专题06 四边形综合问题（压轴题专练，13大题型+强化训练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题06 四边形综合问题 命题预测 四边形作为初中数学常考的压轴知识点之一，是中考最喜欢考查的知识点;山东省16市中考四边形压轴，以平行四边形、矩形、菱形、正方形为核心，紧扣考纲。常结合折叠、旋转、动点综合考查，融合全等、相似、勾股定理。高频考查线段计算、面积最值、特殊四边形存在性问题，辅以坐标与函数结合，注重分类讨论与几何推理，综合性强。 高频考法 1.平行四边形的判定与性质综合 2.菱形的判定与性质综合 3.矩形的判定与性质综合 4.正方形的判定与性质综合 5.特殊四边形存在性问题 6.特殊四边形中的最值问题 7.特殊四边形中的翻折问题 8.特殊四边形中的旋转问题 典例·靶向·突破 题型01 平行四边形的判定与性质综合 1．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，垂足为点O，交，于点E，F． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求的长； (3)若点P，M分别是，的中点，，交于点K，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）利用垂直于同一条直线的两条直线平行，结合已知平行线，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行证明； （2）先利用等腰直角三角形求出及，进而推出，都是等腰直角三角形，通过平行四边形性质求出，从而得到，最后利用等腰直角三角形性质求； （3）通过作辅助线构造正方形，利用“一线三等角”模型证明，从而将线段和转化为可计算的线段，最后利用勾股定理求解比值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作，垂足为R，作，垂足为S，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∵点P是的中点，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 2．（2026·山东德州·模拟预测）如图，在中，，，分别为，的中点，点，在射线上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）过点作于，利用勾股定理及平行四边形的性质、矩形的性质及判定得出的值，进而求出的长. 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 3．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，是边上的中线，过点D作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证明，再由即可证明结论； （2）根据直角三角形的性质得到，，解直角三角形得到，则，，由平行四边形的性质得到；解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵在中，是边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴； 在中，， ∴． 题型02 菱形的判定与性质综合 4．（2026·山东烟台·一模）综合与探究： 如图，在菱形中，，点P是对角线上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作交BC于点E，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转得到线段PF，点D的对应点F恰好落在射线BC上． 问题解决： (1)线段AP与BE之间的数量关系是________； (2)求的度数． 拓展探究： (3)连接PB，若，，PF与CD交于点G．请直接写出GF的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）四边形是菱形，，得到是等边三角形，平行线切分的小三角形也是等边三角形，等边减等边，得到结果； （2）连接，由菱形的对称性，易得，所以； 由，得，由（1）知是等边三角形，，可证，所以，再证，得，减去公共角，得到最终结果：； （3）连接，交于点O，分两种情况：①当点P在上时，②当点P在上时，分别求解即可． 【详解】（1），理由如下： 四边形是菱形，，， 是等边三角形， ， ， ， ． （2）解：连接，如下图： 四边形是菱形，，， 是等边三角形， 是对角线， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 也是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：连接，交于点O， 由（2）可知：是等边三角形，， 四边形是菱形， ， ， ， ， 分两种情况： ①点P在上，如下图： ， 由（1）可知，， ， 由（2）可知，， ， ， ． ②点P在上，如下图： ， 由（1）可知：， ， 由（2）可知，， ， ， ． 5．（2026·山东烟台·模拟预测）综合与探究： 【问题情境】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点．将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，旋转角为． (1)【操作验证】如图1，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形． (2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当与重合时，连接．若，，请你直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，见解析 (3) 【分析】（1）结合菱形的性质，得，运用旋转的性质得，故是等边三角形； （2）根据四边形是菱形，得，由旋转的性质得，再证明四边形为平行四边形，又因为，故四边形为菱形， （3）运用菱形的性质以及旋转的性质得垂直平分线段，然后结合勾股定理列式得，解得，即可求得，然后在中，运用勾股定理 列式计算，得． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：四边形为菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形； （3）解：连接交于点， 由题意知，， ∴垂直平分线段， ∴，， ∴, 由菱形知，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 题型03 矩形的判定与性质综合 6．（2026·山东济南·一模）在平行四边形中，，点分别为、上的两点． (1)如图1，若，且，则______°，______； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用证明，进一步即可求出答案； （2）在的延长线上取点M，使，证明，即可求解； （3）延长至N，使，证明，得到，再由，得到，由此可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ （2）证明：在的延长线上取点M，使， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长至N，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 8．（2025·山东济宁·模拟预测）课本再现： 定理：有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小颖同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”“求证”，请你完成证明过程． （1）已知：如图1，在四边形中，，求证：四边形是矩形． 知识应用： （2）如图2，在四边形中，，平分，交于点，，是上的一点，且，过点作，交于点，过点作于点． ①求证：四边形是矩形． ②若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）①先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据矩形的判定即可得证； ②设，则，，根据矩形的性质和勾股定理可得，过点作于点，设与交于点，则四边形都是矩形，再根据等腰三角形的性质可得，然后解直角三角形可得，根据等腰三角形的判定可得，设，则，在中，解直角三角形可得，最后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】证明：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）①∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形． ②由题意，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 如图，过点作于点， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型04 正方形的判定与性质综合 9．（2026·山东东营·模拟预测）按要求解答问题： 【初步实践】 (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接，． 求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【迁移探究】 (3)请帮助小明探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不发生变化，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先得出四边形是正方形，进一步得出， 再根据全等三角形的判定定理，即可得证； （2）先过点作于点，作于点，再根据正方形的性质和判定，角平分线的性质，旋转的性质，得出，最后根据全等三角形的性质以及推导角之间的关系，即可解答； （3）先作于点，作于点，作交于点，作于点，再根据等腰直角三角形的判定和性质，得出，进一步得出，进而得出是等腰直角三角形，四边形是矩形，最后利用矩形的性质以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， 又， 四边形是正方形， ，． ， ． （2）解：的大小不发生变化，理由如下： 如图2，过点作于点，作于点， 四边形是正方形， 平分，， ． 又，， ，，， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形， ，． 由旋转得，， 又， ， ． ， ，即， 的大小不发生变化． （3）解：，理由如下： 如图3，作于点，作于点，作交于点，作于点 由（1）（2）可知：，． ， ． ，， ， ． ， ， ， 即． ，， 是等腰直角三角形， ． ， 四边形是矩形， ， ． 10．（2025·山东临沂·一模）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺AEF和一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【初步探究】 如图1，和的数量关系是______． 如图2，连接，，并延长，延长线相交于点，交AD于点． 问题1：和的位置关系______．数量关系______． (2)【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题： 问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． (3)【尝试应用】 问题3：在图4中画出旋转角为的图形，并求出当旋转角a从变化到时，点G经过路线的长度． 【答案】(1)相等，垂直，相等 (2)见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）如图1，根据正方形和等腰直角三角形的性质和判定求解即可；如图2，由四边形是正方形，是等腰直角三角形，，证明，再进一步可得结论； （2）如图3，由，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论； （3）如图4，证明在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，证明，可得，证明四边形是正方形，可得当旋转角从变化到时，在上运动，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：如图1，， 理由如下：如图1，根据题意， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：相等； 如图2，；理由如下： 如图，∵四边形是正方形， ， ∵是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：垂直，相等． （2）解：如图，四边形是正方形， ， ∵点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， ． （3）解：旋转角为的图形如图， ∵， ∴在以为圆心，为半径的上， 过作于， 当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ， ， ∴点经过路线的长度为． 11．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】 如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【基础探究】 （1）判断图 1 中四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出，， 之间的数量关系， 并证明； 【拓展迁移】 （3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在延长线上的位置发生改变时，判 断的大小是否发生变化，请说明理由． 【答案】（1）四边形 是正方形，见解析；（2），见解析；（3），不发生变化，见解析 【分析】（1）， ，， 证明 ，，可得，可得矩形是正方形． （2）证明四边形是矩形，结合 ， 可得四边形是正方形 ，可得，进一步可得结论； （3）过点B作于点P ，在上截取，连接，证明，可得，，，证明，可得，证明，进一步可得结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形 ， 理由： ∵四边形是矩形， ∴ ， 又∵， ，， ∴ ， ∴ ， ∴ 即， 又∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴矩形是正方形． （2）， 理由： ， ， ， ∴四边形是矩形， 由（1）得 ， ∴ ，， ∴四边形是正方形 ， ∴， ∴； （3），理由如下： 过点B作于点P ，在上截取，连接， ∴，， ∵四边形是正方形，四边形为正方形， ∴，，， 同理可得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ． 题型05 特殊四边形存在性问题 12．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（）．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，最大面积是 (3)存在，Q的坐标为或或或 【分析】（1）将点，代入中，利用待定系数法求解； （2）过点M作轴于点E，根据题意得：，．用含t的式子表示出和，根据列出二次函数关系式，即可求解； （3）先求出直线解析式为，设，，分三种情况：是对角线；为对角线；当为对角线．分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得， 解这个方程组得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：过点M作轴于点E，如图： 设面积为S， 根据题意得：，． ∵， ∴， 在中，令得， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积是； （3）解：存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设直线解析式为， 由，得, , 解得， ∴直线解析式为， 设，，又，， ①当是对角线，则的中点重合， ∴， 解得（与C重合，舍去）或， ∴Q的坐标为； ②当为对角线，则的中点重合， ∴， 解得（舍去）或， ∴Q的坐标为； ③当为对角线，则的中点重合， ∴， 解得或， ∴Q的坐标为或， 综上所述，Q的坐标为或或或． 13．（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）先求出顶点坐标，设二次函数解析式为，将点代入即可求函数的解析式； （2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，直线的解析式，则点Q的坐标为，可得，当时，有最大值，即可得的最大值； （3）设N点坐标为，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标． 【详解】（1）∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点， ∴二次函数顶点为， 设二次函数解析式为， 将点代入得，， ∴， ∴； （2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的横坐标为t， 令抛物线解析式的，得到， 解得，， ∴A的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴点Q的坐标为， ∴ ， ∴当时，有最大值， ∴面积的最大值为； （3）存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设N点坐标为， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 综上所述：或或． 14．（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 题型06 特殊四边形中的最值问题 15．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在中，，，，为内部的一动点（不在边上），连接，将线段绕点逆时针旋转，使点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，使点到达点的位置，连接、、、、、． (1)求证：； (2)求的最小值； (3)当取得最小值时求证：； (4)如图，，，分别是、、的中点，连接、，在点运动的过程中，请判断的大小是否为定值，若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)最小值为 (3)详见解析 (4)的大小是为定值， 【分析】（1）由旋转知，、、，故由证出全等即可； （2）由两点之间，线段最短知、、、共线时最小，且最小值为，再由，，求出和，再由旋转知，，最后根据勾股定理求出即可； （3）先由为等边三角形得，再由、、、共线时最小，，最后，即证； （4）由中位线定理知道，，，，由≌得，即，再设，，则，，得，得． 【详解】（1）证明：由旋转可知：，，， 则、为等边三角形， ∴，，， ， ， 在与中， ， ； （2）解：两点之间，线段最短， 即、、、共线时最小， 最小值为， ，，， ， ， ， ， ． 的最小值为； （3）证明：，， 为等边三角形， 即， 、、、共线时最小， ， ， ， ， ， ； （4）解：结论：的大小是为定值， 理由：如图，连接， ，，分别是，，的中点， ，， ，， ， ， ， 且， 为等边三角形， 设，， 则， ， ， ， ， ． 16．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，四边形中，，，，． （1）如图①，为上的一个动点，以，为边作． ①请问四边形能否成为矩形？若能，求出的长；若不能，请说明理由． ②填空：当__________时，四边形为菱形； ③填空：当__________时，四边形有四条对称轴． （2）如图②，若为上的一点，以，为边作，请问对角线的长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①能，2或3；②3；③3；（2）存在，最小值为5 【分析】（1）①根据矩形的性质得，再证明，进而即可求解；②根据菱形的性质得，再利用勾股定理列出方程，即可求解；③当四边形有四条对称轴时，则四边形是正方形，结合①②小题的结论，即可得到答案； （2）过点作交的延长线于点．根据平行四边形的性质，证明，从而得，进而即可求解． 【详解】解：（1）①四边形是平行四边形，假设四边形是矩形，则， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，，， 设，∴，∴， ∴，． 所以当的长为2或3时，四边形是矩形． ②四边形是菱形时，则， ∴， ∴， ∴， 故答案是：3； ③ 当四边形有四条对称轴时，则四边形是正方形，即同时满足①②的条件， ∴的长度为3， 故答案是：3； （2）如图，在平行四边形中，设对角线，相交于点，则点是的中点．过点作交的延长线于点． ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴PD∥QC，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 当时，的长最短，此时， ∴的长存在最小值=5． 题型07 特殊四边形中的翻折问题 17．（2026·山东青岛·一模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 操作思考： 如图1，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．小明发现，若设为、为，则． 小明是这样思考的： 设为、为，则，， 由于， 易证： ， ，，则，， ， ． ，两边同除以得 问题探究： (1)如图2，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．若设为、为y，则______，请写出你的具体解决过程． 拓展延伸： (2)如图3，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．设为、为，则______（用含、的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠的性质可得 ，证明，根据锐角三角函数可推出，，则可得到，，进而可得，据此求解即可； （2）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：设为、为，则，， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得 ∴， ∴， ∴， ∴，， ，， ，， ∵，， ． ， ∴； （2）解：设为、为，则，， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得 ∴， ∴， ∴， ∴，， ，， ，， ∵，， ． ， ∴， ∴ ∴． 18．（2025·山东日照·模拟预测）折纸是一种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断：如图1，在矩形纸片中，，首先沿过点B的直线翻折，使点A落在边上的点E处，折痕为，连接；此时，就可以得到一个四边形，则四边形的形状是哪种特殊的四边形？答：____． (2)深入探究：继续沿过点E的直线翻折，使点C落在边上的点G处，折痕为，连接，延长交于点M，连接． ①求证：； ②猜想线段和的数量关系，并证明； (3)拓展应用：延长交矩形的边于点N，若，直接写出的值． 【答案】(1)正方形 (2)①见解析；②，见解析 (3)或 【分析】（1）可推出，，，进而得出结果； （2）①可证得，从而，由，得出进而得出，进而得证结论； ②在上截取，可证得，从而，，进而，从而，进一步得出结果； （3）当交于N时，此时，可推出，，从而，，得出，，求得a的值，进一步得出结果；当N在时，延长，，交于点W，设，则，，，可推出，，从而，，得出，，求得x的值，从而求得，，由得出结果． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，，， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； （2）①∵点C落在边上的点G处， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图1， 在上截取， 由①知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图2， 当交于N时，此时． ∵， ∴，， ∴，， 设， ∴，， ∴， （舍去）， ∴， 如图3， 当N在时，延长，，交于点W， 设，则，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，（舍去），， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 19．（2026·山东德州·模拟预测）在矩形中，点E为射线上一动点，连接． (1)当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，当，且时，求的长． (2)在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)①120°；②4 (2)4+4或4﹣4 【分析】（1）①根据矩形的性质得，利用特殊角的三角函数值得，再根据等边三角形的判定及性质即可求解． ②根据折叠的性质得，再根据矩形的性质及相似三角形的判定及性质即可求解． （2）分类讨论：i如图3，利用矩形的性质及全等三角形的判定及性质得，再利用勾股定理即可求解，ii如图4，根据矩形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， 是等边三角形， ， ； ②由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ∵四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ，， 解得：或（舍去）， 即的长为 （2）当点E，，D三点共线时，分两种情况： i如图3： 由②可知，， ∵四边形是矩形， ，，，， ，， 由折叠的性质得：，， ，， ， ， ， ； ii如图4： 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的长为或． 题型08 特殊四边形中的旋转问题 20．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，先将两块含的三角板和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接，设． (1)当时，_______；当时，_______； (2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； (3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 _______． 【答案】(1)2，30或210 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形综合应用，涉及旋转变换，与圆有关的计算问题，解题的关键是读懂题意，画出图形，灵活应用旋转的性质． （1）当时，A，，B共线，A，D，C共线，可得是等边三角形，故；当时，过点A作于点H，分两种情况画出图形，可得答案； （2）画出图形，可得，，故，同理，从而两块三角板重叠部分图形的面积为； （3）连接，由，点F为的中点，知，故点F的运动轨迹是以为直径的圆，利用圆的周长公式即可得答案． 【详解】（1）解：如图， 则，， ∴， 当时，A，，B共线，A，D，C共线， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，过点A作于点H，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图， 同理可得， ∴， ∴当时，或； 故答案为：2；30或210； （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴两块三角板重叠部分图形的面积为； （3）解：连接，如图， ∵，F为中点， ∴， ∴点F的运动轨迹是以为直径的圆， ∴点F的运动路径长为， 故答案为：． 21．（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______； (3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，当时，可证得是等边三角形，可得，即可得；当时，由旋转的性质可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在 中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，垂直平分，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ， 当时，， 是等边三角形， ∴； 如图2，当时， 由旋转的性质可得：， 在 中，根据勾股定理可得：， 故答案为：； （2）解：如图3，由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ， 在中，根据勾股定理可得：， ， 在中，根据勾股定理可得：， ∴的长为； （3）解：如图4，连接， 由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ∵点落在的延长线上， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴． 22．（2025·山东日照·模拟预测）问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为的正方形的对角线相交于点，分别延长到点，到点，使，再以为邻边做正方形，连接；    (1)解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______； (2)深入研究：如图正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转，判断与的关系，并证明： (3)拓展延伸：如图，在正方形旋转过程中，分别交于点，连接．当时，求的值． 【答案】(1)，； (2)，，证明见解析； (3)． 【分析】（）延长交于，根据证，得，，推出 ，即可得出； （）连接，设与相交于点，根据证，得，再根据角的代换得出即可； （）连接，根据证，得出，当时，得出，，的值即可得出面积和； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，延长交于，    ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， 又∵ ∴， ∴，， 即， 又∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：，； （2）解：，． 证明：连接，设与相交于点，    ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接，    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 1．（2026·山东烟台·一模）如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】对于①，根据题意容易得到，，则；对于②：容易证明，则；对于③，由等腰三角形的性质可得，结合直角三角形的性质可得；对于④，取的中点，连接、，由直角三角形的性质和勾股定理可计算出，，结合可得，最小． 【详解】解：对于①：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 对于②：在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵，， ∴， ∵， ∴，故③错误； 对于④：如图，取的中点，连接、， 在中，点为斜边的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，故④正确； 综上，正确的结论为：①②④． 2．（2026·山东淄博·一模）如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，证明，，得出，，证明，得出，证明，说明B、C、G、D四点共圆，求出外接圆的直径为2，即可得出答案． 【详解】解：延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B、C、G、D四点共圆， ∵为等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴外接圆的直径为2， ∴B、C、G、D四点所在圆的直径为2， ∴的最大值为2， ∵E是延长线上一点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·山东泰安·一模）如图，已知正方形，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，，则，，，；由是的垂直平分线得，，可得，，消去可求出得，，由勾股定理得，从而可求出的周长． 【详解】解：设正方形的边长为，， ∴，，，； ∵是的垂直平分线， ∴，， 由得， 整理得； 由得， 整理得， 代入，得：， 整理得， ②代入①得：， 解得：， ∴， 即，， 在中，， 所以，的周长为． 4．（2026·山东烟台·一模）如图，在矩形中，，，，点是边上的一个动点，过点作的垂线，分别交、所在直线于点、，当点从点运动到点时，点的运动路径长为______． 【答案】 【分析】由可得，点在以为直径的圆弧上．分析点从点到点时，点运动路径的两个端点可知，点的运动路径为圆心角为，半径为的圆弧，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在以为直径的圆弧上， 当点与点重合时，点也与点重合； 当点与点重合时，如图，取的中点，连接， ∴点的运动路径为， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， ∴点的运动路径长为． 5．（2026·山东临沂·一模）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为 _________． 【答案】 【分析】延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 即， ∴． 6．（2026·山东烟台·一模）如图，在正方形中，，点从点出发，沿边运动到点，连接，过点作交于点，在点的运动过程中，以为边，在上方作等边，则边的中点所经过的路径长是_______． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连接，， 可得，点，，，四点共圆， 连接，则，进而得到 点在以点为端点，上方且与射线夹角为的射线上， 过作于点， 在中，通过含角直角三角形的性质结合勾股定理即可得出点所经过的路径长． 【详解】 解：如图，连接，取的中点，连接，， 在等边中，，是的中点， ，， 是的中点， ， 在中，，是的中点， ， ， 点，，，四点共圆， 连接，则， 点在以点为端点，上方且与射线夹角为的射线上， 如图，过作于点， 点从点出发，沿边运动到点， 点从点沿运动到点， 在中，， ， ，， 点所经过的路径长是． 7．（2026·山东青岛·一模）如图，已知平行四边形，，，，延长到，使，连接．点从出发，沿方向匀速运动，速度为2单位长度，同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．连接、，设运动时间为． 解答下列问题： (1)当是直角三角形时，求的值； (2)连接、，设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)线段与相交于，在运动的过程中是否存在某一时刻，使得．若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）解直角三角形得到，由平行四边形的性质得到，则，根据题意可得，则，再分两种情况：和，讨论求解即可； （2）过点A作于点F，交的延长线于点H，过点Q作于点G，求出，由等面积法求出；解直角三角形得到；证明，根据，列式求解即可； （3）过点P作于点T，可求出；解直角三角形可得，，则，再解直角三角形得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由题意得，，则， 当时，则， ∴， 解得（已检验）； 当时，则， ∴， 解得（已检验）； 综上所述，t的值为或； （2）解：如图所示，过点A作于点F，交的延长线于点H，过点Q作于点G， 由（1）得，则，， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴ ； （3）解：如图所示，过点P作于点T， 当时，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由（1）得，，， 由（2）得， 在中，， ， ∴， 在中，， ∴， 解得． 8．（2026·山东青岛·一模）已知：在菱形中，与交于点，，，点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；同时，点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，绕点顺时针旋转的对应点恰好落在上；当移动到时停止移动，也随之停止移动．延长与交于点，连接，设移动时间为． (1)当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)当为何值时，？ (4)当为何值时，？ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用菱形对角线互相平分且对边平行，证明，得；再由平行四边形判定得，从而推出，求． （2）先证，从而得，，；作、，用表示、，代入面积公式化简． （3）由旋转性质得为等腰直角三角形，；结合推出，得点到、的距离相等（），建立方程求解． （4）过作于，由结合求出、；由旋转性质得为等腰直角三角形，，结合推出为等腰直角三角形，得；再根据构造方程求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形 ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 过作于，于， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴ ； （3）解：过作于，于， 由（2）得，， ∵点绕顺时针旋转得，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴在中，， ∴， ∴点到、的距离相等，即， ∴ 解得； （4）解：如图，过点作于， ∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， ∵点绕顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得． 9．（2025·山东东营·模拟预测）结合图形，完成下列问题： (1)如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点，请直接写出线段与的关系_____； (2)如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)不成立，，，理由见解析 (3)的长为或 【分析】（1）根据正方形的性质及角的和差关系得出，即可证明，得出，，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，即可得出； （2）同（1）可得，根据线段的数量关系可得，即可证明，根据相似三角形的性质得出，，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，即可得出； （3）根据旋转的性质可分两种情况求解，①当点在线段上时，证明，列比例式可得的长；当点在线段上时，仿照①求出即可． 【详解】（1）解：如图1，设交于， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：不成立，，，理由如下： 如图2，设交于， ∵四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，当点在线段上时，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； ②如图，当点在线段上时，过点作于点， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，，， ∴； 综上所述：的长为或． 10．（2026·山东聊城·一模）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 已知矩形纸片中，，三位同学进行如下操作： (1)小红的折纸如图1，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，折痕的另一端点在边上，此时，则________； (2)小亮在小红的基础上又做了一次折叠，如图2，将纸片的另一端折叠，使得顶点落在上的点处，折痕的另一端落在边上，若，求的长； (3)大刚的折纸如图3，分别将和沿，翻折，点，的对应点分别为点，，且，，三点共线，平分，求的度数及的长． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）由折叠可得，，推出，得到，最后根据折叠的性质和四边形的内角和即可求解； （2）根据三角函数求出，得到，根据折叠可得，由三角函数求出，即可求解； （3）延长，交于点，根据平分和折叠的性质可求出的度数，推出和均为等腰直角三角形，得到，，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 由折叠可得，，， ， ， ， ； （2），， ， 又， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ； （3）如图，延长，交于点， 平分， ， 由折叠的性质可知，，，． ， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， 即， ． 11．（2026·山东青岛·一模）在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题． (1)【问题情境】如图，在正方形中，，，分别是边，，上的点，于点．判断线段，的数量关系____________； (2)【尝试应用】如图，在正方形网格中，点，，，为格点，交于点，则____________； (3)【拓展提升】如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接，分别交线段，于点，．则____________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）平移线段至，交于点，证明四边形是平行四边形，得出，证明，得出，即可得出结论； （）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，根据勾股定理求出，，，可推出，即可得出结果； （）平移线段至处，连接，证明得出，，推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：平移线段至，交于点，如图所示， 由平移的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图所示， ∴， 设正方形网格的边长为单位， 由勾股定理可得：，，， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：平移线段至处，连接，如图所示， 则，四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2026·山东济宁·一模）某校九年级数学兴趣小组借助等腰直角三角形模型进行了探究活动． 【模型应用】 如图1，中，，，D为的中点．连接，作，垂足为E，连接． 【解决问题】 (1)求的值； (2)求证； 【拓展探究】 (3)在图1基础上，兴趣小组又进行了下面操作： 如图2，以，为邻边作正方形，连接交于点G，过点A作，交的延长线于点H，连接EG，HG． 此时，小组成员甲说：“当时，四边形是平行四边形”． 你赞同小组成员甲的说法吗？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)赞同小组成员甲的说法，理由见解析 【分析】（1）根据题意得到和，证明，再根据三角函数进行计算即可； （2）延长至点M，使，连接，证明，求出，证明，推理出，再根据相似三角形的性质得到结论即可； （3）证明，再得到，求出，证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，D为的中点， ， ； （2）证明：延长至点M，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：赞同小组成员甲的说法． 理由：是正方形的对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 13．（2026·山东济南·一模）在矩形中，，连接对角线．在中，，． (1)如图1，当点分别在边上时，请完成填空：______，______； (2)将图1中的绕点按逆时针方向旋转，连接． ①如图2，当点在边的延长线上时，求线段的长； ②如图3，若点在线段上，且，连接，求线段的最大值． 【答案】(1)6； (2)①；② 【分析】（1）可证明，利用相似三角形的性质可得的长，利用勾股定理求出的长，再求出的长即可得到答案； （2）①可证明，得到；由勾股定理得，则，据此可得答案②在上截取，连接，则，，可证明，得到；可求出；根据，可得当D、T、H三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴； 由（1）知， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，在上截取，连接，则，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴当D、T、H三点共线时，有最大值，最大值为． 14．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处． (1)如图1，已知折痕与边交于点，连接．若与的面积比为，求边的长． (2)如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连接．动点在线段上（点与点不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．试问当动点在移动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段的长度． 【答案】(1)10 (2)当点M、N在移动过程中，线段的长度不变，长度为 【分析】（1）由折叠的性质可得，，证明得到，，则可求出；设，则，．由勾股定理得，解方程即可得到的长，根据即可得到答案； （2）作，交于点Q，证明，再证得，得到，，由（1）中结论求得的长就可以求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴，； ∵与的面积比为， ∴， ∴， ∴； 设，则，． 在中，由勾股定理得， ∴． 解得． ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：线段的长度不变． 过点M作，交于点Q，如图2． ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴， ∴． ∴． 由（1）中的结论可得：，，． ∴． ∴． ∴当点M、N在移动过程中，线段的长度不变，长度为． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 四边形综合问题 命题预测 四边形作为初中数学常考的压轴知识点之一，是中考最喜欢考查的知识点;山东省16市中考四边形压轴，以平行四边形、矩形、菱形、正方形为核心，紧扣考纲。常结合折叠、旋转、动点综合考查，融合全等、相似、勾股定理。高频考查线段计算、面积最值、特殊四边形存在性问题，辅以坐标与函数结合，注重分类讨论与几何推理，综合性强。 高频考法 1.平行四边形的判定与性质综合 2.菱形的判定与性质综合 3.矩形的判定与性质综合 4.正方形的判定与性质综合 5.特殊四边形存在性问题 6.特殊四边形中的最值问题 7.特殊四边形中的翻折问题 8.特殊四边形中的旋转问题 典例·靶向·突破 题型01 平行四边形的判定与性质综合 1．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，垂足为点O，交，于点E，F． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求的长； (3)若点P，M分别是，的中点，，交于点K，求的值． 2．（2026·山东德州·模拟预测）如图，在中，，，分别为，的中点，点，在射线上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 3．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，是边上的中线，过点D作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 题型02 菱形的判定与性质综合 4．（2026·山东烟台·一模）综合与探究： 如图，在菱形中，，点P是对角线上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作交BC于点E，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转得到线段PF，点D的对应点F恰好落在射线BC上． 问题解决： (1)线段AP与BE之间的数量关系是________； (2)求的度数． 拓展探究： (3)连接PB，若，，PF与CD交于点G．请直接写出GF的长． 5．（2026·山东烟台·模拟预测）综合与探究： 【问题情境】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点．将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，旋转角为． (1)【操作验证】如图1，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形． (2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当与重合时，连接．若，，请你直接写出线段的长． 题型03 矩形的判定与性质综合 6．（2026·山东济南·一模）在平行四边形中，，点分别为、上的两点． (1)如图1，若，且，则______°，______； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含m的代数式表示）． 7．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 8．（2025·山东济宁·模拟预测）课本再现： 定理：有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小颖同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”“求证”，请你完成证明过程． （1）已知：如图1，在四边形中，，求证：四边形是矩形． 知识应用： （2）如图2，在四边形中，，平分，交于点，，是上的一点，且，过点作，交于点，过点作于点． ①求证：四边形是矩形． ②若，求的值． 题型04 正方形的判定与性质综合 9．（2026·山东东营·模拟预测）按要求解答问题： 【初步实践】 (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接，． 求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【迁移探究】 (3)请帮助小明探究与的数量关系，并说明理由． 10．（2025·山东临沂·一模）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺AEF和一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【初步探究】 如图1，和的数量关系是______． 如图2，连接，，并延长，延长线相交于点，交AD于点． 问题1：和的位置关系______．数量关系______． (2)【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题： 问题2：如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． (3)【尝试应用】 问题3：在图4中画出旋转角为的图形，并求出当旋转角a从变化到时，点G经过路线的长度． 11．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】 如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【基础探究】 （1）判断图 1 中四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出，， 之间的数量关系， 并证明； 【拓展迁移】 （3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在延长线上的位置发生改变时，判 断的大小是否发生变化，请说明理由． 题型05 特殊四边形存在性问题 12．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（）．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型06 特殊四边形中的最值问题 15．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在中，，，，为内部的一动点（不在边上），连接，将线段绕点逆时针旋转，使点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，使点到达点的位置，连接、、、、、． (1)求证：； (2)求的最小值； (3)当取得最小值时求证：； (4)如图，，，分别是、、的中点，连接、，在点运动的过程中，请判断的大小是否为定值，若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 16．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，四边形中，，，，． （1）如图①，为上的一个动点，以，为边作． ①请问四边形能否成为矩形？若能，求出的长；若不能，请说明理由． ②填空：当__________时，四边形为菱形； ③填空：当__________时，四边形有四条对称轴． （2）如图②，若为上的一点，以，为边作，请问对角线的长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 题型07 特殊四边形中的翻折问题 17．（2026·山东青岛·一模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 操作思考： 如图1，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．小明发现，若设为、为，则． 小明是这样思考的： 设为、为，则，， 由于， 易证： ， ，，则，， ， ． ，两边同除以得 问题探究： (1)如图2，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．若设为、为y，则______，请写出你的具体解决过程． 拓展延伸： (2)如图3，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．设为、为，则______（用含、的代数式表示）． 18．（2025·山东日照·模拟预测）折纸是一种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断：如图1，在矩形纸片中，，首先沿过点B的直线翻折，使点A落在边上的点E处，折痕为，连接；此时，就可以得到一个四边形，则四边形的形状是哪种特殊的四边形？答：____． (2)深入探究：继续沿过点E的直线翻折，使点C落在边上的点G处，折痕为，连接，延长交于点M，连接． ①求证：； ②猜想线段和的数量关系，并证明； (3)拓展应用：延长交矩形的边于点N，若，直接写出的值． 19．（2026·山东德州·模拟预测）在矩形中，点E为射线上一动点，连接． (1)当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，当，且时，求的长． (2)在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，，D三点共线时，求的长． 题型08 特殊四边形中的旋转问题 20．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，先将两块含的三角板和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接，设． (1)当时，_______；当时，_______； (2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； (3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 _______． 21．（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______； (3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 22．（2025·山东日照·模拟预测）问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为的正方形的对角线相交于点，分别延长到点，到点，使，再以为邻边做正方形，连接；    (1)解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______； (2)深入研究：如图正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转，判断与的关系，并证明： (3)拓展延伸：如图，在正方形旋转过程中，分别交于点，连接．当时，求的值． 1．（2026·山东烟台·一模）如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 2．（2026·山东淄博·一模）如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东泰安·一模）如图，已知正方形，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东烟台·一模）如图，在矩形中，，，，点是边上的一个动点，过点作的垂线，分别交、所在直线于点、，当点从点运动到点时，点的运动路径长为______． 5．（2026·山东临沂·一模）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为 _________． 6．（2026·山东烟台·一模）如图，在正方形中，，点从点出发，沿边运动到点，连接，过点作交于点，在点的运动过程中，以为边，在上方作等边，则边的中点所经过的路径长是_______． 7．（2026·山东青岛·一模）如图，已知平行四边形，，，，延长到，使，连接．点从出发，沿方向匀速运动，速度为2单位长度，同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．连接、，设运动时间为． 解答下列问题： (1)当是直角三角形时，求的值； (2)连接、，设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)线段与相交于，在运动的过程中是否存在某一时刻，使得．若存在，求出；若不存在，请说明理由． 8．（2026·山东青岛·一模）已知：在菱形中，与交于点，，，点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；同时，点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，绕点顺时针旋转的对应点恰好落在上；当移动到时停止移动，也随之停止移动．延长与交于点，连接，设移动时间为． (1)当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)当为何值时，？ (4)当为何值时，？ 9．（2025·山东东营·模拟预测）结合图形，完成下列问题： (1)如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点，请直接写出线段与的关系_____； (2)如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长． 10．（2026·山东聊城·一模）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 已知矩形纸片中，，三位同学进行如下操作： (1)小红的折纸如图1，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，折痕的另一端点在边上，此时，则________； (2)小亮在小红的基础上又做了一次折叠，如图2，将纸片的另一端折叠，使得顶点落在上的点处，折痕的另一端落在边上，若，求的长； (3)大刚的折纸如图3，分别将和沿，翻折，点，的对应点分别为点，，且，，三点共线，平分，求的度数及的长． 11．（2026·山东青岛·一模）在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题． (1)【问题情境】如图，在正方形中，，，分别是边，，上的点，于点．判断线段，的数量关系____________； (2)【尝试应用】如图，在正方形网格中，点，，，为格点，交于点，则____________； (3)【拓展提升】如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接，分别交线段，于点，．则____________． 12．（2026·山东济宁·一模）某校九年级数学兴趣小组借助等腰直角三角形模型进行了探究活动． 【模型应用】 如图1，中，，，D为的中点．连接，作，垂足为E，连接． 【解决问题】 (1)求的值； (2)求证； 【拓展探究】 (3)在图1基础上，兴趣小组又进行了下面操作： 如图2，以，为邻边作正方形，连接交于点G，过点A作，交的延长线于点H，连接EG，HG． 此时，小组成员甲说：“当时，四边形是平行四边形”． 你赞同小组成员甲的说法吗？请说明你的理由． 13．（2026·山东济南·一模）在矩形中，，连接对角线．在中，，． (1)如图1，当点分别在边上时，请完成填空：______，______； (2)将图1中的绕点按逆时针方向旋转，连接． ①如图2，当点在边的延长线上时，求线段的长； ②如图3，若点在线段上，且，连接，求线段的最大值． 14．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处． (1)如图1，已知折痕与边交于点，连接．若与的面积比为，求边的长． (2)如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连接．动点在线段上（点与点不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．试问当动点在移动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段的长度． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $