11.2一元一次不等式（5知识点+8题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（人教版）

11.2一元一次不等式 （5知识点+8题型+过关检测） 【题型1 一元一次不等式的定义】 3 【题型2 求一元一次不等式的解集】 3 【题型3 求一元一次不等式的整数解】 4 【题型4 在数轴上表示不等式的解集】 5 【题型5 求一元一次不等式解的最值】 5 【题型6 列一元一次不等式】 6 【题型7 用一元一次不等式解决实际问题】 6 【题型8 用一元一次不等式解决几何问题】 8 1. 理解一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式，区分一元一次不等式与一元一次方程、代数式、普通不等式，掌握定义的核心特征。 2. 熟练掌握解一元一次不等式的完整步骤，能结合不等式的性质，正确求解一元一次不等式，重点突破“系数化为1时乘除负数变号”的易错点。 3. 掌握一元一次不等式解集的文字表示、数轴表示方法，能根据解集找出整数解、判断解的最值，体会数形结合的数学思想。 4. 能根据文字描述、实际场景、几何条件，列出一元一次不等式，能运用一元一次不等式解决基础的实际问题和几何问题，培养建模思想和应用能力。 5. 通过类比一元一次方程的解法，明确两者的异同，提升知识迁移能力，为后续学习一元一次不等式组奠定坚实基础。03 知识•梳理 知识点1：一元一次不等式的定义 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2. 核心特征（缺一不可）： · 含一个未知数：整个不等式中，只有一个字母代表未知数（如x、y，通常用x）； · 未知数次数为1：未知数的最高次数是1，不含未知数的平方、立方等二次及以上项（如x²、xy等均不符合）； · 不等号两边是整式：不等号两边的式子均为整式（整式是指分母中不含未知数、根号下不含未知数的代数式）； · 必须是不等式：含有不等号（>、<、≥、≤、≠），区别于一元一次方程（含等号）。 知识点2：一元一次不等式的解法 1. 解题依据：不等式的三条基本性质（重点关注性质3：乘除负数时，不等号方向改变）。 2. 完整解题步骤（类比一元一次方程，仅在“系数化为1”步有区别）： 1. 去分母：在不等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母；注意：若最小公倍数为负数，乘完后需改变不等号方向； 2. 去括号：根据去括号法则（括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号改变），去掉不等式中的括号； 3. 移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边；注意：移项要变号（与方程移项规则一致）； 4. 合并同类项：对不等号两边的同类项进行合并，将不等式化为ax>b（或ax<b、ax≥b、ax≤b）的最简形式（a≠0）； 5. 系数化为1：在不等式两边同时除以未知数的系数a；注意：若a>0，不等号方向不变；若a<0，不等号方向必须改变；若a=0，需单独判断（此时不是一元一次不等式）。 3. 注意事项： · 每一步变形都要遵循不等式性质，尤其是“去分母”“系数化为1”时，若乘除负数，务必变号； · 移项时，只有含未知数的项和常数项之间移动才变号，同一侧的项移动不变号； · 最终解集需化为最简形式，如x>2（而非2<x）、x≤-3（而非-3≥x）。 知识点3：一元一次不等式的解集及表示方法 1. 一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的所有未知数的值的集合，是一个范围（区别于一元一次方程的唯一解）。 2. 表示方法（两种，中考重点考查数轴表示）： · 文字表示：直接用文字描述解集范围，如“x大于5”“x小于或等于-2”“x不小于3”（即x≥3）； · 数轴表示：遵循“方向看大小，端点看等号”的口诀： · 方向：大于向右画，小于向左画； · 端点：包含等号（≥、≤），端点画实心圆点；不包含等号（>、<），端点画空心圆圈； 知识点4：一元一次不等式的解的相关拓展 1. 整数解：在一元一次不等式的解集中，所有整数的取值，包括正整数、负整数、0； 2. 解的最值：当解集为x≤a时，最大值为a（若a是整数，最大值就是a；若a不是整数，最大值为a左侧最接近的整数）；当解集为x≥b时，最小值为b（同理，非整数时取右侧最接近的整数）；解集为x>b或x<a时，无最值。 知识点5：一元一次不等式的应用 1. 核心思路：将文字描述、实际场景、几何条件中的不等关系，转化为一元一次不等式，求解后结合实际意义（或几何意义）验证答案。 2. 关键步骤：找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、不小于、至少、最多、超过、不足等）→ 设未知数 → 列一元一次不等式 → 解不等式 → 结合题意确定符合条件的解。 3. 几何应用重点：结合几何图形的边长、周长、面积等公式，根据“大于、小于、不超过”等不等关系列不等式（如三角形三边关系、矩形周长限制等）。 04 题型•汇总 【题型1 一元一次不等式的定义】 核心考点：识别一元一次不等式，判断式子是否符合一元一次不等式的四个核心特征。 解题思路：先判断式子是否为含不等号的整式，再确认只含一个未知数且未知数次数为1，四者均满足即为一元一次不等式。 【典例1】．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【变式2】．已知关于的不等式是一元一次不等式，那么的值是______． 【变式3】．下列不等式：①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有_______（填序号）． 【题型2 求一元一次不等式的解集】 核心考点：熟练掌握一元一次不等式的解题步骤，准确运用不等式性质，突破“乘除负数变号”易错点。 解题思路：按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤求解，注意乘除负数变号，最终化为x单独在左侧的最简解集。 【典例2】．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 【变式3】．解不等式： (1)； (2)． 【变式4】．解不等式：． 【变式5】．解不等式： (1)； (2)． 【题型3 求一元一次不等式的整数解】 核心考点：先求不等式的解集，再结合整数的定义，找出解集中的所有整数。 解题思路：先求出不等式解集，明确范围后，找出范围内所有整数（含正整数、负整数、0），按要求列举即可。 【典例3】．不等式的非负整数解的和为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】．不等式的所有负整数解之和等于__________． 【变式3】．求不等式的非负整数解． 【题型4 在数轴上表示不等式的解集】 核心考点：掌握数轴表示解集的口诀，准确区分端点类型和折线方向，体现数形结合思想。 解题思路：根据解集，含等号画实心圆点、不含等号画空心圆圈，大于向右画、小于向左画，检查端点和方向是否正确。 【典例4】．不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】．现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 【变式2】．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【变式3】．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【题型5 求一元一次不等式解的最值】 核心考点：结合解集的范围，判断解的最大值、最小值，明确“有无最值”的情况。 解题思路：求出解集后，根据解集类型判断最值：x≤a有最大值a，x≥b有最小值b，不含等号的无限解集无最值，非整数端点结合题意取舍。 【典例5】．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【变式2】．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【变式3】．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【题型6 列一元一次不等式】 核心考点：捕捉文字中的不等关系，将文字描述转化为一元一次不等式，准确匹配不等号。 解题思路：抓关键词确定不等关系，设未知数，列出含未知数的代数式并匹配不等号，组成一元一次不等式并检查。 【典例6】．语句“与的的差是非负数”表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．x的3倍与5的差不大于10，列不等式：_________． 【变式3】．“x的2倍与1的和是负数．”用不等式表示为_______________． 【题型7 用一元一次不等式解决实际问题】 核心考点：将实际场景中的不等关系转化为数学模型（一元一次不等式），求解后验证实际意义。 解题思路：审题找不等关系，设未知数，列不等式并求解，结合实际意义筛选符合条件的解，最终作答。 【典例7】．某农户投入元种植千克蔬菜，在生长过程中有的蔬菜因病虫害受损无法售卖．若要使总收益比成本至少高，则每千克蔬菜的售价至少为多少元？设每千克蔬菜的售价为元，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．2026年，大同文旅迎来爆发式增长．依托云冈石窟、大同古城等核心，叠加沉浸式演艺、文创“佛小伴”及春节民俗活动引爆市场，全市文旅营收规模持续走高，增速领跑全省．入境游热度以增速领跑全国，重点景区游客接待量与门票收入双增，既彰显了古都文化魅力，也为资源型城市转型注入强劲动能．某文创工作室定制了3000份周边徽章，每份成本为10元．包装运输过程中，有的徽章因磕碰损坏无法售卖．为保障工作室运营，需确保至少的利润．设徽章的销售单价为元/份，则可列不等式为：___________． 【变式2】．问题情境：“海丝起点，清新福建”福建山水秀丽，风景优美，是全国知名的旅游目的地．某旅游团组织到福建旅游，准备为每位团员购买1件某景区的纪念品挂件，该景区有两家销售该纪念品的商店，标价均为20元/件，且都在进行促销活动．甲商店规定：一次性购买金额不超过300元的不优惠，一次性购买金额超过300元的，超过部分按标价的六折优惠．乙商店规定：全部按标价的八折售卖．设该旅游团有团员n人． 问题解决： (1)当时，在甲商店的购买金额为______元；在乙商店的购买金额为______元． (2)当时． ①分别求在甲、乙两商店的购买金额．（用含n的代数式表示） ②你认为选择哪家商店支付的费用较少，请说明理由． 【变式3】．某网店借助直播平台开展“直播带货”直销活动．他们用元购进一批酥梨和黄梨，销售完后共获利元，酥梨和黄梨的进价和售价如表： 酥梨（元） 黄梨（元） 进价 售价 (1)求该网店购进酥梨和黄梨分别是多少？ (2)该网店第二次以原价购进酥梨和黄梨，购进黄梨数量不变，而购进酥梨的数量是第一次的倍．酥梨按原售价出售，而黄梨让利销售．若酥梨和黄梨销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于元，求黄梨最低售价为多少元？ (3)在（2）的条件下，网店在获得的利润取最小值时，决定售出的酥梨每千克捐出元，黄梨每千克捐出元给慈善机构，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值（精确到）． 【题型8 用一元一次不等式解决几何问题】 核心考点：结合几何图形的公式（边长、周长、面积、三角形三边关系等），找出不等关系，列不等式求解。 解题思路：结合几何公式，找出不等关系，设未知数，列不等式求解，结合几何意义（边长为正等）筛选符合条件的解。 【典例8】．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式1】．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【变式2】．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【变式3】．如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 05 过关•检测 1．不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．为迎接2026年哈尔滨冰灯展，某校开展了以迎冰灯展为主题的演讲活动，计划拿出360元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件18元，乙种奖品每件24元，则购买方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 6．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．2025年春晚机器人动作机械，2026年已实现灵活流畅的舞台表演．这一变化直观体现了我国人形机器人技术在一年内的快速迭代升级．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 8．某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 9．若是关于的一元一次不等式，则________． 10．若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 11．我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 12．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是_____． 13．一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是________． 14．某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了___________道题； 15．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 16．如图是加工零件的直径的尺寸要求，则的取值范围是_____． 17．如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 18．解不等式：． 19．解不等式：． 20．已知关于，的二元一次方程组．若方程组的解满足，求的取值范围． 21．解不等式，并写出它的负整数解． 22．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 23．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 24．“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有166千米的路程，需要不超过2小时送到，前80分钟已经走了120千米，后40分钟的速度至少为多少才能不延误时间？ 25．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知2箱甲种猕猴桃和3箱乙种猕猴桃的售价之和为460元；5箱甲种猕猴桃和2箱乙种猕猴桃的售价之和为600元． (1)求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共20箱，总花费不超过1800元，且乙种猕猴桃的箱数不少于8箱．该公司有哪几种购买方案？ 26．下表中有两种手机通话计费方式：（月使用费固定收取：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费，被叫免费） 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元/分钟） 被叫 方式一 50 150 0.2 免费 方式二 80 350 0.25 免费 (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需 元，按方式二计费需 元； (2)王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为 分钟； (3)当月主叫通话t分钟满足什么条件时，选择方式一比方式二省钱． 27．七年级新学期．两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲桌上，小英对其高度进行了测量，请根据下图中所给出的数据信息．回答下列问题： (1)每本课本的厚度为_________； (2)若有一摞上述规格的课本本．请用含有的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)现桌面上有若干本此规格的课本，整齐地叠放成一摞，若这摞课本距离地面的高度不超过，求这摞课本最多有多少本． 28．2026年4月23日是第31个“世界读书日”．为进一步营造浓厚的读书氛围，王老师要为班级补充一些名著，现获取信息如下： (1)求每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价． (2)现按照优惠方案购买《西游记》． ①当购买数量不超过10本时，请直接写出王老师应选择哪种优惠方案； ②当购买数量超过10本时，王老师应如何选择优惠方案？ 29．山西孝义皮影戏是国家级非物质文化遗产，其造型古朴、雕刻精湛，深受大众喜欢．某非遗体验馆计划定制一批皮影文创，用于研学活动和非遗文化推广．已知定制2个传统人物皮影和1个动物皮影共需200元，定制3个传统人物皮影和2个动物皮影共需320元． (1)求一个传统人物皮影和一个动物皮影的价格分别是多少元． (2)该体验馆计划定制两种皮影共70个，为丰富研学活动的展示内容，馆方希望在总费用不超过5100元的前提下，尽可能多定制传统人物皮影，求最多可定制多少个传统人物皮影． 30．风靡世界的“拉布布”玩偶凭借独特设计，展现了中国文化魅力与创新实力，这类中国原创潮玩走出国门，体现了我国软实力的提升，受到各国年轻人的喜爱，已知某网店销售甲、乙两款玩偶，甲款玩偶的售价比乙款玩偶售价的2倍少30元，购买2个甲款玩偶和3个乙款玩偶共需255元（免运费）．请解答下列问题：    (1)该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？ (2)根据市场需求，该网店计划用不超过8900元购进甲、乙两款玩偶共200个，且甲款数量超过87个．已知甲款玩偶每个进价50元，乙款玩偶每个进价40元，该网店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，网店推出促销活动：一次性购买同一款玩偶超过10个，赠送1个同款玩偶．若本次购进的玩偶全部售出，共赠送4个，总获利1250元，直接写出甲、乙两款玩偶各赠送几个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2一元一次不等式 （5知识点+8题型+过关检测） 【题型1 一元一次不等式的定义】 3 【题型2 求一元一次不等式的解集】 4 【题型3 求一元一次不等式的整数解】 7 【题型4 在数轴上表示不等式的解集】 9 【题型5 求一元一次不等式解的最值】 11 【题型6 列一元一次不等式】 14 【题型7 用一元一次不等式解决实际问题】 15 【题型8 用一元一次不等式解决几何问题】 18 1. 理解一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式，区分一元一次不等式与一元一次方程、代数式、普通不等式，掌握定义的核心特征。 2. 熟练掌握解一元一次不等式的完整步骤，能结合不等式的性质，正确求解一元一次不等式，重点突破“系数化为1时乘除负数变号”的易错点。 3. 掌握一元一次不等式解集的文字表示、数轴表示方法，能根据解集找出整数解、判断解的最值，体会数形结合的数学思想。 4. 能根据文字描述、实际场景、几何条件，列出一元一次不等式，能运用一元一次不等式解决基础的实际问题和几何问题，培养建模思想和应用能力。 5. 通过类比一元一次方程的解法，明确两者的异同，提升知识迁移能力，为后续学习一元一次不等式组奠定坚实基础。03 知识•梳理 知识点1：一元一次不等式的定义 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2. 核心特征（缺一不可）： · 含一个未知数：整个不等式中，只有一个字母代表未知数（如x、y，通常用x）； · 未知数次数为1：未知数的最高次数是1，不含未知数的平方、立方等二次及以上项（如x²、xy等均不符合）； · 不等号两边是整式：不等号两边的式子均为整式（整式是指分母中不含未知数、根号下不含未知数的代数式）； · 必须是不等式：含有不等号（>、<、≥、≤、≠），区别于一元一次方程（含等号）。 知识点2：一元一次不等式的解法 1. 解题依据：不等式的三条基本性质（重点关注性质3：乘除负数时，不等号方向改变）。 2. 完整解题步骤（类比一元一次方程，仅在“系数化为1”步有区别）： 1. 去分母：在不等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母；注意：若最小公倍数为负数，乘完后需改变不等号方向； 2. 去括号：根据去括号法则（括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号改变），去掉不等式中的括号； 3. 移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边；注意：移项要变号（与方程移项规则一致）； 4. 合并同类项：对不等号两边的同类项进行合并，将不等式化为ax>b（或ax<b、ax≥b、ax≤b）的最简形式（a≠0）； 5. 系数化为1：在不等式两边同时除以未知数的系数a；注意：若a>0，不等号方向不变；若a<0，不等号方向必须改变；若a=0，需单独判断（此时不是一元一次不等式）。 3. 注意事项： · 每一步变形都要遵循不等式性质，尤其是“去分母”“系数化为1”时，若乘除负数，务必变号； · 移项时，只有含未知数的项和常数项之间移动才变号，同一侧的项移动不变号； · 最终解集需化为最简形式，如x>2（而非2<x）、x≤-3（而非-3≥x）。 知识点3：一元一次不等式的解集及表示方法 1. 一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的所有未知数的值的集合，是一个范围（区别于一元一次方程的唯一解）。 2. 表示方法（两种，中考重点考查数轴表示）： · 文字表示：直接用文字描述解集范围，如“x大于5”“x小于或等于-2”“x不小于3”（即x≥3）； · 数轴表示：遵循“方向看大小，端点看等号”的口诀： · 方向：大于向右画，小于向左画； · 端点：包含等号（≥、≤），端点画实心圆点；不包含等号（>、<），端点画空心圆圈； 知识点4：一元一次不等式的解的相关拓展 1. 整数解：在一元一次不等式的解集中，所有整数的取值，包括正整数、负整数、0； 2. 解的最值：当解集为x≤a时，最大值为a（若a是整数，最大值就是a；若a不是整数，最大值为a左侧最接近的整数）；当解集为x≥b时，最小值为b（同理，非整数时取右侧最接近的整数）；解集为x>b或x<a时，无最值。 知识点5：一元一次不等式的应用 1. 核心思路：将文字描述、实际场景、几何条件中的不等关系，转化为一元一次不等式，求解后结合实际意义（或几何意义）验证答案。 2. 关键步骤：找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、不小于、至少、最多、超过、不足等）→ 设未知数 → 列一元一次不等式 → 解不等式 → 结合题意确定符合条件的解。 3. 几何应用重点：结合几何图形的边长、周长、面积等公式，根据“大于、小于、不超过”等不等关系列不等式（如三角形三边关系、矩形周长限制等）。 04 题型•汇总 【题型1 一元一次不等式的定义】 核心考点：识别一元一次不等式，判断式子是否符合一元一次不等式的四个核心特征。 解题思路：先判断式子是否为含不等号的整式，再确认只含一个未知数且未知数次数为1，四者均满足即为一元一次不等式。 【典例1】．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合要求； B、不是一元一次不等式，不符合要求； C、不是一元一次不等式，不符合要求； D、 不是一元一次不等式，不符合要求； 【变式1】．若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 【变式2】．已知关于的不等式是一元一次不等式，那么的值是______． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此求解的值即可． 【详解】解：关于的不等式是一元一次不等式， ，且未知数的系数为， 解得：． 【变式3】．下列不等式：①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有_______（填序号）． 【答案】④ ⑤ 【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：① ，根号下含有未知数，不是整式，不是一元一次不等式，不符合题意； ② ，没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ③ ，含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ④ ，是常数，不等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次不等式，符合题意； ⑤ ，不等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次不等式，符合题意； 故答案为：④ ⑤． 【题型2 求一元一次不等式的解集】 核心考点：熟练掌握一元一次不等式的解题步骤，准确运用不等式性质，突破“乘除负数变号”易错点。 解题思路：按“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤求解，注意乘除负数变号，最终化为x单独在左侧的最简解集。 【典例2】．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ． 【变式1】．不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式求出的取值范围，再根据“小于向左，大于向右，有等号画实心点，无等号画空心圈”的原则在数轴上表示即可． 【详解】解：不等式，解得， 在数轴上表示为：实心点在2处，方向向左，如图所示： 【变式2】．按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 【答案】(1) (2)，负整数解：，， 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∴负整数解有：，，． 【变式3】．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤，并注意在不等式两边同乘（或除以）负数时，不等号方向要改变． （1） 通过移项、合并同类项、系数化为1求解； （2） 先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 即． 【变式4】．解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 【变式5】．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【题型3 求一元一次不等式的整数解】 核心考点：先求不等式的解集，再结合整数的定义，找出解集中的所有整数。 解题思路：先求出不等式解集，明确范围后，找出范围内所有整数（含正整数、负整数、0），按要求列举即可。 【典例3】．不等式的非负整数解的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，计算它们的和即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 不等式的非负整数解为 ，，， 非负整数解的和为，选项符合题意． 【变式1】．不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，统计个数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴满足的非负整数为，共个． 【变式2】．不等式的所有负整数解之和等于__________． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式得到不等式的解集，再找出解集中所有的负整数解，计算负整数解的和即可得到答案． 【详解】解：移项得：， 合并同类项得：， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得：， 所以不等式的所有负整数解为， ． 【变式3】．求不等式的非负整数解． 【答案】，1，2，3，4 【分析】先去分母，然后去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1得出不等式的解集，最后写出非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的非负整数解为：，1，2，3，4． 【题型4 在数轴上表示不等式的解集】 核心考点：掌握数轴表示解集的口诀，准确区分端点类型和折线方向，体现数形结合思想。 解题思路：根据解集，含等号画实心圆点、不含等号画空心圆圈，大于向右画、小于向左画，检查端点和方向是否正确。 【典例4】．不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集，然后进行判断即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 在数轴上表示不等式的解集，如图所示： 【变式1】．现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 【答案】 【分析】根据得出，求出不等式的解集是，根据数轴得出，再求出即可． 【详解】解：， ， 解得： 从数轴可知：， 解得． 【变式2】．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点；小于向左，大于向右． 【详解】解：， ， ， ， ， 如图， 【变式3】．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出解集． 【详解】解： ， ∴在数轴上表示不等式的解集如下： ． 【题型5 求一元一次不等式解的最值】 核心考点：结合解集的范围，判断解的最大值、最小值，明确“有无最值”的情况。 解题思路：求出解集后，根据解集类型判断最值：x≤a有最大值a，x≥b有最小值b，不含等号的无限解集无最值，非整数端点结合题意取舍。 【典例5】．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 【变式1】．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 【变式2】．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 【变式3】．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 【题型6 列一元一次不等式】 核心考点：捕捉文字中的不等关系，将文字描述转化为一元一次不等式，准确匹配不等号。 解题思路：抓关键词确定不等关系，设未知数，列出含未知数的代数式并匹配不等号，组成一元一次不等式并检查。 【典例6】．语句“与的的差是非负数”表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：“与的的差是非负数”表示． 【变式1】．树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先统一单位，再根据路程、速度、时间的关系找不等关系，据此列出不等式即可． 【详解】解：总距离为千米，即米， 设跑步时间为x分钟．根据题意，在40分钟内完成的总路程应不小于2500米． 基于此，假设用满40分钟，其中跑步x分钟，则步行分钟，那么跑步路程为米，步行路程为米，此时总路程应大于或等于2500米，因此可列不等式． 【变式2】．x的3倍与5的差不大于10，列不等式：_________． 【答案】 【详解】解：根据题意，列不等式：． 【变式3】．“x的2倍与1的和是负数．”用不等式表示为_______________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【题型7 用一元一次不等式解决实际问题】 核心考点：将实际场景中的不等关系转化为数学模型（一元一次不等式），求解后验证实际意义。 解题思路：审题找不等关系，设未知数，列不等式并求解，结合实际意义筛选符合条件的解，最终作答。 【典例7】．某农户投入元种植千克蔬菜，在生长过程中有的蔬菜因病虫害受损无法售卖．若要使总收益比成本至少高，则每千克蔬菜的售价至少为多少元？设每千克蔬菜的售价为元，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知这批蔬菜可卖元，根据“总收益比成本至少高”即可列出不等式． 【详解】解：设每千克蔬菜的售价为元， 依题意，得：． 【变式1】．2026年，大同文旅迎来爆发式增长．依托云冈石窟、大同古城等核心，叠加沉浸式演艺、文创“佛小伴”及春节民俗活动引爆市场，全市文旅营收规模持续走高，增速领跑全省．入境游热度以增速领跑全国，重点景区游客接待量与门票收入双增，既彰显了古都文化魅力，也为资源型城市转型注入强劲动能．某文创工作室定制了3000份周边徽章，每份成本为10元．包装运输过程中，有的徽章因磕碰损坏无法售卖．为保障工作室运营，需确保至少的利润．设徽章的销售单价为元/份，则可列不等式为：___________． 【答案】 【分析】先求出可正常售卖的徽章数量，再根据总销售额不低于总成本的的不等关系列出不等式． 【详解】解：设徽章的销售单价为元/份， 由题意可得可正常售卖的徽章数量为 份，总销售额为 元． ∵总成本为 元． ∴． 【变式2】．问题情境：“海丝起点，清新福建”福建山水秀丽，风景优美，是全国知名的旅游目的地．某旅游团组织到福建旅游，准备为每位团员购买1件某景区的纪念品挂件，该景区有两家销售该纪念品的商店，标价均为20元/件，且都在进行促销活动．甲商店规定：一次性购买金额不超过300元的不优惠，一次性购买金额超过300元的，超过部分按标价的六折优惠．乙商店规定：全部按标价的八折售卖．设该旅游团有团员n人． 问题解决： (1)当时，在甲商店的购买金额为______元；在乙商店的购买金额为______元． (2)当时． ①分别求在甲、乙两商店的购买金额．（用含n的代数式表示） ②你认为选择哪家商店支付的费用较少，请说明理由． 【答案】(1)300，240 (2)①甲、乙两商店的购买金额分别为元，元；②当时，选择乙商店；当时，选择甲商店；当时，两家商店费用相同 【分析】（1）根据优惠方案求解即可； （2）①根据两种优惠方案即可列代数式；②分类讨论，解不等式或方程即可． 【详解】（1）解：当时，（元）， 此时购买金额不超过300元， 故在甲商店的购买金额为300元； 在乙商店的购买金额为（元）； （2）解：当时，①， 则甲商店购买金额为元； 乙商店购买金额为：（元）； ②当时，解得， ∴当时，甲商店费用少； 当时，解得， ∴当时，乙商店费用少； 当时，解得， ∴当时，甲、乙商店费用一样， 答：当时，选择乙商店；当时，选择甲商店；当时，两家商店费用相同． 【变式3】．某网店借助直播平台开展“直播带货”直销活动．他们用元购进一批酥梨和黄梨，销售完后共获利元，酥梨和黄梨的进价和售价如表： 酥梨（元） 黄梨（元） 进价 售价 (1)求该网店购进酥梨和黄梨分别是多少？ (2)该网店第二次以原价购进酥梨和黄梨，购进黄梨数量不变，而购进酥梨的数量是第一次的倍．酥梨按原售价出售，而黄梨让利销售．若酥梨和黄梨销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于元，求黄梨最低售价为多少元？ (3)在（2）的条件下，网店在获得的利润取最小值时，决定售出的酥梨每千克捐出元，黄梨每千克捐出元给慈善机构，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值（精确到）． 【答案】(1)该网店购进酥梨，黄梨 (2)黄梨最低售价为元 (3)的最大值约为 【分析】（1）设该网店购进酥梨，黄梨，根据“用元购进一批酥梨和黄梨，销售完后共获利元”，列方程求解即可； （2）设黄梨售价为元，根据利润列不等式求解即可； （3）在（2）的条件下，酥梨每千克的利润为，黄梨每千克的利润为，根据题意列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设该网店购进酥梨，黄梨， 依题意得：， 解得：， 答：该网店购进酥梨，黄梨； （2）设黄梨售价为元， 依题意得， 解得． 答：黄梨最低售价为元； （3）依题意得， 解得， 答：的最大值约为． 【题型8 用一元一次不等式解决几何问题】 核心考点：结合几何图形的公式（边长、周长、面积、三角形三边关系等），找出不等关系，列不等式求解。 解题思路：结合几何公式，找出不等关系，设未知数，列不等式求解，结合几何意义（边长为正等）筛选符合条件的解。 【典例8】．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 【变式1】．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 【变式2】．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 【变式3】．如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)见解析 【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可； （2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把，代入进行计算即可； （3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答． （4）根据侧面数第一种方法第二种方法第三种方法，底面数第二种方法第三种方法，表示出底面和侧面的个数，然后根据底面和侧面的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （2）由题意得： 当时，纸盒的容积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，， 故答案为：，； （4）由题意得：可以裁出的侧面：个． 可以裁出的底面：个． ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴， ∴， ∴当时， ∴可以裁出的侧面有（个）， 可以裁出的底面有（个）， ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱个． 【点睛】本题考查了列代数式，几何问题(一元一次方程的应用)，用一元一次不等式解决几何问题，整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 05 过关•检测 1．不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再找出解集范围内的最小整数即可得到答案． 【详解】解： 移项得 ∵大于 的整数为 ∴其中最小的整数为． 2．不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出不等式的解集即可确定解集在数轴上的表示． 【详解】解：移项得：， 即， 在数轴上表示为： 3．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1，不等号两边都是整式．根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意； B、是分式，不是整式，不符合定义，故该选项不符合题意； C、含有两个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； D、未知数的次数为2，不符合定义，故该选项不符合题意． 4．已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 5．为迎接2026年哈尔滨冰灯展，某校开展了以迎冰灯展为主题的演讲活动，计划拿出360元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件18元，乙种奖品每件24元，则购买方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，根据总费用列出二元一次方程，求出符合条件的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 根据题意得. 化简得. . 均为正整数（两种奖品都购买）. 是4的正整数倍，且. 与互质， 是的正整数倍， 由得. 满足条件的为，对应分别为，共组正整数解． 即，，，， 共有种购买方案． 6．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 7．2025年春晚机器人动作机械，2026年已实现灵活流畅的舞台表演．这一变化直观体现了我国人形机器人技术在一年内的快速迭代升级．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目的数量关系，结合“不低于”的含义列出不等式即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得． 8．某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】B 【分析】设商品打折，根据题意列出不等式解答即可求解． 【详解】解：设商品打折， 由题意得，， 解得， ∵打折数越小，折扣力度越大， ∴的最小值为， ∴最多可以打折． 9．若是关于的一元一次不等式，则________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义列等式和不等式求解即可． 【详解】解： 是关于的一元一次不等式， ，且， 解得或， 或； 解得； ． 10．若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同建立等式求解参数． 【详解】解：由题意得， 解得； 解得， 两个不等式的解集相同， 解得． 11．我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则得到关于的不等式，求解并取最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 最大整数解是． 12．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是_____． 【答案】 21 【分析】根据程序图分为奇数和偶数两种情况求出的最小值，通过比较找出最小的值． 【详解】解：当为偶数时， 可得：， 解得：， 是正整数， ； 当为奇数时， 可得：， 解得：， 为正整数， ， 输入的最小正整数是． 13．一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是________． 【答案】 【分析】根据数轴上表示不等式的解集的方法即可得出结果． 【详解】解：由图可得，这个不等式的解集是． 14．某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了___________道题； 【答案】2 【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题的关键，注意答错一题扣2分，要用减法． 设小聪答错了道题，则答对了道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解的取值范围，并取最大整数解． 【详解】解：设小聪答错了道题，则答对了道题， 依题意，得：， 化简得：， 移项得：， 两边同除以，不等号方向改变，得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为2． 故答案为：2． 15．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图是加工零件的直径的尺寸要求，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据题意可得，化简即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 17．如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 【答案】4 【分析】先确定电影票的固定花费，再根据饮料和爆米花的优惠方式，设出爆米花数量，结合总奖金限制列不等式，通过求解不等式得出爆米花的最大数量． 【详解】解：设可买盒爆米花， 由题意得，， 解得：， ∴x最大为4． 18．解不等式：． 【答案】 【详解】解： ． 19．解不等式：． 【答案】 【详解】解： ∴ ∴ 解得： 20．已知关于，的二元一次方程组．若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组用表示出、，再根据得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 得：，解得， 把代入得：，解得， ， ， ， 解得． 21．解不等式，并写出它的负整数解． 【答案】，负整数解为 【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，再从解集中确定符合题意的解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得， 所以负整数解有． 22．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)二；去括号时符号错误 (2)，图见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤及其依据逐步判断即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时符号错误，去第二个括号的结果常数项应该是； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 两边同时除以，得：． 解集在数轴上表示如下图所示： 23．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 24．“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有166千米的路程，需要不超过2小时送到，前80分钟已经走了120千米，后40分钟的速度至少为多少才能不延误时间？ 【答案】后40分钟的速度至少为才能不耽误时间 【分析】先算出剩余路程和剩余时间，再设后40分钟的速度为，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，总路程为：，总时间上限：，已行驶路程：，已用时间：， ∴剩余路程： ； 剩余时间： ， 设后40分钟的速度为， ∴ 解得， ∴后40分钟的速度至少为才能不耽误时间． 25．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知2箱甲种猕猴桃和3箱乙种猕猴桃的售价之和为460元；5箱甲种猕猴桃和2箱乙种猕猴桃的售价之和为600元． (1)求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共20箱，总花费不超过1800元，且乙种猕猴桃的箱数不少于8箱．该公司有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲种猕猴桃每箱80元，乙种猕猴桃每箱100元 (2)共有三种：①购买甲种猕猴桃12箱，乙种猕猴桃8箱；②购买甲种猕猴桃11箱，乙种猕猴桃9箱；③购买甲种猕猴桃10箱，乙种猕猴桃10箱 【分析】（1）设甲种猕猴桃每箱元，乙种猕猴桃每箱元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，然后求解即可得出答案． （2）设该合作社购买乙种猕猴桃箱，则购买的甲种猕猴桃为箱，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，进而可求出答案． 【详解】（1）解：设甲种猕猴桃每箱元，乙种猕猴桃每箱元， 依题意，得， 解得 答：甲种猕猴桃每箱80元，乙种猕猴桃每箱100元； （2）解∶设该合作社购买乙种猕猴桃箱，则购买的甲种猕猴桃为箱， 依题意，得， 解这个不等式得，． 又因为，所以， 因为为整数，所以的取值为8，9，10． 当时，； 当时，； 当时，， 该公司购买甲、乙两种猕猴桃的方案共有三种： ①购买甲种猕猴桃12箱，乙种猕猴桃8箱； ②购买甲种猕猴桃11箱，乙种猕猴桃9箱； ③购买甲种猕猴桃10箱，乙种猕猴桃10箱. 26．下表中有两种手机通话计费方式：（月使用费固定收取：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费，被叫免费） 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元/分钟） 被叫 方式一 50 150 0.2 免费 方式二 80 350 0.25 免费 (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需 元，按方式二计费需 元； (2)王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为 分钟； (3)当月主叫通话t分钟满足什么条件时，选择方式一比方式二省钱． 【答案】(1)60，80 (2)430 (3)或 【分析】（1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可； （2）设按“方式二”计费时主叫通话时间为t分钟，根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）解：李明按方式一计费为：（元）， 按方式二计费为：80元． （2）解：设王华该月主叫通话时间为t分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元， ∴根据题意，得， 解得：， ∴王华该月主叫通话时间为430分钟． （3）解：当时，方式一费用为50元，方式二费用为80元， ∴方式一省钱； 当时， ∵方式一计费<方式二计费， ∴， ∴； 当时， ∵方式一计费<方式二计费， ∴， ∴， 综上或时，选择方式一比选择方式二省钱． 27．七年级新学期．两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲桌上，小英对其高度进行了测量，请根据下图中所给出的数据信息．回答下列问题： (1)每本课本的厚度为_________； (2)若有一摞上述规格的课本本．请用含有的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)现桌面上有若干本此规格的课本，整齐地叠放成一摞，若这摞课本距离地面的高度不超过，求这摞课本最多有多少本． 【答案】(1)0.6 (2) (3) 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）先求出讲台的高度，再用讲台的高度加上n本课本的高度即为所求的代数式； （3）根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：每本课本的厚度为：． （2）解：讲台高度为：， ∴这一摞课本的顶部距离地面的高度为； （3）解：由题意得，， 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为． 28．2026年4月23日是第31个“世界读书日”．为进一步营造浓厚的读书氛围，王老师要为班级补充一些名著，现获取信息如下： (1)求每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价． (2)现按照优惠方案购买《西游记》． ①当购买数量不超过10本时，请直接写出王老师应选择哪种优惠方案； ②当购买数量超过10本时，王老师应如何选择优惠方案？ 【答案】(1)每本《朝花夕拾》的原价为15元，每本《西游记》的原价为20元 (2)①选择方案二优惠；②当购买数量为20本时，两种方式的费用一样；当时，选择方案二；当时，选择方案一 【分析】（1）设每本《朝花夕拾》的原价为x元，每本《西游记》的原价为y元，根据小明与小亮的对话内容列出方程组，求解即可； （2）设购买《西游记》m本，①当购买数量不超过10本时，列出两种方案的付费金额，比较即可解答； ②当购买数量超过10本时，列出两种方案的付费金额，分类讨论即可． 【详解】（1）解：设每本《朝花夕拾》的原价为x元，每本《西游记》的原价为y元， 根据题意，得， 解得． 答：每本《朝花夕拾》的原价为15元，每本《西游记》的原价为20元． （2）解：设购买《西游记》m本，则， ①当购买数量不超过10本时， 方案一：付费元， 方案二：付费元， 而， ∴选择方案二优惠； ②当购买数量超过10本时， 方案一：付费：元， 方案二：付费：元， 当，解得， 当，解得， 当，解得， ∴当购买数量为20本时，两种方式的费用一样；当时，选择方案二； 当时，选择方案一． 29．山西孝义皮影戏是国家级非物质文化遗产，其造型古朴、雕刻精湛，深受大众喜欢．某非遗体验馆计划定制一批皮影文创，用于研学活动和非遗文化推广．已知定制2个传统人物皮影和1个动物皮影共需200元，定制3个传统人物皮影和2个动物皮影共需320元． (1)求一个传统人物皮影和一个动物皮影的价格分别是多少元． (2)该体验馆计划定制两种皮影共70个，为丰富研学活动的展示内容，馆方希望在总费用不超过5100元的前提下，尽可能多定制传统人物皮影，求最多可定制多少个传统人物皮影． 【答案】(1)一个传统人物皮影的价格为80元，一个动物皮影的价格为40元 (2)57个 【分析】（1）设一个传统人物皮影的价格为x元，一个动物皮影的价格，根据题意找出等量关系列出方程组并求解即可； （2）设定制m个传统人物皮影，则定制个动物皮影，根据不等关系列出不等式求解最大整数解． 【详解】（1）解：设一个传统人物皮影的价格为x元，一个动物皮影的价格为y元， 由题意得，， 解得， ∴一个传统人物皮影的价格为80元，一个动物皮影的价格为40元． （2）解：设定制m个传统人物皮影，则定制个动物皮影， 由题意得，， 解得：， ∵m取最大值，且为正整数， ， ∴最多可定制57个传统人物皮影． 30．风靡世界的“拉布布”玩偶凭借独特设计，展现了中国文化魅力与创新实力，这类中国原创潮玩走出国门，体现了我国软实力的提升，受到各国年轻人的喜爱，已知某网店销售甲、乙两款玩偶，甲款玩偶的售价比乙款玩偶售价的2倍少30元，购买2个甲款玩偶和3个乙款玩偶共需255元（免运费）．请解答下列问题：    (1)该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？ (2)根据市场需求，该网店计划用不超过8900元购进甲、乙两款玩偶共200个，且甲款数量超过87个．已知甲款玩偶每个进价50元，乙款玩偶每个进价40元，该网店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，网店推出促销活动：一次性购买同一款玩偶超过10个，赠送1个同款玩偶．若本次购进的玩偶全部售出，共赠送4个，总获利1250元，直接写出甲、乙两款玩偶各赠送几个． 【答案】(1)该网店甲种玩偶每个售价60元，乙种玩偶每个售价45元 (2)该网店有3种进货方案：方案一、购进甲种玩偶88个，乙种玩偶112个；方案二、购进甲种玩偶89个，乙种玩偶111个；方案三、购进甲种玩偶90个，乙种玩偶110个 (3)甲玩偶赠送1个，乙玩偶赠送3个 【分析】（1）设甲种玩偶每个售价元，乙种玩偶每个售价元，根据甲款玩偶的售价比乙款玩偶售价的2倍少30元，购买2个甲款玩偶和3个乙款玩偶共需255元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种玩偶个，则购进乙种玩偶个，根据两种玩偶的费用不超过8900元列出不等式，解不等式得出，再根据甲款数量超过87个，得出m的取值范围，然后根据m为正整数，即可得出答案； （3）分三种情况：购进甲种玩偶88个，乙种玩偶112个时；购进甲种玩偶89个，乙种玩偶111个时；购进甲种玩偶90个，乙种玩偶110个时；分别列出方程求出结果，即可得出答案． 【详解】（1）解：设甲种玩偶每个售价元，乙种玩偶每个售价元， 根据题意，得， 解得， 答：该网店甲种玩偶每个售价60元，乙种玩偶每个售价45元； （2）解：设购进甲种玩偶个，则购进乙种玩偶个， 根据题意可得， 解得， ， 为整数， 、89、90，，111，． 该网店有3种进货方案： 方案一、购进甲种玩偶88个，乙种玩偶112个； 方案二、购进甲种玩偶89个，乙种玩偶111个； 方案三、购进甲种玩偶90个，乙种玩偶110个； （3）解：分三种情况： ①购进甲种玩偶88个，乙种玩偶112个时； 设该网店甲玩偶赠送了个，则乙玩偶赠送了个，根据题意得， ， 解得（舍弃）； ②购进甲种玩偶89个，乙种玩偶111个时； 设该网店甲玩偶赠送了个，则乙玩偶赠送了个，根据题意得， ， 解得：， ， 故甲玩偶赠送1个，乙玩偶赠送3个； ③购进甲种玩偶90个，乙种玩偶110个时； 设该网店甲玩偶赠送了个，则乙玩偶赠送了个，根据题意得， ， 解得，（舍去）， 综上所述，甲玩偶赠送1个，乙玩偶赠送3个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $