精品解析：河南省信阳市商城县上石桥高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

2023—2024学年度上石桥高中高二3月月考 数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：张潇；审题人：张杰 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数在处的导数为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B. 该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C. 在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D. 该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 4. 设直线的方程是，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同的直线的条数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ） A. 240 B. 480 C. 384 D. 1440 7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9. 如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（ ） A. 有三个单调区间 B. C. D. 在上单调递增，在上单调递减 10. 3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ） A. 3名男生必须相邻的排法有144种 B. 3名男生互不相邻的排法有72种 C. 甲在乙的左边的排法有360种 D. 甲、乙中间恰好有2人的排法有144种 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 12. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分． 13. 某小组共有4名男生，和3名女生.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共有__________种不同的结果. 14. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________. 15. 已知数列{an}和{bn}都是等差数列，且其前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则___． 16. 已知函数，若，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式； （2）求在上的最值. 18. 已知函数，在点处的切线方程是. （1）求的值； （2）设函数，若函数只有1个零点，求的取值范围. 19. 某职业学校外贸专业高二（1）班、（2）班、（3）班分别有7，9，10人参加技能兴趣选拔赛． （1）如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ （2）如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ （3）如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 20. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求. 21. 设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 22. 已知函数. （1）在上是增函数，求a的取值范围； （2）讨论函数的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度上石桥高中高二3月月考 数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：张潇；审题人：张杰 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数在处的导数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解. 【详解】由题意得函数在处的导数 ， 故A项正确. 故选：A. 2. 已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的证明方法，结合等比数列的定义与数列递推式即可得解. 【详解】当时，因为，所以， 又，则，则， 依次类推可知，故， 则是首项为，公比为的等比数列，即充分性成立； 当是等比数列时，因为，所以， 当时，，则是公比为的等比数列， 所以，即， 则，，， 由，得，解得，不满足题意； 当，即时，易知满足题意； 所以，即必要性成立. 故选：C. 3. 为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B. 该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C. 在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D. 该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【解析】 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；      选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；    选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D. 4. 设直线的方程是，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同的直线的条数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】任取2个数作为A，B共有种，去掉重复的直线条数即可得解． 【详解】[详解] ∵从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值有种结果， 在这些直线中有重复的直线， 当和时，结果相同； 当和时，结果相同， ∴所得不同直线的条数是， 故选：C． 5. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】令，得，代入曲线， 所以的最小值即为点到直线的距离. 故选：B. 6. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ） A. 240 B. 480 C. 384 D. 1440 【答案】B 【解析】 【分析】利用插空法求解. 【详解】鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式， 此时形成个空位，选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式， 由乘法原理可知不同的上菜顺序种数为， 故选：. 7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得. 【详解】设切点坐标为，由于，因此切线方程为， 又切线过点，则，， 设，函数定义域是， 则直线与曲线有两个不同的交点，， 当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意； 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增，所以， 结合图象可知，即. 故选：A. 8. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合基本不等式求解即可. 【详解】， 因为函数在点处的切线与直线垂直， 所以，即，则不可能同时为负数， 当或时，， 当时，， 当时，， 当且仅当时，取等号， 综上所述，的最大值为. 故选：A. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9. 如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（ ） A. 有三个单调区间 B. C. D. 在上单调递增，在上单调递减 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数值与0的关系结合原函数的单调性判断各个选项即可． 【详解】对于A，由图象可以看出，的符号是先负后正，再负再正， 所以函数有四个单调区间，故A错误； 对于B，当时，，函数单调递减， 所以，故B错误； 对于C，当时， ，函数单调递增， 所以，故C正确； 对于D，当时，，函数单调递减，显然D正确． 故选：CD． 10. 3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ） A. 3名男生必须相邻的排法有144种 B. 3名男生互不相邻的排法有72种 C. 甲在乙的左边的排法有360种 D. 甲、乙中间恰好有2人的排法有144种 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：利用捆绑法分析；B：利用插空法分析；C：先考虑人全排列，然后甲在乙的左边的排法数占一半，由此求解出结果；D：先选人与甲乙捆绑在一起，然后再看成个元素全排列. 【详解】对于A：将名男生捆绑在一起看成一个元素，所以排法有种，故A正确； 对于B：将名男生放入到名女生形成的个空位中，所以排法有种，故B错误； 对于C：名男生和名女生全排列，排法有种， 其中甲在乙的左边的排法占总数的，所以有种排法，故C正确； 对于D：先选人与甲乙一起看成一个元素，再将此一个元素与剩余人全排列， 所以有排法种，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误. 【详解】定义域为，， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增； 对于A，，，， 在区间和内各存在一个零点； 当时，，，恒成立； 有且仅有两个不同的零点，A错误； 对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确； 对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解， 若当时，，则，C错误； 对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点， 作出图象如下图所示， 结合图象可知：，D正确. 故选：BD. 12. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可. 【详解】构造函数，其中，则， 所以，函数在上为减函数， 对于AB选项，，即，可得，A错B对； 对于CD选项，，即，D对，C无法判断. 故选：BD. 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分． 13. 某小组共有4名男生，和3名女生.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共有__________种不同的结果. 【答案】24 【解析】 【分析】根据题意结合分步乘法计数原理分析求解. 【详解】因为4名男生选一名男生共有4种不同的结果； 3名女生选一名女生共有3种不同的结果； 一名男生和一名女生分别担任组长和干事共有2种不同的方法， 根据分步乘法计数原理可知：共有种不同的结果. 故答案为：24. 14. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，再次利用导数的几何意义求得的切点，从而得解. 【详解】因为的导数为，则， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为；. 15. 已知数列{an}和{bn}都是等差数列，且其前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则___． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及前n项和公式，结合已知条件推出，即可求得答案. 【详解】由题意知数列{an}和{bn}都是等差数列，＝， 则, 故答案为： 16. 已知函数，若，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，最后根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 又，所以在上单调递增， 不等式，即， 等价于，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式； （2）求在上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据，，列出方程组，求解即可； （2）根据（1）中所求解析式，利用导数判断函数单调性，结合极值和区间端点值，即可求得结果. 【小问1详解】 ，故可得， 由题可知：，， 即：，，解得； 经检验，当时，满足题意，故. 【小问2详解】 由（1）可知：，，又， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 当，，单调递增； 故的极大值为，的极小值为，， 故在上的最大值为，最小值为. 18. 已知函数，在点处的切线方程是. （1）求的值； （2）设函数，若函数只有1个零点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数研究函数的单调性后计算即可得. 【小问1详解】 ，则， ，解方程组，可得， 即，； 【小问2详解】 由，，故，， ， 故当或时，，当时，， 即在、上单调递增，在上单调递减， 又，， 若函数只有1个零点，则有或， 即或. 19. 某职业学校外贸专业高二（1）班、（2）班、（3）班分别有7，9，10人参加技能兴趣选拔赛． （1）如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ （2）如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ （3）如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分类加法计数原理计算即可； （2）利用分步乘法计数原理计算即可； （3）利用分类加法与分步乘法计数原理计算即可. 【小问1详解】 分三类： 选出的是高二（1）班的学生，有7种选法； 选出的是高二（2）班的学生，有9种选法； 选出的是高二（3）班的学生，有10种选法． 由分类加法计数原理，得不同的选法种数为． 【小问2详解】 每班选一名副组长为一步，所以共有三步． 由分步乘法计数原理，得不同的选法种数为． 【小问3详解】 分三类：高二（1）班和高二（2）班， 高二（1）班和高二（3）班， 高二（2）班和高二（3）班． 每类又分两步，故不同的选法种数为． 20. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的结构对分和讨论得解； （2）对分类讨论求出的最大值，建立关于的不等关系，解得的范围. 【小问1详解】 ， 当时，在上单调递增； 当时，令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，，不合题意. 当时，由（1）可知，. 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以. 所以当且时，，不合题意， 当时，，符合题意. 综上，. 21. 设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意首先得结合是公差为的等差数列可求得，根据之间的关系即可进一步求解； （2）首先得，由裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，即． 当时，， 又适合上式， 所以． 【小问2详解】 ， 故 ． 22. 已知函数. （1）在上是增函数，求a的取值范围； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数，在和上是增函数. 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数的关系得到在上恒成立，从而得解； （2）首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间. 【小问1详解】 因为，所以的定义域为， 则， 因为在上是增函数，即在上恒成立， 则在上恒成立， 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以，则， 所以，则. 【小问2详解】 由（1）得， 当时，，则在上是增函数； 当时，， 所以； 或； ， 所以在上是减函数，在和上是增函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $