第八章 立体几何中的线线角、线面角、二面角讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义以“空间直线、平面的平行”为核心，通过题型分类构建知识体系。目录表格清晰呈现异面直线的夹角、线面角、二面角三大题型，各题型前的“方法提炼”系统梳理求角步骤与工具，体现空间角知识的内在联系与重难点分布，培养学生的空间观念与几何直观。 讲义亮点在于方法指导与分层练习结合，如“平移法”分四步提炼求异面直线夹角，例题涵盖三棱柱、正方体等几何体，培养数学思维与模型观念。基础题巩固步骤，综合题提升推理能力，助力不同学生掌握，为教师精准教学提供系统支持。

8.5 空间直线、平面的平行 目录 题型1：异面直线的夹角 2 题型2：线面角 9 题型3：二面角 17 题型1：异面直线的夹角 方法提炼 平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,具体步骤如下： 第一步：平移，通过平移直线，构造出相交直线. 平移点的选择：①特殊点（中点、顶点）；② 已知交点。 常用工具：中位线、平行四边形、补形； 第二步：认定，证明作出的角就是所求异面直线所成的角； 第三步：计算，求该角的值，常利用解三角形、相似三角形等； 第四步：取舍，由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【例1.1.】 在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【例1.2.】 如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【例1.3.】 如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 在正方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【例1.5.】 如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 【例1.6.】 如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 【例1.7.】 已知正三棱台的体积为，，，，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型2：线面角 方法提炼 1. 当直线和平面斜交时，求直线与平面所成角的一般步骤： (1) 确定斜线与平面的交点（斜足）； (2) 通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影（注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关），则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； (3) 求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 2. 三余弦定理 如图所示，为平面内一点，直线是平面的一条过点的斜线，为在平面内的投影，为平面内任一直线，则． 证明 ：如图所示，作于点D，连接AD．因为为在平面内的投影，所以平面，所以．又，，所以平面，所以，所以． 【例2.1.】 如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 如图，正方体的棱长为4，点、分别为棱、的中点，点为线段上的一个动点，则__________；直线与平面所成角为，则的最大值为__________． 【例2.3.】 如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． 求直线与平面所成角的大小． 【例2.4.】 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，为的中点，平面. (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值. 【例2.5.】 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． 求直线与面所成的角的正弦值． 【例2.6.】 如图，已知在四面体中，，. (1)求证：直线在平面上的射影平分； (2)记直线与平面所成的角为，求证：； 题型3：二面角 方法提炼 1. 作二面角的常用方法： (1) 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角． 2. 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角． 3. 垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为点，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 4. 投影法求二面角：（指一个平面在另一个平面上的投影面积，指平面的原面积）,这个方法对于无棱二面角的求解很简便. 下面以三角形为例证明： 如图，平面内的在平面的射影为，作于，连接. 于，， 在内的射影为． 又， （三垂线定理的逆定理）． 为二面角的平面角． 设和的面积分别为和，， 则． . 【例3.1.】 如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【例3.2.】 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面内，于点，于点.若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【例3.3.】 如图，已知二面角的大小为，平面内的直线m与平面成的角为30°，与棱l所成的角为60°，则__________.    【例3.4.】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小______    【例3.5.】 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为，则 _______. 【例3.6.】 如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 【例3.7.】 已知正四棱台中，，其侧面积为，为侧面的中位线，若该棱台内切球半径为，则二面角的余弦值为_______. 【例3.8.】 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【例3.9.】 如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 【例3.10.】 已知四棱锥，平面，，，，点为中点． 求二面角的平面角的正切值； 【例3.11.】 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，E为的中点． 求二面角的余弦值． 【例3.12.】 如图，已知是圆的直径，是圆上的一动点，垂直圆所在平面. 若是圆上点，且，，，求平面和平面夹角的余弦值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5 空间直线、平面的平行 目录 题型1：异面直线的夹角 2 题型2：线面角 9 题型3：二面角 17 题型1：异面直线的夹角 方法提炼 平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,具体步骤如下： 第一步：平移，通过平移直线，构造出相交直线. 平移点的选择：①特殊点（中点、顶点）；② 已知交点。 常用工具：中位线、平行四边形、补形； 第二步：认定，证明作出的角就是所求异面直线所成的角； 第三步：计算，求该角的值，常利用解三角形、相似三角形等； 第四步：取舍，由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【例1.1.】 在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求异面直线所成的角 【详解】在三棱柱中，， 所以异面直线与所成的角即或其补角， 因为，，所以， 因为，，，平面，平面， 所以平面，又，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【例1.2.】 如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】求异面直线所成的角 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 【例1.3.】 如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 【例1.4.】 在正方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】棱CD上取一点P，使得，，进而得到异面直线与所成的角即为，再设出正方体边长为6，根据勾股定理求出三角形的每个边长，再根据余弦定理即可求出异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】如图，因为，所以点M在棱AB上，且， 由得，点N为棱BC的中点， 在棱CD上取一点P，使得，连接，PN， 则，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角． 设正方体棱长为6，则，，所以， ，． 所以，异面直线与所成角的余弦值为．    【例1.5.】 如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】易证得，由异面直线所成角定义可知所求角为，由长度关系可求得结果. 【详解】设圆锥底面圆心为，连接， 为弧的两个三等分点，， 又，为等边三角形，，， 即为异面直线与所成角， 平面，平面，， ，，， 即与所成角的正切值为. 【例1.6.】 如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 【答案】 / / 【难度】0.51 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、平面的基本性质及辨析、求异面直线所成的角、面面平行证明线线平行 【分析】利用平面基本事实作出直线，进而求出；利用面面平行的性质结合等角定理，再利用和角的正切计算即得. 【详解】延长与延长线交于点F，连接，则直线即为直线，故， 由，得，又，于是，故， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，又，因此，故， 所以，所以. 【例1.7.】 已知正三棱台的体积为，，，，分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】台体体积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】根据正三棱台的性质，结合已知条件求出相关边的长度，进而利用余弦定理计算异面直线所成角的余弦值． 【详解】如图，设正三棱台的上、下底面中心分别为，，高为， ， ，， ， 解得， 在正中，， 同理得， 在直角梯形中，， 在等腰梯形中，由于，分别是和的中点， 为等腰梯形的高， ，即； 同理在等腰梯形中，对角线， ； 设的中点为，连接，， 且， 是异面直线和所成的角（或补角）， 又在中，； 在中，由余弦定理，得， 异面直线和所成角的余弦值为． 题型2：线面角 方法提炼 1. 当直线和平面斜交时，求直线与平面所成角的一般步骤： (1) 确定斜线与平面的交点（斜足）； (2) 通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影（注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关），则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； (3) 求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 2. 三余弦定理 如图所示，为平面内一点，直线是平面的一条过点的斜线，为在平面内的投影，为平面内任一直线，则． 证明 ：如图所示，作于点D，连接AD．因为为在平面内的投影，所以平面，所以．又，，所以平面，所以，所以． 【例2.1.】 如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求线面角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【例2.2.】 如图，正方体的棱长为4，点、分别为棱、的中点，点为线段上的一个动点，则__________；直线与平面所成角为，则的最大值为__________． 【答案】 / / 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角 【分析】根据平面可知到平面的距离为，计算即可；取线段的中点，可知，化简求最小值即可. 【详解】因平面平面，平面，则平面， 则到平面的距离为， 因点、分别为棱、的中点，则， 则， 则； 取线段的中点，易知平面， 则直线与平面所成角， 则， 在等腰直角三角形中，当时，最短， 此时， 故的最大值为. 故答案为：； 【例2.3.】 如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． 求直线与平面所成角的大小． 【详解】与交于点，连接， 由，，且为，的中点， 得，，， 又，为平面内两条相交直线， 得平面，故即为直线与平面所成的角； 由，，，得四边形为菱形， 又，故四边形为正方形，， 则为等腰直角三角形，且，故， 因此直线与平面所成角为． 【例2.4.】 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，为的中点，平面. (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.68 【知识点】线面平行的性质、求线面角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）运用线面平行的判定定理与性质； （2）通过线面垂直来确定射影，再求出相应的线段长度，从而求线面角的余弦值. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面， 而平面，平面平面，所以. （2）如图，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. 由（1）得，且，则， 所以平面，又平面，所以. 因为为的中点，且，所以， 又平面，所以平面， 所以是在平面内的射影，为与平面所成角. 由且，为的中点，得， 因为平面，所以，故，即， 又因为且，所以， 所以， 所以与平面所成角的余弦值为. 【例2.5.】 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． 求直线与面所成的角的正弦值． 【详解】因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 【例2.6.】 如图，已知在四面体中，，. (1)求证：直线在平面上的射影平分； (2)记直线与平面所成的角为，求证：； 【详解】（1）如图，过点作平面交平面于点，连接， 则直线为直线在平面内的射影. 在平面内，过点作交于点， 过点作交于点，连接、. 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证. 又，，所以，所以. 又，所以，所以， 即为的角平分线，故直线在平面上的射影平分. （2）由（1）可知，，，. 所以，即. 题型3：二面角 方法提炼 1. 作二面角的常用方法： (1) 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角． 2. 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角． 3. 垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为点，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 4. 投影法求二面角：（指一个平面在另一个平面上的投影面积，指平面的原面积）,这个方法对于无棱二面角的求解很简便. 下面以三角形为例证明： 如图，平面内的在平面的射影为，作于，连接. 于，， 在内的射影为． 又， （三垂线定理的逆定理）． 为二面角的平面角． 设和的面积分别为和，， 则． . 【例3.1.】 如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求二面角 【详解】如图所示，取的中点，连接，．   ，， 为二面角的平面角， 根据已知条件可得，，． 在中，由余弦定理， ， ． 【例3.2.】 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面内，于点，于点.若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、由二面角大小求线段长度或距离、空间向量的有关概念、用空间基底表示向量 【分析】方法一：在内过点作，且，构造矩形，根据勾股定理结合已知求解即可得出答案；方法二：由已知可知，然后根据数量积的运算律结合已知条件，求解即可得出答案. 【详解】解法一：在内过点作，且，连接，所以为二面角的平面角. 易知平面，而四边形为矩形， 所以，故平面， 因而， ，. 解法二：由， 得，，. 因为， 所以. 所以， ． 故选：C. 【例3.3.】 如图，已知二面角的大小为，平面内的直线m与平面成的角为30°，与棱l所成的角为60°，则__________.    【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求线面角、求二面角 【分析】过上一点作于点，连接，再作于，连接，证明为二面角的平面角，然后根据三角函数的定义求出结果即可. 【详解】如图所示，过上一点作于点，连接， 则为与平面所成的角，则， 过作于，连接，因，则，又平面， 则平面，因平面，则， 从而为二面角的平面角，即， 因，，， 则， 故. 故答案为：.    【例3.4.】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小______    【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】过作交于，连接，由线面垂直的性质结合勾股定理可得，则，再根据二面角的定义可知即为二面角的平面角，求即可. 【详解】如图过作交于，连接，    因为底面，底面，所以，，， 因为底面是正方形，， 所以由勾股定理可得，即， 又，，所以，所以， 因为平面平面，所以即为二面角的平面角， 因为，由勾股定理可得，，， 设，则，所以由得， 解得， 所以， 在中由余弦定理可得， 因为，所以， 即二面角的大小为， 故答案为： 【例3.5.】 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为，则 _______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二面角 【分析】取的中点，过点作交于点，证明二面角的平面角就是，结合解三角形知识即可求解. 【详解】由四面体为鳖臑，且，得， 取的中点，过点作交于点，连接， 则，是二面角的平面角， 设，则，，，， 从而，，又， 在中，， 在中，，所以. 故答案为： 【例3.6.】 如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求二面角 【分析】①异面直线与所成角等价于直线与所成角，在中利用余弦定理即可求解；②找到二面角的平面角为，算出的正弦值即可. 【详解】①在正四棱柱中，平行于底面的对角线， 因此异面直线与所成角就等价于直线与所成角， 由于，，所以， 在中，由勾股定理得，，， 因此由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为. ②在正四棱柱中，有平面，因此， 又因为，平面，平面， 因此二面角的平面角为， 由于是直角三角形，，，，斜边， 则， 故二面角的正弦值为. 【例3.7.】 已知正四棱台中，，其侧面积为，为侧面的中位线，若该棱台内切球半径为，则二面角的余弦值为_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二面角、棱台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】求出正四棱台的上下底的边长以及斜高，作出二面角的平面角，求出相关线段长，利用余弦定理即可求得答案. 【详解】由正四棱台内切球半径为，可知棱台的高为， 设，则，故侧面的高即斜高为， 正四棱台侧面为等腰梯形，棱台侧面积为，故， 解得，即棱台上底长为1，下底长为2，斜高为， 设上底边中点为E，中点为F，中点为G， 连接，由于正四棱台侧面为等腰梯形，为侧面的中位线， 则；又， 故，且在正四棱台中，有， 故四边形为等腰梯形，故， 则即为二面角的平面角， 在等腰梯形中，， 则，即， 故在中，， 则在等腰梯形中，，； 设分别为的中点，则四边形为等腰梯形，， 则， 在中，， 在中，，，， 求得， 则二面角的余弦值为， 故答案为. 【例3.8.】 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.35 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】设E为AC的中点，连接BE，DE，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面平面，结合已知条件有为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，过点E作交OC于点F，易知即为二面角的平面角，即可求其正切值. 【详解】设E为AC的中点，连接BE，DE. 因为为等边三角形， 所以，又，且，BE，平面， 所以平面， 又平面，即， 由题意易知，，，又， 所以. 因为，所以， 即，又，AC，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 又，则，故为等腰直角三角形. 综上，四面体的球心O为的中心，即在线段BE靠近E的三等分点处. 过点E作交OC于点F，连接DF，则即为二面角的平面角. 在中，，，可求得，又， 所以. 【例3.9.】 如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.64 【知识点】证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）求证，即可求证； （2）利用平面求出点到平面的距离，再利用余弦定理求出点到直线的距离即可求出. 【详解】（1）因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 因为与平面所成角为，所以， 则，， 因为平面，所以点到平面的距离， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离， 在直角梯形中， 在中，在中， 则在中利用余弦定理得， 则， 则点到直线的距离为， 则. 【例3.10.】 已知四棱锥，平面，，，，点为中点． 求二面角的平面角的正切值； 【详解】取中点，连交于，连接， 因为，且，则四边形为平行四边形， 所以，为中点， 在中，，因为平面，所以平面， 作交于，连接， 因为平面，所以， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 又，，所以. 【例3.11.】 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，E为的中点． 求二面角的余弦值． 【详解】由于E为的中点，所以取的中点为，连结可知：，， 因为平面，所以平面， 再取的中点为，连结可知：， 由梯形，，且，， 可知，从而可得，即， 所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 则就是二面角的平面角， 由勾股定理可得：， 所以. 【例3.12.】 如图，已知是圆的直径，是圆上的一动点，垂直圆所在平面. 若是圆上点，且，，，求平面和平面夹角的余弦值. 【详解】如图,过点作，垂足为，连接， ，，. ，，， 在中，由余弦定理得， . 垂直圆所在的平面，又圆所在的平面， ，，. ，，， ，，且， 二面角的平面角为. 由三角形面积公式可得，. 在中由余弦定理可得 ， ∴二面角的余弦值为. 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