11.3 一元一次不等式组（讲义）数学新教材人教版七年级下册

第十一章 不等式与不等式组 11.3 一元一次不等式组 知识点一 一元一次不等式组 ★一元一次不等式组的定义：一般地，把同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【注意】 一个一元一次不等式组包含三个条件： （1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式； （2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； （3）不等式组中的一元一次不等式的个数至少是两个. 即学即练 1．（24-25七年级下·全国·周测）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 知识点一 一元一次不等式组的解集 ★1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是 求不等式组的解集 . ★2、确定几个不等式解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共的部分. ★3、不等式组解集的四种基本类型：（已知：a＞b ） 不等式 组 数轴 表示 解集 解集 x＞a x＜a b＜x＜a 无 解 归纳 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 即学即练 2．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）不等式组的解集为，在下列数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组并在数轴上表示解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． 根据不等式组的解集在数轴上的表示方法解答即可． 【详解】解：不等式组的解集为，在数轴上表示为 ． 故选：B 3．（2025•潘集区模拟）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【答案】﹣2＜x≤﹣1． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：， 由①得：x＞﹣2， 由②得：x≤﹣1， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣1． ． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 知识点三 一元一次不等式组的解法 ★1、解不等式：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. ★2、求一元一次不等式组解集的方法： ①分别求出各个不等式的解集； ②在数轴上寻找各不等式解集公共部分； ③写出不等式组的解集. ★3、一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 即学即练 4．（25-26八年级下·广西贵港·期中）在平面直角坐标系中，有一点当点P在第三象限时，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据第三象限的点：横坐标为负，纵坐标为负，可得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 解得：． 5．（25-26八年级下·陕西西安·月考）已知关于的不等式组恰有四个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．21 B．24 C．15 D．30 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组得到x的取值范围，再根据恰有四个整数解确定m的取值范围.最后找出所有符合条件的整数m计算和即可. 【详解】解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有四个整数解， ∴四个整数解为 可得 不等式三边同乘，得 ∵为整数， ∴的取值为 所有整数的和为． 知识点四 一元一次不等式组的实际应用 ★1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案． ★2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 即学即练 6．（2024春•渭南期中）如图，有一容积为400ml的容器，在容器中倒入100ml的水，此时刻度显示为5cm，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．一个大玻璃球的体积为10cm3，放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．设一个小玻璃球的体积为x cm3，根据题意可以列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设一个小玻璃球的体积是x cm3，根据“放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出，再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：设一个小玻璃球的体积为x cm3， ∵放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出， ∴100+10×27+5x≤400， ∵再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器， ∴100+10×27+6x＞400， 综上所述：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 7．某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（　　） A．21人 B．22人 C．23人 D．24人 【答案】B 【分析】根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，可以列出相应的不等式组，再求解，注意x为整数． 【详解】解：设每组预定的学生数为x人，由题意得， ， 解得， ∵x是正整数， ∴x＝22， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式是解题关键． 题型01 一元一次不等式组的识别 1. 检查是否只含一个未知数； 2. 每个不等式都是一元一次、整式； 3. 未知数次数为1，无分母含未知数、无高次项。 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元一次不等式组需满足两个条件：只含一个未知数，且每个不等式均为一次不等式．选项A符合条件，其他选项要么含多个未知数，要么有二次项． 本题考查了一元一次不等式组的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A、不等式组只含未知数x，且每个不等式均为一次不等式，是一元一次不等式组，符合题意． B、为二次不等式，不是一元一次不等式组，不符合题意． C、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． D、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 2．下列不等式组是一元一次不等式组的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式组的定义判定则可．由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组． 【详解】A. 是一元一次不等式组；    B. 中有2次项，故不是一元一次方程组； C. 中含有两个未知数，故不是一元一次方程组；    D. 中含有两个未知数，故不是一元一次方程组； 故选A. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的识别，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解答本题的关键，属于基础题． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列选项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：D． 5．（25-26七年级上·上海·寒假作业）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的识别，掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，据此逐项分析即可求解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，可知， A、第二个不等式为分式不等式，不是一元一次不等式组，故选项A不符合题目要求； B、不等式组中含有两个未知数x和y，不是一元一次不等式组，故选项B不符合题目要求； C、第一个不等式没有未知数，不是一元一次不等式组，故选项C不符合题目要求； D、两个不等式都是关于x的一次不等式，是一元一次不等式组，故选项D符合题目要求． 故选：D． 题型02 确定简单不等式组的解集 1. 数轴法：＞/＜空心圈，≥/≤实心点，大于向右、小于向左； 2. 口诀法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找。 典｜例｜精｜析 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式组的解集在数轴上表示，在表示解集时“≥”，“≤” 要用实心点表示；“<”，“>”要用空心点表示，求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示为： 变｜式｜巩｜固 1．（2026·浙江·模拟预测）关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先确定数轴上的数，再根据空心向右表示为，然后确定数轴上的数3，根据实心向左表示为，最后根据公共部分得出解集即可． 【详解】解：如图所示，不等式组的解集是． 2．（24-25七年级下·北京通州·期末）已知不等式组，下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将不等式组的解集表示在数轴上，根据数轴上解集的表示方法表示即可，熟练掌握数轴上解集的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：将不等式组的解集表示在数轴上如图所示： ， 故选：B． 3．一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示为，则这个不等式组的解集是_____． 【答案】2＜x＜5 【分析】根据数轴表示出不等式组的解集即可． 【详解】根据数轴得：不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．利用了数形结合的思想，注意空心点与实心点的区别． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）请直接写出下列不等式组的解集： （1）的解集为________； （2）的解集为________； （3）的解集为________． 【答案】 无解 【分析】本题考查了不等式组的解集，（1）、（2）、（3）根据同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了的原则直接写出解集即可． 【详解】解：（1）的解集为； （2）的解集为； （3）的解集为无解； 故答案为：；；无解． 5．（24-25八年级下·全国·暑假作业）直接写出下列不等式组的解： （1）的解集为______； （2）的解集为______； （3）的解集为______； （4）的解集为______． 【答案】 无解 【分析】本题考查了不等式的解集，求不等式组的解集，要遵循以下原则：大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小解不了． （1）根据大大取大，直接写出解集即可； （2）根据小小取小，直接写出解集即可； （3）根据小大大小中间找，直接写出解集即可； （4）根据大大小小解不了直接写出解集即可． 【详解】解：（1）的解集为； 故答案为：； （2）的解集为； 故答案为：； （3）的解集为； 故答案为：； （4）的解集为无解． 故答案为：无解． 题型03 求一元一次不等式组的解集 1. 分别解出每个不等式的解集； 2. 数轴表示找公共部分； 3. 按口诀写出最终解集。 典｜例｜精｜析 【例题3】（2026·山西晋中·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】先解不等式组中的每个不等式，然后取其解集的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组的解集是：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共部分，最后在数轴上表示出来即可 【详解】解：解不等式，得 解不等式，得 不等式组的解集为 在数轴上表示如下： 题型04 求一元一次不等式组的特殊解 1. 先解出不等式组的完整解集； 2. 在解集范围内筛选符合条件的整数 / 特殊值； 3. 注意边界点是否包含。 典｜例｜精｜析 【例题4】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，找出解集内的所有整数，计算整数解的和即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 整数解之和为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）不等式组的非负整数解有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，求出不等式组的公共解集，再找出解集中的非负整数，统计个数即可． 【详解】解：解不等式， ∵移项得， 合并同类项得， ∴， 解不等式， ∵去括号得， 移项得， ∴， ∴不等式组的解集为， 解集内的非负整数为，共2个． 2．（25-26九年级下·重庆·期中）求不等式组：的所有整数解． 【答案】、0、1 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴整数解为、0、1． 3．（重庆市沙坪坝区2026年初中适应性监测数学试题）求不等式组的所有整数解． 【答案】所有整数解为0，1，2，3 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以，原不等式组的解集为． 因此，满足原不等式组的所有整数解为0，1，2，3． 4．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解； 【答案】，数轴见解析，不等式组的所有整数解为：0，1，2 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后可得不等式组的解集，再根据在数轴上表示解集的方法进行解答即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来如图所示： 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，它的所有整数解的和为 【分析】本题考查了求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解，然后求得它的所有整数解，再求和即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解为， 它的所有整数解为，，0，1， 它的所有整数解的和为． 题型05 根据一元一次不等式组的解集求字母范围 1. 把字母当常数，解出含字母的解集； 2. 2. 结合已知解集，用数轴定位边界； 3. 列不等式确定字母范围，注意等号是否成立。 