专题02 方程与不等式（7大考点）（陕西专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 专题聚焦方程与不等式7大核心考点，汇编陕西各地2026年一模二模真题，涵盖基础运算与实际应用，融入古算题和生活情境，适配中考一轮复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|占比60%|分式方程17题、不等式(组)解法23题|分层设计基础运算与综合应用，如分式方程多题训练通分去分母技能| |应用题|32题|方程与不等式实际应用|融入《九章算术》古算题、文创销售等情境，体现数学建模，贴合陕西中考命题趋势|

专题02 方程与不等式 7大考点概览 考点01一元一次方程 考点02二元一次方程组 考点03分式方程 考点04一元二次方程 考点05一元一次不等式解法与数轴表示 考点06一元一次不等式组解法与数轴表示 考点07方程与不等式实际应用题 一元一次方程 考点01 1．（2026·陕西西安·一模）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m为________． 二元一次方程组 考点02 1．（2026·陕西西安·一模）解方程组：． 分式方程 考点03 1．（2026·陕西宝鸡·一模）解方程： 2．（2026·陕西咸阳·一模）解分式方程：． 3．（2026·陕西·一模）解方程：． 4．（2026·陕西咸阳·一模）解方程：． 5．（2026·陕西西安·一模）解方程：． 6．（2026·陕西榆林·一模）解方程：． 7．（2026·陕西咸阳·一模）解方程：． 8．（2026·陕西宝鸡·一模）解方程：． 9．（2026·陕西宝鸡·一模）解方程：． 一元二次方程 考点04 1．（2026·陕西西安·一模）若关于的一元二次方程有一个根为3，则实数的值为__________． 2.（2026·陕西咸阳·一模）（新定义）定义一种新运算：，若，则x的值为______． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）解方程：． 4．（2026·陕西西安·一模）解方程：． 一元一次不等式解法与数轴表示 考点05 1．（2026·陕西宝鸡·一模）不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）不等式的负整数解的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·陕西西安·一模）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·一模）求不等式的解集为______． 5．（2026·陕西渭南·一模）解不等式：． 6．（2026·陕西西安·一模）解不等式： 7．（2026·陕西汉中·一模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集． 8．（2026·陕西榆林·一模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 9．（2026·陕西商洛·一模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集． 10．（2026·陕西咸阳·一模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 11．（2026·陕西咸阳·一模）解不等式：． 一元一次不等式组解法与数轴表示 考点06 1．（2026·陕西渭南·一模）解不等式组： ． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）解不等式组： 3．（2026·陕西宝鸡·一模）解不等式组： 4．（2026·陕西西安·一模）解不等式组： 5．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：． 6．（2026·陕西西安·一模）解不等式组： 7．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：． 8．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：． 9．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：． 10．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：并把解集表示在如图所示的数轴上． 11．（2026·陕西汉中·一模）解不等式组：． 12．（2026·陕西榆林·一模）解不等式组： 13．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：． 14．（2026·陕西咸阳·一模）解不等式组： 15．（2026·陕西·一模）解不等式组：． 16．（2026·陕西咸阳·一模）解不等式组： 17．（2026·陕西西安·一模）解不等式组： 方程与不等式实际应用题 考点07 1．（2026·陕西渭南·一模）第31个全国中小学生安全教育日的活动主题是：同守护  共成长．某校开展中小学生安全教育日知识竞赛活动，该竞赛一共有50道题目，安安每道题都做了且没有空题，已知他答对的题数比答错题数的5倍还多2题，则安安答对了______道题． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）我国古代著作《九章算术》中记载了一首古算诗：“邻舍蚕娘分蜀锦，不知人数不知缯．每人四匹多八匹，每人六匹恰无剩．”其大意是：邻居家的养蚕妇人分蜀地织成的锦缎，不知道有多少人和多少匹锦缎．若每人分4匹锦缎，会多出8匹；若每人分6匹锦缎，恰好能分完所有锦缎．则有________匹锦缎． 3．（2026·陕西西安·一模）小川今年6岁，他的祖父72岁，若再过x年后小川的年龄是他祖父年龄的，则x的值为______． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）有一首古算诗：“邻舍蚕娘分蜀锦，不知人数不知缯．每人四匹多八匹，每人六匹恰无剩．”其大意是：邻居家的养蚕妇人分蜀地的锦缎，不知道有多少人和多少匹锦缎．如果每人分4匹锦缎，会多出8匹；如果每人分6匹锦缎，恰好能分完所有锦缎．则邻居家分锦缎的共有____________人． 5．（2026·陕西西安·一模）某地为了打造沿河景观带，将一段长为的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时天，已知甲工程队每天整治，乙工程队每天整治．设甲队整治了天，则可列方程为____________． 6．（2026·陕西·一模）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题，其大意为：现有一群学生分纸笺，要是个人共用一叠纸笺，会空出来一叠纸笺没人用；要是个人共用一叠纸笺，会有个学生没有纸笺可用．问学生有多少人，纸笺有多少叠？设纸笺有叠，可列方程为_____． 7．（2026·陕西西安·一模）明代《算法纂要》书中有一题，大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？设该问题中的牧童有个，则根据题意可列方程为______． 8．（2026·陕西铜川·一模）甲、乙一起在收藏市场挑选纪念币，两人最终购买的纪念币总数为枚．若甲将枚纪念币送给乙，此时乙的纪念币数恰好是甲的倍，则甲购买的纪念币为___________枚． 9．（2026·陕西榆林·一模）创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．创客工坊有________把工具需要放进箱子． 10．（2026·陕西宝鸡·一模）有一道古算题：“绢若干匹，分与多人，每人四匹，盈五匹；每人六匹，不足三匹，问绢几何？”其大意为：“有一批绸缎，要分给一群人，如果每人分4匹，会多出5匹；如果每人分6匹，会缺少3匹，问：这批绸缎总共有多少匹？”设绸缎有匹，则可列方程为______． 11．（2026·陕西西安·一模）周至水街位于陕西省西安市，是一条集休闲、娱乐、观光为一体的特色水街．这里以水为魂，融合了自然风光与人文景观，是游客体验关中风情的好去处．该景区推出一款文创产品深受消费者喜爱．已知该文创产品7月份的销量为1000件，9月份的销量为1690件，设该文创产品的销量月平均增长率为，根据题意可列方程为____________． 12．（2026·陕西咸阳·一模）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为48，面积为70，则它的减半矩形的长为______． 13．（2026·陕西宝鸡·一模）根据以下素材，探索完成任务． 背景 凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序作成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色． 素材 某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件． 问题解决 任务1 （1）该泥塑月销售量为___________件；（用含的代数式表示） 任务2 （2）该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 14．（2026·陕西西安·一模）某社区开展“书香社区”公益活动，计划为居民阅览室采购A型书签、B型书签两种阅读小工具．若每个B型书签20元，每个A型书签的费用是B型书签的2倍，社区决定购买A型书签和B型书签共80个，总费用不超过2180元，那么最多可以购买多少个A型书签？ 15．（2026·陕西西安·一模）小明到商店买红、黑两种笔共66支，红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元．由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价的折付钱，黑笔按定价的8折付钱．如果他优惠后付的钱数比按定价少付了81元，那么他买了多少支红笔？ 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 7大考点概览 考点01一元一次方程 考点02二元一次方程组 考点03分式方程 考点04一元二次方程 考点05一元一次不等式解法与数轴表示 考点06一元一次不等式组解法与数轴表示 考点07方程与不等式实际应用题 一元一次方程 考点01 1．（2026·陕西西安·一模）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m为________． 【答案】 【详解】解：数轴上表示数m和的点到原点的距离相等， ， ， ， ． 二元一次方程组 考点02 1．（2026·陕西西安·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】使用加减消元法消去未知数y，先求出x的值，再将x代入原方程求出y即可得到方程组的解． 【详解】解：， 得：③， 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， 因此原方程组的解为． 分式方程 考点03 1．（2026·陕西宝鸡·一模）解方程： 【答案】 【分析】根据运算法则将分式方程化为一元一次方程，再进行检验即可得到答案． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得， ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 2．（2026·陕西咸阳·一模）解分式方程：． 【答案】 【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得， ， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得 ， 经检验，当时，原方程各分母都不为0 ， ∴原分式方程的解为． 3．（2026·陕西·一模）解方程：． 【答案】 【分析】去分母，将方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：方程两边都乘得：， 解这个方程得：， 检验：当时， 即是原方程的解． 4．（2026·陕西咸阳·一模）解方程：． 【答案】 【分析】先去分母化为一元一次方程，然后解一元一次方程，再检验即可． 【详解】解： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 5．（2026·陕西西安·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先方程两边同乘，去分母转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得． 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 6．（2026·陕西榆林·一模）解方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的基本步骤，求解即可，注意一定要验根． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 解得． 检验，当时，， ∴是原方程的根． 7．（2026·陕西咸阳·一模）解方程：． 【答案】 【分析】按照解分式方程的步骤进行求解． 【详解】解： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 检验：当时，， 原方程的解为． 8．（2026·陕西宝鸡·一模）解方程：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解分母，确定最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后对所得的根进行检验即可． 解题的关键在于熟练掌握解分式方程的步骤和方法． 【详解】解： ， 经检验，使得， 是该方程的解． 9．（2026·陕西宝鸡·一模）解方程：． 【答案】 【分析】先变形原方程，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，最后检验即可． 【详解】解：， ，     ， ， ， ， ． 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 一元二次方程 考点04 1．（2026·陕西西安·一模）若关于的一元二次方程有一个根为3，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】将已知根代入原一元二次方程，即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴将代入方程得，， 整理得，， 解得，． 2．（2026·陕西咸阳·一模）（新定义）定义一种新运算：，若，则x的值为______． 【答案】 【分析】根据定义，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， 解得． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：原方程移项得， 配方得， 由此可得， 解得． 4．（2026·陕西西安·一模）解方程：． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， 或， 或． 一元一次不等式解法与数轴表示 考点05 1．（2026·陕西宝鸡·一模）不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“移项、合并同类项、系数化为”的步骤求出不等式的解集，进而选出正确选项． 【详解】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ∴不等式的解集是． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）不等式的负整数解的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， ∴不等式的负整数解为，共个． 3．（2026·陕西西安·一模）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：B． 4．（2026·陕西咸阳·一模）求不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先去分母，不等式两边同乘，然后移项，合并同类项，再系数化为运算即可． 【详解】解： ． 5．（2026·陕西渭南·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】先去分母，然后去括号，再移项，合并同类项即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：． 6．（2026·陕西西安·一模）解不等式： 【答案】 【分析】先去分母，再移项、合并同类项、系数化为1，解出即可． 【详解】解：去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 两边同除以，得． 7．（2026·陕西汉中·一模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集． 【答案】，图见解析 【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 表示在数轴上如图所示： ． 8．（2026·陕西榆林·一模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】按照去分母，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，并将其解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示为： 9．（2026·陕西商洛·一模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集． 【答案】，解集表示见详解 【详解】解：， 不等式两边同时乘以2得，， 移项、合并同类项得，， 解集表示在数轴上，如图所示， 10．（2026·陕西咸阳·一模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．根据去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤逐步求解，进而得出不等式的解集，并在数轴上表示出来． 【详解】解：去括号，得， 移项，合并同类项得， 系数化为，得． 解集在数轴上表示如图所示： 11．（2026·陕西咸阳·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式的基本性质对不等式进行变形，求出不等式的解集． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 一元一次不等式组解法与数轴表示 考点06 1．（2026·陕西渭南·一模）解不等式组： ． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 因此，原不等式组的解集为． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解，再求出其公共部分即可． 【详解】解：． 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 4．（2026·陕西西安·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求解一元一次不等式组，再求解解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，，得， ∴不等式组的解集为． 5．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式，再确定不等式组解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 6．（2026·陕西西安·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出不等式组中的两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 7．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 8．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，把它们的解集表示在数轴上，从数轴上找出解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 把解集表示在数轴上，如下图所示： 由数轴可知，不等式组的解集为． 9．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】根据解不等式组的一般步骤分别解出不等式的解集，再根据“同小取小”取得公共解集即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． ∴不等式组的解集为． 10．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：并把解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】．见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集．分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 故原不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下图所示． ． 11．（2026·陕西汉中·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：． 12．（2026·陕西榆林·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】分别解不等式，然后取公共解集即可． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， 原不等式组的解集为． 13．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为． 14．（2026·陕西咸阳·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【详解】解： 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为． 15．（2026·陕西·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， ∴原不等式组的解集为． 16．（2026·陕西咸阳·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据“大小小大中间找”的口诀确定两个解集的公共部分，即为原不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式，得； 解不等式，； 原不等式组的解集为． 17．（2026·陕西西安·一模）解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 方程与不等式实际应用题 考点07 1．（2026·陕西渭南·一模）第31个全国中小学生安全教育日的活动主题是：同守护  共成长．某校开展中小学生安全教育日知识竞赛活动，该竞赛一共有50道题目，安安每道题都做了且没有空题，已知他答对的题数比答错题数的5倍还多2题，则安安答对了______道题． 【答案】 42 【分析】设安安答错了道题，则答对了道题，根据总题数为50道建立等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设安安答错了道题，则答对了道题， 根据题意，得， 解得， 则答对题数为（题）． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）我国古代著作《九章算术》中记载了一首古算诗：“邻舍蚕娘分蜀锦，不知人数不知缯．每人四匹多八匹，每人六匹恰无剩．”其大意是：邻居家的养蚕妇人分蜀地织成的锦缎，不知道有多少人和多少匹锦缎．若每人分4匹锦缎，会多出8匹；若每人分6匹锦缎，恰好能分完所有锦缎．则有________匹锦缎． 【答案】24 【分析】根据锦缎总数不变，设人数为未知数，列方程求解后计算可得锦缎总数． 【详解】解：设共有人， 根据题意， 解得， ∴锦缎的数量为匹． 3．（2026·陕西西安·一模）小川今年6岁，他的祖父72岁，若再过x年后小川的年龄是他祖父年龄的，则x的值为______． 【答案】16 【分析】根据“经过x年后小川的年龄是他祖父年龄的”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 4．（2026·陕西宝鸡·一模）有一首古算诗：“邻舍蚕娘分蜀锦，不知人数不知缯．每人四匹多八匹，每人六匹恰无剩．”其大意是：邻居家的养蚕妇人分蜀地的锦缎，不知道有多少人和多少匹锦缎．如果每人分4匹锦缎，会多出8匹；如果每人分6匹锦缎，恰好能分完所有锦缎．则邻居家分锦缎的共有____________人． 【答案】4 【分析】根据锦缎总数量不变建立等量关系，设分锦缎的人数为未知数，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设邻居家分锦缎共有人， 根据锦缎总数量不变，列方程得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 系数化为得： ． 即邻居家分锦缎的共有4人． 5．（2026·陕西西安·一模）某地为了打造沿河景观带，将一段长为的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时天，已知甲工程队每天整治，乙工程队每天整治．设甲队整治了天，则可列方程为____________． 【答案】（其他写法正确均可） 【分析】设甲队整治了天，根据总用时为天，得出乙队整治的天数为天；再依据“甲队整治的长度乙队整治的长度河道总长度”这一等量关系，列出方程． 【详解】解：设甲队整治了天，则乙队整治了天． 甲队每天整治，故甲队整治长度为； 乙队每天整治，故乙队整治长度为； 根据总长度为，可列方程为． 6．（2026·陕西·一模）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题，其大意为：现有一群学生分纸笺，要是个人共用一叠纸笺，会空出来一叠纸笺没人用；要是个人共用一叠纸笺，会有个学生没有纸笺可用．问学生有多少人，纸笺有多少叠？设纸笺有叠，可列方程为_____． 【答案】 【分析】由学生总人数不变，分别用含的代数式表示两种分纸笺方式下的学生总人数，再根据等量关系列出方程． 【详解】解：设纸笺有叠， 第一种分法中，6个人共用一叠纸笺，空余1叠， 因此实际使用纸笺叠， 学生总人数为； 第二种分法中，4个人共用一叠纸笺，剩余8个学生没有纸笺， 因此学生总人数为， 因为学生总人数保持不变， 因此可列方程为． 7．（2026·陕西西安·一模）明代《算法纂要》书中有一题，大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？设该问题中的牧童有个，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】设共有个牧童，根据杏的总数不变列出一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：设共有个牧童， 由题意得：． 8．（2026·陕西铜川·一模）甲、乙一起在收藏市场挑选纪念币，两人最终购买的纪念币总数为枚．若甲将枚纪念币送给乙，此时乙的纪念币数恰好是甲的倍，则甲购买的纪念币为___________枚． 【答案】30 【分析】设甲购买纪念币的数量为未知数，结合总数表示出乙的数量，再根据送币后的倍数关系找到等量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲购买的纪念币为枚，则乙购买的纪念币为枚， 甲将枚纪念币送给乙后，甲的纪念币数量为枚，乙的纪念币数量为枚， 根据题意列方程得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 即甲购买的纪念币为30枚． 9．（2026·陕西榆林·一模）创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．创客工坊有________把工具需要放进箱子． 【答案】40 【分析】利用工具总数不变建立等量关系，设箱子数量为未知数，列一元一次方程求解箱子数量后，再计算工具总数即可． 【详解】解：设箱子共有个， 根据工具总数不变，列方程得：， 解得：， 则工具总数为（把）． 10．（2026·陕西宝鸡·一模）有一道古算题：“绢若干匹，分与多人，每人四匹，盈五匹；每人六匹，不足三匹，问绢几何？”其大意为：“有一批绸缎，要分给一群人，如果每人分4匹，会多出5匹；如果每人分6匹，会缺少3匹，问：这批绸缎总共有多少匹？”设绸缎有匹，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题中人数固定不变，根据两种分绸缎的情况分别表示人数，即可列出方程． 【详解】解：设绸缎有匹， 由题意可知，人数始终相等， 每人分匹多出匹，可得人数为， 每人分匹缺少匹，可得人数为， 因此列方程得． 11．（2026·陕西西安·一模）周至水街位于陕西省西安市，是一条集休闲、娱乐、观光为一体的特色水街．这里以水为魂，融合了自然风光与人文景观，是游客体验关中风情的好去处．该景区推出一款文创产品深受消费者喜爱．已知该文创产品7月份的销量为1000件，9月份的销量为1690件，设该文创产品的销量月平均增长率为，根据题意可列方程为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意找出等量关系是解题的关键． 从7月到9月销量增长两个月，根据月平均增长率公式列出一元二次方程 【详解】解：设月平均增长率为x，则8月份销量为件，9月份销量为件，因此方程为， 故答案为． 12．（2026·陕西咸阳·一模）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为48，面积为70，则它的减半矩形的长为______． 【答案】7 【分析】设它的减半矩形的其中一边的长度是，可得其相邻边的长度是，从而列出方程，解方程得到减半矩形的相邻两边长，其中更大的是减半矩形的长． 【详解】解：设它的减半矩形的其中一边的长度是， ∵原矩形的周长为48，面积为70， ∴它的减半矩形的周长为：，面积为：， ∴边长为的边的邻边长度是：， ∴， 解得：， 当时，；当时，； ∴减半矩形的相邻两边分别是5和7， ∴减半矩形的长为7． 13．（2026·陕西宝鸡·一模）根据以下素材，探索完成任务． 背景 凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序作成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色． 素材 某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件． 问题解决 任务1 （1）该泥塑月销售量为___________件；（用含的代数式表示） 任务2 （2）该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【答案】（1）；（2）该泥塑的售价上涨10元/件 【分析】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出方程求解，然后根据题意得出结果即可． 【详解】解：（1）∵月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件， ∴该泥塑月销售量为件， 故答案为：． （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该泥塑的售价上涨10元/件． 14．（2026·陕西西安·一模）某社区开展“书香社区”公益活动，计划为居民阅览室采购A型书签、B型书签两种阅读小工具．若每个B型书签20元，每个A型书签的费用是B型书签的2倍，社区决定购买A型书签和B型书签共80个，总费用不超过2180元，那么最多可以购买多少个A型书签？ 【答案】最多可以购买29个A型书签 【详解】解：设购买个A型书签，则购买个B型书签， 由题意，得：， 解得：； ∴最多可以购买29个A型书签． 15．（2026·陕西西安·一模）小明到商店买红、黑两种笔共66支，红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元．由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价的折付钱，黑笔按定价的8折付钱．如果他优惠后付的钱数比按定价少付了81元，那么他买了多少支红笔？ 【答案】36 【分析】设红笔有x支，那么黑笔有支，根据题意列出一元一次方程，计算求解即可． 【详解】解：设红笔有x支，那么黑笔有支，由题意得： ， 解得：， 答：他买了36支红笔． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $