微专题04 不等式（组）的新定义问题（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

微专题04 不等式（组）的新定义问题 题型一 新定义运算型 1. 严格照搬题干给出的全新运算规则，对应数字、字母完整代入公式； 2. 直接剔除陌生新运算符号，转化为常规一元一次不等式； 3. 按基础不等式解法规范计算，做好移项、合并同类项、系数化为1； 4. 题干含参数时，同步顺带求出对应字母取值范围即可。 1．（23-24七年级下·海南海口·期中）定义新运算：对于任意实数a，b都有，如：，那么不等式的正整数解的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 2．对于任意实数、，定义一种运算：．例如，，请根据上述的定义解决问题，若不等式，则该不等式的正整数解是（    ） A．1 B．1,2 C．2 D．不存在 3．定义新运算：．例如，，则不等式组的解集为(    ) A． B． C．无解 D． 4．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义一种新运算， ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； 以上说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（23-24八年级下·山东青岛·月考）定义一种新运算“”：当时，当时，．例如：，．若已知，则x的取值范围为______． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则不等式组的整数解的和为______． 7．（23-24八年级下·全国·期中）在实数范围内规定新运算“※”，其运算规则为：． (1)求不等式的解集； (2)已知不等式组的解集为，求的值． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：．． (1)若，则______． (2)若关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 题型二 max/min最值新定义型 1. 优先对比大括号内两组代数式的大小关联，梳理两种核心大小情况； 2. 对应每一种大小关系，精准列出配套不等式组； 3. 分步求解每组不等式组，算出对应有效解集； 4. 筛查所有合规解集，统一整合汇总最终答案。 1．对于任意两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：．若，，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如果x是一个有理数，我们定义{x}表示不小于x的最小整数．如{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{﹣6}＝﹣6．若m满足{2m+8}＝6，则m的取值范围是（　　） A．m≤﹣1 B．﹣＜m≤﹣1 C．m≥﹣4 D．﹣4≤m＜﹣ 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）对于任意实数，我们用表示不小于的最小整数．如：，，，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）对于三个数a，b，c，用表示这三个数中最大的数，如，若，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）阅读下面的材料： 对于有理数，我们定义符号的意义如下：当时，；当时，．例如：，．根据上面的材料回答下列问题： (1)_______； (2)当时，求的取值范围． 6．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）规定，例如，． (1)__________； (2)解不等式组； (3)若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围为__________． 题型三 区间新定义型 1. 快速直译区间格式，精准转化成标准不等式，闭区间直接写a≤x≤b； 2. 贴合题干要求，直接套用区间对应范围列式； 3. 遇到区间重叠、无重叠问题，画数轴直观标注位置； 4. 比对区间左右端点数值大小，列式求解参数取值。 1．（23-24七年级下·吉林长春·月考）规定表示不超过的最大整数，如，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，例如：，则满足等式的正整数的个数为（　　） A．2 B．3 C．12 D．16 3．若定义一种新的取整符号， 即表示不超过的最大整数．例如：， ， 则下列结论正确个数是（     ） ①； ②； ③方程的解有无数多个； ④若， 则 的取值范围是 ； A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24七年级下·福建泉州·期中）若定义一种新的取整符号，即表示不超过的最大整数．例如：，，则下列结论错误的个数有（    ） （1）；（2）或-1；（3）方程的解有无数多个；（4）若，则的取值范围是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例：，，．如果，满足条件的所有整数x是__________． 6．（24-25七年级下·湖南·期末）定义：表示不大于的最大整数，如，．我们把满足（为常数）的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：______，若，则的核心范围是______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． (3)已知，满足方程组，且，对于任意都成立，求的取值范围． 题型四 特殊数新定义型 1. 优先常规求解原始不等式，算出未知数完整取值范围； 2. 贴合题干专属特殊数定义，筛选匹配合规整数； 3. 题干限定数字个数时，依托数轴逐一清点对应整数； 4. 结合合规整数数量，反向推导参数上下临界边界。 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程，若方程，都是关于的不等式组的相伴方程，则的取值范围为______ ． 2．定义：把的值叫做不等式组的“长度”，若关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为______． 3．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解” (1)组合是 ；（填梦想解或无缘解） (2)若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； (3)若关于x的是“无缘解”则m的取值范围为 ． 4．（25-26七年级下·福建泉州·月考）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”， (1)不等式 的“友好不等式”；（填“是”或“不是”）； (2)若，关于不等式不等式互为“友好不等式”，求取值范围； (3)若关于的不等式不是的“友好不等式”，则取值范围是 ． 6．（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 7．（24-25七年级下·四川资阳·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式： ， ， 中，不等式 的“云不等式”是 （填序号）； (2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 题型五 整数解个数压轴型 1. 常规步骤求解不等式，整理成带固定参数的标准解集格式； 2. 在数轴上精准标注所有固定合规整数，定位核心区间； 3. 贴合题干要求的整数个数，卡死参数上下临界边界； 4. 反复核验边界数值，严格判定是否可以携带等号。 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号，例如：．若关于的不等式组，恰好有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）对x，y定义一种新的运算G，规定：G（x，y）＝例如：G（2，1）＝2﹣2×1＝0，若关于p（p＞0）的不等式组恰好有两个整数解，则a的取值范围是____ 3．已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，． (1)求常数，的值； (2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围． 4．对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7． （1）求5#x>0解集； （2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义新运算：，例如，因为，所以，． (1)计算：______，______，当时，若，则与满足的关系式为______； (2)若点在第四象限，且满足，求点P的坐标； (3)t为常数，若关于x的不等式组有整数解，求t的取值范围． 6．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 题型六 解集包含新定义型 1. 分别独立求解两组含参不等式，梳理各自完整解集； 2. 绘制数轴，标注大小两层解集范围，区分内外圈层； 3. 3. 精准厘清谁包含谁，固定数轴端点对应位置； 4. 依据端点大小关联，列合规不等式组求解参数。 1．（24-25七年级下·陕西安康·期末）【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在①、②、③这三个一元一次不等式中，是的“相斥不等式”的是_____（填序号）． (2)若关于的不等式是的“相斥不等式”，求的取值范围． (3)若（是非零常数）是的“相斥不等式”，求的取值范围． 2．（25-26七年级下·湖南常德·期中）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 3．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围． (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围． 4．定义：若一个方程的解使某不等式（组）成立，则称这个方程为该不等式（组）的一个“子系方程”．例：是方程的解，且使不等式成立，则方程为不等式的一个“子系方程”． (1)方程_____不等式的一个“子系方程”（填“是”或“不是”）； (2)下列方程是不等式组的“子系方程”的有_____（填序号）； ①；②；③ (3)关于的不等式组恰有7个整数解，关于的方程的解为整数，若该方程是不等式组的“子系方程”，求有理数． 5．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应的任务． “容纳”不等式（组） 若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）②为不等式（组）①的“容纳”不等式（组），其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例：不等式组①中，解，得（依据1）；解，得（依据2）， ∴不等式组①的解集为，同理，解不等式组②，得． 由两个不等式组的解集，可知不等式组②为不等式组①的“容纳”不等式组． 任务： (1)填空：材料中的依据1是 ，依据2是 ． (2)不等式是下列不等式（组） 的“容纳”不等式． A．                B．                C．                D． (3)若是关于x的不等式的“容纳”不等式，求m的最大值． 6．（23-24八年级下·山东青岛·期中）【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 (1)请写出不等式的一个子集 ； (2)若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； (3)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ； (4)若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ； (5)已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ． 题型七 数轴新距离定义型 1. 严格贴合题干全新距离定义，照搬公式列出对应式子； 2. 转化规范变形为标准绝对值不等式基础格式； 3. 规范拆解绝对值，拆分两组基础一元一次不等式组成不等式组； 4. 分步求解后，整合全部合规解集作答。 1．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图①，若有理数和在数轴上表示的点分别是点和点，且有理数对应的点在线段上(包含线段的端点),则称点为“关联点”． (1)下列几组有理数中，对应的点是“关联点”的有___________．(填写所有符合条件的序号) ①；②；③；④ (2)有理数和对应的点分别为点和．已知点为“关联点”，点在数轴上的位置如图②所示． ①若点到点和点的距离相等，利用刻度尺在数轴上画出点和点的位置，并标出点和点表示的数(用含的代数式表示)． ②直接写出有理数的取值范围（用含的代数式表示）． 2．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为，则称d为点P到点Q的追击值，记作．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为． （1）点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值，则点N表示的数是____________（用含a的代数式表示）． （2）如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒4个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为． ①当b＝5时，问t为何值时，点A到点B的追击值； ②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值都满足不大于9个单位长度，请直接写出b的取值范围． 3．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为），则称d为点P到点Q的追击值，记作．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为． (1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值，则点N表示的数是______（用含a的代数式表示）． (2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒3个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为． ①当时，问t为何值时，点A到点B的追击值； ②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值都满足不大于7个单位长度，请直接写出b的取值范围． 4．已知：在数轴上，原点为O，点A、点B表示的数分别为a、b（a<b），点P为数轴上任意一点，若PA≤PB，则点P称为线段AB的关联点．现在点A、点B表示的数分别为−2和4，请解决以下四个问题： (1)点C、点D和点E分别表示−1、5和9，在这三个点中是线段AB关联点的是______； (2)点P表示的数为x，若点P是线段AB的关联点，则x的最大值为______； (3)点M从A点出发沿数轴向右运动，请问点B能否成为线段AM的关联点，若能，请求出点M表示的数m的最小值（不计点A和点M重合的时刻）． (4)点M从A点出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位长度，沿数轴向右运动，设运动时间为t，请问点B能否成为线段MN点的关联点，若能，请求出t的最小值；若不能，请说明理由． 5．在数轴上，点M和N分别表示数m，n，可以用绝对值表示点M，N两点间距离d，即． (1)在数轴上，点A，B，C，D分别表示数，7，x，y，解决以下问题： ①_____； ②若，则_____； ③若，求y的值． (2)在数轴上，点A，B分别表示数a，b，点E是数轴上一点，满足，请在数轴上表示出所有符合条件的点E．（在数轴上把选定区域用铅笔加粗，并标注必要的数据，用含a，b的代数式表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 不等式（组）的新定义问题 题型一 新定义运算型 1. 严格照搬题干给出的全新运算规则，对应数字、字母完整代入公式； 2. 直接剔除陌生新运算符号，转化为常规一元一次不等式； 3. 按基础不等式解法规范计算，做好移项、合并同类项、系数化为1； 4. 题干含参数时，同步顺带求出对应字母取值范围即可。 1．（23-24七年级下·海南海口·期中）定义新运算：对于任意实数a，b都有，如：，那么不等式的正整数解的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据新定义列出关于的一元一次不等式，解不等式可得． 【详解】解：根据题意，原不等式转化为：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为，得：， 正整数解有个，为，，． 故选：B． 2．对于任意实数、，定义一种运算：．例如，，请根据上述的定义解决问题，若不等式，则该不等式的正整数解是（    ） A．1 B．1,2 C．2 D．不存在 【答案】B 【分析】根据新定义可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论． 【详解】解： ， ， 为正整数， 、2． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，解题的关键是通过解不等式求得不等式的解集． 3．定义新运算：．例如，，则不等式组的解集为(    ) A． B． C．无解 D． 【答案】B 【分析】根据新定义得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，根据题意列出一元一次不等式组是解题的关键． 4．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义一种新运算， ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； 以上说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据新运算中乘积的正负选择对应规则，分情况讨论逐一验证三个结论，结合不等式和绝对值性质计算． 【详解】解：① ，分情况讨论： 当，即时，得，解得，符合条件； 当，即时，得，解得，不符合，舍去； 仅，结论①错误； ②， ，符合， 得，即， 解得或，结论②漏解，错误； ③由，得与异号，且， ∴， 解得， 时，，， ，符合， ， 原式为， ， ，即， 分情况化简： 当时，，原式； 当时，，原式； 原式最小值为，结论③正确； 综上，仅1个结论正确． 5．（23-24八年级下·山东青岛·月考）定义一种新运算“”：当时，当时，．例如：，．若已知，则x的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义，解不等式，分当时得到不等式，当时得到不等式，两种情况解不等式即可得到答案． 【详解】解：当时，解得， ∵， ∴， ∴， 解得； 当时，解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则不等式组的整数解的和为______． 【答案】36 【分析】本题考查了性定义，求不等式组的解集，根据新定义把转化为一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴由得， 解①得， 解②得， ∴， ∴整数解为， ∴整数解的和为． 故答案为：36． 7．（23-24八年级下·全国·期中）在实数范围内规定新运算“※”，其运算规则为：． (1)求不等式的解集； (2)已知不等式组的解集为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算和解一元一次不等式，解一元一次不等式组： （1）根据新定义可得，解不等式即可； （2）根据新定义得到，分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：．． (1)若，则______． (2)若关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据定义得出，再解出方程，即可求解 （2）先根据定义得出，再结合可得关于x的不等式组，然后根据方程组无解，可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：； 故答案为： （2）解：∵， ∴， 即， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是截一元一次方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 题型二 max/min最值新定义型 1. 优先对比大括号内两组代数式的大小关联，梳理两种核心大小情况； 2. 对应每一种大小关系，精准列出配套不等式组； 3. 分步求解每组不等式组，算出对应有效解集； 4. 筛查所有合规解集，统一整合汇总最终答案。 1．对于任意两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：．若，，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式组，正确理解题意，建立不等式组求解是解题的关键． 根据新定义得到，再求不等式组的解集即可． 【详解】由题意，可得， 解不等式组，得， 故选：D． 2．如果x是一个有理数，我们定义{x}表示不小于x的最小整数．如{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{﹣6}＝﹣6．若m满足{2m+8}＝6，则m的取值范围是（　　） A．m≤﹣1 B．﹣＜m≤﹣1 C．m≥﹣4 D．﹣4≤m＜﹣ 【答案】B 【分析】根据{x}表示不小于x的最小整数，{2m+8}＝6，可得，由此求解即可． 【详解】解：∵{x}表示不小于x的最小整数，{2m+8}＝6， ∴， 解得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了新定义和解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）对于任意实数，我们用表示不小于的最小整数．如：，，，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的定义，列出不等式即可解得． 【详解】∵对于任意实数x，我们用{x}表示不小于x的最小整数 ∴ 解得 故选：D． 【点睛】此题考查了新概念定义，解题的关键是列出不等式并解得答案． 4．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）对于三个数a，b，c，用表示这三个数中最大的数，如，若，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组的应用及新定义问题，理解新定义，得到不等式组是解题的关键． 根据表示这三个数中最大的数，对于，可得不等式组，可得结论． 【详解】解：， 则， 的取值范围为：， 故选：B． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）阅读下面的材料： 对于有理数，我们定义符号的意义如下：当时，；当时，．例如：，．根据上面的材料回答下列问题： (1)_______； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据新定义可得答案； （2）根据新定义得出，再解之即可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ∴的取值范围． 6．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）规定，例如，． (1)__________； (2)解不等式组； (3)若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围为__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解的定义，正确得出不等式组是解题关键． （1）根据、以及的定义即可得； （2）根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得； （3）先根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组可得，再根据不等式组恰好有三个整数解可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． （3）解：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， 这个不等式组的解集为， 又∵关于的不等式组恰好有三个整数解， ， 解得：， ∴的取值范围为． 故答案为：． 题型三 区间新定义型 1. 快速直译区间格式，精准转化成标准不等式，闭区间直接写a≤x≤b； 2. 贴合题干要求，直接套用区间对应范围列式； 3. 遇到区间重叠、无重叠问题，画数轴直观标注位置； 4. 比对区间左右端点数值大小，列式求解参数取值。 1．（23-24七年级下·吉林长春·月考）规定表示不超过的最大整数，如，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式组，新定义，根据新定义可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，例如：，则满足等式的正整数的个数为（　　） A．2 B．3 C．12 D．16 【答案】D 【分析】利用不等式[x]≤x即可求出满足条件的n的值． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且n＜100， ∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查不等式以及取整，关键是要正确理解取整的定义，以及[x]≤x＜[x]+1式子的应用，这个式子在取整中经常用到． 3．若定义一种新的取整符号， 即表示不超过的最大整数．例如：， ， 则下列结论正确个数是（     ） ①； ②； ③方程的解有无数多个； ④若， 则 的取值范围是 ； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据新定义，直接求出值；②取特殊值验证；③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；④把方程问题转化为不等式问题． 【详解】解： ，故①正确； 如，，故②错误； 当时，方程均成立，故③正确； 因为， ∴，即，故④错误； ∴正确的有2个． 故选：B 【点睛】本题考查了新运算与一元一次不等式则，解题的关键在于能够理解新定义． 4．（23-24七年级下·福建泉州·期中）若定义一种新的取整符号，即表示不超过的最大整数．例如：，，则下列结论错误的个数有（    ） （1）；（2）或-1；（3）方程的解有无数多个；（4）若，则的取值范围是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查取整函数与一元一次不等式．①根据取整函数的定义，直接求出值；②取特殊值验证，证实或证伪；③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；④把方程问题转化为不等式问题 【详解】解：①，正确； ②由，原计算错误； ③当，，，...时，方程均成立，正确； ④由，得，即，错误； 故选：B． 5．定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例：，，．如果，满足条件的所有整数x是__________． 【答案】， 【分析】根据符号表示不大于的最大整数，据此可得出的范围列出不等式，求解不等式的解集，求整数解即可． 【详解】解：由定义可知：， 解得： 整数有，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，能根据符号的运算规律，列出不等式组是解决本题的关键． 6．（24-25七年级下·湖南·期末）定义：表示不大于的最大整数，如，．我们把满足（为常数）的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：______，若，则的核心范围是______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． (3)已知，满足方程组，且，对于任意都成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)，，； (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解以及一元一次不等式组的整数解，理解新定义是解题的关键； （）根据新定义以及核心范围的定义，即可求出结论； （）由，可求出，结合原不等式组只有三个整数解，即可找出的取值范围； （）先解方程组得出关于与的关系，再根据恒成立来确 定的取值范围； 【详解】（1）解：∵表示不大于的最大整数， ∴， 若， 则的核心范围是 故答案为：，． （2）∵， ∴关于的不等式组， 解得， 即： ∵关于的不等式组有且只有三个正整数解， ∴整数解应为1，2，3． ∴ （3）∵，满足方程组， 解得， ∵对于任意都成立，而， ∴， 把，代入中， 得到， 解得：； 题型四 特殊数新定义型 1. 优先常规求解原始不等式，算出未知数完整取值范围； 2. 贴合题干专属特殊数定义，筛选匹配合规整数； 3. 题干限定数字个数时，依托数轴逐一清点对应整数； 4. 结合合规整数数量，反向推导参数上下临界边界。 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程，若方程，都是关于的不等式组的相伴方程，则的取值范围为______ ． 【答案】 【分析】解方程求出两个方程的解，再解不等式组得出，根据，均是不等式组的解可得关于m的不等式组，解之可得． 【详解】解：解方程，得：， 解方程，得：， 由，得：， 由，得：， ∵，均是不等式组的解， ∴且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是新定义问题，涉及解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．定义：把的值叫做不等式组的“长度”，若关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．解不等式组求得不等式组的解集为，根据题意得出，即可得到不等式组的解集为，即可求得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵原不等式组的解集的“长度”为3， ∴， ∴， ∴原不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解为， ∴该不等式组的整数解之和为． 故答案为： 3．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解” (1)组合是 ；（填梦想解或无缘解） (2)若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； (3)若关于x的是“无缘解”则m的取值范围为 ． 【答案】(1)无缘解 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握求解方法，理解题意是解此题的关键． （1）分别求出方程和不等式的解，再结合题意判断即可得解； （2）分别求出方程和不等式的解，再结合“梦想解”的定义得出，求解即可； （3）分别求出方程和不等式的解，再结合“无缘解”的定义得出，求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解不等式得：， 方程的解不满足，故此组合为无缘解； （2）解：解方程得：， 解不等式得：， ∵关于x的组合是“梦想解”， ∴， 解得：； （3）解：解方程得：， 解不等式得：， ∵关于x的是“无缘解”， ∴， 解得：． 4．（25-26七年级下·福建泉州·月考）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)③ (3) 【分析】（1）先求出方程的解为，再将代入不等式进行验证即可； （2）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （3）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出的取值范围﹒ 【详解】（1）解：由方程得：， 当时，， ∴方程与不等式的“梦想解”是． （2）解：解方程得， 解不等式得，故方程与不等式①没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式②没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式③的梦想解为﹒ （3）解：解二元一次方程组， 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”， (1)不等式 的“友好不等式”；（填“是”或“不是”）； (2)若，关于不等式不等式互为“友好不等式”，求取值范围； (3)若关于的不等式不是的“友好不等式”，则取值范围是 ． 【答案】(1)是； (2)的取值范围为或； (3)； 【分析】（1）根据“友好不等式”的定义即可解答； （2）根据“友好不等式”的定义分情况讨论即可解答； （3）关于的不等式不是的“友好不等式”即可解答． 【详解】（1）解：∵与有公共的整数解， ∴是的“友好不等式”， 故答案为是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，即时， ∴， ∴， ∵不等式不等式互为“友好不等式”， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，即时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，不等式不等式互为“友好不等式”， 综上，的取值范围为或； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵关于的不等式不是的“友好不等式”， ∴， 故答案为； 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，新定义“友好不等式”，读懂“友好不等式”的定义是解题的关键． 6．（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可； （2）解方程组求出，，再代入不等式，求出的取值范围； （3）解方程组，用含有的代数式表示，，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：， ∴不是此不等式的解； ②， 解得：， ∴是此不等式的解； ③， 解得：， ∴是此不等式组的解； ∴方程的解是此方程与②③的“理想解”， 故答案为：②③； （2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”， ∴，， 解方程组，得：， ∴， ∴， 即的取值范围为； （3）解：解方程组，得：， ∵关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数）， ∴， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， ∴不等式组的解集为， 即的取值范围． 【点睛】本题考查解一元一次方程、二元一次方程组和解一元一次不等式（组），解题关键是熟练掌握解一元一次方程、二元一次方程组和解一元一次不等式（组）的一般步骤． 7．（24-25七年级下·四川资阳·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式： ， ， 中，不等式 的“云不等式”是 （填序号）； (2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出三个不等式的解集，判断与有没有公共整数解即可； （2）求出两个不等式的解集，根据两个不等式不是“云不等式”列出关于m的不等式，即可求解； （3）求出当时，不等式的解集，进而列出关于a的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：解不等式 ，得，与有公共整数解2，是的“云不等式”； 不等式 与有公共整数解2，是的“云不等式”； 解不等式 ，得，与没有公共整数解，不是的“云不等式”； （2）解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于的不等式不是的“云不等式”， ∴与没有公共整数解， 分两种情况： 当与没有公共解时， 可得， 解得； 当与有公共解，但公共解里没有整数时， 可得 解得， 综上可得，的取值范围为； （3）解：当时，即时，不等式即的解集为， 不等式的解集为， ∵关于的不等式与不等式互为“云不等式”， ∴，即，此时两个不等式至少存在整数解1， ∴． 8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∵，， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，则， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 题型五 整数解个数压轴型 1. 常规步骤求解不等式，整理成带固定参数的标准解集格式； 2. 在数轴上精准标注所有固定合规整数，定位核心区间； 3. 贴合题干要求的整数个数，卡死参数上下临界边界； 4. 反复核验边界数值，严格判定是否可以携带等号。 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号，例如：．若关于的不等式组，恰好有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算，求不等式组的解集，先根据新定义将不等式组转化为常规一元一次不等式组，求解解集后，结合恰好有4个整数解的条件，确定k的取值范围即可． 【详解】解：∵定义， ∴第一个不等式转化为：， 化简得：， 即， ， 第二个不等式转化为：， 化简得：， ， ， 则不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有4个整数解，整数解为，0，1，2， ， 不等式两边同乘7得： 解得：． 故选：B． 2．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）对x，y定义一种新的运算G，规定：G（x，y）＝例如：G（2，1）＝2﹣2×1＝0，若关于p（p＞0）的不等式组恰好有两个整数解，则a的取值范围是____ 【答案】12≤a＜16 【分析】根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出a的范围即可． 【详解】解：根据题意得：G（x，y）=， ∵p＞0， ∴3p＞p，-2-3p＜-2p ∴G（3p，p）=3p-2p＞-3，解得p＞-3； G（-2-3p，-2p）=-2p-2（-2-3p）=4p+4≤a，解得p≤， ∴不等式组的解集为-3＜p≤， 又∵p＞0， ∴0＜p≤， ∵不等式组恰好有2个整数解，即p=1，2． ∴2≤＜3， 解得：12≤a＜16， 故答案为：12≤a＜16． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，根据新定义化简不等式组，并熟练掌握解一元一次不等式组的能力、根据其整式解个数得出关于a的不等式组是解题的关键． 3．已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，． (1)求常数，的值； (2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据新定义的运算得出二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据新定义运算得出不等式组，然后求解得出，再由题意求解即可． 【详解】（1）由题意得， 解得，； （2）由题意得， 解得． ∵要使恰有2个整数解， ∴， 解得． 【点睛】题目主要考查对新定义运算的理解，二元一次方程组的解法，不等式组的解法，理解题意，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 4．对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7． （1）求5#x>0解集； （2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围． 【答案】（1）x＜4；（2）；（3）-1≤m＜0 【分析】（1）根据新定义得出关于x的不等式，解之即可； （2）根据新定义列出关于x的不等式组，再分别求解即可得出其解集； （3）由不等式组整数解的个数得出关于m的不等式组，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）由题意得5-3x+7＞0， 解得x＜4； （2）由题意，得：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：x＜3-m， 则不等式组的解集为； （3）∵该不等式组有3个整数解， ∴3＜3-m≤4， 解得-1≤m＜0． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义新运算：，例如，因为，所以，． (1)计算：______，______，当时，若，则与满足的关系式为______； (2)若点在第四象限，且满足，求点P的坐标； (3)t为常数，若关于x的不等式组有整数解，求t的取值范围． 【答案】(1)3，3，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查有理数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）点在第四象限，得到，根据新定义进行计算即可； （3）解不等式，得，根据定义得到，分类讨论进行计算即可． 【详解】（1）解：， ；； ， 故， 即； 故答案为：3，3，； （2）解：点在第四象限， ， ， ， ， 联立解得， 点P坐标为； （3）解：解不等式，得， 由定义，， 分情况讨论：当时，不等式的解集为． 不等式组有整数解，故一定有解，代入解得； 当时，不等式的解集为， 不等式组有整数解，故一定有解，代入解得． 综上，． 6．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：①， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； ②， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ③， 移项得，， 系数化为1得，； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． （2）解： 解得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得； （3）解：， 去分母得， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵不等式组有3个整数解， ∴， 解得， ∴． 题型六 解集包含新定义型 1. 分别独立求解两组含参不等式，梳理各自完整解集； 2. 绘制数轴，标注大小两层解集范围，区分内外圈层； 3. 3. 精准厘清谁包含谁，固定数轴端点对应位置； 4. 依据端点大小关联，列合规不等式组求解参数。 1．（24-25七年级下·陕西安康·期末）【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在①、②、③这三个一元一次不等式中，是的“相斥不等式”的是_____（填序号）． (2)若关于的不等式是的“相斥不等式”，求的取值范围． (3)若（是非零常数）是的“相斥不等式”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3)且 【分析】本题主要考查解一元一次不等式、不等式的解集等知识点，熟练掌握解一元一次不等式的技能和“相斥不等式”的定义是解题的关键． （1）根据“相斥不等式”的定义求解即可； （2）根据“相斥不等式”的定义可得到关于a的不等式，求解即可； （3）根据“相斥不等式”的定义可得到关于k的不等式，求解即可． 【详解】（1）解：①∵的解可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”． ②∵的解有可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”； ③∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”． 故答案为：③． （2）解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式是的“相斥不等式”， ∴， 解得：． （3）解：∵（是非零常数）是的“相斥不等式”， 的解集为， ∴， 解得：且． 2．（25-26七年级下·湖南常德·期中）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)整数的最小值为 (3) 【分析】（1）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义进行判断； （2）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解； （3）分别解方程组和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程， ， ， 解得； 解不等式， ， 解得； ， 方程的解是不等式的“内含解”． （2）解：解方程， ， 解得． ， ， 解不等式， ， ， ， 解得． 由“内含解”的定义，得， ， ， 解得， 整数的最小值为． （3）解：， 由，得， ，方程组的解是不等式的“内含解”， ，解得． 3．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围． (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题可主要考查解一元一次方程和一元一次不等式（组），再根据“学梅方程”和“思梅方程”的定义来求解； （1）先分别把三个方程解出来，再把不等式组求出解集，通过比较即可得到答案； （2）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式，根据思梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可； （3）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式组，根据不等式组恰好有3个整数解和学梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可； 【详解】（1）解：解不等式，移项可得，即； 解不等式，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以2得． 所以不等式组的解集为． 解方程①，得． 解方程②，得． 解方程③，得． 根据“学梅方程”的定义判断 ，因为，5和6不在范围内， 故答案是②． （2）解：解方程，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以−3得． 解不等式的解集 移项可得，即，系数化为1​​得​​． 据“思梅方程”的定义，所以2a<​ ​​，解得． 综上，的取值范围是． （3）解：解方程​，得． 解不等式，得． 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 根据“学梅方程”的定义和整数解的个数，所以，解不等式得；解不等式得，所以． 因为不等式组恰好有3个整数解，即1，2，3，所以，解不等式得；解不等式得，结合​，可得． 综上，的取值范围是． 4．定义：若一个方程的解使某不等式（组）成立，则称这个方程为该不等式（组）的一个“子系方程”．