11.2 一元一次不等式（讲义）数学新教材人教版七年级下册

第十一章 不等式与不等式组 11.2 一元一次不等式 知识点一 一元一次不等式 ◆一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【概念解析】 （1）一元一次不等式必须具备的4个条件：①不等式左右两边都是整式；②只含一个未知数；③未知数的次数都是1；④未知数的系数不为0. （2）它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． （3）它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 即学即练 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列哪项是一元一次不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、是代数式，不是不等式，该选项不符合题意； 、是等式，该选项不符合题意； 、是一元一次不等式，该选项符合题意； 、中未知数的次数是，不是一元一次不等式，该选项不符合题意． 2．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 知识点二 一元一次不等式的解法 ◆1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式． ◆2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 【注意】 （1）在以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． （2）符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 即学即练 3．（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式，并将解集在数轴上表示． (1) (2) 【答案】(1)，解集在数轴上的表示见解析 (2)，解集在数轴上的表示见解析 【详解】（1）解： 去括号得， ∴ 解得： 解集在数轴上的表示： （2）解： 不等式两边同时乘以去分母得 去括号得 合并同类项得 移项得 合并同类项得 系数化为1时改变不等号方向得 解集在数轴上的表示： 知识点三 一元一次不等式的应用 ◆1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． ◆2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． ◆3、列一元一次不等式解实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系. （2）设未知数：可直接设，也可间接设. （3）列出不等式. （4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 . （5）写出答案. 即学即练 4．（25-26八年级下·山西晋中·期中）2025年春晚机器人动作机械，2026年已实现灵活流畅的舞台表演．这一变化直观体现了我国人形机器人技术在一年内的快速迭代升级．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目的数量关系，结合“不低于”的含义列出不等式即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得． 5．（25-26七年级下·山东东营·月考）某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】B 【分析】设商品打折，根据题意列出不等式解答即可求解． 【详解】解：设商品打折， 由题意得，， 解得， ∵打折数越小，折扣力度越大， ∴的最小值为， ∴最多可以打折． 题型01 一元一次不等式的识别 1. 先化简式子，再核对4 个条件：整式两边、一个未知数、次数为 1、系数≠0； 2. 排除：无未知数、多未知数、分式 / 根式、次数≠1 的式子； 3. 含参型：令未知数次数 = 1 且系数≠0，求参数. 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．选项A是方程，选项B是代数式，选项C中未知数的次数为2，只有选项D满足条件． 【详解】解：∵ 一元一次不等式需满足：含一个未知数、未知数次数为1、且为不等式． 选项A：，是方程，不是不等式； 选项B：，是代数式，没有不等号； 选项C：，未知数x的次数为2，不是一次； 选项D：，含一个未知数x，x的次数为1，且为不等式． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·安徽六安·月考）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合要求； B、不是一元一次不等式，不符合要求； C、不是一元一次不等式，不符合要求； D、 不是一元一次不等式，不符合要求； 2．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：一元一次不等式有：①，不含未知数，不符合题意； ②，含有两个未知数，不符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是代数式，不符合题意； ⑤，是一元一次不等式，符合题意； ⑥，分母中含有未知数，不符合题意； 故选：A ． 3．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可． 【详解】解：（1）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （2）是一元一次不等式； （3）是一元一次不等式； （4）不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式， 综上所述：一元一次不等式有2个 故选：B． 4．已知关于的不等式是一元一次不等式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数次数为1，且未知数系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵原不等式是关于的一元一次不等式， ∴满足两个条件： 未知数次数为1，即； 未知数系数不为0，即； 由得，解得或， 又∵，即， ∴． 5．（25-26七年级下·安徽六安·期中）若是关于的一元一次不等式，则________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义列等式和不等式求解即可． 【详解】解： 是关于的一元一次不等式， ，且， 解得或， 或； 解得； ． 题型02 解一元一次不等式 1. 标准五步：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1. 2. 关键：去分母、系数化为 1 时，乘除负数必变号. 3. 结果写成 x＞a 或 x＜a，可在数轴表示. 典｜例｜精｜析 【例题2】（25-26八年级下·广东佛山·期中）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出不等式的解集即可确定解集在数轴上的表示． 【详解】解：移项得：， 即， 在数轴上表示为： 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）下列不等式的解集在数轴上的表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， 则不等式的解集在数轴上表示为： ． 2．（25-26八年级下·广西贺州·期中）关于的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】按照一元一次不等式的解法步骤计算即可． 【详解】解： ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得． 3．（2026·陕西西安·三模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点；小于向左，大于向右． 【详解】解：， ， ， ， ， 如图， 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出对应不等式的解集是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： （2）解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： 5．（25-26八年级下·河北保定·期中）解下列不等式 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：，……第一步 ，…………………第二步 ，………………第三步 ……………………………第四步 …………………………………第五步 任务一： (1)以上解题过程中，第二步是依据 （运算律）进行变形的； (2)第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二： (3)请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】(1)乘法分配律（或去括号法则） (2)第三步开始出现错误；移项时，从左边移到右边没有变号 (3) 【分析】根据有理数乘法运算律、不等式的性质、解不等式的步骤进行解答即可． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（或去括号法则）进行变形的； （2）解：以上解题过程中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是从左边移到右边没有变号； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 题型03 求一元一次不等式的特殊解 1. 先按标准步骤解出不等式解集. 2. 在解集内按要求筛选：整数解 / 负整数解 / 非负整数解. 3. 含参反求：根据特殊解个数，确定参数范围. 典｜例｜精｜析 【例题3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）不等式的非负整数解的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，计算它们的和即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 不等式的非负整数解为 ，，， 非负整数解的和为，选项符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，统计个数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴满足的非负整数为，共个． 2．（25-26八年级下·四川达州·期中）不等式的所有非负整数解的和是____________． 【答案】 【详解】解： ， 不等式的所有非负整数解为、、， 则所有非负整数解的和是． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）解不等式，并写出该不等式最大的整数解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了求不等式的最大整数解，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 该不等式最大的整数解是． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）解不等式：，并写出它的负整数解 【答案】， 【分析】本题考查求不等式的整数解，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出负整数解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∴， ∴不等式的负整数解为：． 5．（2025·西藏·模拟预测）解不等式，并写出此不等式的非负整数解． 【答案】，非负整数解为：，，． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可． 本题考查求一元一次不等式的非负整数解，正确计算不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 非负整数解为：，，． 题型04 列一元一次不等式解决代数问题 1. 抓关键词：不大于、不小于、超过、低于等，转化为不等号. 2. 按文字关系列不等式，再常规求解. 典｜例｜精｜析 【例题4】（2025八年级上·全国·专题练习）要使式子的值不小于式子的值，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．先根据题意列出不等式，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， 解得， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）取什么值时，代数式的值是正数？ 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．根据题意列出关于的不等式，按照解一元一次不等式的一般步骤，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：代数式的值是正数， ， ， ， ， ， ， 时，代数式的值是正数． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知代数式的值不小于代数式的值，求x 的取值范围，并求出满足条件的最大整数解． 【答案】 最大整数解为 【分析】根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴满足条件的最大整数解为． 3．（2024春•射洪市校级期中）代数式的值不大于代数式的值，求x的最大整数值． 【答案】﹣1． 【分析】先根据题意得到，解不等式求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解：∵代数式 的值不大于代数式 的值， ∴， 解得， ∴x的最大整数值为﹣1． 【点睛】本题主要考查了求不等式的最大整数解，熟练掌握该知识点是关键． 4．设，， （1）当x为何值时，？ （2）当x为何值时，比的值的2倍大2？ 【答案】（1）x=2；（2）x= 【分析】（1）根据列方程求解即可； （2）根据比的值的2倍大2列方程求解即可； 【详解】解：（1）由题意得 -x+3=2x-3， 移项，得 -x-2x=-3-3， 合并同类项，得 -3x=-6， 系数化为1，得 x=2； （2）由题意得 -x+3=2(2x-3)+2， 去括号，得 -x+3=4x-6+2， 移项，得 -x-4x=-6+2-3， 合并同类项，得 -5x=-7， 系数化为1，得 x=； 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． 5．已知： ， （1）当时，取何值，的值比的2倍大5？ （2）若，求的值． 【答案】（1）2；（2）6． 【分析】（1）当时，，再根据的值比的2倍大5列出方程，求出方程的解即可得到x的值； （2）当时，，再用x表示出a、b，然后计算a+b即可得． 【详解】（1）当时，， ∵的值比的2倍大5， ∴y1=2y2+5， ∴x+3=2(-x+2)+5， ∴x+3=-2x+4+5， ∴x+2x=9-3， ∴3x=6， ∴x=2； (2) 当时，， ∴a=-5-x，b=11+x， ∴a+b=-5-x+11+x=6． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，正确得出方程并准确求解是解题的关键． 题型05 求含字母常数的一元一次不等式的解集 1. 按常规步骤化简到 ax＞b 或 ax＜b. 2. 分类讨论：a＞0、a＜0、a=0 三种情况. 3. 已知解集反求参数：由不等号方向定系数正负，再列等式求参. 典｜例｜精｜析 【例题5】（2024春•赛罕区校级月考）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣m的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】根据已知不等式的解集确定出m与n的关系式，代入所求不等式计算即可求出解集． 【详解】解：关于x的不等式mx﹣n＞0， 移项得：mx＞n， 由已知解集为x，得到m＜0， 即x， ∴，即m＝5n（m≠0，n≠0）， 代入不等式（m+n）x＞n﹣m得： 6nx＞﹣4n（n＜0）， 整理得：6x＜﹣4， 解得：x． 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知不等式的解集是，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据不等式的解集是，不等号没有发生改变，判定，结合解集为，得，判定，从而得到，解答即可． 本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质，解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号没有发生改变， ∴， ∵不等式的解集是， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为__________． 【答案】． 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及，的结论，设，，代入即可得解． 【详解】解：由得：， 不等式的解集是， 且，， 设，， 则，， ， 解得：， 即关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 3．（2024•安徽一模）已知一关于x的不等式（3a﹣b）x+a﹣4b＞0的解集是x＜5，那么这个关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为 　 　． 【答案】x． 【分析】先将已知不等式进行变形，根据已知不等式的解集得出3a﹣b＜0且5，求出a＜0，ba，即可求出不等式的解集． 【详解】解：（3a﹣b）x+a﹣4b＞0， （3a﹣b）x＞﹣a+4b， ∵关于x的不等式（3a﹣b）x+a﹣4b＞0的解集是x＜5， ∴3a﹣b＜0且5， 27a﹣9b＜0且9b＝16a， 解得：a＜0，ba， ∴ax﹣b＞0的解集为x， 故答案为：x． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能根据已知求出3a﹣b＜0且5是解此题的关键． 4．已知关于的不等式的解集为 ，求关于的一元一次不等式的解集． 【答案】 【分析】结合题意，根据不等式的性质，得a＜-3b，2a+3b＝0；根据代数式的性质，得a＞0，b＜0，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵关于的不等式的解集为 ∴a+3b＜0， ∴a＜-3b，8a＝-12b，即2a+3b＝0 ∵a+3b＜0， ， ∴a＞0，b＜0 ∴的解集为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解． 5．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 【答案】 【分析】根据已知条件，判断出，再求得不等式的解集． 【详解】解：∵不等式的解集是， ，， ，整理得：， 把代入得，整理得：， ， ， ， ， ． 题型06 不等式与绝对值的综合应用 1. 先解不等式，确定 x 的取值范围. 2. 判断绝对值内式子的正负. 3. 按 “正不变、负变号” 去绝对值，再化简计算. 典｜例｜精｜析 【例题6】已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|． 【分析】先去括号、移项得15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5，合并得17x＜﹣17，则x＜﹣1，然后根据x＜﹣1去绝对值得到|3x+1|﹣|1﹣3x|＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x），再去括号合并即可． 【解答】解：去括号得15x+6+5＜4x﹣6x﹣6， 移项得15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5， 合并得17x＜﹣17， 系数化为1得x＜﹣1， |3x+1|﹣|1﹣3x|＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x） ＝﹣3x﹣1﹣1+3x ＝﹣2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质，先去分母、移项、合并同类项，再把未知数的系数化为1可得到不等式的解集．也考查了绝对值． 变｜式｜巩｜固 1．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（　　） A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1 【答案】B． 【分析】由不等式的基本性质3可得a﹣1＜0，即a＜1，再利用绝对值的性质化简可得． 【详解】解：∵（a﹣1）x＞1可化为x， ∴a﹣1＜0， 解得a＜1， 则原式＝1﹣a﹣（2﹣a） ＝1﹣a﹣2+a ＝﹣1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 2．已知5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4，化简|2x﹣1|﹣|1+2x| 【答案】2． 【分析】根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再根据x的取值范围去掉绝对值符号把代数式化简即可． 【详解】解：解不等式5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4， 去括号得，5x+5﹣3x＞4x+6+4， 移项得，5x﹣3x﹣4x＞6+4﹣5， 合并同类项得，﹣2x＞5， 系数化为1得，x． 故|2x﹣1|﹣|1+2x|＝1﹣2x+1+2x＝2． 【点睛】此题比较简单，解答此题的关键是求出x的取值范围，再根据取绝对值符号的法则去掉绝对值符号． 3．阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据题中所给出的例子进行解答即可； （2）根据题中所给的实例列出关于的不等式组，求出其解集即可． 【详解】（1）解：的解集是， 不等式的解集为：． 故答案为：； （2）解：的解集是， 求的解集是， 可化为， 求的解集实质上是求不等式组， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键． 4．（23-24七年级下·安徽蚌埠·月考）阅读理解： 解不等式，在数轴上先找出的解，如图，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：； (3)对于任意数，若不等式恒成立，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值，方程及不等式的知识，是一道材料分析题，通过阅读材料，深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目． （1）先求出的解，再求的解集即可； （2）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集； （3）原问题转化为：小于的最小值，进行分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：在数轴上找出的解， 在数轴上到3对应的点的距离等于2的点对应的数为1或5， 方程的解为或， 不等式的解集为． （2）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值． 在数轴上4和对应的点的距离为6， 满足方程的对应的点在4对应的点的右边或对应的点的左边． 若对应的点在4对应的点的右边，则， 解得； 若对应的点在对应的点的左边，则， 解得， 方程的解是或， 不等式的解集为或． （3）解：原问题转化为：小于的最小值． 当对应的点在2和对应点之间时，有最小值为6， ∴． 5．【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为： 数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． (1)①可理解为___________________； ②请列举3个不同的整数a，使不等式成立．列举的a的值是______________； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． (2)①不等式的解集是______________； ②不等式的解集是__________________； 【拓展探究】 (3)求不等式的解集． 【答案】(1)①数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；②0，1，−1 (2)①−5<x<5；②x⩾6或x⩽−6 (3)3⩽x⩽5 【分析】(1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：①由题意可知|a|>2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； ②使不等式|a|<2成立的整数a有0，1，−1， 故答案为：0，1，−1； （2）解：①根据题意可得|x|<5的解集为−5<x<5， 故答案为：−5<x<5； ②根据题意可求或， ∴x⩾6或x⩽−6， 故答案为：x⩾6或x⩽−6； （3）解：， ， 解得3⩽x⩽5， 故答案为：3⩽x⩽5． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． 题型07 一元一次不等式与方程（组）的综合应用 1. 先解方程 / 方程组，用参数表示未知数. 2. 将解代入不等式，得到关于参数的不等式. 3. 解不等式求参数范围或值. 典｜例｜精｜析 【例题7】（25-26七年级下·河南开封·期中）关于的方程组的解满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组得到，再根据，列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：方程组， 得：， ∵关于的方程组的解满足， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值；先解不等式得到最小整数解，代入方程求出参数，再计算代数式的值． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 即 ， 两边乘以 得 ， ∴ 最小整数解为 ． ∵ 是方程 的解， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 当时 ． 2．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）已知关于x的方程． (1)求x的值（用含a的式子表示）； (2)若关于x的方程的解不小于，求a的取值范围； (3)请直接写出满足（2）的条件的所有a的正整数值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）结合该方程的解不小于，可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案； （3）结合（2）及正整数的定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）由（1）可知，， ∵该方程的解不小于， ∴， 解得； （3）由（2）可知，， ∴满足（2）的条件的所有a的正整数值． 3．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求满足条件的的最大整数值． 【答案】满足条件的的最大整数值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式的整数解，熟练掌握解方程组和不等式的方法是解题的关键． 方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围，确定出的最大整数解即可． 【详解】解： ，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：满足条件的的最大整数值为． 4．（24-25七年级下·江西赣州·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，求满足题意的最小整数a． 【答案】16 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式的整数解，把方程组中两个方程相减得到，再由题意可得，则，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的最小整数a是16， 故答案为：16． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于x，y的方程组的解满足以下条件： (1)若，求m的值． (2)若y为负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，整理得到关于的表达式，代入即可求出的值； （2）用加减消元法求出关于的表达式，根据为负数列出不等式， 解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解： ①②得， 两边同除以得， 解得； （2）解： ①②得： 两边同除以得 为负数 解得． 题型08 一元一次不等式与新定义问题 1. 严格按题目给定的新运算规则，代入列式. 2. 把新定义式转化为普通一元一次不等式. 3. 常规解不等式，求解集或特殊解. 典｜例｜精｜析 【例题8】（25-26八年级下·广东茂名·月考）我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则得到关于的不等式，求解并取最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 最大整数解是． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）规定：用表示大于m的最小整数，例如：；用表示不大于m的最大整数，例如：，，．如果整数x满足关系式：，则___ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，定义新运算，根据，，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）对于三个实数，，，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数，例如：，．若，则负整数的值是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集、完全平方公式，解题关键是正确理解题意． 根据题意分别得出、，再解一元一次不等式得出的取值范围，再由是负整数即可得解． 【详解】解：根据题意得， 中，， ， 即为， 解得， 负整数． 故答案为：． 3．（2026·新疆伊犁·二模）对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③若，则x的取值范围为．其中正确结论_____________（只填写序号）． 【答案】①③ 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， 当时，得； 当时，得，解得； ∴或，故②错误； 当，即时， 不等式为， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 结合，得； 当，即时， 不等式为， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 结合，得； 综上所述，的取值范围为，故③正确； 综上，正确的是①③. 4．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有，如：． (1)_______________；（填“>”“<”或“=”） (2)求不等式的正整数解． 【答案】(1) (2)1，2，3 【分析】本题考查的是新定义运算及求不等式正整数解，理解新定义是解答的关键． （1）根据新定义求出值再比较即可； （2）先列出不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ； （2）由题意可得，， 则不等式可转化为：， 解不等式得，， 不等式的正整数解有：1，2，3． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）对任意实数，定义一种新运算“”，规定：，例如． (1)求不等式的最小整数解； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（或）． 【分析】（）将给定的新运算表达式代入定义式，转化为常规的不等式，再通过去括号、合并同类项化简不等式，求解不等式后，找出大于解集的最小整数，得到不等式的最小整数解； （）先根据新定义运算，依次计算出的表达式，再将其代入给定的不等式，化简后解一元一次不等式，得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据新定义：， 将展开:代入不等式,得:, 化简计算: 即： 解得： ∵大于的最小整数为， 即不等式的最小整数解是； （2）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 解得：, 即的取值范围（或）． 题型09 根据实际问题列不等式 1. 审题找不等关系：至少、最多、不超过、不低于、不少于. 2. 设未知数，把文字关系翻译成数学不等式3. 注意单位统一、常量与变量对应. 典｜例｜精｜析 【例题9】（25-26八年级下·四川成都·期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先统一单位，再根据路程、速度、时间的关系找不等关系，据此列出不等式即可． 【详解】解：总距离为千米，即米， 设跑步时间为x分钟．根据题意，在40分钟内完成的总路程应不小于2500米． 基于此，假设用满40分钟，其中跑步x分钟，则步行分钟，那么跑步路程为米，步行路程为米，此时总路程应大于或等于2500米，因此可列不等式． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）某种商品的进价为元，出售时标价为元，由于该商品积压，商店准备打折出售，要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据利润等于实际售价减去进价，且利润率不低于即利润不低于进价的，列出不等式即可． 【详解】解：设该商品打折销售， 打折后的实际售价为标价乘， 列不等式得． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点时他以的速度向终点冲刺，在他身后的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？设李明冲刺的速度为，可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设李明冲刺的速度为， ∵张华离终点，冲刺速度为， ∴张华到达终点的时间为 ∵李明在张华身后， ∴李明到终点的总路程为 ， 要使李明在张华之前到达终点，即在张华跑完全程的时间内，李明跑的路程要大于他到终点的总路程， 因此列出不等式为 ． 3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了x道题，若得分不低于72分，可列出关于x的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意正确表示总得分，根据“不低于”的含义为大于等于，列出不等式． 【详解】解：设答对了道题，则答错或不答的题数为道， 根据题意得：． 4．（2024春•花山区校级期中）小马拿50元钱去购买笔记本和黑色签字笔共15件，已知每本笔记本4元，每支黑色签字笔2元，求小马最多能买几支黑色签字笔．设小马买了x支黑色签字笔，根据题意可列不等式为（　　） A．4x+2（15﹣x）≤50 B．2x+4（15﹣x）≤50 C．4x+2（15﹣x）≥50 D．2x+4（15﹣x）≥50 【答案】B． 【分析】设小马买了x支黑色签字笔，则买了（15﹣x）本笔记本，根据总价＝单价×购买数量结合总价不超过50元，即可得出关于x的一元一次不等式． 【解答】解：设小马买了x支黑色签字笔，则买了（15﹣x）本笔记本， 根据题意得：2x+4（15﹣x）≤50． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 5．（2024•二道区校级模拟）某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】利用利润率，结合利润率不低于20%，可得出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【解答】解：根据题意得． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 题型10 一元一次不等式的实际应用 1.步骤：审题→设元→列不等式→求解→检验合理性→作答； 2.检验：解需符合实际（正整数、范围限制等）. 3.求最值：取解集内符合要求的最大 / 最小整数. 典｜例｜精｜析 【例题10】（25-26八年级下·山西太原·期中）国内某知名车企研发的最新超快充充电技术，大幅提升充电效率，5分钟即可补能，9分钟能充至近满电．该技术兼顾极寒环境适应性与电池安全性，配合新一代刀片电池，实现高效、安全、耐用的综合优势，全面引领电动车快充新时代．为响应节能减排号召，某市出租车公司计划采购该车企的A、B两款搭载此项超快充技术的新能源电动汽车．已知每辆A款车进价18万元，每辆B款车进价10万元，公司拟用不超过1500万元的资金购进两款车共120辆，求最多可购买多少辆A款新能源电动汽车？ 【答案】37辆 【分析】设购买x辆A款新能源电动汽车，则购买辆B款新能源电动汽车，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设购买x辆A款新能源电动汽车，则购买辆B款新能源电动汽车，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大值取37， 答：最多可购买37辆A款新能源电动汽车． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·江西抚州·期中）为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元； (2)该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1) 甲种滑动变阻器单价为34元，乙种滑动变阻器单价为44元 (2) 此次至少需购买20个甲种滑动变阻器 【分析】（1）根据二元一次方程组的购买问题关系：总价格=单价×数量，分别设甲、乙两种滑动变阻器的单价为x元，y元，再根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意，设购买a个甲种滑动变阻器，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元，乙种滑动变阻器的单价为y元， 则， 解得， ∴甲种滑动变阻器的单价为34元，乙种滑动变阻器的单价为44元； （2）解：设购买a个甲种滑动变阻器，则购买个乙种滑动变阻器 由题意，得， 解得， ∴此次至少需购买20个甲种滑动变阻器． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，我校开展了相关竞赛活动，小鸣帮助王老师提前在线上平台计划购买玩偶与徽章等文创品作为奖品．线上平台无促销活动时，玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元．线上平台有促销活动时，活动信息如下： 方式一：购买50元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． (1)王老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（），则按方式一和方式二购买分别需要多少元？（结果均用含m的代数式表示） (2)请你帮王老师算一算，在（1）的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一购买更划算？ 【答案】(1)方式一：元；方式二：元； (2) 【分析】（1）先求出总价，再根据方式一和方式二的促销方式计算即可； （2）根据方式一的费用比方式二的费用少列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（）， ∴购买徽章个， ∵玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元， ∴总价为元， 方式一：元； 方式二：元； （2）解：∵选择方式一购买更划算， ∴， 解得：， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·山西太原·期中）山西孝义皮影戏是国家级非物质文化遗产，其造型古朴、雕刻精湛，深受大众喜欢．某非遗体验馆计划定制一批皮影文创，用于研学活动和非遗文化推广．已知定制2个传统人物皮影和1个动物皮影共需200元，定制3个传统人物皮影和2个动物皮影共需320元． (1)求一个传统人物皮影和一个动物皮影的价格分别是多少元． (2)该体验馆计划定制两种皮影共70个，为丰富研学活动的展示内容，馆方希望在总费用不超过5100元的前提下，尽可能多定制传统人物皮影，求最多可定制多少个传统人物皮影． 【答案】(1)一个传统人物皮影的价格为80元，一个动物皮影的价格为40元 (2)57个 【分析】（1）设一个传统人物皮影的价格为x元，一个动物皮影的价格，根据题意找出等量关系列出方程组并求解即可； （2）设定制m个传统人物皮影，则定制个动物皮影，根据不等关系列出不等式求解最大整数解． 【详解】（1）解：设一个传统人物皮影的价格为x元，一个动物皮影的价格为y元， 由题意得，， 解得， ∴一个传统人物皮影的价格为80元，一个动物皮影的价格为40元． （2）解：设定制m个传统人物皮影，则定制个动物皮影， 由题意得，， 解得：， ∵m取最大值，且为正整数， ， ∴最多可定制57个传统人物皮影． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克． (1)某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？ (2)市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降，二级毛峰销售单价涨，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？ 【答案】(1)生产的一级毛峰至多为10千克． (2)至少售出一级毛峰50千克． 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，先设出一级毛峰的质量为未知数，再根据题干给出的不等关系列出一元一次不等式，求解不等式后结合题意得到最终结果． 【详解】（1）解：设生产一级毛峰千克，则生产二级毛峰千克． 根据题意可得不等式： 展开整理得： 解得： 答：生产的一级毛峰至多为10千克． （2）解：设售出一级毛峰千克，则售出二级毛峰千克． 调整价格后，一级毛峰单价为（元/千克） 调整价格后，二级毛峰单价为（元/千克） 根据总售价不低于56000元，可得： 展开整理得： 解得： 答：至少售出一级毛峰50千克． 5．（2026·安徽宿州·二模）安徽有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等均产自安徽．某商场计划购进A、B两种茶叶，已知A种茶叶每盒的进价比B种茶叶每盒的进价少20元．若购进A种茶叶6盒，B种茶叶5盒，则共需要1200元． (1)A、B两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该商场采购了A、B两种茶叶共500盒．若A种茶叶的标价是进价的2倍，每盒B种茶叶按标价出售可获得利润180元．“五一”期间，商场对这两种茶叶进行优惠促销活动：A种茶叶每盒降价40元，B种茶叶打八折出售．将这500盒茶叶卖完后，总利润不低于40000元，求至少需要采购B种茶叶多少盒？ 【答案】(1)A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元 (2)至少需要采购B种茶叶167盒 【分析】（1）A种茶叶每盒的进价为元，B种茶叶每盒的进价为元，根据题意列出方程组，并求解即可； （2）设采购B种茶叶盒，则购进A种茶叶盒，根据题意列出不等式，解得，结合为整数，求出最小值即可． 【详解】（1）解：设A种茶叶每盒的进价为元，B种茶叶每盒的进价为元，由题意得， ， 解得， 答：A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元． （2）解：设采购B种茶叶盒，则购进A种茶叶盒， 根据题意，总利润， ， ∵， ∴， 解得， ∵为整数， ∴，即的最小值为． 答：至少需要采购B种茶叶167盒． 6．（25-26七年级下·海南海口·期中）风靡世界的“拉布布”玩偶凭借独特设计，展现了中国文化魅力与创新实力，这类中国原创潮玩走出国门，体现了我国软实力的提升，受到各国年轻人的喜爱，已知某网店销售甲、乙两款玩偶，甲款玩偶的售价比乙款玩偶售价的2倍少30元，购买2个甲款玩偶和3个乙款玩偶共需255元（免运费）．请解答下列问题：    (1)该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？ (2)根据市场需求，该网店计划用不超过8900元购进甲、乙两款玩偶共200个，且甲款数量超过87个．已知甲款玩偶每个进价50元，乙款玩偶每个进价40元，该网店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，网店推出促销活动：一次性购买同一款玩偶超过10个，赠送1个同款玩偶．若本次购进的玩偶全部售出，共赠送4个，总获利1250元，直接写出甲、乙两款玩偶各赠送几个． 【答案】(1)该网店甲种玩偶每个售价60元，乙种玩偶每个售价45元 (2)该网店有3种进货方案：方案一、购进甲种玩偶88个，乙种玩偶112个；方案二、购进甲种玩偶89个，乙种玩偶111个；方案三、购进甲种玩偶90个，乙种玩偶110个 (3)甲玩偶赠送1个，乙玩偶赠送3个 【分析】（1）设甲种玩偶每个售价元，乙种玩偶每个售价元，根据甲款玩偶的售价比乙款玩偶售价的2倍少30元，购买2个甲款玩偶和3个乙款玩偶共需255元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种玩偶个，则购进乙种玩偶个，根据两种玩偶的费用不超过8900元列出不等式，解不等式得出，再根据甲款数量超过87个，得出m的取值范围，然后根据m为正整数，即可得出答案； （3）分三种情况：购进甲种玩偶88个，乙种玩偶112个时；购进甲种玩偶89个，乙种玩偶111个时；购进甲种玩偶90个，乙种玩偶110个时；分别列出方程求出结果，即可得出答案． 【详解】（1）解：设甲种玩偶每个售价元，乙种玩偶每个售价元， 根据题意，得， 解得， 答：该网店甲种玩偶每个售价60元，乙种玩偶每个售价45元； （2）解：设购进甲种玩偶个，则购进乙种玩偶个， 根据题意可得， 解得， ， 为整数， 、89、90，，111，． 该网店有3种进货方案： 方案一、购进甲种玩偶88个，乙种玩偶112个； 方案二、购进甲种玩偶89个，乙种玩偶111个； 方案三、购进甲种玩偶90个，乙种玩偶110个； （3）解：分三种情况： ①购进甲种玩偶88个，乙种玩偶112个时； 设该网店甲玩偶赠送了个，则乙玩偶赠送了个，根据题意得， ， 解得（舍弃）； ②购进甲种玩偶89个，乙种玩偶111个时； 设该网店甲玩偶赠送了个，则乙玩偶赠送了个，根据题意得， ， 解得：， ， 故甲玩偶赠送1个，乙玩偶赠送3个； ③购进甲种玩偶90个，乙种玩偶110个时； 设该网店甲玩偶赠送了个，则乙玩偶赠送了个，根据题意得， ， 解得，（舍去）， 综上所述，甲玩偶赠送1个，乙玩偶赠送3个． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 11.2 一元一次不等式 知识点一 一元一次不等式 ◆一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【概念解析】 （1）一元一次不等式必须具备的4个条件：①不等式左右两边都是整式；②只含一个未知数；③未知数的次数都是1；④未知数的系数不为0. （2）它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． （3）它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 即学即练 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列哪项是一元一次不等式（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 知识点二 一元一次不等式的解法 ◆1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式． ◆2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 【注意】 （1）在以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． （2）符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 即学即练 3．（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式，并将解集在数轴上表示． (1) (2) 知识点三 一元一次不等式的应用 ◆1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． ◆2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． ◆3、列一元一次不等式解实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系. （2）设未知数：可直接设，也可间接设. （3）列出不等式. （4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 . （5）写出答案. 即学即练 4．（25-26八年级下·山西晋中·期中）2025年春晚机器人动作机械，2026年已实现灵活流畅的舞台表演．这一变化直观体现了我国人形机器人技术在一年内的快速迭代升级．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东东营·月考）某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可以打（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 题型01 一元一次不等式的识别 1. 先化简式子，再核对4 个条件：整式两边、一个未知数、次数为 1、系数≠0； 2. 排除：无未知数、多未知数、分式 / 根式、次数≠1 的式子； 3. 含参型：令未知数次数 = 1 且系数≠0，求参数. 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·安徽六安·月考）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知关于的不等式是一元一次不等式，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·安徽六安·期中）若是关于的一元一次不等式，则________． 题型02 解一元一次不等式 1. 标准五步：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1. 2. 关键：去分母、系数化为 1 时，乘除负数必变号. 3. 结果写成 x＞a 或 x＜a，可在数轴表示. 典｜例｜精｜析 【例题2】（25-26八年级下·广东佛山·期中）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）下列不等式的解集在数轴上的表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西贺州·期中）关于的不等式的解集是______． 3．（2026·陕西西安·三模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 5．（25-26八年级下·河北保定·期中）解下列不等式 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：，……第一步 ，…………………第二步 ，………………第三步 ……………………………第四步 …………………………………第五步 任务一： (1)以上解题过程中，第二步是依据 （运算律）进行变形的； (2)第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二： (3)请直接写出该不等式的正确解集． 题型03 求一元一次不等式的特殊解 1. 先按标准步骤解出不等式解集. 2. 在解集内按要求筛选：整数解 / 负整数解 / 非负整数解. 3. 含参反求：根据特殊解个数，确定参数范围. 典｜例｜精｜析 【例题3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）不等式的非负整数解的和为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级下·四川达州·期中）不等式的所有非负整数解的和是____________． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）解不等式，并写出该不等式最大的整数解． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）解不等式：，并写出它的负整数解 5．（2025·西藏·模拟预测）解不等式，并写出此不等式的非负整数解． 题型04 列一元一次不等式解决代数问题 1. 抓关键词：不大于、不小于、超过、低于等，转化为不等号. 2. 按文字关系列不等式，再常规求解. 典｜例｜精｜析 【例题4】（2025八年级上·全国·专题练习）要使式子的值不小于式子的值，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）取什么值时，代数式的值是正数？ 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知代数式的值不小于代数式的值，求x 的取值范围，并求出满足条件的最大整数解． 3．（2024春•射洪市校级期中）代数式的值不大于代数式的值，求x的最大整数值． 4．设，， （1）当x为何值时，？ （2）当x为何值时，比的值的2倍大2？ 5．已知： ， （1）当时，取何值，的值比的2倍大5？ （2）若，求的值． 题型05 求含字母常数的一元一次不等式的解集 1. 按常规步骤化简到 ax＞b 或 ax＜b. 2. 分类讨论：a＞0、a＜0、a=0 三种情况. 3. 已知解集反求参数：由不等号方向定系数正负，再列等式求参. 典｜例｜精｜析 【例题5】（2024春•赛罕区校级月考）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣m的解集是（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知不等式的解集是，则不等式的解集是______． 2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为__________． 3．（2024•安徽一模）已知一关于x的不等式（3a﹣b）x+a﹣4b＞0的解集是x＜5，那么这个关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为 　 　． 4．已知关于的不等式的解集为 ，求关于的一元一次不等式的解集． 5．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 题型06 不等式与绝对值的综合应用 1. 先解不等式，确定 x 的取值范围. 2. 判断绝对值内式子的正负. 3. 按 “正不变、负变号” 去绝对值，再化简计算. 典｜例｜精｜析 【例题6】已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|． 变｜式｜巩｜固 1．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（　　） A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1 2．已知5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4，化简|2x﹣1|﹣|1+2x| 3．阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 4．（23-24七年级下·安徽蚌埠·月考）阅读理解： 解不等式，在数轴上先找出的解，如图，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：； (3)对于任意数，若不等式恒成立，请直接写出的取值范围． 5．【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为： 数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． (1)①可理解为___________________； ②请列举3个不同的整数a，使不等式成立．列举的a的值是______________； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． (2)①不等式的解集是______________； ②不等式的解集是__________________； 【拓展探究】 (3)求不等式的解集． 题型07 一元一次不等式与方程（组）的综合应用 1. 先解方程 / 方程组，用参数表示未知数. 2. 将解代入不等式，得到关于参数的不等式. 3. 解不等式求参数范围或值. 典｜例｜精｜析 【例题7】（25-26七年级下·河南开封·期中）关于的方程组的解满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 2．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）已知关于x的方程． (1)求x的值（用含a的式子表示）； (2)若关于x的方程的解不小于，求a的取值范围； (3)请直接写出满足（2）的条件的所有a的正整数值． 3．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求满足条件的的最大整数值． 4．（24-25七年级下·江西赣州·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，求满足题意的最小整数a． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于x，y的方程组的解满足以下条件： (1)若，求m的值． (2)若y为负数，求m的取值范围． 题型08 一元一次不等式与新定义问题 1. 严格按题目给定的新运算规则，代入列式. 2. 把新定义式转化为普通一元一次不等式. 3. 常规解不等式，求解集或特殊解. 典｜例｜精｜析 【例题8】（25-26八年级下·广东茂名·月考）我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）规定：用表示大于m的最小整数，例如：；用表示不大于m的最大整数，例如：，，．如果整数x满足关系式：，则___ ． 2．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）对于三个实数，，，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数，例如：，．若，则负整数的值是________． 3．（2026·新疆伊犁·二模）对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③若，则x的取值范围为．其中正确结论_____________（只填写序号）． 4．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有，如：． (1)_______________；（填“>”“<”或“=”） (2)求不等式的正整数解． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）对任意实数，定义一种新运算“”，规定：，例如． (1)求不等式的最小整数解； (2)若，求的取值范围． 题型09 根据实际问题列不等式 1. 审题找不等关系：至少、最多、不超过、不低于、不少于. 2. 设未知数，把文字关系翻译成数学不等式3. 注意单位统一、常量与变量对应. 典｜例｜精｜析 【例题9】（25-26八年级下·四川成都·期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）某种商品的进价为元，出售时标价为元，由于该商品积压，商店准备打折出售，要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点时他以的速度向终点冲刺，在他身后的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？设李明冲刺的速度为，可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·月考）杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了x道题，若得分不低于72分，可列出关于x的不等式是（   ） A． B． C． D． 4．（2024春•花山区校级期中）小马拿50元钱去购买笔记本和黑色签字笔共15件，已知每本笔记本4元，每支黑色签字笔2元，求小马最多能买几支黑色签字笔．设小马买了x支黑色签字笔，根据题意可列不等式为（　　） A．4x+2（15﹣x）≤50 B．2x+4（15﹣x）≤50 C．4x+2（15﹣x）≥50 D．2x+4（15﹣x）≥50 5．（2024•二道区校级模拟）某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为（　　） A． B． C． D． 题型10 一元一次不等式的实际应用 1.步骤：审题→设元→列不等式→求解→检验合理性→作答； 2.检验：解需符合实际（正整数、范围限制等）. 3.求最值：取解集内符合要求的最大 / 最小整数. 典｜例｜精｜析 【例题10】（25-26八年级下·山西太原·期中）国内某知名车企研发的最新超快充充电技术，大幅提升充电效率，5分钟即可补能，9分钟能充至近满电．该技术兼顾极寒环境适应性与电池安全性，配合新一代刀片电池，实现高效、安全、耐用的综合优势，全面引领电动车快充新时代．为响应节能减排号召，某市出租车公司计划采购该车企的A、B两款搭载此项超快充技术的新能源电动汽车．已知每辆A款车进价18万元，每辆B款车进价10万元，公司拟用不超过1500万元的资金购进两款车共120辆，求最多可购买多少辆A款新能源电动汽车？ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·江西抚州·期中）为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元； (2)该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？ 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，我校开展了相关竞赛活动，小鸣帮助王老师提前在线上平台计划购买玩偶与徽章等文创品作为奖品．线上平台无促销活动时，玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元．线上平台有促销活动时，活动信息如下： 方式一：购买50元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． (1)王老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（），则按方式一和方式二购买分别需要多少元？（结果均用含m的代数式表示） (2)请你帮王老师算一算，在（1）的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一购买更划算？ 3．（25-26八年级下·山西太原·期中）山西孝义皮影戏是国家级非物质文化遗产，其造型古朴、雕刻精湛，深受大众喜欢．某非遗体验馆计划定制一批皮影文创，用于研学活动和非遗文化推广．已知定制2个传统人物皮影和1个动物皮影共需200元，定制3个传统人物皮影和2个动物皮影共需320元． (1)求一个传统人物皮影和一个动物皮影的价格分别是多少元． (2)该体验馆计划定制两种皮影共70个，为丰富研学活动的展示内容，馆方希望在总费用不超过5100元的前提下，尽可能多定制传统人物皮影，求最多可定制多少个传统人物皮影． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克． (1)某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？ (2)市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降，二级毛峰销售单价涨，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？ 5．（2026·安徽宿州·二模）安徽有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等均产自安徽．某商场计划购进A、B两种茶叶，已知A种茶叶每盒的进价比B种茶叶每盒的进价少20元．若购进A种茶叶6盒，B种茶叶5盒，则共需要1200元． (1)A、B两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该商场采购了A、B两种茶叶共500盒．若A种茶叶的标价是进价的2倍，每盒B种茶叶按标价出售可获得利润180元．“五一”期间，商场对这两种茶叶进行优惠促销活动：A种茶叶每盒降价40元，B种茶叶打八折出售．将这500盒茶叶卖完后，总利润不低于40000元，求至少需要采购B种茶叶多少盒？ 6．（25-26七年级下·海南海口·期中）风靡世界的“拉布布”玩偶凭借独特设计，展现了中国文化魅力与创新实力，这类中国原创潮玩走出国门，体现了我国软实力的提升，受到各国年轻人的喜爱，已知某网店销售甲、乙两款玩偶，甲款玩偶的售价比乙款玩偶售价的2倍少30元，购买2个甲款玩偶和3个乙款玩偶共需255元（免运费）．请解答下列问题：    (1)该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？ (2)根据市场需求，该网店计划用不超过8900元购进甲、乙两款玩偶共200个，且甲款数量超过87个．已知甲款玩偶每个进价50元，乙款玩偶每个进价40元，该网店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，网店推出促销活动：一次性购买同一款玩偶超过10个，赠送1个同款玩偶．若本次购进的玩偶全部售出，共赠送4个，总获利1250元，直接写出甲、乙两款玩偶各赠送几个． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $