11.1 不等式（讲义）数学新教材人教版七年级下册

第十一章 不等式与不等式组 11.1 不等式 知识点一 不等式的定义 ★不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 【注意】 1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2、不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应. 即学即练 1．下列数学表达式中是不等式的是（） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A．是用等号连接的等式，不符合不等式定义， 选项B．是代数式，未用不等号表示不等关系，不是不等式， 选项C．是用小于号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义， 选项D．是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 知识点二 不等式的解（解集）与解不等式 ★1、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 【注意】一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个. ★2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． 【注意】不等式的解集必须符合两个条件：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在该解集中. ★3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式． ★4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． ★5、在数轴上表示不等式的解集： 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： （1）定边界点：在数轴上要标出原点和边界点,有等号边界点画实心圆点(表示包括这一点),无等号边界点 画空心圆圈(表示不包括这一点). （2）定方向：大于向右，小于向左. ★6、不等式解集的验证方法: 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 即学即练 2．下列实数中，是的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解与解集，掌握不等式的解都在它的解集的范围内是解题的关键． 根据大于的值才是不等式的解，逐个判定即可． 【详解】解：A、∵，而，∴不是的解，故此选项不符合题意； B、∵，而，∴不是的解，故此选项不符合题意； C、∵，而，∴不是的解，故此选项不符合题意； D、∵，而，∴是的解，故此选项符合题意； 故选：D． 3．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 知识点三 不等式的性质 ★1、不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±c＞b±c； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或； ★2、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． ★3、不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c． 即学即练 4．已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合不等式性质对各选项逐一判断即可． 【详解】∵，， A项：不等式两边同时除以负数c，不等号方向改变，可得，故A错误； B项：不等式两边同时加c，不等号方向不变，可得，故B错误； C项：不等式两边同时乘负数c，不等号方向改变，可得，故C正确； D项：不等式两边同时减c，不等号方向不变，可得，故D错误． 知识点四 解简单的不等式 ★1、利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式转化． ★2、应用时要注意把握两关： ①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 【注意】应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 即学即练 5．根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的性质进行解答即可； （2）根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， 不等式两边同时加上1，得； （2）解：， 不等式两边同时减去1，得， 不等式的两边同时乘，得． 题型01 不等式的识别 1. 依据定义判断：用 “＞、＜、≥、≤、≠”连接的式子是不等式； 2. 区分等式与代数式：含“=”是等式，无不等号的单项式、多项式是代数式 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26七年级下·上海虹口·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式是用不等号(，，，，)连接，表示不等关系的式子判断即可． 【详解】解：A、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； B、是代数式，不表示不等关系，故此选项错误； C、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； D、是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故此选项正确． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·安徽六安·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， 是代数式，不含不等号，不是不等式． B、，是用不等号连接的式子，符合不等式的定义． C、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． D、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． 故选B． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据不等式的定义：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式，逐一判断各个式子，进而统计符合条件的式子个数． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用不等号连接，是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 符合不等式定义的式子共有个． 32．（25-26八年级下·陕西渭南·月考）下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义判断各个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①使用不等号连接，是不等式． ②使用等号连接，是等式，不是不等式． ③使用不等号连接，是不等式． ④是多项式，没有不等号连接，不是不等式． 不等式共有个． 4．（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式． 而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式． ∴共有个不等式. 故选：B． 5．（25-26七年级下·吉林长春·月考）已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【答案】 ①②⑥ 【分析】根据不等式的定义，逐个判断所给式子，筛选出符合定义的式子即可． 【详解】解：不等式的定义为：用不等号连接的式子叫做不等式． ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是用等号连接的等式，不是不等式； ④ 是代数式，不是不等式； ⑤ 是用等号连接的等式，不是不等式； ⑥ 是用不等号连接的式子，是不等式， 故①②⑥是不等式． 题型02 用不等式表示不等关系 1. 抓关键词：不大于→≤、不小于→≥、正数→＞0、非正数→≤0； 2. 先列代数式，再按不等关系匹配对应不等号. 典｜例｜精｜析 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）“x的2倍”表示为，“与3的和”表示再加上3，即，“小于15”意味着该表达式的值比15小，用不等号“”连接，即可列出不等式； （2）“y的一半”表示为，“与1的差”表示减去1，即，“是负数”表示该表达式小于0，即可列出不等式； （3）“与1的和”表示为，“不小于6”意味着该不等式大于或等于6，用不等号“”连接，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·陕西西安·月考）用不等式表示“的2倍与3的差小于0”__________． 【答案】 【分析】先将的2倍与3的差表示为，再根据“小于0”的不等关系列出不等式即可． 【详解】解：“的2倍与3的差小于0”，用不等式表示为． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）用不等式表示：“不大于”是________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是理解“不大于”对应“”，即可列出不等式． 【详解】解：根据不大于， 列不等式为：， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·上海·月考）根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 【答案】 【分析】先将题目中的文字描述转化为代数式，再根据“不大于”的含义确定不等关系，即可写出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍可表示为． 的倍与的和可表示为． “不大于”的含义是小于或等于． 因此可得不等式 ． 4．（24-25七年级下·吉林长春·月考）用不等式表示“与的差是非负数”___________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是理解“非负数”的含义以及正确表示出“与的差”． 先表示出“与的差”再根据“非负数即大于等于0”列出不等式． 【详解】解：“与的差”用代数式表示为， 非负数是指大于等于0的数， 因为“与的差是非负数”， 所以可列不等式为． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查用不等式表示数学语句．需要根据语句中的关键词，如“负数”表示小于0、“比．．．大”表示大于、“不大于”表示小于或等于、“正数”表示大于0，选择正确的不等号进行表示． （1）“a是负数”意味着a小于0，即可列出不等式； （2）“x比大”意味着x大于，即可列出不等式； （3）“m与n的差”表示为，“不大于2”意味着该表达式小于或等于2，即可列出不等式； （4）“x与的差”表示为，即，“是正数”意味着该表达式大于0，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． （4）解：由题意，得，即． 题型03 不等式的解与不等式的解集 1. 解的判断：代入检验法，将数值代入不等式，成立即为解； 2. 区分概念：解是具体值，解集是取值范围，所有解都在解集内. 典｜例｜精｜析 【例题3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解． 把代入不等式，使不等式成立就是不等式的解，反之，则不是不等式的解． 【详解】解：A．当时，∵，∴不是不等式的解，故本选项符合题意； B．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； C．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； D．当时，∵ ，∴是不等式的解，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了不等式的解集和解，解题的关键是掌握二者的区别与联系． 根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析． 【详解】解：①是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ②是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ③不等式的解集是，说法正确，符合题意； 故答案为：①②③． 题型04 在数轴上表示不等式的解集 1. 定边界：含等号（≥、≤）画实心圆点，不含等号（＞、＜）画空心圆圈；2. 定方向：大于向右画，小于向左画. 典｜例｜精｜析 【例题4】如下图所示，在数轴上表示的解集，正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】试题解析：的解集在数轴上表示为： ． 故选B． 点睛：根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式的解集在数轴上表示出来，再判断答案． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为： 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式解集，正确掌握相关方法是解题的关键，根据不等式解集表示出即可． 【详解】解：将不等式的解集在数轴上表示为： 故选：A． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．根据不等式解集在数轴上的表示方法进行判断即可． 【详解】 解：不等式的解集在数轴上表示为． 故选：A． 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，注意端点是实心还是空心，以及表示方向即可． 【详解】 解：不等式的解集在数轴上表示， 故选：C． 5．下列在数轴上表示的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法：大于向右，小于向左，有等号画实心点，无等号画空心圈，进行判断即可．本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上表示的方法是正确解答的前提． 【详解】解：A选项表示，不符合题意； B选项表示，符合题意； C选项表示，不符合题意； D选项表示，不符合题意． 故选：B． 题型05 判断不等式的变形是否正确 1. 依据不等式 3 条性质逐步验证； 2. 关键：乘 / 除负数时，不等号必须变号；乘 / 除正数、加减数时不变号. 典｜例｜精｜析 【例题5】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据不等式的基本性质逐一判断各选项，不等式基本性质为：不等式两边加(或减)同一个整式，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：∵根据不等式性质1，两边同时减1，不等号方向不变 ∴，A错误． ∵，两边同时乘，不等号方向改变 ∴，B错误． ∵，两边同时乘正数，不等号方向不变 ∴，C正确． ∵，两边同时除以正数，不等号方向不变 ∴，D错误． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，，，， 故选项B错误． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质对各选项逐一判断，即可得到正确结论． 【详解】解：∵ ∴ 不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得 ，A正确； 不等式两边同乘，不等号方向改变，得，两边同时加1得 ，B错误； 不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得 ，C错误； 不等式两边同乘，不等号方向不变，得，两边同时加1得 ，D错误． 因此正确选项为A． 3．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如果，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐一判断选项即可．不等式性质为：不等式两边加(或减)同一个数(或整式) ，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、不等式两边同时减2，不等号方向不变，得．故A错误； B、不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，得．故B错误； C、不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得．故C正确； D、不等式两边先同时除以正数，得，再两边同时减，不等号方向不变，得．故D错误． 4．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）下列说法不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A．∵，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴，A说法正确． B．∵，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变， ∴，B说法正确． C．∵，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得， 不等式两边再同时减，不等号方向不变，可得， 与选项中不符，C说法不正确． D．∵，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变， ∴，D说法正确． 5．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果、、、都是负数，且，，那么 【答案】C 【分析】因为要判断每个选项的正误，所以需分别对每个选项运用不等式的基本性质或举反例验证．对于选项A，若要判断且时，是否成立，可通过举反例，比如选取具体数值代入验证关系是否成立．对于选项B，若，需考虑负数的情况，通过举反例判断是否恒成立．对于选项C，因为，根据不等式两边乘正数不等号方向不变的性质，推导和是否成立．对于选项D，因为、、、都是负数且，，根据不等式两边乘负数不等号方向改变的性质，推导和的大小关系，或举反例验证． 【详解】选项A：可举反例：，满足, ， 但， ∴A错误． 选项B：可举反例：，满足， 但，， ∴B错误． 选项C：已知，所有数均为正数： ∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得； ∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得； ∴， ∴C正确． 选项D：负数中，数值越大绝对值越小， 可举反例：， 满足条件， 但， ∴D错误 ． 题型06 利用不等式的性质比较大小 1. 直接用性质：乘负变号、乘正不变号、加减不变号； 2. 作差法：作差→变形→判断符号，差＞0 则前者大，差＜0 则后者大. 典｜例｜精｜析 【例题6】（25-26七年级下·上海·期中）如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质即可得到结论． 【详解】解：， ∴， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·广东佛山·月考）若，则____．（填，，或） 【答案】 【分析】不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．将不等式两边同时乘3，即可得到结果． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴；；． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）仿例：已知，试比较与a的大小． 方法一 解：因为，，所以． 方法二 解：因为，，所以，所以 根据仿例，请解答：已知，试比较与大小，用两种方法解答． 【答案】 ，方法见解析 【分析】本题使用两种方法比较大小，方法一利用不等式的基本性质推导结果，方法二利用作差法，通过判断差的正负得到大小关系． 【详解】解：方法一：， 不等式两边同乘以负数，不等号方向改变 ； 方法二： 计算两式的差 ． 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）（1）已知，比较与的大小． 解： ，且（已知）， ________（依据：________）， ________（依据：________）． （2）若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），不等式的性质2，，不等式的性质1；（2），理由见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形． （1）根据不等式的性质分析即可求解； （2）根据不等式的性质分析即可求解． 【详解】解：（1） ，且（已知）， （依据：不 等 式 的 性 质 2 ）， （依据：不 等 式 的 性 质 1）， 故答案为：，不等式的性质2，，不等式的性质1； （2），理由如下： ，且（已知）， （依据：不等式的性质3）， （依据：不等式的性质1）． 5．（25-26七年级上·安徽六安·月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法求解即可； （2）利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：， 因为， 则， 所以， 即， 所以． 6．（25-26八年级下·河南平顶山·月考）阅读与思考下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下面是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例1  已知，试比较与的大小． 解：∵，，∴．（依据1） ∴（依据2） 例2  已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是___________，“依据2”是___________； (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例2的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变； (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 【详解】（1）解：不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变； （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得：． 题型07 利用不等式的性质确定字母的取值范围 1. 看不等号方向是否改变：变号→系数＜0，不变号→系数 ＞0； 2. 解关于字母的一元一次不等式，得出取值范围. 典｜例｜精｜析 【例题7】已知不等式的解集是，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据不等式两边同时除以不等号的方向发生了改变，可知，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：，， 2．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）已知，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质, 根据题意，知在不等式的两边同时乘以后不等号方向不变，根据不等式的性质，得出，解此不等式即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， 则， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式解集的方向判断未知数系数的符号． 已知不等式的解集为，观察可知不等号方向发生了改变，根据不等式的基本性质（不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变），可判断未知数的系数为负数，进而求解m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， 又∵不等式两边同时除以同一个负数时，不等号的方向改变， ∴， 解得 ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）已知，，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 5．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的不等式，两边都除以，得． （1）a的取值范围是_______； （2）化简的结果为_______． 【答案】 / 【分析】（1）根据不等式的基本性质得出，求出a的取值范围即可； （2）根据得出，，再根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：（1）不等式两边除以后，不等号方向改变， ∴， 解得：． （2）， ∴，， ． 题型08 利用不等式的性质解简单不等式 1. 步骤：移项→合并同类项→化系数为 1； 2. 注意：化系数为 1 时，系数为负必须变号，系数为正不变号. 典｜例｜精｜析 【例题8】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）利用不等式的性质解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用不等式的性质解不等式． （1）根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，即可求解； （2）根据不等式的性质1，不等式两边减3，不等号的方向不变，得到，再根据不等式的性质3，不等式两边除以，不等号的方向改变，即可求解． 【详解】（1）解：根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变， 所以， 解得； （2）解：根据不等式的性质1，不等式两边减3，不等号的方向不变，所以 ， ， 根据不等式的性质3，不等式两边除以，不等号的方向改变，所以 ， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用不等式的基本性质解下列不等式，利用不等式的基本性质和不等式的基本性质2、3，进行求解即可． 【详解】（1）解：（不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质2）， 解得． （2）解： （不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质3）， 解得． 2．（25-26七年级下·全国·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式的变形，掌握移项、合并同类项的步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，将不等式化为形式，再系数化为； （2）先移项合并同类项，再系数化为； （3）移项合并同类项后，系数化为． 【详解】（1）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时减去，得， 两边同时减去，得， 两边同时除以，得． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键． （1）根据不等式的基本性质，在不等式两边同加上3即可； （2）根据不等式的基本性质，在不等式两边同减去即可； （3）根据不等式的基本性质，在不等式两边同乘以5即可； （4）根据不等式的基本性质，在不等式两边同除以，改变不等号的方向，据此求解即可． 【详解】（1）解：不等式两边同加上3，得， ； （2）解：不等式两边同减去，得， ； （3）解：不等式两边同乘以5，得， ； （4）解：不等式两边同除以，得， ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质1进行作答即可； （3）运用不等式的性质2进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了不等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据不等式的性质进行作答即可； （2）根据不等式的性质进行作答即可； （3）根据不等式的性质进行作答即可； （4）根据不等式的性质进行作答即可； （5）根据不等式的性质进行作答即可； （6）根据不等式的性质进行作答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型09 不等式在实际生活中的应用 1. 找关键条件：如 “不超过”“不少于”“限制” 等； 2. 列不等式→解不等式→结合实际意义检验解集. 典｜例｜精｜析 【例题9】（24-25七年级下·全国·课后作业）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案． 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）如下是南昌市2024年某一天的天气情况，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） 日期：2024年6月1日  星期六 天气：雨~多云 最高气温： 最低气温： 风向：北风3级 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，解题的关键是抓住关键词，正确理解最高和最低的含义．最高气温是，即气温小于或等于，最低气温是，即气温大于或等于，据此写出即可． 【详解】解：最高气温是，即气温小于或等于，最低气温是，即气温大于或等于，当天某一时刻的气温为，则的变化范围是 故选：D． 2．（24-25七年级下·河南开封·月考）某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________． 【答案】 【分析】根据题意，将实际问题中的气温变化范围转化为不等式表示即可得到答案． 【详解】解：由题意得当天气温（℃）的变化范围是． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (2)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列不等式． （1）根据蛋白质含量不低于净重的列出不等式即可． （2）根据七年级学生人数比八年级的2倍还要多列出不等式即可 【详解】（1）解：根据题意可知蛋白质含量 （2）解：根据题意可知： 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）果农通过网络直播宣传，使物美价廉的水果畅销全国各地粉丝小级想在直播间购买凤梨和山竹，凤梨每箱元，山竹每箱元，．为了方便快递，直播间要求一单需买两箱，且整箱购买．小级决定在直播间下一单． (1)若小级一单买了箱凤梨，则需花费______元；若他一单买了凤梨和山竹各箱，则需花费 ______元． (2)比较与的大小，并用不等式的基本性质说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，不等式的性质． （1）根据题意列代数式即可； （2）利用不等式的性质即可求得答案． 【详解】（1）由题意得元，元， 故答案为：，； （2），理由如下： ， ， ， ． 5．（24-25七年级下·云南昆明·期中）阅读下列材料，回答问题 两个数的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么： 当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 因此，比较两个量的大小，可以先求它们的差，再根据差的正负，判断两个量的大小． (1)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用7块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用8块B型钢板；A型钢板的面积比B型钢板的面积大，设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ (2)试比较图1和图2中两个矩形周长的大小． 【答案】(1)从省料角度考虑，应选方案二 (2)当时，图1的周长大于图2的周长；当时，图1的周长等于图2的周长；当时，图1的周长小于图2的周边 【分析】本题主要考查代数式的运用，不等式的性质，理解材料提示的计算方法，不等式的性质是关键． （1）设A型钢板的面积为，B型钢板的面积为，且，分别表示出各自的面积，根据材料提示方法求解即可． （2）根据图示得到周长，根据材料图示方法比较即可． 【详解】（1）解：设A型钢板的面积为，B型钢板的面积为，且， ∴方案一的产品的面积为：，方案二的产品的面积为：， ∴， ∵， ∴， ∴方案二的面积小， ∴从省料角度考虑，应选方案二； （2）解：图1的周长为：，图2的周长为：， ∴ ， 当时，图1的周长大于图2的周长， 当时，图1的周长等于图2的周长， 当时，图1的周长小于图2的周边． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 11.1 不等式 知识点一 不等式的定义 ★不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 【注意】 1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2、不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应. 即学即练 1．下列数学表达式中是不等式的是（） A． B． C． D．0 知识点二 不等式的解（解集）与解不等式 ★1、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 【注意】一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个. ★2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． 【注意】不等式的解集必须符合两个条件：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在该解集中. ★3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式． ★4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． ★5、在数轴上表示不等式的解集： 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： （1）定边界点：在数轴上要标出原点和边界点,有等号边界点画实心圆点(表示包括这一点),无等号边界点 画空心圆圈(表示不包括这一点). （2）定方向：大于向右，小于向左. ★6、不等式解集的验证方法: 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 即学即练 2．下列实数中，是的解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 知识点三 不等式的性质 ★1、不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±c＞b±c； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或； ★2、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． ★3、不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c． 即学即练 4．已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点四 解简单的不等式 ★1、利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式转化． ★2、应用时要注意把握两关： ①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 【注意】应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 即学即练 5．根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 题型01 不等式的识别 1. 依据定义判断：用 “＞、＜、≥、≤、≠”连接的式子是不等式； 2. 区分等式与代数式：含“=”是等式，无不等号的单项式、多项式是代数式 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26七年级下·上海虹口·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·安徽六安·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 32．（25-26八年级下·陕西渭南·月考）下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（25-26七年级下·吉林长春·月考）已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 题型02 用不等式表示不等关系 1. 抓关键词：不大于→≤、不小于→≥、正数→＞0、非正数→≤0； 2. 先列代数式，再按不等关系匹配对应不等号. 典｜例｜精｜析 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·陕西西安·月考）用不等式表示“的2倍与3的差小于0”__________． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）用不等式表示：“不大于”是________． 3．（25-26七年级下·上海·月考）根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 4．（24-25七年级下·吉林长春·月考）用不等式表示“与的差是非负数”___________． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 题型03 不等式的解与不等式的解集 1. 解的判断：代入检验法，将数值代入不等式，成立即为解； 2. 区分概念：解是具体值，解集是取值范围，所有解都在解集内. 典｜例｜精｜析 【例题3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 题型04 在数轴上表示不等式的解集 1. 定边界：含等号（≥、≤）画实心圆点，不含等号（＞、＜）画空心圆圈；2. 定方向：大于向右画，小于向左画. 典｜例｜精｜析 【例题4】如下图所示，在数轴上表示的解集，正确的是（　　） A．B．C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C． D． 5．下列在数轴上表示的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05 判断不等式的变形是否正确 1. 依据不等式 3 条性质逐步验证； 2. 关键：乘 / 除负数时，不等号必须变号；乘 / 除正数、加减数时不变号. 典｜例｜精｜析 【例题5】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如果，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）下列说法不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果、、、都是负数，且，，那么 题型06 利用不等式的性质比较大小 1. 直接用性质：乘负变号、乘正不变号、加减不变号； 2. 作差法：作差→变形→判断符号，差＞0 则前者大，差＜0 则后者大. 典｜例｜精｜析 【例题6】（25-26七年级下·上海·期中）如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·广东佛山·月考）若，则____．（填，，或） 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）仿例：已知，试比较与a的大小． 方法一 解：因为，，所以． 方法二 解：因为，，所以，所以 根据仿例，请解答：已知，试比较与大小，用两种方法解答． 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）（1）已知，比较与的大小． 解： ，且（已知）， ________（依据：________）， ________（依据：________）． （2）若，比较与的大小，并说明理由． 5．（25-26七年级上·安徽六安·月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 6．（25-26八年级下·河南平顶山·月考）阅读与思考下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下面是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例1  已知，试比较与的大小． 解：∵，，∴．（依据1） ∴（依据2） 例2  已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是___________，“依据2”是___________； (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例2的推理过程，比较与的大小关系． 题型07 利用不等式的性质确定字母的取值范围 1. 看不等号方向是否改变：变号→系数＜0，不变号→系数 ＞0； 2. 解关于字母的一元一次不等式，得出取值范围. 典｜例｜精｜析 【例题7】已知不等式的解集是，则的取值范围是_______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，，则a的取值范围是________． 2．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）已知，若，则的取值范围是______． 3．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为______． 4．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）已知，，求的取值范围． 5．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的不等式，两边都除以，得． （1）a的取值范围是_______； （2）化简的结果为_______． 题型08 利用不等式的性质解简单不等式 1. 步骤：移项→合并同类项→化系数为 1； 2. 注意：化系数为 1 时，系数为负必须变号，系数为正不变号. 典｜例｜精｜析 【例题8】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）利用不等式的性质解不等式： (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 2．（25-26七年级下·全国·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型09 不等式在实际生活中的应用 1. 找关键条件：如 “不超过”“不少于”“限制” 等； 2. 列不等式→解不等式→结合实际意义检验解集. 典｜例｜精｜析 【例题9】（24-25七年级下·全国·课后作业）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）如下是南昌市2024年某一天的天气情况，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） 日期：2024年6月1日  星期六 天气：雨~多云 最高气温： 最低气温： 风向：北风3级 A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南开封·月考）某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (2)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）果农通过网络直播宣传，使物美价廉的水果畅销全国各地粉丝小级想在直播间购买凤梨和山竹，凤梨每箱元，山竹每箱元，．为了方便快递，直播间要求一单需买两箱，且整箱购买．小级决定在直播间下一单． (1)若小级一单买了箱凤梨，则需花费______元；若他一单买了凤梨和山竹各箱，则需花费 ______元． (2)比较与的大小，并用不等式的基本性质说明理由． 5．（24-25七年级下·云南昆明·期中）阅读下列材料，回答问题 两个数的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么： 当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 因此，比较两个量的大小，可以先求它们的差，再根据差的正负，判断两个量的大小． (1)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用7块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用8块B型钢板；A型钢板的面积比B型钢板的面积大，设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ (2)试比较图1和图2中两个矩形周长的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $