5.1矩形（第2课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学课件聚焦矩形判定定理，通过“制作铝合金窗框”的生活情境导入，联系矩形性质（四个角直角、对角线相等），引导学生逆向思考判定条件，搭建从性质到判定的认知支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活，通过数学思维推导判定定理（如对角线相等的平行四边形是矩形的证明），规范数学语言表达（几何语言示例）。采用探究式教学，典例与变式结合，小结清晰梳理三种判定方法，帮助学生发展推理意识和应用能力，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

5.1 矩形 （第二课时） 第5章 特殊平行四边形 学 习 目 标 1 2 3 理解矩形的判定定理，掌握常见判定方法的形式特征，能准确判断一个四边形是否为矩形。 掌握矩形判定方法的应用条件，会根据已知条件（如边、角、对角线的关系），选择合适的判定定理来证明一个四边形是矩形。 理解矩形判定定理与矩形性质定理的区别与联系，能初步运用矩形的判定定理解决简单的几何证明和判定问题 旧知复习 矩形的性质 性质类别 具体内容 数学语言示例 边的性质 对边平行且相等（继承自平行四边形） AB∥CD,AB=CD 角的性质 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90 对角线性质 对角线相等且互相平分 AC=BD,OA=OC=OB=OD 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形 有2条对称轴（过对边中点的直线） 情境引入 “同学们，在我们的日常生活中，矩形无处不在，比如课本、课桌、门窗等。假如你是一名工程师，在制作一个铝合金窗框时，你有什么方法可以确保它就是一个标准的矩形呢？” “用直角尺量一下四个角是不是直角” 测量一下对角线长度是否相等 新课探究 提出问题：我们知道矩形的四个角都是直角。那么，反过来，一个四边形至少需要有几个角是直角，才能保证它是矩形呢？ 显然当一个四边形只有1个直角或2个直角的时候不是矩形 那么，当一个四边形有三个直角的时候是否为矩形呢？ 探究 1：从角的角度判定 新知探究 当有三个角是直角时，根据四边形内角和为360°，第四个角必然也是90° 探究 1：从角的角度判定 判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：在四边形ABCD中， ∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 新知探究 我们知道矩形的对角线相等。那么，对角线相等的四边形一定是矩形吗？ 探究 2：从“对角线”的角度判定 追问：如果这个四边形首先是平行四边形，再加上对角线相等这个条件，它会是矩形吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 同桌之间交流沟通一下，看能否给出证明？ 新知探究 已知：如图所示，在▱ABCD中，AC=BD。求证：▱ABCD是矩形。 探究 2：从“对角线”的角度判定 证明：如图所示,在□ABCD中，AB=CD。 ∵AC=DB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB,所以∠ABC=∠DCB。 ∵AB//CD, ∴∠ABC+∠DCB=180°,得∠ABC=×180°=90°。 所以▱ABCD是矩形(矩形的定义)。 定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 典例分析 例题1. 如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM,∠1=∠2.求证：▱ABCD为矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,∠A+∠D=180°. 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM(SAS), ∴∠A=∠D, 又∠A+∠D=180°,∴∠A=∠D=90°, ∴▱ABCD为矩形. 变式训练 如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，延长AB至点F，使得BF=AB，连接DF、AE、BD，DF=2AC，求证：四边形ABDE是矩形 证明：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AC=CD,BC=CE, ∴四边形ABDE是平行四边形. DF=2AC=AC+CD=AD,且AB=BF,∴BD⊥AF, 即∠ABD=90°, ∴四边形ABDE是矩形. 典例分析 例题2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，P，N，Q分别在OA，OB，OC，OD上，连接而成的四边形MPNQ是矩形， 且AM=BP=CN=DQ，求证：四边形ABCD是矩形. 解：四边形MPNQ是矩形OM=OP=ON=OQ AM=BP=CN=DQ ∴OA=OB=OC=OD 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD平行四边形ABCD是矩形. 变式训练 如图，已知▱ABCD,延长AB至点E,使BE=AB,连接BD,ED,EC,且ED=AD; (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABIICD,AB=CD,AD=BC, ∵BE=AB, ∴BE=CD, ∴四边形BECD是平行四边形， ∵AD=BC,ED=AD, ∴BC=ED, ∴四边形BECD是矩形； (1)求证：四边形BECD是矩形； 变式训练 如图，已知▱ABCD,延长AB至点E,使BE=AB,连接BD,ED,EC,且ED=AD; 解：连接AC 由(1)知，AB=BE=CD=4, ∴AE=4+4=8, ∵四边形BECD是矩形， ∴CE=BD=6,∠AEC=90°, ∴AC===10 (2)连接AC,若BD=6,CD=4,求AC的长. 典例分析 例题3. 如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,BF⊥AC于点F,且AE=BF. (1)证明：∵AE⊥BD,BF⊥AC, ∴∠AEO=∠BFO=90°, ∵∠AOE=∠BOF,AE=BF, ∴△AOE≌△BOF(AAS), ∵OA=OB; (1)求证：OA=OB; 典例分析 例题3. 如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,BF⊥AC于点F,且AE=BF. (2)证明：由(1)知OA=OB, ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC,OB=OD, ∴AO=OB=OC=OD, ∴AC=BD, 四边形ABCD是矩形. (2)求证：四边形ABCD是矩形. 课堂练习 1.一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（     ） A．测量踏板的对角线是否互相平分 B．测量踏板的对角是否相等 C．测量踏板的三个角是否都为 D．测量踏板的一组对边是否平行且相等 课堂练习 2 .如图，在▱ABCD中，AC,BD相交于点0,下列条件不能判定▱ABCD为矩形的是( ) A．∠BAD=90° B．AC=BD C．OA=OB D．AC⊥BD 课堂练习 3 . 如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=55°，则∠EGF的度数为 。 70° 课堂练习 4 . 如图，在梯形ABCD中，ABII CD,∠ABC=90°,如果AB=5,BC=5,CD=3,那么AD边的长是 。 课堂练习 5 .如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，将纸片折叠，使A点落在BC边上的点E处，BE=2cm，折痕与MN分别交AD、AB于点M、N，则线段DM的长是 cm 课堂练习 6 . 如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，E是AB的中点，AC，DE交于点F，AF=FC，BF∥CD。求证：四边形BCDF为矩形； 证明：∵AF=FC, ∴点F是AC的中点，又∵E是AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线，∴ED//BC, 又∵BF∥CD, ∴四边形BCDF为平行四边形， ∵∠BCD=90°, ∴四边形BCDF为矩形. 课堂练习 7 .如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,CF=AE,连接AF. (1)求证：四边形BFDE是矩形； (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DF∥EB，AB=CD, 又∵CF=AE,∴DF=BE, 四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 四边形BFDE是矩形； 课堂练习 7 .如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,CF=AE,连接AF. (2)若AF平分∠DAB,CF=3,DF=5,求四边形BFDE的面积 (2)解：∵AF平分∠DAB,DCIIAB, ∴∠DAF=∠FAB,∠DFA=∠FAB, ∴∠DAF=∠DFA, ∴AD=FD=5,∵AE=CF=3,DE⊥AB, ∴DE==4, ∵矩形BFDE的面积=DF×DE=5×4=20. 课堂小结 矩形的判定方法 方法一：定义判定法（最基础） ·条件：有一个角是直角的平行四边形。 ·结论：是矩形。 方法二：对角线判定法 ·条件：对角线相等的平行四边形。 ·结论：是矩形。 方法三：直角判定法（针对四边形） ·条件：有三个角是直角的四边形。 ·结论：是矩形。 感谢聆听! $