方程求解即可；当点N在下方时，同理可求即可； （3）过F作于C，于T，交x轴于点S，证明，则，，设，，则，那么．化简整理，得，而，则，化简整理，得，得到方程，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解这个方程，得， ∴二次函数的表达式是； （2）解：对于，当时， ∴一次函数的图像交y轴于点， ∴， ∵， ∴， 由对称可得． ∵， ∴， ∴． 由对称可得， 则， 过点P作于Q，交y轴于R．设点， ①如图1，当点N在上方时，则 ∴， 由得，． 解得（舍去），， ∴． ②如图2，当点N在下方时，同理， 由得，． 同理可得（舍去），． ∴， 综上：点P的坐标为或； （3）解：如图3，过F作于C，于T，交x轴于点S． 则 ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∴，， 设，， ∴， ∴， 则． ∴． 化简整理，得， ∵，对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∵轴 ∴， ∴， 即， 化简整理，得． ∴， 解得（舍去），． ∴，解得（舍去），． ∴． 3．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点，直线与轴正半轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在第四象限对称轴右侧抛物线上，点在坐标平面内，四边形是面积为3的平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与抛物线交于点，与轴交于点．若点为抛物线对称轴上一点，点为轴上任意一点，且，当点在线段（含端点）上运动时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）连接，过点作轴交于点，根据四边形是平行四边形，且面积为，得出，进而待定系数法求得直线的解析式，得出点的坐标，设，则，得出的表达式，解方程，得出点的坐标，进而根据平行四边形的性质，求得点的坐标； （3）过点作于点，分别求得，，依题意，，设其中，根据已知得出，则得出，即，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得 解得 ∴． （2）连接，过点作轴交于点 四边形是平行四边形，且面积为 ∴ ∴． 设直线的解析式为 代入，，得 解得： ∴的解析式为： ∴． 设，则 ∴， ∴（舍）， ∴ ∵四边形是平行四边形， 又，， ∴即． （3）解：当时， ∴， ∵ ∴， 依题意，， 如图，过点作于点 设其中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴当时，， 当时， ∴的取值范围是． 4．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式为； （2）设点，则点，可得，利用二次函数的性质即可求得答案； （3）设，分三种情况：①当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；②当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；③当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案． 【详解】（1）解：将 分别代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图1，设点，则，   ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或， ． ∵，且， ∴当时，取得最大值， 把代入，得， ∴； （3）解：， ∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时， 设，分三种情况：    ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ． 综上，点 的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质，中点公式的应用，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题． 题型08 二次函数与角度关系 析典例·建模型 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 研考点·通技法 考查知识点结合： 三角函数；相似三角形；全等三角形；旋转 通用思路：“设点坐标→表示线段长/点→建立几何关系方程→解方程并检验”。 1. 设点坐标：通常设出抛物线上或直线上动点的坐标。 2. 表示线段长：利用两点的横坐标或纵坐标之差的绝对值表示水平或竖直线段；利用两点间距离公式表示任意线段。 3. 建立几何关系：将题目中的几何条件（如等腰、垂直、平行四边形等）转化为关于x的方程。 4. 解方程并检验：解方程求x，代入解析式得y，最后必须检验点是否在图象上、三角形或四边形的顶点是否存在、图形是否合理（如面积是否有意义）。 破类题·提能力 2．（2024·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图2，已知经过点的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，连接，，．当时，求点的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，将直线与轴的交点F向下平移个单位长度得到点． 连接，求的度数； 将绕点O逆时针旋转一定的角度得到，直线与轴交于点．设点为平面直角坐标系内的任意一点，问在旋转过程中是否存在某个位置，使得四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为；顶点的坐标为 (2) (3)；存在，所有满足条件的点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，在上取一点G，使，连接，过点A作，交抛物线于点E，，此时点D到直线的距离等于点B到直线距离的倍，即，根据两点间距离公式先求出，从而求得直线的解析式和直线的解析式，联立即可求解； （3）先求出点的坐标，根据即可求解；根据菱形的性质得到， ，再根据含角直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，设抛物线的表达式为， 把代入得：，解得， 抛物线表达式为， 顶点的坐标为； （2）解：连接，在上取一点，使，连接，过点作，交抛物线于点， ，此时点到直线的距离等于点B到直线距离的倍，即， ，， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设， ，解得或（舍）， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 代入得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍）， 当时，， ； （3）解：直线的解析式为， 令，得， ， 将直线与轴的交点向下平移个单位长度得到点， ， ， ； 由旋转的性质可得：，， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， 或； 综上所述：所有满足条件的点的坐标为或． 3．（2024·山东潍坊·一模）已知边长分别为4和3的两个等边三角形和，有如下操作，请作答问题．    (1)如图1，的顶点C是的边的中点，平行，交于点M，交于点N． ①______； ②将图1中的固定，绕点C顺时针旋转（），在旋转过程中的值是否有变化？请说明理由． (2)如图2，和顶点C与D重合，边在的角平分线上．将图2中的沿方向以每秒1个单位的速度平移，的延长线交于点G，点E运动到点G时停止，，与分别相交于H，I，如图3．设的移动时间为x秒，和重叠部分的面积为y，直接写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (3)如图4，将图2中的绕点C（D）顺时针旋转一定的角度，连接，，分别取，的中点M，N，连接，，．求证：是等边三角形． 【答案】(1)；没有变化，理由见详解 (2)， (3)见详解 【分析】（1）①证明，可得，即，问题得解；②按照①的方法，同理可得； （2）如图，过点D作于点K，根据运动的特点可知：，，先证明，，即可得，，进而可得，则有，再表示出， ， ，可得，结合 ，可得，问题得解； （3）证明，再根据全等三角形中对应边上的中线也相等有：，将绕点C旋转即可得到，且旋转角为即将绕点C旋转即可得到，可得，问题随之得证． 【详解】（1）①∵和是等边三角形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵等边和等边的边长分别为4和3，点C是的边的中点， ∴， ∴， 故答案为：； ②的值不变化，， 理由：按照①的方法同理可证； （2）如图，过点D作于点K，    根据运动的特点可知：，， ∵平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的边长为3， ∴， ∴， ∵等边的边长为4， ∴高线， 当点E与点G重合时，， ∴， ∴， 当点D与点C重合时，， ∴， ∴自变量x的取值范围为， 综上：，； （3）∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∵，的中点分别M，N， ∴是中边上的中线，是中边上的中线， ∵， ∴根据全等三角形中对应边上的中线也相等有：， ∵， ∴将绕点C旋转即可得到，且旋转角为 ∴将绕点C旋转即可得到， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含角的三角形的性质，以及一元二次函数等知识，灵活运用旋转的性质解答第三问，是解答本题的关键． 4．（2024·山东济南·二模）如图，已知抛物线：与y轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为O点，抛物线的对称轴交x轴于A点．    (1)抛物线的关系表达式； (2)若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当时，求点P的坐标； (3)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的关系表达式为； (2)点P的坐标（4，1）或 (3)存在，或或或． 【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力． （1）由对称轴方程可求出，由点代入可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，过点作轴于点，过点作轴于点得证明可求出，再列式得，求出，从而可得结论； （3）求出点E坐标，设分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，以邻边相等求出，根据中点坐标公式求出的值即可解决问题 【详解】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点， ∴； ∵抛物线扔对称轴为直线． ∴， ∴ ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线的对称轴交x轴于A点， ∴ 设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为 ∵ ∴ 设，过点作轴于点，过点作轴于点则，    ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，， 当时，； 当时，； ∴点的坐标为； （3）解：∵ 向左平移两个单位后抛物线的解析式为， 联立， 解得， ∴, ∵抛物线的对称轴为直线 ∴可设 ①为邻边，为对角线时； ； 又, ∴ 解得， ∴ 又的中点坐标为即 ∴， ∴ ∴； ②为邻边，为对角线时， 又 ∴ 解得， 当时， 的中点坐标为， ∴ ∴ ∴； 当时， 的中点坐标为， ∴ ∴ ∴； ③为邻边，为对角线 又， ∴ 解得，（C、E、F三点共线，不符合题意舍去）， ∵ ∴的中点坐标为 ∴ 解得， ∴, 综上，点H 的坐标为或或或． 题型09 二次函数与动态几何、图形变换 析典例·建模型 1．（2025·山东济南·一模）抛物线交x轴于，B两点（B在A的右侧），交y轴于点，M是第四象限内抛物线上一动点． (1)求此抛物线的表达式； (2)如图1，连接，过动点M作，垂足为点D，连接．当时，求的长； (3)如图2，过动点M作的平行线交y轴于点N，若射线平分线段，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴，垂足为，交于点，证明，得到，求出，进而求出点的坐标，进而求出的长即可； （3）求出直线的解析式，设，平行求出直线的解析式，进而得到点的坐标，中点坐标公式求出点坐标，代入直线的解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：抛物线过 解得： 抛物线解析式为： （2）抛物线与轴交于， 令，则：， ， ∵， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：，把代入得：， 解析式为：， 如图，过点作轴，垂足为，交于点， ， ∴， ∵， ， 又 ， ， 又， ， 设，则 解得： ； （3） 同（2）法可得：直线解析式为： 由（2）知解析式为： 设 设的解析式为：，把代入，得：， 解析式为： 中点为 将代入 得： 解得：（舍）， ． 研考点·通技法 考查知识点结合： 点的运动；图形翻折、旋转、平移；重叠面积 通用思路：“设点坐标→表示线段长/点→建立几何关系方程→解方程并检验”。 1. 设点坐标：通常设出抛物线上或直线上动点的坐标。 2. 表示线段长：利用两点的横坐标或纵坐标之差的绝对值表示水平或竖直线段；利用两点间距离公式表示任意线段。 3. 建立几何关系：将题目中的几何条件（如等腰、垂直、平行四边形等）转化为关于x的方程。 4. 解方程并检验：解方程求x，代入解析式得y，最后必须检验点是否在图象上、三角形或四边形的顶点是否存在、图形是否合理（如面积是否有意义）。 破类题·提能力 2．（2023·山东泰安·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，已知动点在直线上方的抛物线上，动点在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，求到的距离最大值及此时的点坐标； (3)连接、，请直接写出当为等腰直角三角形时点的坐标． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，点到的距离取得最大值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出点、的坐标，再根据待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作于点，交于点，过点作于点，根据勾股定理求得，易证∽，根据相似三角形的性质可得，因此当有最大值时，有最大值，设点，则，于是可得，根据二次函数的性质即可得当时，取得最大值，求出此时点的坐标和的长度即可求解； （3）分两种情况讨论：当时，过点作轴于点，过点作轴，交的延长线于点，易证≌，得到，，设，则，，分别可求出，，，进而得到，将的坐标代入抛物线的解析式中，求出的值即可得出点的坐标；当时，过点作轴于点，过点作的延长线于点，同理可证：≌，得到，，设，则，，分别求出，，，于是，将点的坐标代入直线的解析式中，求出的值即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ，， 抛物线经过、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作于点，交于点，过点作于点， ，， ，， 在中，， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 当有最大值时，有最大值， 设点，则， ， 当时，取得最大值， 此时，，， 当点的坐标为时，点到的距离取得最大值为； （3）解：当时，如图，过点作轴于点，过点作轴，交的延长线于点， 则， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和， ， ， ，， 设，则，， ， ， ， ， 将，代入中，得， 解得：不合题意，舍去，， ； 当时，如图，过点作轴于点，过点作的延长线于点， 用理可证：， ，， 设，则，， ， ， ， ， 将点代入中， 得， 解得：不合题意，舍去，， ． 综上，当为等腰直角三角形时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合和分类讨论思想解决问题． 3．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为．    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，在轴下方作轴的平行线，交二次函数图象于两点，过两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，作直线，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为4或6或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解是解题的关键． （1）设出顶点式，将原点坐标代入求解即可； （2）设，对称性得到，根据邻边相等的矩形是正方形，得到，列出方程求解即可； （3）分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：拋物线的顶点为， 设， 将代入得：，解得：， ，即； （2）设，则， 对称轴为直线 ∴， ∴， 由题意，得：四边形为矩形， ∴当时，矩形为正方形， ∴ 解得：（舍）， 把代入得， 当矩形为正方形时，， （3）由（2）可知：． 设直线的解析式为， 将代入，得： 解的：， 直线的解析式为． 联立，解得， 当时，， 点的坐标为，点的坐标为． 以四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且， ，分三种情况考虑： ①当时，如图所示，，   ． ，解得：（舍去），； ②当时，， ，解得：（舍去），； ③， 如图所示， ，    解得（舍去），， 综上所述，当以四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，的值为4或6或． 4．（2023·山东聊城·三模）抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点P为抛物线上的动点．    (1)求b，c的值； (2)若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值； (3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)b=2，c=3 (2)PH取得最大值为 (3)存在，或 【分析】（1）将坐标代入解析式，构建方程求解； （2）设交y轴于点M，，则；待定系数法确定直线的解析式为，从而确定，解得最大值为； （3）如图，设与交于点G，可设直线的解析式为，设点，求得；联立，解得，所以点P的横坐标为，纵坐标为，由二次函数解析式构建方程，解得； 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得：， ∴b=2，c=3； （2）设交y轴于点M，， ∴， ∵轴，∴点H的纵坐标为， 设直线AC的解析式为，∴，解得：， ∴直线的解析式为． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为 （3）存在点N，使直线垂直平分线段，点N的纵坐标为或    如图，设与交于点G， ∵垂直平分，直线的解析式为 ∴可设直线的解析式为 设点，则 ∴， ∴ 联立， 解得 ∴点P的横坐标为，纵坐标为 ∴，解得 ∴点N的纵坐标为或． 【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键． 5．（2023·山东日照·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和，与y轴交于点C，连接．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，在x轴上有一动点D，平面内是否存在一点E，使以点A、D、C、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，点M为抛物线上的一动点： ①若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求周长的最大值； ②若点M为抛物线上的任意一动点，且，请直接写出满足条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在，，，， (3)①，②， 【分析】（1）待定系数法即可完成； （2）分4种情况解决，注意菱形性质的应用； （3）①用含有一个参数的式子表示周长，再用二次函数的最值求法即可解决； ②作辅助线，用待定系数法和两函数图像交点坐标的求法即可解决 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于A（－4，0）和B（1，0） ∴ ∴ ∴该抛物线的解析式 （2）∵以点A、D、C、E为顶点的四边形是菱形 ∴①如图，当为对角线时，点E和点C关于原点对称    ∵点 ∴点 ②如图，当，点D在点A右侧时    ∵点， ∴点 ③如图，当，点D在点A左侧时    ∵点， ∴点 ④当为对角线时，如图所示：    设，则 ∵ ∴ ∴ ∴点 故点E的坐标为：，，， （3）①设 ∵点N在直线∶上 ∴ ∴ ∵过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ 故当时， ②如图，情况一：在上取点 ，连接，延长后交抛物线于点，此时点就是所求的点，理由如下：    ∵， ∴ ∴ ∵设直线为，过点）和 ∴ ∴ ∴直线为 ∵直线与抛物线联立方程组： ∴或 故 情况二：作点关于的对称点，连接，延长后交抛物线于点，此时点就是所求的点，理由如下： 由于点关于的对称点，则 设直线为 ∵，直线为 ∴ ∵直线过点 ∴直线为 ∵解方程组得： ∴点 ∴点 设直线为 ∵直线过点， ∴ ∴ ∴直线为 ∵直线与抛物线联立方程组： ∴或 故 综上，点M的坐标为， 【点睛】本体考查了二次函数的图像和性质，待定系数法，函数图像交点的求法，菱形的性质等，关键是熟练应用数形结合思想． / 学科网（北京）股份有限公司 $