例：是方程的解，且使不等式成立，则方程为不等式的一个“子系方程”． (1)方程_____不等式的一个“子系方程”（填“是”或“不是”）； (2)下列方程是不等式组的“子系方程”的有_____（填序号）； ①；②；③ (3)关于的不等式组恰有7个整数解，关于的方程的解为整数，若该方程是不等式组的“子系方程”，求有理数． 【答案】(1)是； (2)②③； (3)或或4 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤和解一元一次不等式组的方法是解答此题的关键． （1）分别解方程和不等式，再根据“子系方程”的定义判断即可； （2）分别解方程和不等式组，根据“子系方程”的定义判断即可； （3）依据题意，由“子系方程”的定义以及该不等式组有7个整数得出，由关于x的方程的解为整数得出或或4． 【详解】（1）解方程，得， 解不等式，得， 所以方程是不等式的一个“子系方程”， 故答案为：是； （2）解不等式组得，， 解①，得， 解②，得， 解③，得， 所以是不等式组的“子系方程”的有②③； 故答案为：②③； （3）解方程，得， 解不等式组，得， ∵不等式组恰有7个整数解， ∴， ∴， ∵方程是不等式组的“子系方程”， ∴， 解得：， ∴， ∵关于x的方程的解为整数， ∴或或4． 5．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应的任务． “容纳”不等式（组） 若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）②为不等式（组）①的“容纳”不等式（组），其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例：不等式组①中，解，得（依据1）；解，得（依据2）， ∴不等式组①的解集为，同理，解不等式组②，得． 由两个不等式组的解集，可知不等式组②为不等式组①的“容纳”不等式组． 任务： (1)填空：材料中的依据1是 ，依据2是 ． (2)不等式是下列不等式（组） 的“容纳”不等式． A．                B．                C．                D． (3)若是关于x的不等式的“容纳”不等式，求m的最大值． 【答案】(1)不等式性质1；不等式性质2； (2)C (3)m的最大值为1． 【分析】本题考查不等式参数解问题及解不等式，解题的关键是注意参数不等式的分类讨论． （1）分别解出不等式比较即可得到答案； （2）解出不等式列不等式即可得到答案； （3）解出不等式根据是关于x的不等式的“容纳”不等式，列式得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解，得，依据是不等式性质1； 故答案为：不等式性质1； 解，得．依据是不等式性质2； 故答案为：不等式性质2； （2）解： 不等式的解集为：， A不符合题意； 不等式的解集为：， ∴B不符合题意； 不等式的解集为：， ∴C符合题意； 不等式组的解集为：， ∴D不符合题意； 故选：C； （3）解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的“容纳”不等式， ∴， 解得， ∴m的最大值为1． 6．（23-24八年级下·山东青岛·期中）【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 (1)请写出不等式的一个子集 ； (2)若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； (3)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ； (4)若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ； (5)已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)A (3) (4)120 (5) 【分析】本题考查解一元一次不等式组以及新定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键． （1）由题意根据“子集”的定义进行解答即可； （2）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可； （3）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可； （4）由题意根据“子集”的定义得到，．即可代入原式计算求出值； （5）根据题题意解得．由m，n为正整数，求的最大值，则m最大为2，n最小为10，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的任意一个解都是不等式的一个解， ∴不等式的一个子集为：．（答案不唯一）． 故答案为：．（答案不唯一）． （2）解：解不等式组A得：； 解不等式组B得：； 解不等式组M得：． ∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解， ∴不等式组A是不等式组M：的“子集”． 故答案为：A． （3）解：∵不等式组的解集为：，关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴关于x的不等式组的解集为．且． ∴． 故答案为：． （4）解：∵E：，F：，E是F的“子集”，a，b，c，d为互不相等的整数， ∴． ∴． ∵D是E的“子集”，D：， ∴． ∴． ∴． 故答案为：120． （5）解：∵不等式组G：有解， ∴解集为：． ∵不等式组H：是不等式组G的“子集”， ∴． 解得：． ∵m，n为正整数，求的最大值， ∴m最大为2，n最小为10． ∴的最大值为． 故答案为：． 题型七 数轴新距离定义型 1. 严格贴合题干全新距离定义，照搬公式列出对应式子； 2. 转化规范变形为标准绝对值不等式基础格式； 3. 规范拆解绝对值，拆分两组基础一元一次不等式组成不等式组； 4. 分步求解后，整合全部合规解集作答。 1．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图①，若有理数和在数轴上表示的点分别是点和点，且有理数对应的点在线段上(包含线段的端点),则称点为“关联点”． (1)下列几组有理数中，对应的点是“关联点”的有___________．(填写所有符合条件的序号) ①；②；③；④ (2)有理数和对应的点分别为点和．已知点为“关联点”，点在数轴上的位置如图②所示． ①若点到点和点的距离相等，利用刻度尺在数轴上画出点和点的位置，并标出点和点表示的数(用含的代数式表示)． ②直接写出有理数的取值范围（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①③ (2)①见解析；②或 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，数轴上两点间的中点，解答本题的关键是读懂题目的意思，根据题目给定的条件，找出合适的等量关系，再求解． （1）根据“关联点”的定义即可得出答案； （2）①根据“关联点”的定义作图即可；②根据“关联点”的定义列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵ ∴①是点对应的“关联点”； ②； ∵， ∴②不是点对应的“关联点”； ③； ∵，， ∴③是点对应的“关联点”； ④ ∵， ∴④不是点对应的“关联点”； 故答案为：①③； （2）解：①如图，点P是的中点， ②当点在点的右侧时，则， 解得：； 当点在点的左侧时，， 解得：， 综上，有理数的取值范围为或． 2．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为，则称d为点P到点Q的追击值，记作．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为． （1）点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值，则点N表示的数是____________（用含a的代数式表示）． （2）如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒4个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为． ①当b＝5时，问t为何值时，点A到点B的追击值； ②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值都满足不大于9个单位长度，请直接写出b的取值范围． 【答案】（1）或；（2）①或；② 【分析】（1）根据追击值的定义，分在左侧和右侧两种情况进行讨论，分别求解； （2）①分点在的左侧和右侧两种情况，根据追击值，列方程求解即可；②用含有的式子表示出、，分点在的左侧和右侧两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：点到点的距离为， 当在左侧时，则表示的数为， 当在右侧时，则表示的数为 故答案为或； （2）①由题意可得：点表示的数为，点表示的数为 当点在的左侧时，即，解得， ∵，∴，解得 当点在的右侧时，即，解得， ∵，∴，解得 综上，或时，； ②由题意可得：点表示的数为，点表示的数为 当点在点的左侧或重合时，此时，随着的增大，与之间的距离越来越大， ∵时，，即时，，，解得 即 当点在点的右侧时，此时，在不重合的情况下，之间的距离越来越小，最大为初始状态，即时，，， 在可以重合的情况下，，，的最大值为 综上， 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了两点之间的距离，解题的关键是对数轴上两点之间的距离进行分情况讨论． 3．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为），则称d为点P到点Q的追击值，记作．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为． (1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值，则点N表示的数是______（用含a的代数式表示）． (2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒3个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为． ①当时，问t为何值时，点A到点B的追击值； ②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值都满足不大于7个单位长度，请直接写出b的取值范围． 【答案】(1)或 (2)①1或3；② 【分析】（1）据题干的定义，分两种情况，一种是点N在点M左侧，一种是点N在点M右侧； （2）①先用含t的式子表示点A和点B，由即可求解； ②先用含t的式子表示点A和点B，再分两种情况，点A在点B的左侧，和点A在点B的右侧，求出的最大值不大于7个单位长度即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，点M表示的数为1，且点N到点M的d追随值， ∴点M到点N的距离为a，如点N在点M左侧，则N表示的数为，若点N在点M右侧，则N表示的数为 故答案为：或； （2）解：①根据题意，点A所表示的数为，点B所表示的数为， ， ， ， 当时，解得；当时，解得． 的值为1或3． ②当点B在点A左侧或者重合时，此时，随着时间的增大，A和B之间的距离会越来越大，当时最大， 当时，点A到点B的追击值， ∴当时最大， ∵点A到点B的追击值都满足不大于7个单位长度 ， ， ． 当点B在点A右侧时，此时， 在A、B不重合的情况下，A和B之间的距离会越来越小， ∴当时最大， ∵点A到点B的追击值都满足不大于7个单位长度 ， ， ． 综合两种情况，b的取值范围是． 【点睛】此题考查了数轴上的动点，及两点之间的距离，还有绝对值的意义，理解题意，正确列出方程与不等式，及采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 4．已知：在数轴上，原点为O，点A、点B表示的数分别为a、b（a<b），点P为数轴上任意一点，若PA≤PB，则点P称为线段AB的关联点．现在点A、点B表示的数分别为−2和4，请解决以下四个问题： (1)点C、点D和点E分别表示−1、5和9，在这三个点中是线段AB关联点的是______； (2)点P表示的数为x，若点P是线段AB的关联点，则x的最大值为______； (3)点M从A点出发沿数轴向右运动，请问点B能否成为线段AM的关联点，若能，请求出点M表示的数m的最小值（不计点A和点M重合的时刻）． (4)点M从A点出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位长度，沿数轴向右运动，设运动时间为t，请问点B能否成为线段MN点的关联点，若能，请求出t的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)C点 (2)1 (3)m的最小值为10 (4)能，t的最小值为1.2． 【分析】（1）根据关联点的定义进行解答便可； （2）P点在AB之间比P点在A点左边时的x值要大，再根据定义列出不等式解答便可； （3）B点在AM之间，再根据定义列出不等式解答便可； （4）用t的代数式表示M和N点表示的数，再根据关联点列出不等式组，结合定义列出方程，解答便可． 【详解】（1）解：∵CA=-1-（-2）=1，CB=4-（-1）=5， ∴CA＜CB， ∴C点是线段AB的关联点； ∵DA=5-（-2）=7，DB=5-4=1， ∴DA>DB， ∴D点不是线段AB的关联点； ∵EA=9-（-2）=11，EB=9-4=5， ∴EA＞EB， ∴E点不是线段AB的关联点； 故答案为：C点； （2）解：∵点A，点B表示的数分别为-2，4，点P表示的数为x，若点P是线段AB的关联点， ∴x-(-2)≤4-x， ∴x≤1， ∴x的最大值为1， 故答案为：1． （3）解：∵点A，点B表示的数分别为-2，4，点M表示的数为m，若点B是线段AM的关联点， ∴4-(-2)≤m-4， ∴m10， ∴m的最小值为10； （4）解：点M表示的数为3t-2，点N表示的数为2t+4， ∵点B为线段MN点的关联点， ∴4-(3t-2)≤2t+4-4， ∴t1.2， ∴t的最小值为1.2． 【点睛】本题是一个新定义题，考查了一元一次不等式，数轴上两点之间的距离，关键要读懂题意，根据新定义把新知识迁移到我们熟悉的知识来解题，主要是考查学生阅读能力，自学能力，模仿例题的能力，拓展知识的能力，是中考的常见类型， 5．在数轴上，点M和N分别表示数m，n，可以用绝对值表示点M，N两点间距离d，即． (1)在数轴上，点A，B，C，D分别表示数，7，x，y，解决以下问题： ①_____； ②若，则_____； ③若，求y的值． (2)在数轴上，点A，B分别表示数a，b，点E是数轴上一点，满足，请在数轴上表示出所有符合条件的点E．（在数轴上把选定区域用铅笔加粗，并标注必要的数据，用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)①，②，③或者 (2)数轴见详解． 【分析】（1）①根据定义计算即可；②结合定义，根据列出关于x的方程，解方程即可求解；③同理列出关于y的方程，解方程即可求解； （2）设点E表示的数为e，根据数轴可知：，根据，可得，根据解绝对值方程的方法作答即可，最后再在数轴上表示出解集，其中，，而，据此画出数轴即可作答 【详解】（1）①∵点A，B，C，D分别表示数，7，x，y， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴，即， 当时，解得：， 当时，方程无解， ∴， ③∵， ∴，即， 当时，， 解得：，与条件不符舍去； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：y的值为或者； （2）设点E表示的数为e， 根据数轴可知：， ∵， ∴， 当时，， 解得：； ∵， ∴， ∴， ∴与相矛盾，故舍去； 当时，， 解得：； ∴； 当时，， 解得：； ∴； 综上所述：， 数轴，如图： ． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解绝对值方程，解不等式组以及数轴等知识，注重分类讨论的思想，是解答本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $