专题06 圆的综合证明与计算5大题型（大题专练）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项06 圆的综合证明与计算5大题型 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年：角平分线与相似三角形综合 题目核心条件：AB是直径，C、D在圆上，OD平分∠AOC；延长DO交圆于E，连接CE交OB于F；过B作切线交DE延长线于P。 2025年：切线长定理与相似三角形综合 题目核心条件：PA、PB是圆O的切线（切点A、B），C为OP中点，延长AC交圆O于D，连接BD；延长OP交DB延长线于E。 命题趋势：1. 模型融合度持续提升 2. “证明”与“计算”的衔接更紧密 3. 计算复杂度逐年上升 2026年预测：垂径定理 + 圆周角 + 相似 ·。备考点：熟练“过圆心作弦的垂线”构造直角三角形，结合勾股定理计算弦长或半径。 题型01 求半径 析典例·建模型 1．“如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”．小明提出一种想法：如图，设点P为上一点，先作射线交于点Q，再以上一点A为圆心（点A不与点P，Q重合），以长为半径画圆弧，交射线于点B，交射线于点C，连结． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 研考点·通技法 1遇到弦心距：设弦心距为d，则R² = d² + (半弦长)²。 2 遇到切线：在Rt△中，R² + 切线长² = 圆心到切点的距离²。 3遇到相似比：用含R的式子表示对应边，通过相似比例相等列方程。 破类题·提能力 2．（2026·北京三帆中学·零模）如图，中，，是的外接圆，过点作的切线． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，交于点，交于点．若，，求半径和的长． 3．（2025·北京海淀·人大附中零模）如图，在中，过A，B两点，且与直线相切于点A，D为中点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 4．（2025·北京陈经纶中学分校·零模）如图，内接于，作于，与交于点，点在的延长线上，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 5．（2025·北京西城·一模）如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的半径． 题型02 求线段长 析典例·建模型 6．（2025·北京朝阳·二模）如图，为的直径，点，在上，平分，连接． (1)求证：； (2)过点作的切线，分别交，的延长线于点，，连接，交于点．若，求的长． 研考点·通技法 1. 标图：将已知长度、等角、垂直等条件标记在图上。 2. 找形：寻找图中的关键几何结构（如：有切线就连半径；有直径就找直角；有弦就考虑垂径）。 3. 转化：利用相似或勾股，将未知边与已知边建立等量关系。 4. 计算：列方程求解，并检验结果是否合理。 破类题·提能力 7．（2025·北京顺义·二模）如图，分别与相切于两点，是的直径． (1)求证：； (2)连接交于点，若，，求的长． 8．（2024·北京朝阳·二模）如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 9．（2026·北京四中·一模）如图，为直径，、为上不同于、的两点，，连接．过点作交延长线于点，分别延长与交于点．    (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 10．（2025·北京平谷·一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作 ⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE与⊙O相切； （2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长． 题型03 切线的判定 析典例·建模型 11．（2025·北京三帆中学·零模）如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 研考点·通技法 1. 定关系：观察直线和圆，判断是已知交点还是未知交点，从而确定用“连半径”还是“作垂直”。 2. 找等角：在图中寻找等角来源，比如半径相等带来的等腰三角形、已知的平行线，或者同弧所对的圆周角。 3. 算直角：结合已知角度，算出目标角为90°。一个常用模型是：直径 → 90°圆周角 → 与切线产生的角互余。 4. 下结论：在答题卡上明确写出“∴ XX是⊙O的切线”。 破类题·提能力 12．（2025·北京丰台·一模）如图，已知是的直径，平分，且，点G是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 13．（2025·北京朝阳·一模）如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 14．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的半径． 15．（2024·北京昌平·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为延长线上一点，延长交于点F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，时，求的长． 题型04圆与三角函数综合 析典例·建模型 16．（2026·北京八一教育集团·零模联考）如图，为的直径，，与分别相切于点，，连接，，与相交于点． (1)求证：； (2)连接交于点，补全图形，若，，求的长． 研考点·通技法 1. 明确Rt△：三角函数只能在Rt△中直接用，没有直角三角形要先构造。 2. 设k要统一：同题中若多次设比例，k的含义要一致，避免多个未知数。 3. 锐角三角形函数名称：sin、cos、tan必须放在Rt△中对应正确，不要弄混对边、邻边、斜边。 4. 最后化简：结果如果是分式或根式，要化简到最简形式（分母有理化）。 破类题·提能力 17．（2025·北京西城·一模）如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 18．（2024-2025·北京中国人民大学附属中学·模拟）如图，是的弦，半径，为延长线上一点，与相切于点与交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为3，，求的长． 19．（2025·北京汇文中学·三模）如图，是的直径，C是上一点，D是中点，过点D作的垂线交的延长线于点F，过点C作的切线交于点E． (1)求证：； (2)如果，求的长． 20．（2025·北京房山·二模）如图，已知为的外接圆，为的直径，是的中点，弦于点，是上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求． 题型05圆与相似三角形综合 析典例·建模型 21．（2025·北京密云·一模）如图，是的直径，点E在上，连接交于点F，连接交于点G，． (1)求证：； (2)过点D作的切线交的延长线于点H．若，，求的长． 研考点·通技法 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等 这是最常用的等角来源。注意，同一条弧既可以对着圆周角，也可以对着圆心角。 2. 直径所对的圆周角是90° 出现直径时，它所对的圆周角是90°。这经常与另一个90°角（如切线垂直于半径）结合，形成等角关系。 3. 弦切角定理（非常实用） 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。当题目出现切线时，这是找等角最快的方法。 4. 半径相等 → 等腰三角形 → 底角相等 这个性质常用于等角转换，尤其是在涉及圆心角或复杂线段的图形中。 破类题·提能力 22．（2025·北京东城·一模）如图，在中，为直径，为弦，，垂足为，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为2，，求的长． 23．（2025·北京海淀·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D．点在线段上，．连接并延长交于． (1)求证：； (2)连接交于点．若，，求的半径． 24．（2025·北京燕山·一模）如图，在△ABC中，，点D在AB上，以AD为直径作与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径的长． 25．（2026·北京东城·二模）如图，为外一点，过点作的切线，切点为，连接交于点为上一点，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的长． （建议用时：40分钟） 刷模拟 1．（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点A作⊙的切线，且，连接交于点F． (1)求证：； (2)，，求的长． 2．（2026·北京丰台·一模）如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的长． 3．（2026·北京石景山·一模）如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 4．（2026·北京朝阳·一模）如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，边交于点，，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作，交的延长线于点，交于点．若，，求的长． 5．（2024·北京通州·一模）如图，为的直径，过点作的切线，是半圆上一点（不与点、重合），连结，过点作于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 6．（2024·北京师大附实验中学·零模）如图，为的直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 7．（2025·北京大兴·二模）如图，是的直径，点，在上，，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若的半径长为5，，求的长． 8．（2025·北京第十三中学分校·三模）如图，已知是的直径，点P在的延长线上，，切于点D，交于点C，连接． (1)求证：； (2)连接，交于点G，若，，求的长． 9．（2025·北京石景山·二模）如图，四边形内接于，． (1)求证：； (2)作直径，交于点，连接，交于点．若，，．求的长． 10．（2025·北京丰台·二模）如图，是的直径，点在上，于点， (1)求证：； (2)过点的切线交延长线于点．若，，求的长． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项06 圆的综合证明与计算5大题型 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年：角平分线与相似三角形综合 题目核心条件：AB是直径，C、D在圆上，OD平分∠AOC；延长DO交圆于E，连接CE交OB于F；过B作切线交DE延长线于P。 2025年：切线长定理与相似三角形综合 题目核心条件：PA、PB是圆O的切线（切点A、B），C为OP中点，延长AC交圆O于D，连接BD；延长OP交DB延长线于E。 命题趋势：1. 模型融合度持续提升 2. “证明”与“计算”的衔接更紧密 3. 计算复杂度逐年上升 2026年预测：垂径定理 + 圆周角 + 相似 ·。备考点：熟练“过圆心作弦的垂线”构造直角三角形，结合勾股定理计算弦长或半径。 题型01 求半径 析典例·建模型 1．“如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”．小明提出一种想法：如图，设点P为上一点，先作射线交于点Q，再以上一点A为圆心（点A不与点P，Q重合），以长为半径画圆弧，交射线于点B，交射线于点C，连结． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为9 【详解】（1）解：∵，点B、A、C在同一条直线上， ∴为的直径， ∴，即． 而为的半径， ∴为的切线． （2）解：连接，由得， 又∵， ∴． ∴．即． ∵， ∴，即的半径为9． 研考点·通技法 1遇到弦心距：设弦心距为d，则R² = d² + (半弦长)²。 2 遇到切线：在Rt△中，R² + 切线长² = 圆心到切点的距离²。 3遇到相似比：用含R的式子表示对应边，通过相似比例相等列方程。 破类题·提能力 2．（2026·北京三帆中学·零模）如图，中，，是的外接圆，过点作的切线． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，交于点，交于点．若，，求半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径的长为，的长为 【来源】北京市三帆中学2026年中考零模试题 数学 【分析】（1）连接并延长，交于点，易得垂直平分，结合切线的性质可证，故可得，即可证出结果； （2）连接，令，则，得表达式，证明，得，，，再证，得，可解出的值，得半径的长，再证明，求得 ，进而证明，，即可求出的长． 【详解】（1）解：连接并延长，交于点，如下图所示： ∵， 由垂径定理得垂直平分，， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，作图如下： ∵为的直径， ∴，， 令，则， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ，， ∵， ， ， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ， ． 3．（2025·北京海淀·人大附中零模）如图，在中，过A，B两点，且与直线相切于点A，D为中点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，连接， ∵AC是的切线，切点为A， ∴，即， ∵，D为的中点， ∴平分， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：∵于点D，于点F， ∴， ∵， 设，则， 由勾股定理，且，可得， 解得， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即， 将代入，可得， 解得． 设的半径为r，则， ∴． 由勾股定理， 即， 解得， ∴的半径为． 4．（2025·北京陈经纶中学分校·零模）如图，内接于，作于，与交于点，点在的延长线上，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见详解 (2) 【来源】2025年北京市陈经纶中学分校中考数学零模试卷 【分析】（1）根据圆周角定理得，结合三角形内角和性质得，因为，得，进行作答即可． （2）先整理得，再根据垂径定理以及圆周角定理得，则，证明，得，代入数值得，，最后在中，． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，，， ∴在中，， 连接，取的中点，连接交于一点，如图所示： ∵点是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∵ 则 ∴ 在中，． 5．（2025·北京西城·一模）如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵平分， ． ， ． ． ，垂足是C， ． ． ∴半径． ∴是的切线． （2）解：如图：连接． ． ， ． ． ，， ， ． ． ， ． ， ． ． ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，即的半径为． 题型02 求线段长 析典例·建模型 6．（2025·北京朝阳·二模）如图，为的直径，点，在上，平分，连接． (1)求证：； (2)过点作的切线，分别交，的延长线于点，，连接，交于点．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：为上的点， ， 平分， ， ， ∴； （2）解：如图， 与相切于点， ∴， ， ∵， ，， ， ， ∴在中，， ， 设的半径为，则， 解得， ∴，， ∴， ， ， ∵， ∴， ． 研考点·通技法 1. 标图：将已知长度、等角、垂直等条件标记在图上。 2. 找形：寻找图中的关键几何结构（如：有切线就连半径；有直径就找直角；有弦就考虑垂径）。 3. 转化：利用相似或勾股，将未知边与已知边建立等量关系。 4. 计算：列方程求解，并检验结果是否合理。 破类题·提能力 7．（2025·北京顺义·二模）如图，分别与相切于两点，是的直径． (1)求证：； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：连接， ∵分别与相切于两点， ∴，，， ∵， ∴平分， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 8．（2024·北京朝阳·二模）如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【来源】2024年北京市朝阳区中考二模数学试题 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是关键； （1）连接．证明，，可得，进而得到结论； （2） 先推出，再在中，由，列出比例式即可求解 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴．                                ∴． ∵是的直径， ∴．                            ∵， ∴． ∴． 即． ∴直线是的切线．                    （2）解：∵， 设的半径为r，则． ∵， ∴．                            ∵， 在中，． 即． ∴．                                    ∴． ∴． 在中，由勾股定理得． 9．（2026·北京四中·一模）如图，为直径，、为上不同于、的两点，，连接．过点作交延长线于点，分别延长与交于点．    (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接．    ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵为的半径， ∴为的切线； （2）连接． 而，，， ∴， 解得：， ∵是直径， ∴， ，而， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2025·北京平谷·一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作 ⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE与⊙O相切； （2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长． 【答案】（1）见解析（2）FB= 【详解】证明：（1）连接OC， ∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理）． ∴△CDO≌△BDO（HL）．∴∠COD=∠BOD． 在△OCE和△OBE中， ∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE， ∴△OCE≌△OBE（SAS）．∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE．∴BE与⊙O相切． （2）过点D作DH⊥AB， ∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴． 又∵，OB=9，∴OD=6． ∴OH=4，HB=5，DH=2． 又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=． 题型03 切线的判定 析典例·建模型 11．（2025·北京三帆中学·零模）如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】北京市三帆中学2024—2025学年下学期九年级中考数学零模试卷 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵是的直径 ∴ ∵的平分线交于点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的半径 ∴是的切线； （2）如图所示，过点A作于点F，连接，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ 设，则 ∴ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 研考点·通技法 1. 定关系：观察直线和圆，判断是已知交点还是未知交点，从而确定用“连半径”还是“作垂直”。 2. 找等角：在图中寻找等角来源，比如半径相等带来的等腰三角形、已知的平行线，或者同弧所对的圆周角。 3. 算直角：结合已知角度，算出目标角为90°。一个常用模型是：直径 → 90°圆周角 → 与切线产生的角互余。 4. 下结论：在答题卡上明确写出“∴ XX是⊙O的切线”。 破类题·提能力 12．（2025·北京丰台·一模）如图，已知是的直径，平分，且，点G是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴．　 ∵平分， ∴， ∴， ∴，　 ∴， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接． ∵点G是的中点， ∴． ∵是的直径， ∴，．　 ∵， ， ∵，， ∴，　 ∴， ∴．　 ∵，， ∴， ∴． 13．（2025·北京朝阳·一模）如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)是的切线 (2)1 【来源】2025年北京市朝阳区九年级数学一模试卷 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． ， ． ∵是半径， 是的切线． （2）设与相交于点D． ， ． ∵， ． ， ， ． ， ． 设，则． ∴在中，． ． ． ． ， ， ． ． 14．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【来源】2025年北京市东城区九年级中考二模数学试卷 【详解】（1）证明：如图，连接，则有 ， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：为中点且 如图，连接 为直径 15．（2024·北京昌平·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为延长线上一点，延长交于点F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，   ， ， ， ， 直径， ， ， ∴，， ， 是的切线； （2）解：，为半径， 是的切线，而为的切线， ， 连接，   ， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴是的中位线， ，， ， ∴，而， ∴， ∴， ， ， . 题型04圆与三角函数综合 析典例·建模型 16．（2026·北京八一教育集团·零模联考）如图，为的直径，，与分别相切于点，，连接，，与相交于点． (1)求证：； (2)连接交于点，补全图形，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2026年北京市八一教育集团九年级零模联考试卷 数学学科 【分析】（1）连接，如图．根据切线的性质得到，，．由垂直的定义得到．求得．于是得到结论； （2）连接交于点，利用解直角三角形、勾股定理、锐角三角比的定义和相似三角形的判定和性质进行解答即可； 【详解】（1）证明：连接，如图． ，与分别相切于点，， ，，． ． ， ． ， ∴ ． （2）解：连接交于点，如图． 是的直径， ． ． ， ， 又， ， ， 设 由勾股定理可得： ，， 解得： ，． ，， ． ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 研考点·通技法 1. 明确Rt△：三角函数只能在Rt△中直接用，没有直角三角形要先构造。 2. 设k要统一：同题中若多次设比例，k的含义要一致，避免多个未知数。 3. 锐角三角形函数名称：sin、cos、tan必须放在Rt△中对应正确，不要弄混对边、邻边、斜边。 4. 最后化简：结果如果是分式或根式，要化简到最简形式（分母有理化）。 破类题·提能力 17．（2025·北京西城·一模）如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接．   是的直径， ． 平分， ． ． 是的切线， ． ． ． （2）解：如图，过点作，垂足为． ， ． ， 四边形是正方形． ． 在中，， ． ． ， ． ， ． ，解得． ． 18．（2024-2025·北京中国人民大学附属中学·模拟）如图，是的弦，半径，为延长线上一点，与相切于点与交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为3，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【来源】北京市中国人民大学附属中学2024—2025学年九年级下学期6月模拟数学试卷 【分析】（1）连接．由切线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可得； （2）过点作于点，由题意可证四边形是正方形，在中，解直角三角形，可求的长，即可求的长． 【详解】（1）解：连接． ， ． 与相切于点， ， ． ， ， ． ， ， ； （2）解：过点作于点． ∵，， ． ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴，， ． 19．（2025·北京汇文中学·三模）如图，是的直径，C是上一点，D是中点，过点D作的垂线交的延长线于点F，过点C作的切线交于点E． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年北京汇文中学中考三模数学试题 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵切于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵，， 设，则， ∴， ∵D为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 连接交于点G， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（2025·北京房山·二模）如图，已知为的外接圆，为的直径，是的中点，弦于点，是上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】2025年北京市房山区九年级中考二模数学试卷 【详解】（1）解：∵D是的中点， ∴， ∵且为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型05圆与相似三角形综合 析典例·建模型 21．（2025·北京密云·一模）如图，是的直径，点E在上，连接交于点F，连接交于点G，． (1)求证：； (2)过点D作的切线交的延长线于点H．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年北京市密云区中考一模数学试卷 【分析】（1）连接，证明，得，得出，由圆周角定理得，从而可得结论； （2）设，则，，证明，推出，，求得，即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， 又， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 设，则，， ∵是的切线，是的直径， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 整理得， 解得， ∴． 研考点·通技法 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等 这是最常用的等角来源。注意，同一条弧既可以对着圆周角，也可以对着圆心角。 2. 直径所对的圆周角是90° 出现直径时，它所对的圆周角是90°。这经常与另一个90°角（如切线垂直于半径）结合，形成等角关系。 3. 弦切角定理（非常实用） 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。当题目出现切线时，这是找等角最快的方法。 4. 半径相等 → 等腰三角形 → 底角相等 这个性质常用于等角转换，尤其是在涉及圆心角或复杂线段的图形中。 破类题·提能力 22．（2025·北京东城·一模）如图，在中，为直径，为弦，，垂足为，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】北京市东城区2024-2025学年下学期九年级一模数学试卷 【分析】（1）由于点，得，由切线的性质得，即可由，，且，证明； （2）由的半径为2，得，因为，所以，由，求得，则． 【详解】（1）证明：，垂足为， ， 与相切于点， ， ， ，，且， ． （2）解：的半径为2，， ， ，， ， ， ， ， 的长是． 23．（2025·北京海淀·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D．点在线段上，．连接并延长交于． (1)求证：； (2)连接交于点．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025学年北京市海淀区中考数学一模试卷 【分析】（1）连接，设，先证明，然后根据垂直平分线的性质定理证明，再逐步求得，即得答案； （2）连接，先证明，接着证明，即得和，从而可得，继续证明是等边三角形，最后利用直角三角形的性质，即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，设， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 由（1）可得，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 即的半径为． 24．（2025·北京燕山·一模）如图，在△ABC中，，点D在AB上，以AD为直径作与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)5 【来源】2025年北京市燕山区九年级中考一模数学试题 【详解】（1）证明:∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，连接，则， 由（1）得， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ， 在中，， ， 在中，由勾股定理得：， 的半径长为5． 25．（2026·北京东城·二模）如图，为外一点，过点作的切线，切点为，连接交于点为上一点，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵点A，B，C在上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴； （2）解：过点O作于点E，，    ∴， ∵过点作的切线，切点为A， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴在中， ． （建议用时：40分钟） 刷模拟 1．（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点A作⊙的切线，且，连接交于点F． (1)求证：； (2)，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【来源】2026年北京市大兴区中考一模考试数学试题 【分析】（1）利用圆的切线性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质进行证明即可． （2）通过证明三角形相似，得到线段之间的比例关系，再结合勾股定理进而求解即可． 【详解】（1）证明：是的切线，为直径， ，即， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， ， 设，则， ， ， 过点作于点，如图， ，，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即，解得（负值舍去）， ． 在中，， ， ． 2．（2026·北京丰台·一模）如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】北京市丰台区2026年中考一模考试数学试题 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，结合已知条件可得，然后根据直径所对的圆周角是直角和两直线平行内错角相等可推出，进而可证得结论； （2）通过证明和，得到，然后设，，则，根据比例式代入解方程即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：连接交于点F． 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 3．（2026·北京石景山·一模）如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】北京市石景山区2026年九年级统一练习（一模）数学 【分析】（1）根据垂径定理的推论得到，再由平行线的性质得到，即可证明； （2）连接，过点作交延长线于点，可得，再分别解求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，为半径， ∴，即， ∵， ∴， ∴为的切线； （2）解：连接，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，而， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∴． 4．（2026·北京朝阳·一模）如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，边交于点，，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作，交的延长线于点，交于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2026年北京市朝阳区中考一模考试数学试题 【分析】本题考查了圆的切线、矩形的判定与性质、勾股定理以及三角函数： （1）连接，利用等边对等角和直角三角形性质，经角度代换算出，从而得出结论； （2）作于点，构造矩形和直角三角形，设，结合三角函数和已知条件求出长度，因，进而得到长． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． ， ． ， ． ． ． 直线是的切线． （2）解：如图，作于点． ，． ， ． ， ． ． 四边形是矩形． ． ， ． 设，则． ， ． ，． ． ， ． ． 在中，， ． ． 5．（2024·北京通州·一模）如图，为的直径，过点作的切线，是半圆上一点（不与点、重合），连结，过点作于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2024年北京市通州区九年级中考一模数学试题 【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判定定理及圆周角定理是解题的关键． （1）根据切线的性质得出，即可得出，根据平行线的性质以及圆周角定理即可得出结论； （2）根据为的直径得出，即可证明，根据相似三角形的判定和性质得出，利用垂径定理得出，根据线段的和差关系即可即可得答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线，点是切点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与是所对的圆周角， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵为的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴． 6．（2024·北京师大附实验中学·零模）如图，为的直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2024年北京师范大学附属实验中学中考零模数学试题 【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定方法，解直角三角形是解决问题的关键． （1）连接，由圆周角定理结合已知得出，得出，由平行线的性质得出，即可证明为的切线； （2）连接，由圆周角定理得出，由，得出，由三角形内角和定理及，得出，利用解直角三角形求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 7．（2025·北京大兴·二模）如图，是的直径，点，在上，，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若的半径长为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【详解】（1）证明：连接， 则，又， ， ，， ， 又是直径， 是的半径； 与相切； （2）解：设， ，，， 在中，， ， ， ，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 故的长为． 8．（2025·北京第十三中学分校·三模）如图，已知是的直径，点P在的延长线上，，切于点D，交于点C，连接． (1)求证：； (2)连接，交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【来源】2025年北京市第十三中学分校中考三模数学试题 【分析】（1）连接，，根据直径所对的圆周角为得，再根据得，进而得是的中位线，则，然后根据切线的性质得，由此即可得出结论； （2）由（1）得，在中，由得，进而得是等边三角形，则，，继而得是等边三角形，则，，由勾股定理可求出，继而求出，证明得，设，则，由此解出a即可得出的长． 【详解】（1）证明：连接，，如图1所示： ∵是的直径， ∴， 即 ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴与相切于点D， ∴， ∴； （2）解：如图2所示： ∵， 由（1）得：， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质及勾股定理是解决问题的关键． 9．（2025·北京石景山·二模）如图，四边形内接于，． (1)求证：； (2)作直径，交于点，连接，交于点．若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年北京市石景山区中考二模数学试题 【分析】（1）结合圆内角四边形对角互补以及圆周角定理得，则，即可作答． （2）根据，得．则，结合，，得，运用．，．根据，得，，再证明是等边三角形．得，在中，，运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于，， ∴，． ∴． ∴； （2）解：依题意，连接，，过点A作于点H． ∵， ∴． ∴ ∵是直径， ∴． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵在中，， ∴，， ∴，． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵ ∴， 在中，， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，平行线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．（2025·北京丰台·二模）如图，是的直径，点在上，于点， (1)求证：； (2)过点的切线交延长线于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷 【分析】（1）垂径定理，得到，圆周角定理得到即可； （2）垂径定理，得到，解，求出的长，设的半径为，在，勾股定理求出的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵于点是的半径， ∴． ∴． （2）解：∵于点E，是的半径，， ∴，． ∵，， ∴． 在中，． ∴ 设的半径为． ∴． 在中，． ∴． ∴． ∴． ∵是的切线， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $