8.6.2直线与平面垂直的判定（教学设计）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年道县优质教学资源评选活动 ---高一年级必修第二册第八单元第六节第二课《直线与平面垂直的判定》教学设计 课程基本信息 主备人 唐瑛 课型 新授课 学科 数学 年级 高一 学段 高中 版本章节 人教A版（2019）第八章第六节 教学目标 1. 在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面垂直位置关系的定义。 2.借助实验探究与GeoGebra 动态演示直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定定理。 3. 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 4.通过了解线面垂直的定义与判定定理，体会其中蕴含的转化思想。 教学重难点 教学重点：线面垂直的定义；线面垂直的判定定理；如何利用线面垂直的定义与判定定理解决相关问题。 教学难点：1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理。 2.能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。 学情分析 现阶段学生已经学习直线与直线垂直的位置关系，线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识。但由于他们把空间问题转化为平面问题来解决的意识和能力还不强，因而他们对于如何借助直线与直线垂直来刻画直线与平面垂直还会遇到困难，更难用确切的数学语言刻画直线与平面垂直。考虑到学生已有用“任意一个”来代替所有对象的数学经验，教学时可在教师的提示下由学生自己得到直线与平面垂直的定义。 对于直线与平面垂直的判定定理，学生通过实验探究和动手实践以及GeoGebra 动态演示，会初步认识到当直线与平面内两条相交直线垂直时，直线与这个平面垂直。但在缺少逻辑推理的情况下，如果马上把这个猜想作为定理来对待，学生可能会怀疑结论的正确性.教学时需要引导学生通过亲身的反复验证并结合直线与平面垂直的定义进行思辨来解决以上问题，也可以结合平面向量基本定理，让学生体会利用“两条相交直线”来判断的合理性，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理.同时学生对这种用“有限”代替“无限”的转化思想还不够熟练，教学时需通过直观操作和实力引导逐步建立。 教学准备 1. 教具：三角板、多媒体课件（PPT、信息技术手段、GeoGebra3D动态演示图）。 2. 学具：学生自备三角板、笔（模拟直线）、教材（模拟平面）。 3. 预习任务：提前让学生观察生活中的线面垂直实例（如旗杆与地面、墙角线与墙面），思考“如何判断一条直线与一个平面垂直”。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 （一）情景导入，引出概念（5分钟） 1. 情景引入：4月5号清明节至，作为中国四大传统节日之一，是无数国人致敬先烈，缅怀先祖的重大节日，具有非凡意义。展示以往清明道县陈树湘纪念馆学子致敬英雄纪念碑的实景视频，自省励志，砥砺前行！ 2. 提问：请问视频中道县陈树湘烈士文化园中的革命烈士纪念碑与地面给我们怎样的直观感受？你还能举出其他具有同等关系的生活实例吗（展示旗杆与地面、立交桥柱与水面、教师门框与地面生活实例）？如何用数学言语刻画“直线与平面垂直”？ 1. 观看视频与实例，直观感受线面垂直的特征。 2. 思考问题，擅于发现与自行举例生活实例，学会用自己的语言描述线面垂直。 3. 类比线面平行的定义，猜想线面垂直的定义。 由纪念碑、英烈故事自然引出课题疑问，调动学生求知欲，主动去了解历史、读懂精神，厚植红色基因，落实立德树人目标。同时从生活实例出发，激发学生兴趣，建立直观感知，培养学生的想象能力与抽象力，认识到空间中直线与平面的特殊关系（垂直），引出本节课核心学习内容。 （二）探究定义，深化理解（10分钟） 1.发展起源 18世纪法国数学家克莱罗在《几何基础》中给出线面垂直的直观解释：一条直线不向平面上的任何一面倾斜. 旗杆影子实验（教师借助信息技术呈现旗杆影子实验） 问题：直立于地面的旗杆与它在地面的影子垂直吗？ 追问：随着时间的变化，影子的位置在不断地变化，旗杆与所有影子都垂直吗？ 古希腊数学家欧几里得《几何原本》中线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面上与该直线相交的所有直线，则该直线与平面垂直. 追问：旗杆与对于地面上其他直线（异面直线）垂直吗？（引出直线与平面垂直的定义）。 2．（1）线面垂直的定义 一般的，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作. 问题：在得到直线与平面垂直的定义以后，为了表述与研究的方便，你觉得还有哪些辅助性的概念需要建立？ （2）教师引导学生结合定义，给出垂线、垂面、垂足的概念，同时板书线面垂直定义的文字语言: 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则该直线与此平面垂直、图形语言: 、符号语言: 的三种表示.同时强调关键“任意一条”“无数条”，帮助学生辨析。 （3）点到平面的距离提问：得到一条直线与一个平面垂直，请问一个平面有多少条垂线？那过一点与平面垂直的直线又有几条？ 教师引导学生利用反证法证明，总结给出点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。 同时强调“过一点垂直于已知平面的直线有且仅有一条”。 3．提问：根据定义，要判断线面垂直，需要验证平面内所有直线都与已知直线垂直，这在实际操作中可行吗？是否存在局限性？引出判定定理的探究。 1.了解线面垂直的定义的发展起源，理解定义的内涵，明确“任意”的含义。辨析“任意”与“无数”的区别，纠正认知误区。 2.掌握定义的三种语言（文字、符号、图形）表示，会自行表示。 3.理解点到平面的距离，并自主思考如何用反证法证明 “过一点垂直于已知平面的直线有且仅有一条”，并自主发言。同时学生翻开教材P149-150页，找到线面垂直的定义与点到平面的距离并作出相应的标记。 4. 思考定义的局限性，产生探究判定定理的需求。 1．建立垂面、垂线、垂足、垂线段、点到平面的距离概念，知道线面垂直的符号与图形表示，并让学生理解学习数学概念的“基本思路”，体会数学中数形结合的魅力。 2．精准突破定义的难点，通过辨析深化理解；同时引出问题，为后续探究做铺垫，体现数学的严谨性，激发学生的求知欲。 （三）实验探究，推导定理（12分钟） 1.动手实验：让学生拿出教材书，用笔模拟直线，教材书面模拟平面。PPT上给与抽象出来的三种直线与平面的示意图，帮助学生直观感知。 - 操作1：将笔直立在教材书面上，观察笔与书面内两条相交直线（如书面的两条邻边）的位置关系。 - 操作2：尝试让笔与书面内两条平行直线垂直，观察笔是否垂直于书面。 2. 引导学生猜想：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。 3. 实验探究（小组合作探究动手操作）：让学生拿出课前准备好的三角板，翻开教材P150页，细看探究，要求学生代表上台用三角板展示并讲解。学生展示后教师展示已准备好的GeoGebra3D动态演示图。 4.提问：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？进一步给出证明（利用线线垂直的定义、空间向量/几何法，结合学生认知水平选择合适方法）。 4.梳理定理的三种语言:文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。图形语言:，符号语言:. 5.提问：和直线与平面垂直的定义相比，在证明直线和平面垂直方面，你觉得判定定理的优越性体现在哪里？（无限有限） 追问：你觉得定义与判定定理的共同特点是什么？（线线垂直线面垂直） 1.自行动手操作，直观感知实验现象，对比几种情况的差异。 2.学生拿出课前准备好的三角板，翻开教材P150页，细看探究：如图，准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（，与桌面接触）.（1）折痕与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？学生代表上台用三角板展示并讲解，学生可提出疑问，小组代表答疑，基于实验，自主猜想判定定理。 3.跟随教师推导定理，理解定理的合理性。 4.掌握定理的三种语言表示，记忆定理条件。翻开教材P150页，作出相应的标记。 5. 归纳整理线面垂直定义与定理的异同点，会选择用合适的方法解题。 1.通过动手实验，让学生经历定理的形成过程，体会“无限转化为有限”的化归思想；强化三种语言的转化，提升几何表达能力。 2. 实现图形语言、符号语言、文字语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要.同时，体现了线线垂直到线面垂直的转化. （四）例题精讲，巩固应用（10分钟） 1.例1（基础应用）求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图，,求证： -引导学生分析：要证明线面垂直，可从定义与定理出发，两种方法是否都可行？引导学生从线面垂直的定义出发进行证明的不同证法，学生交流，教师反馈，共同完成证明，教师给与点评. -板书完整证明过程，规范步骤。 -提问：从这个题目中你有没有发现什么转化关系？（平行性质：平行关系垂直关系） 2.例2（定理应用）如图，四棱锥S-ABCD的地面是正方形，SD平面ABCD，求证：AC平面SDB. -引导学生分析题目中的信息，观察图形，找到线面垂直的条件；学生讨论交流，教师投影展示学生成果并进行反馈与点评。 3.总结线面垂直证明的步骤：①找平面内两条相交直线；②证线线垂直；③用判定定理得线面垂直。 1.学生分析证明思路，独立完成练习。一名学生上台板书，其他学生自己在书本上书写证明过程.学生交流，教师反馈，共同完成线面垂直定义与定理的不同证明，发现题中蕴含的转化思想，并在运用不同方法证明的过程中提高思维的灵活性，巩固所学知识。 2.核对答案，反思错误，深化理解。 3.针对易错点，强化记忆。 1．通过生活实例的应用求解可以让学生感受到数学来源于生活又应用于生活的重要性。 2.及时反馈学习效果，查漏补缺，强化对定义、定理的理解与应用。在数学学习过程的梳理有助于加深学生对数学三大基本思想：抽象、推理、建模的理解，提高和升华学生的数学核心素养. （五）课堂小结，布置作业（3分钟） 1．教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答问题： （1） 我们在知识上学到了什么？（线面垂直的定义、线面垂直的判定定理） （2） 我们思想方法上得到了哪些提升？ （转化思想：文字语言图形语言符号语言；无限有限；线面垂直线线垂直；平行关系垂直关系） 2.布置作业： -必做：教材152课后练习。 -选做：查阅资料，了解多种证明线面垂直判定定理的方法. 1.自主梳理本节课知识，构建知识体系。 2.记录思想方法，深化理解。 3.明确作业要求，课后完成。 帮助学生梳理知识，形成体系；分层作业，满足不同学生的学习需求。激发学生继续探究的学习兴趣，培养学生善于联系生活发现问题的习惯. 板书设计/课堂小结 8.6.2直线与平面垂直的判定定理 1.线面垂直的定义 2.线面垂直的判定定理 3.例题 例1 例2 教学反思 本节课为高一下期数学《直线与平面垂直的判定》新授课，旨在帮助学生学习并掌握线面垂直定义、判定定理的核心知识，提升空间想象与逻辑推理能力。回顾整节课教学，结合学生课堂表现与知识掌握情况，既有教学成效，也存在诸多不足，有如下反思： 教学亮点：本节课通过情景导入生活实例 + 信息技术+GeoGebra 3D 动态演示，全面激发学生学习数学的兴趣与欲望。同时借助生活中线面垂直实例、纸笔操作，将抽象的空间概念直观化，顺利唤醒学生已有知识经验，大部分学生能快速进入学习状态，直观感知线面垂直的几何特征，降低了定义与定理的理解难度有效突破线面垂直的抽象性，学生基本能理解定义、掌握判定定理的 “相交” 条件，并能完成简单证明。同时，课堂注重转化数学思想的渗透，引导学生体会“无限转有限”“线线垂直与线面垂直互化”等的思维方法，帮助学生构建完整的空间几何知识体系，也培养了学生严谨的数学思维。 教学不足：其一,部分基础薄弱学生对抽象概念的理解仍不透彻，在练习中依旧出现概念混淆，对定义的本质内涵把握不到位。其二，判定定理探究环节时间分配稍显紧张，动手实验后，定理推导过程讲解较为仓促，未能给学生留出足够的自主思考、合作交流时间，导致部分学生对定理的推导逻辑理解不透彻，被动接受知识，主动探究的意识未能充分激发，课堂参与度存在分层差异。其三,部分学生在几何体中仍难以快速找到两条相交直线；少数学生混淆判定与性质的推理方向。 教学改进：其一，强化概念深度教学，增加更多生活化、具象化的反例与辨析题，放慢概念讲解节奏，通过小组讨论、同桌互查等方式，让学生反复辨析、深化理解，彻底突破概念误区。其二，优化教学时间分配，适当延长定理探究环节，给予学生更多自主操作、猜想、推导的时间，鼓励学生合作交流、自主表达，真正让学生经历定理的形成过程，提升主动探究能力。其三增加几何体中线线、线面垂直的标注训练；设计判定与性质对比表格，帮助学生合理辨析。 — - 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