江苏扬州市江都区丁沟中学2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．本试卷所有题目均为原创题或改编题． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则所对应复平面内的点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，为实数集，则（ ） A. B. C. D. 3. 设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知直线，圆，平面内一点满足，设圆上一点到直线的距离为，为实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，且，已知的值域为，，若在区间上恰有3个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组从小到大排列的样本数据，其中，则下列说法中正确的是（ ） A. 若第一项与最后一项的数据忽略不计，则样本数据的极差减小 B. 这组样本数据的上四分位数为 C. 这组样本数据的平均数为 D. 若为这组样本数据增加两个数据，则众数可能不变 10. 解析几何能将原本的几何图形转化为代数运算，在如今的数学解题中被广泛应用，下列命题中，是真命题的是（ ） A. 已知直线与平行，则或 B. 已知，点为轴上一动点，则的最大值为 C. 已知实数满足方程，则的最大值为 D. 已知两点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 11. 已知实数，且成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，则的值为___________． 13. 某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答) 14. 已知为偶函数，为的导函数，当时，满足，则当时，不等式的解集是___________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，已知角所对的边分别为，且满足． （1）求； （2）若边上的两条中线相交于点，求的余弦值． 16. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）定义数列满足递推公式． （i）求数列的前项和； （ii）记数列，若数列的前项和为，证明：． 17. 在平面直角坐标系中，点为椭圆的左焦点，点为上一点，为的右焦点，且的周长为12． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，设直线的斜率分别为． （i）是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由； （ii）求面积的最大值． 18. 祖暅及其父亲祖冲之在《缀术》中写道：“缘幂势既同，则积不容异．”其中“幂”的意思是面积，“势”的意思是高度，“积”的意思是体积，其大致意思为：“若任取同一高度，两个几何体在此高度的横截面积相同，则这两个几何体的体积一定相同．”其中蕴含的微元思想在当今数学界仍有广泛应用，体现了古人的智慧，请根据材料内容，完成下列各题． （1）根据材料，我们可以构造如图1，图2两个立体图形推导球的体积公式，请你根据题意进行推导； （2）类比（1）中的构造方法，请你自主构造图形，推导图3椭圆绕其长轴旋转一周所得旋转体的体积； （3）若绕（2）中图形的短轴旋转一周，得到另一个旋转体，记它的体积为，求． （注：图1中为一个底面半径为的圆柱内置一个圆锥，底面半径为，高为） 19. 设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称为的凹区间；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数，区间称为的凸区间． （1）已知函数，判断的单调性并求其凹，凸区间； （2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，过线段的中点作轴的垂线，与函数和轴分别交于点，已知． （i）证明：对任意的点均有； （ii）结合（i）中的结论，当时，证明： 2026年普通高等学校招生全国统一考试数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．本试卷所有题目均为原创题或改编题． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】540 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）（i） （ii）由题得． 所以 化简得． 因为，，所以． 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）为定值0；（ii） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）在单调递增；的凹区间为，凸区间为; （2）（i）证明：对于凹函数定义域中的任意两个自变量，，， 所以， 由，有， （ii）证明;对不等式两边取对数. 问题等价于恒成立. 构造函数，即证恒成立， ，令， 令，即，解得， 所以是函数的凹区间， 因为，所以当时，是凹函数， 由（i）知，，当时，等号成立， 所以时，恒成立， 所以恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $