5.1矩形（第1课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

5.1 矩形 （第一课时） 第5章 特殊平行四边形 学 习 目 标 1 2 3 理解矩形的定义，掌握“有一个角是直角的平行四边形”这一形式特征，能准确判断一个四边形是否为矩形。 掌握矩形的性质，会运用矩形“四个角都是直角”和“对角线相等”的特性，解决相关的计算和证明问题。 理解直角三角形斜边中线的性质（矩形性质的推论），能初步运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决简单的求值问题。 旧知复习 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 边的性质： ①两组对边分别平行 ②两组对边分别相等 角的性质 ①两组对角分别相等 ②邻角互补（和为180∘） 请同学们补充说明平行四边形的其他性质。（可以从对角线和对称性等方面阐述） 旧知复习 平行四边形的判定 判定类别 判定文字表述 几何语言（在四边形ABCD中） 定义判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 AB∥CD，AD∥BC∴ 四边形ABCD是平行四边形 边判定 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 AB=CD，AD=BC∴ 四边形ABCD是平行四边形 边判定 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 AB∥CD且AB=CD∴ 四边形ABCD是平行四边形 角判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∠A=∠C，∠B=∠D∴ 四边形ABCD是平行四边形 对角线判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线、交于点O，，∴ 四边形ABCD是平行四边形 合作学习 我们知道，平行四边形具有不稳定性。如图5-1，平行四边形的边长固定，它的形状随着相邻两边夹角的变化而变化。 （1）平行四边形随夹角变化的过程中，什么情况下面积最大？为什么？ （2）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？比较它的两条对角线的长度，有什么发现？ 请与你的同伴交流 新课探究 提问互动：“这些图形都是我们熟悉的平行四边形吗？它们和一般的平行四边形相比，有什么特殊之处？ 像这样有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。今天我们就一起来探究矩形的性质。 新知探究 思考 把平行四边形一个内角拉成直角，变成什么图形？ 矩形是特殊平行四边形，所以具备平行四边形所有性质。 推理证明 已知：矩形ABCD,∠A=90° ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C,∠B=∠D AD||BC→∠A+∠B=180° ∠A=90°→∠B=90° 同理：∠C=90°,∠D=90° 性质 1：矩形的四个角都是直角 探究 1：矩形的边角性质 新知探究 动手 同学们自己在草纸上还出四个不同的矩形，测量对角线的长度 推理证明 已知：矩形ABCD,求证：AC=BD 证明： 在△ABC和△DCB中 ∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴AC=BD 性质 2：矩形的对角线相等且互相平分 探究 2：矩形对角线的性质 新知探究 动手 观察下面的图形，画出每个图形所有的对称轴 探究 3：矩形的对称性 中心对称：对角线交点是对称中心 轴对称：有2 条对称轴（过对边中点的直线） 新知探究 已知 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为斜边AC的中点（即BD为斜边中线）。 求证：BD=AC。 构造辅助线：延长BD至点E，使DE=BD，连接AE、CE 证明四边形ABCE是平行四边形,再证明ABCE是矩形 利用矩形对角线性质 典例分析 例题1. 如图，在矩形ABCD中，点E、F在边啊AD上，BE=CF，求证：AF=DE． 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD,∠A=∠D=90°,∵BE=CF, 在Rt△ABE与Rt△DCF中， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL), ∴AE=DF, ∵AE+EF=DF+EF, ∴AF=DE. 变式训练 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：BE=AF． 证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC,∠B=90°,又∵DF⊥AE, ∴∠AFD=90°=∠B, ∵AD∥BC,∴∠DAF=∠AEB, 在△ADF和△EAB中， ∴△ADF≌△EAB(AAS), ∴BE=AF. 典例分析 例题2.如图，在矩形ABCD中，连接BD，以B为圆心，BD为半径画弧交射线BC于点E，连接DE，若AB=3，AD=4，则ED的长为______． 解：由题意可知，BD=BE, ∵四边形ABCD是矩形， ∴DC=AB=3,BC=AD=4,∠DCB=90°, BD==5, ∴BE=BD=5, ∴CE=BE-BC=1, DE== 变式训练 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=3，则AC的长为______． 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC,OB=OD,且AC=BD,∴OA=OB, 又∵∠AOB=60°, ∴△AOB为等边三角形， ∴OA=AB=3, ∴AC=2OA=6, 故答案为：6. 典例分析 例题3. 如图，某住宅小区有一长方形地块ABCD，若要在长方形ABCD地块内修筑同样宽的两条道路（阴影部分），其中AB=20m，BC=32m，道路宽为2m，余下部分绿化，则绿化的面积为______m2． 解：由题意得： ∵AB=20m,BC=32m,道路宽为2m, 绿化的面积为(32-2)×(20-2) =30×18=540(m²), 绿化的面积为540m², 变式训练 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E、F，若，AB=2，AD=4，那么图中阴影部分的面积为（ ） 解：矩形ABCD中，OD=OB，CD∥AB, ∴∠ODF= ∠OBE，∠BOE=∠DOF, △BOE≌△DOF(ASA), S△BOE=S△DOF, S阴影=S△AOE+S△DOF=S△AOE+S△BOE=S△AOB =S矩形=×2×4=2 课堂练习 1 . 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（      ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 2 .已知，点O是矩形ABCD对角线的交点，那么矩形（     ） A．是中心对称图形，但不一定是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不一定是中心对称图形 C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．无法判断图形的对称性 课堂练习 3 . 如图，点E在矩形ABCD的边CB的延长线上，连接BD，AE,BD=EC，若∠E=75°，则∠DBC的度数是（ ） A．20° B．30° C．75° D．15° 课堂练习 4 . 如图，AC是矩形ABCD的对角线，线段AC的垂直平分线OE，分别交AC、CD于点O、E，连接AE．若AB=3，AD=2，则AD+DE的值为（ ） A． B．3 C． D． 课堂练习 5 . 如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，AE=AB，BF⊥AE,垂足为 F． (1)求证：△ABF≌△EAD; (1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∠D=90°, ∵BF⊥AE, ∴∠BFA=∠D=90°, ∵AB∥CD，点E在CD上， ∴∠BAE=∠DEA, 又∵AB=AE, ∴△ABF≌△EAD(AAS). 课堂练习 5 . 如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，AE=AB，BF⊥AE,垂足为 F． (2)如果AD=4,EF=1,求AB的长 (2)解：设AB=AE=x，则AF=AE-EF=x-1, 由(1)知：△ABF≌△EAD, ∴BF=AD=4. 在Rt△ABF中，AF²+BF²=AB², (x-1)²+4²=x2 解得：x=8.5，∴AB=8.5. 课堂练习 6 . 如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F (1)试证明△ACF是等腰三角形； (1)证明：由折叠可得，∠BAC=∠EAC, 由AB||CD可得，∠BAC=∠DCA，∴∠EAC=∠DCA, ∴AF=CF, ∴△ACF是等腰三角形. 课堂练习 6 . 如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F (2) 求CF的长. (2)解：设CF=x，则AF=x， DF=4-x，∵∠D=90°, Rt△ADF中，AD²+DF²=AF², 即3²+(4-x）²=x2 课堂小结 核心定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； 有意义的条件 矩形首先是平行四边形，具备平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）； 矩形特有的性质：四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）；对角线相等（AC=BD）；既是中心对称图形，又是轴对称图形（有2条对称轴，分别为对边中点的连线）。 感谢聆听! $