典｜例｜精｜析 【例题5】（25-26八年级下·江西九江·期中）若不等式组无解，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求出两个不等式的解，根据题意判断两端的大小，从而得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∵不等式组无解， ∴， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：． 2．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集法则确定参数m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式组的解集是 ． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是利用数轴确定两个不等式解集无公共部分的条件；若不等式组无解，则两个不等式解集的公共部分为空集，结合数轴即可求出 的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为，且不等式组无解， ∴两个不等式的解集没有公共部分， 若要与没有公共部分，需满足，此时不存在同时满足两个不等式的x， ∴的取值范围是， 故选：A. 4．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先将a，b当作已知数，分别解两个不等式得到含参数的解集，再和已知解集对比求出a，b的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：解不等式得 解不等式得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组的已知解集为 ∴， 解得， ∴ 5．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则，先分别解两个不等式，用含的式子表示第二个不等式的解集，再结合已知解集求解的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，移项得，系数化为得． 解不等式②，移项得，系数化为得． 不等式组的解集为， 根据同大取大的原则，可得， 解得． 题型06 利用整数解求字母的取值范围 1.先解出不等式组（保留含字母的式子）； 2.画出数轴，标出已知整数解； 3.确定字母边界，列不等式组求解，临界值单独验证。 典｜例｜精｜析 【例题6】（25-26八年级下·山东青岛·期中）关于的不等式的整数解只有个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再得到不等式组的公共解集，结合整数解的个数确定的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得，， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解只有个，且， 这个整数解为， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的和为9确定符合条件的整数解，进而得到a的取值范围． 【详解】解：由不等式组可得解集为． ∵所有整数解的和为9，且，因此符合条件的整数解为2，3，4． 若，则整数解包含1，此时所有整数解的和为，因此． 若，则整数解不包含2，此时所有整数解的和为，因此． 综上，的取值范围是． 2．（25-26八年级下·四川泸州·期中）若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 【答案】C 【分析】先求得不等式组的解集为，根据题意得到，据此求解即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且只有3个整数解，即、0、1， ∴，解得， ∵是整数， ∴的取值为、0、1、2、3、4． ∴满足条件的整数的值之和为． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 4．（24-25七年级下·河南周口·月考）若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的范围，先求出两个不等式的解集，根据不等式组只有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解： 由①，得：． 由②，得：． ∵不等式组只有4个整数解， ∴整数解为7，8，9，10， ∴． 解得 ， ∴a的取值范围是 5．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】a为19或20或21 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ∵a为整数， ∴a为19或20或21． 题型07 方程（组）与不等式组的综合应用 1. 先解方程组，用含字母的式子表示 x、y； 2. 根据 x、y 的符号 / 范围，列不等式组； 3. 解不等式组得字母范围。 典｜例｜精｜析 【例题7】（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整数k值为2024， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 2．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组，求的取值范围． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出和的值，然后解一元一次不等式组即可． 【详解】解：， 得， ∴， 解得； 得， ∴， 解得； ∴． 3．（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 4．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知与，都是方程的解． (1)求k、b的值； (2)若y的值不小于0，求x的取值范围； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将与代入求解即可； （2）由（1）得，根据“y的值不小于0”列不等式求解即可； （3）由（1）得，进而得到，根据列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， 解得； （3）解：由（1）得， ∴． ∵， ∴， 解得． 5．已知解关于m的不等式组． (1)求不等式组的解集； (2)化简； (3)在m的取值范围内，当整数 时，关于x的不等式的解集是． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再求出公共解即可； （2）根据（1）中的取值范围，利用绝对值的性质即可化简； （3）根据不等式的解集结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为； （2）解：∵， ∴， 则原式； （3）解：不等式整理得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：，即， ∴当整数或时，关于x的不等式的解集是． 题型08 一元一次不等式组的新定义问题 1. 严格按新定义规则转化为普通不等式； 2. 列出不等式组并按常规步骤求解； 3. 检验结果是否符合定义要求。 典｜例｜精｜析 【例题8】（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即：当为非负整数时，若，则如： （1）_______； （2）如果，则实数的取值范围为_____． 【答案】 4 【分析】（1）先估算出的大致范围，再根据题中定义求出结果； （2）根据题中对的定义，列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由定义可知， 因此； （2）∵， 根据定义得：， 解得， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则．例如：，则下列结论： ①若，则的取值范围是； ②若整数、满足，则的值为6或10； ③若非负数、满足，则有理数的取值范围是． 正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查新的运算法则、解方程、不等式、方程组及不等式组，掌握二阶行列式的运算法则是解题的关键． 根据运算法则建立不等式，求解后可判断①；根据运算法则建立不等式组，再结合整数，的条件可求出m，n的值，可判断②；根据运算法则建立方程组，再结合非负数，的条件可建立不等式组，求解后可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， 解得：，故原结论正确； ②∵， ∴， ∴ ∵，是整数， ∴是整数， ∴， ∴或，，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，或6，，．故原结论错误； ③∵， ∴， 解得：， ∵，是非负数，即， ∴， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为，故原结论正确． 综上，结论①③正确，共2个． 故选B． 2．（25-26七年级下·上海崇明·期中）对、定义一种新运算，规定（其中，、均为非零常数）． 例如：． 现已知，，． 在此条件下，若关于的不等式组恰好有2025个整数解，求实数的取值范围____________． 【答案】 【分析】根据，，得到关于a，b的方程组，再求出a，b的值可得，把不等式组变形为，可得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵不等式组恰好有2025个整数解， ∴， 解得：． 3．（24-25七年级下·云南昆明·期末）对于有理数x，y，定义一种新运算，规定：． (1)求的值． (2)若关于正数m的不等式组恰好有3个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、由一元一次不等式组的整数解求参数，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据新定义，将x，y的值代入代数式即可； （2）分两种情况：，，根据新定义列不等式组，求得m的取值范围，再根据不等式组整数解的个数求k的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， 可变形为， 解得； 当时，解得， 此时不等式组无解，不合题意； 当时，解得， 此时可变形为， 解得， ， 原不等式组变形为， 原不等式组恰好有3个整数解， 原不等式组的解集为，3个整数解为：2，3，4， ， 解得． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． (1)请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； (2)若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 【答案】(1)集外点 (2) 【分析】本题先分别求解组合中的一元一次方程和一元一次不等式，再根据题干中“集内点”“集外点”的定义进行判断或求解参数的取值范围，用到的知识点为一元一次方程和一元一次不等式的求解方法． 【详解】（1）解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 移项得， 系数化为1得， 不在的解集内， 方程的解是集外点． （2）解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 两边同乘2得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 方程的解是“集内点”， 满足，即， 的取值范围是． 5．（24-25七年级下·河南南阳·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：的解为，不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是____________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题主要考查了解不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解新定义，熟练掌握一元一次方程和一元一次不等式组的解法． （1）求出两个方程的解和不等式组的解集，然后进行判断即可； （2）先求出方程的解为，不等式组的解集为，根据关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，得出，然后求出k的取值范围即可． 【详解】（1）解：方程①的解为：； 方程②的解为：； 不等式组的解集为：； ∵在的范围内，不在的范围内； ∴不等式组的“相伴方程”是②； （2）解：由，得， 解不等式组，得不等式组的解集为， 关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ， ， 即，k的取值范围是． 题型09 由实际问题列一元一次不等式组 1. 找不等关系关键词：至少、不足、不超过、不空不满； 2. 设未知数，表示总量 / 差值； 3. 按 “大于 0 且小于上限” 列不等式组。 典｜例｜精｜析 【例题8】用若干量载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组． 【详解】解：设有x辆车，则有（4x+20）吨货物． ∵每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空， ∴装满的有x﹣1辆车， 由题意，得， 即：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，表示出货物总量，再根据题目中的关键语句列出不等式组． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干给出的“布克读了一周还没读完，而莉克不到一周就已读完”的条件，提取不等关系，即可列出对应的不等式组． 【详解】解：设布克平均每天读页，则莉克平均每天读页． ∵布克读7天还没读完，说明布克7天读的总页数小于书的总页数， ∴． ∵莉克不到7天就读完了，说明莉克7天读的总页数大于书的总页数， ∴． 因此可得不等式组． 2．（2026七年级下·北京·专题练习）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 4．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 5．（22-23七年级下·江苏无锡·月考）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速， 船只逆流速度船静水中的速度水流流速， 根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案． 【详解】根据题意，得， 故选：． 【点睛】此题是由实际问题抽象出二元一次方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题得关键． 题型10 利用一元一次不等式组解决实际问题 1. 审：找不等关系； 2. 设：设未知数； 3. 列：列不等式组； 4. 解：求解集并取符合实际的整数解 5. 验、答：验证并规范作答。 典｜例｜精｜析 【例题10】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列不等式组以及解不等式组，根据需要经过两次运算才能输出结果，列出不等式组，再解出该不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：依题意，， 由得； 由得，解得， ∴不等式组的解集为， 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系和不等关系是解题的关键； 设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套，根据预算和同时接触两种资源的条件，列出不等式组并求解 【详解】解：设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套 根据题意： 解得：1 因此的最大值为16， 答：学校最多能购买16套画笔套装． 3．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 【答案】共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 【分析】设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台，根据题意得，然后解不等式组即可． 【详解】解：万元元，设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台， 根据题意得， 解第一个不等式得； 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， 因为为正整数， 所以的取值为或， 当时，； 当时，， 答：共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 4．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）郑州市雾霾天气趋于严重，丹尼斯商场根据民众健康需要，代理销售每台 进价分别为600元、560元的A、B两种型号的空气净化器，如表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 　销售时段 　销售数量 　销售收入 　A种型号 　B种型号 　第一周 　4台 　5台 　7100元 　第二周 　6台 　10台 　12600元 (1)求A，B两种型号的空气净化器的销售单价； (2)若商场准备用不多于17200元的金额再采购这两种型号的空气净化器共30台，商场销售完这30台空气净化器能否实现利润为6200元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A型号空气净化器单价为800元，B型号空气净化器单价780元 (2)最多能采购A型号空气净化器10台，即可实现目标． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A型号空气净化器单价为x元，B型号空气净化器单价y元，根据4台A型号，5台B型号的销售收入为7100元，6台A型号10台B型号的销售收入为12600元，列方程组求解； （2）设采购A种型号空气净化器a台，则采购B种型号空气净化器台，根据金额不多于17200元，列不等式求解． 【详解】（1）解：设A型号空气净化器单价为x元，B型号空气净化器单价y元，则 ， 解得：， 答：A型号空气净化器单价为800元，B型号空气净化器单价780元； （2）解：设A型空气净化器采购a台，采购B种型号空气净化器台． 则 解得：， 则最多能采购A型号空气净化器10台，即可实现目标． 5．某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 11.3 一元一次不等式组 知识点一 一元一次不等式组 ★一元一次不等式组的定义：一般地，把同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【注意】 一个一元一次不等式组包含三个条件： （1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式； （2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； （3）不等式组中的一元一次不等式的个数至少是两个. 即学即练 1．（24-25七年级下·全国·周测）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 知识点一 一元一次不等式组的解集 ★1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是 求不等式组的解集 . ★2、确定几个不等式解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共的部分. ★3、不等式组解集的四种基本类型：（已知：a＞b ） 不等式 组 数轴 表示 解集 解集 x＞a x＜a b＜x＜a 无 解 归纳 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 即学即练 2．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）不等式组的解集为，在下列数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025•潘集区模拟）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 知识点三 一元一次不等式组的解法 ★1、解不等式：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. ★2、求一元一次不等式组解集的方法： ①分别求出各个不等式的解集； ②在数轴上寻找各不等式解集公共部分； ③写出不等式组的解集. ★3、一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 即学即练 4．（25-26八年级下·广西贵港·期中）在平面直角坐标系中，有一点当点P在第三象限时，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 5．（25-26八年级下·陕西西安·月考）已知关于的不等式组恰有四个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．21 B．24 C．15 D．30 知识点四 一元一次不等式组的实际应用 ★1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案． ★2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 即学即练 6．（2024春•渭南期中）如图，有一容积为400ml的容器，在容器中倒入100ml的水，此时刻度显示为5cm，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．一个大玻璃球的体积为10cm3，放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．设一个小玻璃球的体积为x cm3，根据题意可以列不等式组为（　　） A． B． C． D． 7．某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（　　） A．21人 B．22人 C．23人 D．24人 题型01 一元一次不等式组的识别 1. 检查是否只含一个未知数； 2. 每个不等式都是一元一次、整式； 3. 未知数次数为1，无分母含未知数、无高次项。 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 2．下列不等式组是一元一次不等式组的是(   ) A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列选项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海·寒假作业）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 题型02 确定简单不等式组的解集 1. 数轴法：＞/＜空心圈，≥/≤实心点，大于向右、小于向左； 2. 口诀法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找。 典｜例｜精｜析 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·浙江·模拟预测）关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25七年级下·北京通州·期末）已知不等式组，下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示为，则这个不等式组的解集是_____． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）请直接写出下列不等式组的解集： （1）的解集为________； （2）的解集为________； （3）的解集为________． 5．（24-25八年级下·全国·暑假作业）直接写出下列不等式组的解： （1）的解集为______； （2）的解集为______； （3）的解集为______； （4）的解集为______． 题型03 求一元一次不等式组的解集 1. 分别解出每个不等式的解集； 2. 数轴表示找公共部分； 3. 按口诀写出最终解集。 典｜例｜精｜析 【例题3】（2026·山西晋中·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 题型04 求一元一次不等式组的特殊解 1. 先解出不等式组的完整解集； 2. 在解集范围内筛选符合条件的整数 / 特殊值； 3. 注意边界点是否包含。 典｜例｜精｜析 【例题4】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）不等式组的非负整数解有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 2．（25-26九年级下·重庆·期中）求不等式组：的所有整数解． 3．（重庆市沙坪坝区2026年初中适应性监测数学试题）求不等式组的所有整数解． 4．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解； 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 题型05 根据一元一次不等式组的解集求字母范围 1. 把字母当常数，解出含字母的解集； 2. 2. 结合已知解集，用数轴定位边界； 3. 列不等式确定字母范围，注意等号是否成立。 典｜例｜精｜析 【例题5】（25-26八年级下·江西九江·期中）若不等式组无解，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 题型06 利用整数解求字母的取值范围 1.先解出不等式组（保留含字母的式子）； 2.画出数轴，标出已知整数解； 3.确定字母边界，列不等式组求解，临界值单独验证。 典｜例｜精｜析 【例题6】（25-26八年级下·山东青岛·期中）关于的不等式的整数解只有个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川泸州·期中）若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 3．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 4．（24-25七年级下·河南周口·月考）若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围． 5．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 题型07 方程（组）与不等式组的综合应用 1. 先解方程组，用含字母的式子表示 x、y； 2. 根据 x、y 的符号 / 范围，列不等式组； 3. 解不等式组得字母范围。 典｜例｜精｜析 【例题7】（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组，求的取值范围． 3．（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 4．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知与，都是方程的解． (1)求k、b的值； (2)若y的值不小于0，求x的取值范围； (3)若，求y的取值范围． 5．已知解关于m的不等式组． (1)求不等式组的解集； (2)化简； (3)在m的取值范围内，当整数 时，关于x的不等式的解集是． 题型08 一元一次不等式组的新定义问题 1. 严格按新定义规则转化为普通不等式； 2. 列出不等式组并按常规步骤求解； 3. 检验结果是否符合定义要求。 典｜例｜精｜析 【例题8】（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即：当为非负整数时，若，则如： （1）_______； （2）如果，则实数的取值范围为_____． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则．例如：，则下列结论： ①若，则的取值范围是； ②若整数、满足，则的值为6或10； ③若非负数、满足，则有理数的取值范围是． 正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（25-26七年级下·上海崇明·期中）对、定义一种新运算，规定（其中，、均为非零常数）． 例如：． 现已知，，． 在此条件下，若关于的不等式组恰好有2025个整数解，求实数的取值范围____________． 3．（24-25七年级下·云南昆明·期末）对于有理数x，y，定义一种新运算，规定：． (1)求的值． (2)若关于正数m的不等式组恰好有3个整数解，求k的取值范围． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． (1)请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； (2)若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 5．（24-25七年级下·河南南阳·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：的解为，不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是____________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围． 题型09 由实际问题列一元一次不等式组 1. 找不等关系关键词：至少、不足、不超过、不空不满； 2. 设未知数，表示总量 / 差值； 3. 按 “大于 0 且小于上限” 列不等式组。 典｜例｜精｜析 【例题8】用若干量载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（    ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·北京·专题练习）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·江苏无锡·月考）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 题型10 利用一元一次不等式组解决实际问题 1. 审：找不等关系； 2. 设：设未知数； 3. 列：列不等式组； 4. 解：求解集并取符合实际的整数解 5. 验、答：验证并规范作答。 典｜例｜精｜析 【例题10】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 3．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 4．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）郑州市雾霾天气趋于严重，丹尼斯商场根据民众健康需要，代理销售每台 进价分别为600元、560元的A、B两种型号的空气净化器，如表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 　销售时段 　销售数量 　销售收入 　A种型号 　B种型号 　第一周 　4台 　5台 　7100元 　第二周 　6台 　10台 　12600元 (1)求A，B两种型号的空气净化器的销售单价； (2)若商场准备用不多于17200元的金额再采购这两种型号的空气净化器共30台，商场销售完这30台空气净化器能否实现利润为6200元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 5．某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $