专题03 统计与概率（4大题型，大题专练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题03 统计与概率 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对该热点的考查形式相对固定，主要分为以下两类： 1. 统计图表分析与数字特征计算：通常以中档解答题形式出现，分值在8-10分左右。题目会提供一个或多个统计图表（条形图、扇形图、频数直方图、折线图、统计表），要求学生补全图表，并计算（或直接从图表中读出）一组数据的平均数、中位数、众数、方差等，并据此进行分析或预测。 2. 概率计算与应用：通常以简答题或解答题形式出现，分值在4-8分左右。题目背景常为摸球、抽牌、游戏等情境，要求学生用列表法或树状图法列举所有等可能结果，并计算指定事件的概率。有时会与统计图表结合，进行综合应用。 二、命题特点 1. 生活化：考查素材紧密联系学生生活实际，如“课后作业时间”（2023年滨州第17题）、“劳动积分”（2023年济宁第18题）、“体质健康测试”（2025年德州第18题）、“科技素养测评”（2025威海市第18题）等，问题情境真实、有时代感。 2. 综合性：常将统计图表的阅读、补充与数字特征的计算结合起来考查，体现数据收集、整理、描述、分析的完整过程。有时还会将统计与概率融合在一道题中（如先分析样本数据，再计算概率）。 3. 应用性：注重考查学生运用统计与概率的知识解决实际问题的能力，如根据样本数据估计总体情况（如估计全校达到某项标准的人数）、根据概率判断游戏公平性、或对统计结果作出评价与决策建议。 4. 规范性：对作图（补全统计图）和作答过程的规范性有明确要求。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 数据的收集与整理：抽样调查、样本与总体的关系、频数与频率、频数分布表与频数直方图。 (2) 数据的描述：条形统计图、扇形统计图、折线统计图、频数直方图的绘制与阅读。 (3) 数据的分析：平均数（包括加权平均数）、中位数、众数的计算与意义；方差（或离差平方和）的计算与意义；用样本平均数估计总体平均数。 (4) 概率：简单随机事件的概率定义；用列表法或树状图法求概率；用频率估计概率。 2. 能力要求： (1) 数据观念：能从实际情境中认识到数据中蕴含着信息，根据需要收集、整理和分析数据，形成对数据的意义和随机性的认识。 (2) 模型观念：能将实际问题转化为统计或概率问题，利用统计图表和概率模型进行描述和分析。 (3) 推理能力：能根据统计结果或概率大小进行合理的推断和决策。 四、趋势展望 1. 情境更加多元化：预计2026年中考，情境设计将更加丰富，可能会融入“跨学科主题学习”（如与生物、地理、体育健康等学科结合）或“项目式学习”背景，如“营养午餐”、“水是生命之源”等课程标准推荐的活动。 2. 考查数据分析过程：会更加注重考查学生对数据分析过程的完整理解，而非单纯的计算。例如，可能会要求学生根据数据特点选择合适的统计量来描述，或解释某个统计量的实际意义。 3. 概率题难度稳定：概率计算题仍会以等可能事件为主，难度适中，主要考查列表或画树状图的基本方法。 五、备考策略建议 1. 夯实基础，掌握基本技能： (1) 计算过关：确保学生能快速、准确地计算平均数（特别是加权平均数）、中位数、众数、方差。 (2) 作图规范：训练学生按规范补全条形图、扇形图、频数直方图，注意标出数据、图例等。 (3) 方法熟练：牢固掌握列表法和树状图法的适用场景和书写格式，做到不重不漏。 2. 强化“阅读-分析-表达”能力： (1) 读懂图表：进行专项训练，让学生快速从统计图表中提取关键信息（如标题、坐标轴、频数、百分比、变化趋势）。 (2) 综合分析：练习根据图表和数字特征，结合问题背景进行有逻辑的推理和判断，并用数学语言清晰表达结论。例如：“根据中位数可知...”，“根据方差，乙组成绩更稳定，因为其方差更小”。 (3) 规范作答：养成认真审题、规范书写、有问有答的好习惯，避免因“答非所问”或“表述不清”而失分。 3. 关注生活，积累背景素材： (1) 联系实际：在教学中，多引入贴近学生生活和社会热点的统计案例（如学生睡眠时间、学校社团选择、阅读量等），引导学生用统计的思维去分析和解释。 (2) 跨学科渗透：留意与生物、地理、物理、体育等学科的素材，培养学生的跨学科应用意识。 题型01 统计图表的补全与分析 析典例·建模型 1．（2026·山东济宁·一模）为研究一般家庭对智能家居设备的偏好，小明所在的数学兴趣小组调查了班级24名学生家庭中以下两类智能家居设备的数量和消费金额． A类：安全类智能家居设备（智能门锁等）； B类：便捷类智能家居设备（智能扫地机器人等）． 整理、描述、分析数据如下： 【整理数据】 ①设备数量 24户家庭A类设备数量（单位：台）： 0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4 24户家庭B类设备数量（单位：台）： 0，0，0，0，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4 ②消费金额频数分布表（单位：元） 类别 不同消费金额（单位：元）范围内出现的频数（户数） A类 2 4 a 7 3 B类 10 b 5 1 0 【描述数据】 根据A类设备数量绘制不完整扇形统计图，根据B类消费金额频数分布表，绘制不完整频数分布直方图． A类设备数量绘制不完整扇形统计图 B类消费金额不完整频数分布直方图 【分析数据】 组别 关于智能家居设备数量的统计量 平均数 中位数 众数 方差 A类 2.5 c 3 1.67 B类 2 2 d 1.75 【解决问题】 根据以上信息解决下列问题： (1)填空：_____，_____，_____； (2)补全频数分布直方图； (3)计算扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数； (4)若该校共有学生家庭576户，估计： ①全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有多少户？ ②全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有多少户？ (5)结合设备数量、消费金额两项数据，判断该班学生家庭更偏好哪一类智能家居，并说明理由． 研考点·通技法 考查知识点结合： 条形图、扇形图、频数直方图的补全；从图表中获取频数、百分比、圆心角度数；根据图表信息解决问题 通用思路：“看信息、找对应、求未知、作图形”。 1. 看信息：先看题目文字说明，再看图表标题、坐标轴、图例等，明确已知数据。 2. 找对应：在表格、条形图、扇形图、频数直方图中找已知数据的对应关系（如某项的频数和它在扇形图中的圆心角）。 3. 求未知： (1) 利用求出样本容量； (2) 利用或求出缺失数据。 4. 作图形：根据求出的数据，补全条形图（注意高度）或扇形图（注意圆心角度数）。 核心公式： 1. 或。 2. 。 3. 。 4. 易错提醒：注意区分“频数”和“频率（百分比）”；补全条形图时注意坐标轴单位长度；扇形图计算圆心角时结果要保留整数或精确到度（看题目要求）。 破类题·提能力 2．（2026·山东菏泽·一模）为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 86 九年级 86.6 88.5 八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，88，86，86，86，86， 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66 请根据以上信息完成下列问题： (1)填空：________，________，并补全八年级的成绩条形统计图； (2)根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）： (3)规定90分及以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ (4)如果从八年级和九年级参加此次知识竞赛并获得优秀等级的学生中随机选取一人，小明同学认为九年级学生被选中的可能性更大些．你同意他的说法吗？为什么？ 3．（2026·山东泰安·一模）按教育部年月最新政策《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，中小学生每天在校综合体育活动时间不低于．为此，某初中数学名师工作室就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了部分初中学生，现将调查结果绘制成如下不完全的统计图，其中分组情况是：组：；组：；组：；组：．请根据上述信息解答下列问题： (1)本次调查的人数是______人； (2)请根据题中的信息补全频数分布直方图； (3)组对应扇形的圆心角为______°； (4)现从组里体育成绩优异的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加校级体育节活动，每名同学被选中的可能性相等，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （甲，乙） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丙，丁） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 共有种可能，其中恰好选中甲和乙的组合只有种， 4．（2026·山东青岛·一模）“七秩问天路 携手探九霄”，2026年恰逢中国航天事业创建70周年．某校为了解学生对 “航空航天知识” 的掌握情况，举行了航空航天知识竞赛，竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．学校随机抽取部分学生的成绩（用表示），分为四组：A组，B组，C组，D组，进行整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：96，87，83，78，94，68，88，89，87，97，81，93，82，72，80 八年级：81，75，80，93，91，65，89，95，97，94，86，69，92，89，79 【整理数据】 七年级 1 2 4 八年级 2 2 5 6 【描述数据】 【分析数据】 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 87 八年级 85 89 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是_； (3)填空：_；_； (4)该校有300名七年级的学生和330名八年级的学生参加此次竞赛，请估计所有参赛学生中不低于80分的人数． 题型02 统计量的计算与应用 析典例·建模型 1．（2026·山东日照·一模）某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）： 甲试验田穗长频数分布表（表1） 分组/cm 频数 频率 4 14 11 2 合计 50 b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示： c．乙试验田穗长在这一组的是： d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）： 试验田 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中的值为_； (2)表2中的值为_； (3)在此次考察中，稻穗生长（长度）较稳定的试验田是_； A．甲    B．乙    C．无法推断 (4)若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的稻穗约为多少万个？ 研考点·通技法 考查知识点结合： 平均数（加权）、中位数、众数、方差的计算；用样本统计量估计总体 通用思路：“先排序，再计算，后分析”。 1. 先排序：计算中位数前，必须先将数据从小到大排序。 2. 再计算： (1) 平均数：用。 (2) 中位数：n为奇数时，取中间那个数；n为偶数时，取中间两个数的平均值。 (3) 众数：出现次数最多的数。 (4) 方差：。 3. 后分析：根据结果分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数反映一般水平）和波动大小（方差小则波动小、数据稳定）。 方法技巧： 1. “眼力”：对于数据量不大的题目，直接观察即可得到众数。 2. “估算”：平均数应在最大值和最小值之间。 破类题·提能力 2．（2022·山东济南·一模）为了让学生体验诗词魅力，传承文化经典，历下区某学校组织“校园诗词大会”，全校学生参加初赛，为更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了50名学生的成绩（满分100分），并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：成绩在范围内的数据如下： 77，78，82，85，80，89，72，76，77，76，75，78，79，81，84，82，76，78，78，85，78，78 组别 成绩x分 频数（人数） A 6 B 12 C D E 10 整理得到如下不完整的统计图表： 请根据图表中所提供的信息回答下列问题： (1)统计表中_______，______； (2)统计图中E组对应扇形的圆心角为________度； (3)C组数据的众数是______；调查的50名学生成绩的中位数是_______； (4)根据调查结果，估计该校2000名学生中，成绩不低于80分的人数． 3．（2026·山东济宁·一模）某社区举办“和谐共建”主题演讲比赛，比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10名专业评委和50名大众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分：92，87，93，89，91，92，93，92，99，92． b．大众评委打分的不完整频数分布直方图（如图所示）： 数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组． c．评委打分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 专业评委 92 92 m 大众评委 91 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①填空：m的值为__________，n的值位于大众评委打分数据分组的第__________组； ②补全频数分布直方图； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 92 95 93 94 91 乙 93 93 92 93 93 丙 94 90 91 95 95 通过计算说明，甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是谁． （参考数据：，，） 4．（2026·山东青岛·一模）为科学预防近视，引导学生爱护视力，某校组织开展“科学用眼”知识竞赛．现从七年级、八年级参赛学生中各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩（用x表示）分为四个等级：为“不合格”，为“合格”，为“良好”，为“优秀”．下面给出了部分信息： 七年级被抽取学生的竞赛成绩在“良好”等级的有：82，83，84，84，84，84，85，86，87，88． 八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的有：72，74，75，77，78． 两组数据的平均数、中位数、众数： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 82 a 84 八年级 82 87 89 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七、八年级各有400人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有多少人？ 题型03 概率的计算 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）某中学开展“生态青岛”知识竞答，准备了3张完全相同的卡片，正面主题分别为：A无废城市建设；B美丽海湾保护；C青岛蓝天行动．竞答时选手要先将卡片背面朝上搅匀，随机抽取1张记录后不放回，再抽取第2张，抽到的两个主题均要作答． (1)第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，求抽到的两张卡片中有“A无废城市建设”的概率． 研考点·通技法 考查知识点结合： 等可能事件的概率；列表法或树状图法 通用思路：“三步法” 1. 列举。用列表法（适用于两步实验且结果较多）或树状图法（适用于多步实验）列出所有等可能的结果。注意区分“放回”和“不放回”。 2. 计数。数出总共有多少种等可能的结果数n，再数出所求事件包含的结果数m。 3. 计算。概率。 核心公式： 易错提醒： 1. 不放回：用树状图时，第二次选择时总数量比第一次少1；用列表法时，对角线上的格不能算。 2. “最”字：如“至少”、“恰好”，要准确理解其含义。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）“红瓦绿树，碧海蓝天”是青岛的城市名片．某班开展以“向您推荐青岛”为主题的综合实践活动，班委会选取“栈桥”、“极地海洋世界”、“五四广场”、“崂山”（分别标记为A，B，C，D）四处景点作为研究对象，并采用小组合作的方式开展研究．同学们制作了四张质地、大小完全相同的不透明卡片，正面分别绘制上述四处景点的图案． (1)将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“崂山”的概率为______； (2)各小组随机抽取一张卡片，卡片上的景点即为该小组的研究内容．现将四张卡片背面朝上洗匀，第一小组随机抽取一张并记录结果，将卡片放回并重新洗匀后，第二小组再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两个小组研究的景点不相同的概率． 3．（2026·山东青岛·一模）《出圉图》现藏于故宫博物院，为元代画家任仁发精心创作．此图以唐代为灵感源泉，将历史与艺术完美融合．2026年3月3日，中国邮政发行了《出圉图》特种邮票，一套三枚（如图，分别记为A，B，C）．将这三枚邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽取一张，则抽取的邮票恰好是C的概率为_； (2)从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某校为弘扬法治精神，营造校园良好尊法学法守法环境，该校学生会宣传部决定从《民法典》、《未成年人保护法》、《刑法》、《义务教育法》（依次用字母A，B，C，D表示）中随机抽取两本法律并选取部分内容作为学校法治宣传栏内容． (1)抽取《义务教育法》作为宣传栏内容的概率为_ ； (2)请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两本法律中有《民法典》的概率． 题型04 统计与概率综合应用 析典例·建模型 1．（2026·山东德州·一模）为了解我区城乡艺术教育质量发展情况，某调查小组从农村和城区各抽取所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了名学生，数据分析如下． 【收集与整理】 农村学校名学生的艺术成绩（单位：分）：，，，，，，，，，； 城区学校名学生的艺术成绩（单位：分）：，，，，，，，，，． 【描述与分析】 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 城区 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出表格中、的值，______，______； (2)【迁移与应用】 若从本次艺术成绩在分以上的名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； (3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 研考点·通技法 考查知识点结合： 统计图表＋概率；样本估计总体＋概率；用频率估计概率 通用思路：“分步处理，逐一求解” 1. 将题目拆解为两个独立或递进的部分。通常先解决统计部分（计算统计量、补全图表、估计总体），再解决概率部分。 2. 概率部分的样本空间往往就是统计部分中某类对象（如“A等级的学生”、“达到优秀的学生”）。 方法技巧：先完成统计小题，再处理概率问题。概率的“结果数”通常就是统计小题中的数据。例如，从“成绩高于90分”的学生中随机抽取两人，样本空间人数就是统计中的频数。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）生活现象与“二十四节气”相关的成语、谚语蕴含了丰富的自然规律，如：“冰雪融化”“镜花水月”“寒露草枯雁南飞”“清明断雪，谷雨断霜”等．某校跨学科兴趣小组为了解学生对生活现象及谚语中蕴含的自然规律的掌握情况，从甲、乙两个校区的学生中各随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道题，根据测试结果绘制出如下统计表和如图所示的统计图． 甲校区学生测试结果统计表： 答对题数 5 6 8 10 人数 3 7 6 4 (1)通过计算判断抽取的样本中哪个校区的学生答对题数的平均数更大； (2)该小组随后又从乙校区随机抽取了几名其他的学生进行相同的测试，得知最少的答对了8道题，将其与之前乙校区20名学生的成绩数据合并后，发现答对题数的中位数变大了，则最少又测试了_人． (3)其中的一道题目如下：先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用“．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D 主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 3．（2026·山东潍坊·一模）近年来，我市坚持以人民为中心的发展思想，将普惠性，基础性，兜底性民生建设作为重中之重，积极探索在发展中保障和改善民生的新路径，为人民群众带来更多获得感和幸福感．按照市委市政府工作安排，为认真贯彻落实市两会提出的免费乘坐公交民生实事，公交公司从2023年5月起，实行本市内免费乘坐公交车政策．某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份问卷调查，并在该小区随机调查了50人，并将部分调查数据制成如下两个统计图． 调查问卷 年龄_____岁 具体地址：_____ 问题1：您乘坐免费公交车吗？_____ A．从不坐 B．偶尔坐 C．经常坐 问题2：若您乘坐免费公交车，请对乘车体验作出评价 _____ A．满意 B．不太满意 请根据统计图回答问题： (1)①调查的50人中，55岁以上的有_________人，m的值为_________； ②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为_________； (2)本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案．求恰好抽到20岁岁这个范围内的居民的概率． 4．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 统计与概率 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对该热点的考查形式相对固定，主要分为以下两类： 1. 统计图表分析与数字特征计算：通常以中档解答题形式出现，分值在8-10分左右。题目会提供一个或多个统计图表（条形图、扇形图、频数直方图、折线图、统计表），要求学生补全图表，并计算（或直接从图表中读出）一组数据的平均数、中位数、众数、方差等，并据此进行分析或预测。 2. 概率计算与应用：通常以简答题或解答题形式出现，分值在4-8分左右。题目背景常为摸球、抽牌、游戏等情境，要求学生用列表法或树状图法列举所有等可能结果，并计算指定事件的概率。有时会与统计图表结合，进行综合应用。 二、命题特点 1. 生活化：考查素材紧密联系学生生活实际，如“课后作业时间”（2023年滨州第17题）、“劳动积分”（2023年济宁第18题）、“体质健康测试”（2025年德州第18题）、“科技素养测评”（2025威海市第18题）等，问题情境真实、有时代感。 2. 综合性：常将统计图表的阅读、补充与数字特征的计算结合起来考查，体现数据收集、整理、描述、分析的完整过程。有时还会将统计与概率融合在一道题中（如先分析样本数据，再计算概率）。 3. 应用性：注重考查学生运用统计与概率的知识解决实际问题的能力，如根据样本数据估计总体情况（如估计全校达到某项标准的人数）、根据概率判断游戏公平性、或对统计结果作出评价与决策建议。 4. 规范性：对作图（补全统计图）和作答过程的规范性有明确要求。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 数据的收集与整理：抽样调查、样本与总体的关系、频数与频率、频数分布表与频数直方图。 (2) 数据的描述：条形统计图、扇形统计图、折线统计图、频数直方图的绘制与阅读。 (3) 数据的分析：平均数（包括加权平均数）、中位数、众数的计算与意义；方差（或离差平方和）的计算与意义；用样本平均数估计总体平均数。 (4) 概率：简单随机事件的概率定义；用列表法或树状图法求概率；用频率估计概率。 2. 能力要求： (1) 数据观念：能从实际情境中认识到数据中蕴含着信息，根据需要收集、整理和分析数据，形成对数据的意义和随机性的认识。 (2) 模型观念：能将实际问题转化为统计或概率问题，利用统计图表和概率模型进行描述和分析。 (3) 推理能力：能根据统计结果或概率大小进行合理的推断和决策。 四、趋势展望 1. 情境更加多元化：预计2026年中考，情境设计将更加丰富，可能会融入“跨学科主题学习”（如与生物、地理、体育健康等学科结合）或“项目式学习”背景，如“营养午餐”、“水是生命之源”等课程标准推荐的活动。 2. 考查数据分析过程：会更加注重考查学生对数据分析过程的完整理解，而非单纯的计算。例如，可能会要求学生根据数据特点选择合适的统计量来描述，或解释某个统计量的实际意义。 3. 概率题难度稳定：概率计算题仍会以等可能事件为主，难度适中，主要考查列表或画树状图的基本方法。 五、备考策略建议 1. 夯实基础，掌握基本技能： (1) 计算过关：确保学生能快速、准确地计算平均数（特别是加权平均数）、中位数、众数、方差。 (2) 作图规范：训练学生按规范补全条形图、扇形图、频数直方图，注意标出数据、图例等。 (3) 方法熟练：牢固掌握列表法和树状图法的适用场景和书写格式，做到不重不漏。 2. 强化“阅读-分析-表达”能力： (1) 读懂图表：进行专项训练，让学生快速从统计图表中提取关键信息（如标题、坐标轴、频数、百分比、变化趋势）。 (2) 综合分析：练习根据图表和数字特征，结合问题背景进行有逻辑的推理和判断，并用数学语言清晰表达结论。例如：“根据中位数可知...”，“根据方差，乙组成绩更稳定，因为其方差更小”。 (3) 规范作答：养成认真审题、规范书写、有问有答的好习惯，避免因“答非所问”或“表述不清”而失分。 3. 关注生活，积累背景素材： (1) 联系实际：在教学中，多引入贴近学生生活和社会热点的统计案例（如学生睡眠时间、学校社团选择、阅读量等），引导学生用统计的思维去分析和解释。 (2) 跨学科渗透：留意与生物、地理、物理、体育等学科的素材，培养学生的跨学科应用意识。 题型01 统计图表的补全与分析 析典例·建模型 1．（2026·山东济宁·一模）为研究一般家庭对智能家居设备的偏好，小明所在的数学兴趣小组调查了班级24名学生家庭中以下两类智能家居设备的数量和消费金额． A类：安全类智能家居设备（智能门锁等）； B类：便捷类智能家居设备（智能扫地机器人等）． 整理、描述、分析数据如下： 【整理数据】 ①设备数量 24户家庭A类设备数量（单位：台）： 0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4 24户家庭B类设备数量（单位：台）： 0，0，0，0，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4 ②消费金额频数分布表（单位：元） 类别 不同消费金额（单位：元）范围内出现的频数（户数） A类 2 4 a 7 3 B类 10 b 5 1 0 【描述数据】 根据A类设备数量绘制不完整扇形统计图，根据B类消费金额频数分布表，绘制不完整频数分布直方图． A类设备数量绘制不完整扇形统计图 B类消费金额不完整频数分布直方图 【分析数据】 组别 关于智能家居设备数量的统计量 平均数 中位数 众数 方差 A类 2.5 c 3 1.67 B类 2 2 d 1.75 【解决问题】 根据以上信息解决下列问题： (1)填空：_____，_____，_____； (2)补全频数分布直方图； (3)计算扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数； (4)若该校共有学生家庭576户，估计： ①全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有多少户？ ②全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有多少户？ (5)结合设备数量、消费金额两项数据，判断该班学生家庭更偏好哪一类智能家居，并说明理由． 【答案】(1)8，3，2 (2)补全频数分布直方图见详解 (3)扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数为 (4)①全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有456户，②全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有144户 (5)该班学生家庭更偏好A类智能家居，理由见详解 【分析】（1）利用总调查人数减去其余消费金额频数可得到a，再利用中位数和众数的定义可求得c和d的值； （2）先求出b的值，再补全频数分布直方图即可； （3）先用A类2台频数除以调查数量得到2台的频率，再用频率，即可得到扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角； （4）①先用A类2台以上频数除以调查数量得到频率，再利用总数576乘以该频率得到结果； ②先用B类智能家居设备消费金额2000元及以上的频数除以调查数量得到频率，再利用总数576乘以该频率得到结果； （5）根据中位数、方差、众数和平均数的定义即可进行判断． 【详解】（1）解：， 在24户家庭A类设备数量中，第12个和13个数据均为3， ∴， 在24户家庭B类设备数量中，“2”一共出现6次，出现次数最多， ∴． （2）解：， 如图所示，补全频数分布直方图如下： （3）解：在24户家庭A类设备数量中，2台共出现5次， ∴， ∴扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数为． （4）解：①（户）， ∴全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有456户； ②（户）， ∴全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有144户． （5）解：该班学生家庭更偏好A类智能家居， 理由：A类智能家居的平均数、中位数、众数均高于B类，方差低于B类，且24户家庭在A类智能家居产品消费金额多集中在高段，而B类智能家居产品消费金额多集中在低段． 研考点·通技法 考查知识点结合： 条形图、扇形图、频数直方图的补全；从图表中获取频数、百分比、圆心角度数；根据图表信息解决问题 通用思路：“看信息、找对应、求未知、作图形”。 1. 看信息：先看题目文字说明，再看图表标题、坐标轴、图例等，明确已知数据。 2. 找对应：在表格、条形图、扇形图、频数直方图中找已知数据的对应关系（如某项的频数和它在扇形图中的圆心角）。 3. 求未知： (1) 利用求出样本容量； (2) 利用或求出缺失数据。 4. 作图形：根据求出的数据，补全条形图（注意高度）或扇形图（注意圆心角度数）。 核心公式： 1. 或。 2. 。 3. 。 4. 易错提醒：注意区分“频数”和“频率（百分比）”；补全条形图时注意坐标轴单位长度；扇形图计算圆心角时结果要保留整数或精确到度（看题目要求）。 破类题·提能力 2．（2026·山东菏泽·一模）为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 86 九年级 86.6 88.5 八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，88，86，86，86，86， 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66 请根据以上信息完成下列问题： (1)填空：________，________，并补全八年级的成绩条形统计图； (2)根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）： (3)规定90分及以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ (4)如果从八年级和九年级参加此次知识竞赛并获得优秀等级的学生中随机选取一人，小明同学认为九年级学生被选中的可能性更大些．你同意他的说法吗？为什么？ 【答案】(1)，，画图见解析 (2)九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析 (3)人 (4)我不同意小明同学的说法，理由见解析 【分析】（1）根据中位数和众数定义求解m、n；求出D组人数并补充条形统计图； （2）利用众数和平均数进行分析即可； （3）用优秀人数除以样本数据，再乘以总人数即可； （4）根据八年级和九年级的优秀率，八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生总人数分析即可． 【详解】（1）解：根据条形统计图和B组数据可知，第10个数为88，第11个数为86， ∴八年级的中位数为， ∴； 由九年级取的所有学生竞赛成绩数据可知，出现最多的数据为88， ∴九年级的众数为88， ∴； 由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在D组的学生人数为人， ∴补全八年级的成绩条形统计图如下： （2）解：九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下： 两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但九年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的， 所以九年级学生的竞赛成绩更优秀； （3）解：， 答：估计八、九年级参加知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人； （4）解：我不同意小明同学的说法，理由如下： 从统计样本看八年级参加此次知识竞赛的学生获得优秀等级的百分比为，九年级参加此次知识竞赛的学生获得优秀等级的百分比为，九年级略高．但题目未给出八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生总人数，无法根据样本判断、对比两个年级获得优秀等级的学生总人数． 3．（2026·山东泰安·一模）按教育部年月最新政策《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，中小学生每天在校综合体育活动时间不低于．为此，某初中数学名师工作室就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了部分初中学生，现将调查结果绘制成如下不完全的统计图，其中分组情况是：组：；组：；组：；组：．请根据上述信息解答下列问题： (1)本次调查的人数是______人； (2)请根据题中的信息补全频数分布直方图； (3)组对应扇形的圆心角为______°； (4)现从组里体育成绩优异的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加校级体育节活动，每名同学被选中的可能性相等，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】(1)400 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（）根据组的人数和百分比即可求出总人数； （）根据总人数和条形统计图即可求出组人数并补全； （）先算出组所占的百分比，再求出对应的圆心角； （）因为要计算从甲、乙、丙、丁四人中选甲和乙两名同学的概率，先通过列表列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙的结果数，最后用后者除以前者得到概率． 【详解】（1）解：∵由图可知：组有人，占， ∴总人数为（人）； （2）解：组的人数为：（人）， 补全直方图如下： （3）解：组所占的百分比为， ∴组所对的圆心角为 （4）解：列表法： 从甲、乙、丙、丁四人中选甲和乙两名同学，所有可能的组合为： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （甲，乙） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丙，丁） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 共有种可能，其中恰好选中甲和乙的组合只有种， 所以概率． 4．（2026·山东青岛·一模）“七秩问天路 携手探九霄”，2026年恰逢中国航天事业创建70周年．某校为了解学生对 “航空航天知识” 的掌握情况，举行了航空航天知识竞赛，竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．学校随机抽取部分学生的成绩（用表示），分为四组：A组，B组，C组，D组，进行整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：96，87，83，78，94，68，88，89，87，97，81，93，82，72，80 八年级：81，75，80，93，91，65，89，95，97，94，86，69，92，89，79 【整理数据】 七年级 1 2 4 八年级 2 2 5 6 【描述数据】 【分析数据】 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 87 八年级 85 89 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是_； (3)填空：_；_； (4)该校有300名七年级的学生和330名八年级的学生参加此次竞赛，请估计所有参赛学生中不低于80分的人数． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)， (4)482人 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，确定，再补全频数分布直方图即可； （2）根据圆心角的计算方法求解即可； （3）根据众数，中位数的定义求解即可； （4）利用样本估计总体的思想求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得本次随机抽样的样本容量为15，且频数之和等于样本容量， 故，补全频数分布直方图如下： （2）解：根据题意，得． （3）解：根据题意，96，87，83，78，94，68，88，89，87，97，81，93，82，72，80中，87分出现的次数最多，故七年级成绩的众数为分； 数据81，75，80，93，91，65，89，95，97，94，86，69，92，89，79排序如下： ， 根据题意，中位数是第8个数据，故（分）． （4）解：根据题意，得（人）， 答：所有参赛学生中不低于80分的有482人． 题型02 统计量的计算与应用 析典例·建模型 1．（2026·山东日照·一模）某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）： 甲试验田穗长频数分布表（表1） 分组/cm 频数 频率 4 14 11 2 合计 50 b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示： c．乙试验田穗长在这一组的是： d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）： 试验田 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中的值为_； (2)表2中的值为_； (3)在此次考察中，稻穗生长（长度）较稳定的试验田是_； A．甲    B．乙    C．无法推断 (4)若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的稻穗约为多少万个？ 【答案】(1)10 (2) (3)A (4)万个 【分析】（1）用调查人数乘以的频率即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据方差越小，数据越稳定求解即可； （4）甲试验田的稻穗总量乘以穗长在范围内的频率的和即可解答． 【详解】（1）解：甲试验田在的频数为：． （2）解：乙试验田抽取了50个数据，按大小顺序排列第25、26个数是最中间的两个数，而第25、26个数是和， 则中位数为． （3）解：∵甲试验田穗长的方差小于乙试验田穗长的方差， ∴稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲，即选项A符合题意． （4）解：万个． 答：估计甲试验田所有“良好”的稻穗约为万个． 研考点·通技法 考查知识点结合： 平均数（加权）、中位数、众数、方差的计算；用样本统计量估计总体 通用思路：“先排序，再计算，后分析”。 1. 先排序：计算中位数前，必须先将数据从小到大排序。 2. 再计算： (1) 平均数：用。 (2) 中位数：n为奇数时，取中间那个数；n为偶数时，取中间两个数的平均值。 (3) 众数：出现次数最多的数。 (4) 方差：。 3. 后分析：根据结果分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数反映一般水平）和波动大小（方差小则波动小、数据稳定）。 方法技巧： 1. “眼力”：对于数据量不大的题目，直接观察即可得到众数。 2. “估算”：平均数应在最大值和最小值之间。 破类题·提能力 2．（2022·山东济南·一模）为了让学生体验诗词魅力，传承文化经典，历下区某学校组织“校园诗词大会”，全校学生参加初赛，为更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了50名学生的成绩（满分100分），并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：成绩在范围内的数据如下： 77，78，82，85，80，89，72，76，77，76，75，78，79，81，84，82，76，78，78，85，78，78 组别 成绩x分 频数（人数） A 6 B 12 C D E 10 整理得到如下不完整的统计图表： 请根据图表中所提供的信息回答下列问题： (1)统计表中_______，______； (2)统计图中E组对应扇形的圆心角为________度； (3)C组数据的众数是______；调查的50名学生成绩的中位数是_______； (4)根据调查结果，估计该校2000名学生中，成绩不低于80分的人数． 【答案】(1)， (2)72 (3)78， (4)720人 【分析】本题考查频数分布表与扇形统计图，从统计图表获得信息是解题的关键． （1）根据成绩在范围内的数据，分别得到和范围内的样本数； （2）根据“圆心角度数该组频率”进行计算即可； （3）根据众数和中位数的定义进行解答即可； （4）计算样本中成绩不低于80分的频率，再乘以总体容量进行估算即可． 【详解】（1）解：范围内的数据从小到大排列如下： 72，75，76，76，76，77，77，78，78，78，78，78，78，79， 共14名学生成绩，即， 范围内的数据如下： 80，81，82，82，84，85，85，89， 共8名学生成绩，即； （2）解： 因此，E组对应扇形的圆心角为72度； （3）解：由（1）可知：在范围内的数据78出现了6次， 则C组数据的众数是78， 根据表格可知，调查的50名学生成绩的中位数位于C组， 前两组共有人， 将C组数据从小到大排列如下： 72，75，76，76，76，77，77，78，78，78，78，78，78，79， 因此，中位数为：； （4）解：（人） 答：该校2000名学生中，成绩不低于80分的人数有720人． 3．（2026·山东济宁·一模）某社区举办“和谐共建”主题演讲比赛，比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10名专业评委和50名大众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分：92，87，93，89，91，92，93，92，99，92． b．大众评委打分的不完整频数分布直方图（如图所示）： 数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组． c．评委打分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 专业评委 92 92 m 大众评委 91 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①填空：m的值为__________，n的值位于大众评委打分数据分组的第__________组； ②补全频数分布直方图； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 92 95 93 94 91 乙 93 93 92 93 93 丙 94 90 91 95 95 通过计算说明，甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是谁． （参考数据：，，） 【答案】(1)①92，；②见解析 (2)甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是甲 【分析】（1）①根据中位数和众数的定义求解即可；②求出第5组的人数，再补全频数分布直方图即可； （2）先求出甲、乙、丙三个选手得分的平均数，结合方差比较即可得出结果． 【详解】（1）解：①由题意可得，专业评委打分中92出现的次数最多，故； 名大众评委打分数据的中位数是第个数据和第个数据的平均数，且，， 故n的值位于大众评委打分数据分组的第组； ②第5组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如图所示． （2）解：甲选手得分的平均数为． 乙选手得分的平均数为． 丙选手得分的平均数为． ∵，，， ∴甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是甲． 4．（2026·山东青岛·一模）为科学预防近视，引导学生爱护视力，某校组织开展“科学用眼”知识竞赛．现从七年级、八年级参赛学生中各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩（用x表示）分为四个等级：为“不合格”，为“合格”，为“良好”，为“优秀”．下面给出了部分信息： 七年级被抽取学生的竞赛成绩在“良好”等级的有：82，83，84，84，84，84，85，86，87，88． 八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的有：72，74，75，77，78． 两组数据的平均数、中位数、众数： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 82 a 84 八年级 82 87 89 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七、八年级各有400人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有多少人？ 【答案】(1)82.5，26 (2)八年级的成绩更好，见解析 (3)232人 【分析】（1）根据中位数的确定方法求出，根据扇形图中各部分的百分比之和为1，求出的值； （2）根据中位数和众数作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【详解】（1）解：， 故七年级成绩的中位数落在良好等级，将数据从大到小排序后，第25和第26个数据分别为， ∴； 八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的百分比为， ∴， ∴； （2）解：八年级的成绩更好，理由如下： 两个年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级成绩的中位数和众数均比七年级的大，故八年级的成绩更好； （3）解：（人）； 答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有232人. 题型03 概率的计算 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）某中学开展“生态青岛”知识竞答，准备了3张完全相同的卡片，正面主题分别为：A无废城市建设；B美丽海湾保护；C青岛蓝天行动．竞答时选手要先将卡片背面朝上搅匀，随机抽取1张记录后不放回，再抽取第2张，抽到的两个主题均要作答． (1)第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，求抽到的两张卡片中有“A无废城市建设”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为； （2）解：由题意，列表如下： 第1张      第2张 A B C A A，B A，C B B，A B，C C C，A C，B 共有6种等可能的结果，其中有A卡片的结果有4种， ∴． 研考点·通技法 考查知识点结合： 等可能事件的概率；列表法或树状图法 通用思路：“三步法” 1. 列举。用列表法（适用于两步实验且结果较多）或树状图法（适用于多步实验）列出所有等可能的结果。注意区分“放回”和“不放回”。 2. 计数。数出总共有多少种等可能的结果数n，再数出所求事件包含的结果数m。 3. 计算。概率。 核心公式： 易错提醒： 1. 不放回：用树状图时，第二次选择时总数量比第一次少1；用列表法时，对角线上的格不能算。 2. “最”字：如“至少”、“恰好”，要准确理解其含义。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）“红瓦绿树，碧海蓝天”是青岛的城市名片．某班开展以“向您推荐青岛”为主题的综合实践活动，班委会选取“栈桥”、“极地海洋世界”、“五四广场”、“崂山”（分别标记为A，B，C，D）四处景点作为研究对象，并采用小组合作的方式开展研究．同学们制作了四张质地、大小完全相同的不透明卡片，正面分别绘制上述四处景点的图案． (1)将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“崂山”的概率为______； (2)各小组随机抽取一张卡片，卡片上的景点即为该小组的研究内容．现将四张卡片背面朝上洗匀，第一小组随机抽取一张并记录结果，将卡片放回并重新洗匀后，第二小组再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两个小组研究的景点不相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“崂山”的概率为； （2）解：画树状图如下： ， 共有种等可能的结果，其中这两个小组研究的景点不同的结果有种， 故两个小组研究的景点不相同的概率为． 3．（2026·山东青岛·一模）《出圉图》现藏于故宫博物院，为元代画家任仁发精心创作．此图以唐代为灵感源泉，将历史与艺术完美融合．2026年3月3日，中国邮政发行了《出圉图》特种邮票，一套三枚（如图，分别记为A，B，C）．将这三枚邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽取一张，则抽取的邮票恰好是C的概率为_； (2)从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式解答即可； （2）根据题意，列出表格，可得共有6种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是和的有2种结果，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，从中随机抽取一张，则抽取的邮票恰好是C的概率为 （2）解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是和的有2种结果． ∴ 抽到的两张邮票恰好是A和B的概率为． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某校为弘扬法治精神，营造校园良好尊法学法守法环境，该校学生会宣传部决定从《民法典》、《未成年人保护法》、《刑法》、《义务教育法》（依次用字母A，B，C，D表示）中随机抽取两本法律并选取部分内容作为学校法治宣传栏内容． (1)抽取《义务教育法》作为宣传栏内容的概率为_ ； (2)请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两本法律中有《民法典》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率问题，列表法或树状图方法是解题的关键． （1）由题可直接得到概率； （2）根据题意列出树状图，再计算概率即可． 【详解】（1）总共4本法律，所以抽取《义务教育法》作为宣传栏内容的概率为， 故答案为：． （2）根据题意树状图如下： 抽取两本法律共有12种，其中有《民法典》的共有6种， 所以抽取的两本法律中有《民法典》的概率为． 题型04 统计与概率综合应用 析典例·建模型 1．（2026·山东德州·一模）为了解我区城乡艺术教育质量发展情况，某调查小组从农村和城区各抽取所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了名学生，数据分析如下． 【收集与整理】 农村学校名学生的艺术成绩（单位：分）：，，，，，，，，，； 城区学校名学生的艺术成绩（单位：分）：，，，，，，，，，． 【描述与分析】 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 城区 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出表格中、的值，______，______； (2)【迁移与应用】 若从本次艺术成绩在分以上的名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； (3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【答案】(1)，； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）根据中位数，众数的定义求解即可； （2）农村学校分以上学生有人，分别记为，，城区学校分以上学生有人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可； （3）答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，提出合理化建议即可． 【详解】（1）解：， 城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87， ∴． （2）解：农村学校分以上学生有人，分别记为，，城区学校分以上学生有人，分别记为，，画树状图如下： 总共有种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有种， ∴（所选两名学生恰好都是城区学生）． （3）解：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化程度． 研考点·通技法 考查知识点结合： 统计图表＋概率；样本估计总体＋概率；用频率估计概率 通用思路：“分步处理，逐一求解” 1. 将题目拆解为两个独立或递进的部分。通常先解决统计部分（计算统计量、补全图表、估计总体），再解决概率部分。 2. 概率部分的样本空间往往就是统计部分中某类对象（如“A等级的学生”、“达到优秀的学生”）。 方法技巧：先完成统计小题，再处理概率问题。概率的“结果数”通常就是统计小题中的数据。例如，从“成绩高于90分”的学生中随机抽取两人，样本空间人数就是统计中的频数。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）生活现象与“二十四节气”相关的成语、谚语蕴含了丰富的自然规律，如：“冰雪融化”“镜花水月”“寒露草枯雁南飞”“清明断雪，谷雨断霜”等．某校跨学科兴趣小组为了解学生对生活现象及谚语中蕴含的自然规律的掌握情况，从甲、乙两个校区的学生中各随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道题，根据测试结果绘制出如下统计表和如图所示的统计图． 甲校区学生测试结果统计表： 答对题数 5 6 8 10 人数 3 7 6 4 (1)通过计算判断抽取的样本中哪个校区的学生答对题数的平均数更大； (2)该小组随后又从乙校区随机抽取了几名其他的学生进行相同的测试，得知最少的答对了8道题，将其与之前乙校区20名学生的成绩数据合并后，发现答对题数的中位数变大了，则最少又测试了_人． (3)其中的一道题目如下：先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用“．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D 主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】(1)抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大 (2)2 (3)这个活动规则对他们双方公平，理由见解析，表格见解析 【分析】（1）根据平均数的定义分别求出两个校区的平均数，比较即可得到答案； （2）先求出原来乙校区抽取的20名学生的答对题数中位数，再根据重新测试的学生中最少的答对了8道题判断需要重新测试后所有学生的中位数变大的情况即可得到答案； （3）列表求出两人分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：甲校区的学生答对题数的平均数为题， 乙校区的学生答对题数的平均数为题， ∵， ∴抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大； （2）解：将乙校区原来抽取的20名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第10个数据，第11个数据分别为7题，7题，即中位数为7题， ∵再次抽取的学生中，最少的答对了8道题， ∴若再次抽取了1名学生，那么将乙校区抽取的21名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，即中位数为7题，此时中位数保持不变， 若再次抽取了2名学生，那么将乙校区抽取的22名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，第12个数据为8题，即中位数为题，此时中位数变大了， ∴最少又测试了2人； （3）解：这个活动规则对他们双方公平，理由如下： 列表如下： 小宇小辉 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们抽取的两张卡片上都是物理现象的结果数有4种，他们抽取的两张卡片上都是化学变化的结果数有4种， ∴由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为，由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为， ∴两人能分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率相同， ∴这个活动规则对他们双方公平． 3．（2026·山东潍坊·一模）近年来，我市坚持以人民为中心的发展思想，将普惠性，基础性，兜底性民生建设作为重中之重，积极探索在发展中保障和改善民生的新路径，为人民群众带来更多获得感和幸福感．按照市委市政府工作安排，为认真贯彻落实市两会提出的免费乘坐公交民生实事，公交公司从2023年5月起，实行本市内免费乘坐公交车政策．某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份问卷调查，并在该小区随机调查了50人，并将部分调查数据制成如下两个统计图． 调查问卷 年龄_____岁 具体地址：_____ 问题1：您乘坐免费公交车吗？_____ A．从不坐 B．偶尔坐 C．经常坐 问题2：若您乘坐免费公交车，请对乘车体验作出评价 _____ A．满意 B．不太满意 请根据统计图回答问题： (1)①调查的50人中，55岁以上的有_________人，m的值为_________； ②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为_________； (2)本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案．求恰好抽到20岁岁这个范围内的居民的概率． 【答案】(1)①30、10；②； (2)． 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，统计表和简单的概率计算，能从表中获取信息和正确计算是解题的关键． （1）①用调查的总人数乘以55岁以上所占的百分比即可；②用1减去其余两项所占的百分比即可； （2）利用列表法或树状图法计算即可． 【详解】（1）解：①55岁以上的有（人）， ， ， 故答案为：30，10； ②恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为， 故答案为：； （2）解：不满意的人有（人）， 设岁这个范围内不满意的居民为A，55岁以上的三位不满意的居民分别为， 根据题意，列表格如下∶ 二 一 A A 或画树状图如下： 由表格(或树状图)可知：随机选居民去参加座谈，共有12种等可能的情况，其中恰好选岁这个范围内居民的有6种情况，即，，，，，， ∴， 故答案为：． 4．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)20，10，90 (2)统计图见解析 (3) 【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算： （1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角； （2）根据（1）中求出数据即可作图； （3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可． 【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为， 由扇形统计图可知第5组人数， 则第2组人数， 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为， 故答案为：20，10，90； （2）解：如图： （3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合： ， 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 故概率为． / 学科网（北京）股份有限公司 $