河南信阳市商城县达权店高级中学2025-2026学年下学期第一次月考试卷高二数学

**基本信息** 聚焦导数与统计概率核心内容，以快递员工资计算、公益劳动时间统计等真实情境设计问题，考查数学思维与应用能力，适配高二选择性必修阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|导数（1、2题）、概率（4题）|基础概念与运算，如切线方程（8题）| |多选题|3/18|导数应用（9题）、正态分布（10题）|辨析易错点，如导数运算法则（9题）| |填空题|3/15|函数单调性（12题）、切线方程（14题）|直接考查核心技能，如极值点应用（13题）| |解答题|5/77|导数计算（15题）、统计概率（16、18题）、函数极值（19题）|16题结合快递行业情境，19题综合导数与方程根，体现逻辑推理与应用意识|

2026学年信阳市达权店高中数学5月第一次月考卷 高二数学 考试范围：选择性必修2第五章及选择性必修3第六七章；考试时间：120分钟；分值：150 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均不得分。 1．设函数是函数的导函数，若，则（ ） A． B． C． D． 2．物体做直线运动，其运动规律是（为时间，单位是，为路程，单位是），则它在s末的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列各结论中正确的是 A． B． C． D． 4．袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 5．方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．点P在函数的图像上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（    ） A．5或 B．1或3 C．1 D．5 7．已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 8．设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题:是任意实数，若，则，则 A．“或”为真 B．“且”为真 C．假真 D．，均为假命题 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知随机变量，则（    ） A．， B． C． D． 11．已知曲线和直线，则（    ） A．曲线上与直线l平行的切线的切点为 B．曲线上与直线l平行的切线的切点为 C．曲线上的点到直线l的最短距离为 D．曲线上的点到直线l的最短距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数f(x)在区间[a，b]上满足f′(x)>0，则f(a)是函数的最________值，f(b)是函数的最________值． 13．若点是曲线上任意一点,则点到直线的最小距离是_______. 14．已知，则曲线在点处的切线方程为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（17分）求下列各函数的导数． (1)； (2)； (3)． 16．（13分）据统计，仅在北京地区每天就有500万单快递等待派送，近5万多名快递员奔跑在一线，快递网点人员流动性也较强，各快递公司需要经常招聘快递员，保证业务的正常开展.下面是50天内甲、乙两家快递公司的快递员的每天送货单数统计表： 送货单数 30 40 50 60 天数 甲 10 10 20 10 乙 5 15 25 5 已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为：甲公司规定底薪元，每单抽成元；乙公司规定底薪元，每日前单无抽成，超过单的部分每单抽成元． （1）分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式； （2）若将频率视为概率，回答下列问题： ①记甲快递公司的快递员的日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望； ②小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由． 17．（15分）设数列的前项和为，对任意正整数，. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求证：. 18．（17分）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求a的值； (2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为X，求X的分布列和期望； (3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有k名学生参加公益劳动时间在（单位：小时）内的概率，其中，1，2，，20.当最大时，写出k的值.（只需写出结论）. 19．（15分）已知函数，当时，函数取得极值. （1）求实数a的值； （2）若时，方程有两个根，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026学年信阳市达权店高中数学5月第一次月考卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D B D A A ABD AC 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A 2．C 【分析】求出导数，分析得该物体在s末的瞬时速度即为时的导数值，将代入导数即可得解. 【详解】，该物体在s末的瞬时速度即为时的导数. 故选C 【点睛】本题考查求解具体函数的导数、导数的意义，属于基础题. 3．D 【详解】试题分析：对进行求导，求出其单调区间，再根据均值不等式判断的大小，从而判断其函数值的大小； 令f′（x）=0，解得x=e,当x≥e时，f′（x）＜0，为减函数，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数，∵b＞a＞3＞e，故选D． 考点：利用导数研究函数的性质 4．D 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】第一次摸到的是白球，余下1白2黑的3个球， 所以第二次摸到黑球的概率为. 故选：D 5．B 【分析】设，求导，利用导数分析函数的单调性及极值，可判断零点个数，即可求解. 【详解】设, 则， 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故当x=1时，函数取得极大值f (1) =6，当x=2时函数取得极小值f (2) =5, 又x→+∞时，f (x) >0, x→-∞时, f (x)→-∞, 故函数f (x)与x轴只有一个交点. 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值，函数零点个数，转化思想，属于中档题. 6．D 【分析】在曲线的点作切线，使得此切线与直线平行，得，进而根据题意得点到直线的距离为时满足条件，根据点到直线的距离公式得或，再结合图形分析即可得答案. 【详解】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行， 因为，于是，所以，∴， 于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个， ∴ ，解得或， 又当时，函数的图象与直线不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为，所以不满足； 当时，函数的图象与直线相交，满足条件. 故选：D． 7．A 【分析】设，将原式变形即可得到、、，再利用导数研究函数的单调性，即可得到函数的草图，数形结合即可判断； 【详解】解：设.由且，变形得，即； 由且，变形得﹐即； 由且，变形得，即. ∵，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的草图如图所示. ∵，，，，，， ∴， 故选：A. 8．A 【详解】试题分析：,,由导数的几何意义可得在点处切线的斜率为,切线方程为,即.所以命题是真命题; 当时,所以命题是假命题.所以“或”为真命题.故A正确. 考点：1命题;2导数的几何意义. 9．ABD 【分析】根据导数运算法则逐一验证即可 【详解】A：，A错误 B：，B错误 C：，C正确 D：，D错误 故选：ABD 10．AC 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】解：由题意，得，，即，，故A正确； ∵，∴，故B错误； ∵，，∴，故C正确； ，故D错误． 故选：AC 11．BC 【分析】根据导数得出切线斜率求切点判断A,B,再结合点到直线距离求出最短距离判断C,D. 【详解】设与直线平行的直线和相切，则斜率为. 因为，所以，令，可得切点为，故A错误，B正确； 则点到直线的距离就是曲线上的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知最短距离为，故C正确，D错误. 故选：BC. 12． 小 大 【分析】由导函数与单调性的关系即得. 【详解】由f′(x)>0知，函数f(x)在区间[a，b]上为增函数， 所以f(a)为最小值，f(b)为最大值． 故答案为：小；大. 13． 【详解】试题分析：根据题意可知，由于点P是曲线上任一点，那么点P(x, ),则利用点到直线的距离公式 ,令f（x）=（x＞0），则f′(x)=，令f′（x）=0，解得x=1．当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，也是最小值，且f（1）=1＞0．∴点P到直线y=-x的最小距离d=,故答案为． 考点：导数的运用 点评：整理掌握利用导数研究函数的极值和最值、点到直线的距离公式是解题的关键 14． 【分析】利用导数的几何意义，先对函数求导，从而可求得切线的斜率，再利用点斜式可求出切线方程. 【详解】∵，∴， ， ∴， ∴在处的切线方程为：， 即． 故答案为：. 15．(1) (2) (3) 【分析】运用导数四则运算和简单复合函数导数得运算规则计算即可. 【详解】（1）化简得， ∴． （2）∵， ∴． （3）． 16．（1），；（2）见解析 【详解】试题分析：（1）根据题意可得，利用分段函数进行表示；（2）①的所有可能取值为，分别计算出其对应的概率，得分布列得期望；②先求出乙快递公司的快递员这50天的工资和为，得其平均工资为，将其和106比较得结果. 试题解析：（1）甲快递公司的快递员的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式为：； 乙快递公司的快递员的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式为： ． （2）①由题中表格易知的所有可能取值为， 则； ； ； ． 所以的分布列为 90 100 110 120 故（元）． ②乙快递公司的快递员这50天的工资和为： （元）， 所以乙快递公司的快递员的日平均工资为（元）， 由①知，甲快递公司的快递员的日平均工资为元． 当，即时，小赵应选择甲快递公司； 当，即时，小赵选择甲、乙快递公司均可； 当，即时，小赵应选择乙快递公司． 17．（Ⅰ）；(Ⅱ)证明略． 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据进行求解；(Ⅱ)由(Ⅰ)得数列是等比数列，由等比数列的前项和公式进行证明． 试题解析：（Ⅰ）∵对任意正整数，，∴， ∴，即， ∴，解得 当时，，即.∴, ∴数列的通项公式为. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得. ∴，，∴， ∴. 考点：1.与的关系；2.等比数列的前项和公式． 18．(1) (2)分布列见解析，期望为 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，求出的值即可； （2）由频率分布直方图求出这500名学生中参加公益劳动时间在，，三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列，由分布列即可计算期望； （3）根据独立重复试验的概率公式得到不等式组，解得的取值范围，即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图得： ， 解得； （2）由频率分布直方图得： 这500名学生中参加公益劳动时间在，，三组内的学生人数分别为： 人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取：人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 则其期望为； （3）由（1）可知参加公益劳动时间在的概率， 所以， 依题意，即， 即，解得， 因为为非负整数，所以， 即当最大时，. 19．（1）；（2）. 【分析】（1）利用可得的值，注意检验. （2）令，利用导数讨论函数在的单调性后可得的取值范围. 【详解】（1）由，则， 因在时，取到极值，所以， 解得. 又当时，， 当时，，当时，， 故当时，函数取得极值， 综上，. （2）令，由（1）得，且， 故， 则， 当时，令，解得，令，解得， 的递增区间为，递减区间为， 故，而，故. 要有两个根，则，故. 【点睛】本题考查三次函数的极值以及函数的零点，后者应结合函数的单调性来讨论，注意合理构建新函数. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $