11.1不等式（3知识点+3题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（人教版）

11.1不等式 （3知识点+3题型+过关检测） 【题型1 不等式的定义】 3 【题型2 不等式的解集】 5 【题型3 不等式的性质】 7 1. 理解不等式的定义，能准确识别不等式，区分不等式与等式、代数式，掌握常用不等号（>、<、≥、≤、≠）的含义及用法。 2. 理解不等式的解、解集的概念，能判断一个数是否为不等式的解，掌握不等式解集的两种表示方法（文字表示、数轴表示），牢记数轴表示的核心口诀。 3. 掌握不等式的三条基本性质，能准确区分不等式性质与等式性质的异同，重点突破“乘除负数变号”的易错点，能运用性质对不等式进行简单变形。 4. 能运用不等式的定义、解集、性质解决基础题型，培养数形结合的思维，为后续学习一元一次不等式（组）奠定基础。 03 知识•梳理 知识点1：不等式的定义 1. 定义：用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示两个数或代数式之间不等关系的式子，叫做不等式。 2. 常用不等号及含义： · >;：大于（如a>b，表示a比b大）； · <：小于（如a<b，表示a比b小）； · ≥：大于或等于（即“不小于”，如a≥b，表示a比b大或a与b相等）； · ≤：小于或等于（即“不大于”，如a≤b，表示a比b小或a与b相等）； · ≠：不等于（如a≠b，表示a与b不相等）。 3. 注意事项： · 不等式中必须含有不等号，不含不等号的式子（如代数式、等式）不是不等式； · 不等式可以含有未知数，也可以不含未知数（如-1<2、5≥3）； · “≥”和“≤”包含“相等”的情况，解题时需注意是否包含等号对应的数值。 知识点2：不等式的解集 1. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个不等式可能有无数个解，也可能有有限个解，还可能没有解。 示例：不等式x+1>3中，x=3、x=4、x=5……都是它的解，而x=2、x=1则不是。 2. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。解集是一个范围，而不是单个或几个具体的数。 3. 解集的表示方法： · 文字表示：如“x大于5”“x小于或等于3”； · 数轴表示（中考必考）：牢记“方向看大小，端点看等号”口诀。 · 大于向右画，小于向左画； · 包含等号（≥、≤），端点画实心圆点；不包含等号（>、<），端点画空心圆圈。 4. 注意事项：解集是所有解的集合，单个解不能称为解集；数轴表示时，方向和端点类型不能混淆。 知识点3：不等式的性质 不等式的三条基本性质（类比等式性质，重点关注区别）： 1. 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 2. 符号表示：如果a>b，那么a±c>b±c（c为任意数或式子）。 3. 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 4. 符号表示：如果a>b，c>0，那么ac>bc（或）。 5. 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（核心易错点）。 6. 符号表示：如果a>b，c<0，那么ac<bc（或）。 注意事项： · 性质3是重点，乘除负数时，必须改变不等号方向，否则会出错； · 等式两边乘除0仍为等式，但不等式两边乘除0，不等关系会变成相等关系，因此不等式两边不能乘除0； · 运用性质变形时，要保证两边同时进行相同的操作，不能只对一边变形。 04 题型•汇总 【题型1 不等式的定义】 核心考点：识别不等式、区分不等式与代数式/等式、根据文字描述列不等式。 解题思路：1. 识别不等式：判断式子是否含有不等号，不含不等号的代数式、含等号的等式均不是不等式；2. 区分三者：明确等式含等号、代数式不含不等号，仅含不等号的式子为不等式；3. 列不等式：先将文字描述转化为代数式，再根据关键词（小于、非负数、不大于等）确定对应不等号，组合成不等式。 【典例1】．下列数学表达式中是不等式的是（） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A．是用等号连接的等式，不符合不等式定义， 选项B．是代数式，未用不等号表示不等关系，不是不等式， 选项C．是用小于号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义， 选项D．是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 【变式1】．“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 “非负数”就是，按题干描述逐步列式即可得到结果． 【详解】解：∵的可表示为， 的与的差可表示为． 又∵非负数是指大于或等于的数， ∴列出不等式为． 【变式2】．式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据不等式的定义：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式，逐一判断各个式子，进而统计符合条件的式子个数． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用不等号连接，是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 符合不等式定义的式子共有个． 【变式3】．用不等式表示“的2倍与3的差小于0”__________． 【答案】 【分析】先将的2倍与3的差表示为，再根据“小于0”的不等关系列出不等式即可． 【详解】解：“的2倍与3的差小于0”，用不等式表示为． 【变式4】．根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 【答案】 【分析】先将题目中的文字描述转化为代数式，再根据“不大于”的含义确定不等关系，即可写出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍可表示为． 的倍与的和可表示为． “不大于”的含义是小于或等于． 因此可得不等式 ． 【变式5】．用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 【题型2 不等式的解集】 核心考点：判断不等式的解、理解解集的含义、用数轴表示解集、根据解集判断取值范围。 解题思路：1. 判断不等式的解：将数值代入不等式，验证不等式是否成立，成立则为解；2. 理解解集：明确解集是所有解的集合，而非单个数值；3. 数轴表示解集：遵循“方向看大小，端点看等号”，含等号画实心圆点、不含等号画空心圆圈，大于向右画、小于向左画；4. 根据解集判断取值范围：判断选项中数值或范围是否全部符合解集要求，可通过举反例排除错误选项。 【典例2】．若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案． 【详解】解：选项A：不等式为，不成立，故A错误； 选项B：不等式为，成立，故B正确； 选项C：不等式为，不成立，故C错误； 选项D：不等式为，不成立，故D错误． 【变式1】．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不包含2，在数轴上点2为空心；小于2，划线方向是左侧； ，包含，点为实心，向右侧； 故选A． 【变式2】．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格中的数据，根据时邮资为元即可求解，看懂表格是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当信件质量满足时，邮资为元， ∴此平信的质量可能为克， 故选：． 【变式3】．能说明命题“若，则”是假命题的实数的一个值为___． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：“若，则”是假命题，则， 即， ， 当时，只要即可， 解得， 只要取中任意一个数即可， 则（答案不唯一）． 【变式4】．若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】由数轴可知，左边端点是空心圆，右边端点是实心点，所以不等式的解集是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集是． 【变式5】．已知点在第一象限，且到轴的距离为，求点到轴的距离． 【答案】14 【分析】本题主要考查点所在的象限，点到坐标轴的距离，不等式求解集，掌握平面直角坐标系象限的特点，点到轴的距离的计算是解题的关键． 根据点所在象限得到，由此求出的取值，再根据到轴的距离为，得到点的坐标，根据点到横轴的距离为，到纵轴的距离为，由此即可求解． 【详解】解：点在第一象限， ∴， 解得，， ∵点到轴的距离为， ∴， 解得，， ∴， ∴点到轴的距离为． 【题型3 不等式的性质】 核心考点：运用不等式性质判断变形是否正确、根据性质变形不等式、利用性质比较大小。 解题思路：1. 判断变形正确性：根据不等式三条性质逐一分析，重点关注性质3（乘除负数需改变不等号方向），排除变形错误的情况；2. 变形不等式：以已知不等式为基础，每一步严格遵循对应性质，乘除负数时务必改变不等号方向，逐步推导目标式子的取值范围；3. 比较大小：结合不等式性质，可通过举反例、性质变形、判断特殊值等方式，筛选出正确结论。 【典例3】．如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、∵， ∴，该选项不等式正确，符合题意； 、∵， ∴ ，该选项不等式错误，不符合题意； 、∵， ∴ ，该选项不等式错误，不符合题意； 、∵， ∴ ，该选项不等式错误，不符合题意． 【变式1】．已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质逐一变形即可判断各选项． 【详解】解：已知 ，移项可得，∴A正确； 对两边同乘，得 ，移项得 ，与 矛盾，∴B错误； 对，两边同除以，不等号方向改变，得 ，与C选项一致，∴C正确； 对，展开得，两边加得，与已知条件一致，∴D正确． 【变式2】．已知实数，，满足：，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据得出，代入得出，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．已知，其中m为正整数，则m的值为____． 【答案】4 【分析】先估算出的取值范围，再推出的取值范围，结合已知条件即可确定正整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即， 又∵ ，且为正整数， ∴． 【变式4】．若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 【答案】 不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 【详解】解：∵， ∴， 推理的依据是：不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【变式5】．在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小： (1)设，，试比较与的大小． 以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整． 因为， 所以______．（填“”，“”，“”） 又因为， 所以______． 所以． (2)设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析． 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 05 过关•检测 1．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可，注意特殊值的情况． 【详解】解：A、∵，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，∴，故A错误； B、∵，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴，故B正确； C、当时，，，此时，故不等式不一定成立，C错误； D、∵，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，∴，故D错误． 2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加法判断A；根据绝对值的意义判断B；根据不等式的性质判断C；根据数轴上两点间的距离判断D即可． 【详解】解：如图可知：，，故选项B的结论不正确； ∴，故选项A的结论不正确； ∵， ∴，故选项C的结论不正确； ∵， ∴实数在数轴上的对应点到在数轴上的对应点的距离大于实数在数轴上的对应点到在数轴上的对应点的距离， 即，故选项D的结论正确． 3．若，则下列式子正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于A：不等式两边同乘以一个负数，不等号会改变，因此，故A错误； 对于B：不等式两边同乘以一个正数，不等号不变，因此，故B错误； 对于C：由两边同乘以得，再同加上，得，故C错误； 对于D：不等式两边同减去一个数，不等号不变，因此，故D正确． 4．下列说法错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】运用等式的基本性质、不等式的基本性质，逐一判断选项即可得到错误说法。 【详解】对选项A： ∵ ，根据等式的基本性质，等式两边同乘再加，等式仍然成立 ∴ ，A正确． 对选项B： 当时，无论取何值，都满足，因此由不能推出，B错误． 对选项C： ∵ ，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变 ∴ ，C正确． 对选项D： ∵ ， ∴ ，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变 ∴ ，D正确． 5．如图，实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，其中．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置确定的大小关系，结合得出互为相反数，进而逐一判断选项即可． 【详解】解：由数轴可知：， ， 互为相反数，即， ， ， A、， ，故结论正确，A错误； B、，， ，故结论正确，B错误； C、， ， 又， ，故结论正确，C错误； D、， ， ， ． 两个负数比较大小，绝对值大的反而小， ，即，故结论错误，D正确． 6．下列说法中正确的有（    ） ①两点之间，直线最短；②直线外一点到已知直线的垂线段就是这个点到已知直线的距离；③若，则a和b互为相反数；④的平方根是；⑤无理数是无限小数；⑥垂直于同一直线的两条直线互相平行；⑦过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑧若，则． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：①两点之间线段最短，不是直线最短，故①错误； ②直线外一点到已知直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，不是垂线段本身，故②错误； ③根据相反数的定义，若，则互为相反数，故③正确； ④，的平方根是，不是，故④错误； ⑤无理数是无限不循环小数，因此无理数属于无限小数，故⑤正确； ⑥只有在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线才互相平行，缺少前提条件，故⑥错误； ⑦只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，缺少限定条件，故⑦错误； ⑧， ， 不等式两边同乘正数，不等号方向不变，可得，故⑧正确； 综上，正确的说法共个． 7．在平面直角坐标系中，对于任意两点和，若点满足，，则称点是点、的“关联点”．下列说法错误的是（    ） A．已知点，，则点、的“关联点”的坐标为 B．已知点，，则点、的“关联点”一定在轴上 C．已知点，，则点、的“关联点”在第三象限 D．已知点，，点在函数图像上，点为点、的“关联点”，则点的纵坐标不可能是 【答案】C 【分析】根据“关联点”的定义，计算各选项中关联点的坐标特征，再判断对应说法的正误，找出错误选项； 【详解】解：由题意，对和，关联点满足，，逐一判断： A：，，，，，，即，A说法正确； B：，，，，，点纵坐标为，一定在轴上，B说法正确； C：，，，，，，，第三象限点的纵坐标小于，因此点不可能在第三象限，C说法错误； D：点在上，，，，因此不可能是，D说法正确． 8．若，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，由不等式的性质可得，则可证明，再证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 9．比较大小：____________；___________ ，(填“”“”“”） 【答案】 【分析】利用平方法比较①，两个正数比较大小，平方较大的数更大；利用作差法比较②． 【详解】解：①比较与的大小： ∵，，，且，， ∴； ②比较与的大小： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【详解】举例，如，，符合题意． 11．若正整数，，满足，，则称 为“好数组”，好数组共有 ______个． 【答案】3 【分析】此题考查了不等式的性质和解一元一次方程． 求出或2，分两种情况：①当时，或2或3或4或5或6，②当时，或3，分别进行解答即可． 【详解】解：，， ， ，，为正整数， ， 又， 或2 ①当时，或2或3或4或5或6， 当，时，，解得：，不合题意，舍去； 当，时，，整理得：，故不存在； 当，时，，解得：， 故得“好数组”为； 当，时，， 解得：， 故得“好数组”为， 当，时，，解得：，不合题意，舍去； 当，时，，解得：，不合题意，舍去； ②当时，或3，当，时，， 解得：，故得“好数组”为． 当，时，， 解得：，不合题意，舍去． 综上所述：“好数组”，，为，，，共3个． 故答案为：3 12．实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则_______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴判断字母的大小，不等式的性质．先求出a，b的大小，再不等式两边都除以即可． 【详解】由数轴可知，， 则， 两边都除以得，即． 故答案为：． 13．关于，的方程组，用含的式子表示______，若，令，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到即关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围． 先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围． 【详解】解：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 两边同时除以，得到， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 的取值范围是． 故答案为：，． 14．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有_____个． ①；②；③；④若，且，则或 【答案】1 【分析】本题主要考查新定义，不等式的性质，有理数的运算等知识点，理解新定义成为解题的关键．根据新定义、有理数的整数部分可判断①、②和③；根据，且，求出或即可判断④． 【详解】解：由题可知： ，， 故①正确；②③错误； 由，则或， 当时，，； 当时，，； 所以④错误． 所以正确的只有①，即1个． 故答案为：． 15．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志计划制作一面如图所示圆形团扇，他想从一张面积为，宽与长之比为的长方形画纸中裁剪出所需要的圆形． (1)求出该长方形纸片的长与宽； (2)若所需圆形画纸的面积为，他的想法可行吗? 【答案】(1)长为，宽为 (2)小志的想法可行，理由见解析 【分析】（1）设该长方形的宽为，长为，根据题意列方程，利用算术平方根即可解答； （2）计算出圆形画纸的直径，再与长方形的宽作比较即可． 【详解】（1）解：设该长方形的宽为，长为， 则可得， 解得（负数舍去）； ， 答：该长方形纸片的长为，宽为； （2）解：小志的想法可行，理由如下： 可得圆形画纸的半径为， 则圆形画纸的直径为， ， ， ， ∴小志可以裁剪出所需要的圆形画纸，即他的想法可行． 16．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； （）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再根据不等式性质求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； 本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由①②得：， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由不等式性质，②乘得③， ①乘得④， ③④，得， ∴的取值范围是． 17．代数推理．下面是华师版七年级下册数学教材中的部分内容． 例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么； 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由①②，可得． (1)请类比以上推理，利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果a、b、c、d都是正数，、且，那么； (2)根据上述性质解决问题： ①若，，则的取值范围是________； ②若y是正数，且，，则________0．（填“”，“”或“”） 【答案】(1)见详解 (2)①② 【分析】（1）由不等式的基本性质得，，即可得证； （2）：①由（1）得，即可求解； ②由不等式的基本性质得，，即可得证． 【详解】（1）解：a、b、c、d都是正数，、且， ，， ； （2）解：①由题意得， ； ②y是正数，且，， ，， ， ． 18．阅读与思考下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下面是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例1  已知，试比较与的大小． 解：∵，，∴．（依据1） ∴（依据2） 例2  已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是___________，“依据2”是___________； (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例2的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变； (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 【详解】（1）解：不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变； （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1不等式 （3知识点+3题型+过关检测） 【题型1 不等式的定义】 3 【题型2 不等式的解集】 3 【题型3 不等式的性质】 4 1. 理解不等式的定义，能准确识别不等式，区分不等式与等式、代数式，掌握常用不等号（>、<、≥、≤、≠）的含义及用法。 2. 理解不等式的解、解集的概念，能判断一个数是否为不等式的解，掌握不等式解集的两种表示方法（文字表示、数轴表示），牢记数轴表示的核心口诀。 3. 掌握不等式的三条基本性质，能准确区分不等式性质与等式性质的异同，重点突破“乘除负数变号”的易错点，能运用性质对不等式进行简单变形。 4. 能运用不等式的定义、解集、性质解决基础题型，培养数形结合的思维，为后续学习一元一次不等式（组）奠定基础。 03 知识•梳理 知识点1：不等式的定义 1. 定义：用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示两个数或代数式之间不等关系的式子，叫做不等式。 2. 常用不等号及含义： · >;：大于（如a>b，表示a比b大）； · <：小于（如a<b，表示a比b小）； · ≥：大于或等于（即“不小于”，如a≥b，表示a比b大或a与b相等）； · ≤：小于或等于（即“不大于”，如a≤b，表示a比b小或a与b相等）； · ≠：不等于（如a≠b，表示a与b不相等）。 3. 注意事项： · 不等式中必须含有不等号，不含不等号的式子（如代数式、等式）不是不等式； · 不等式可以含有未知数，也可以不含未知数（如-1<2、5≥3）； · “≥”和“≤”包含“相等”的情况，解题时需注意是否包含等号对应的数值。 知识点2：不等式的解集 1. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个不等式可能有无数个解，也可能有有限个解，还可能没有解。 示例：不等式x+1>3中，x=3、x=4、x=5……都是它的解，而x=2、x=1则不是。 2. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。解集是一个范围，而不是单个或几个具体的数。 3. 解集的表示方法： · 文字表示：如“x大于5”“x小于或等于3”； · 数轴表示（中考必考）：牢记“方向看大小，端点看等号”口诀。 · 大于向右画，小于向左画； · 包含等号（≥、≤），端点画实心圆点；不包含等号（>、<），端点画空心圆圈。 4. 注意事项：解集是所有解的集合，单个解不能称为解集；数轴表示时，方向和端点类型不能混淆。 知识点3：不等式的性质 不等式的三条基本性质（类比等式性质，重点关注区别）： 1. 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 2. 符号表示：如果a>b，那么a±c>b±c（c为任意数或式子）。 3. 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 4. 符号表示：如果a>b，c>0，那么ac>bc（或）。 5. 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（核心易错点）。 6. 符号表示：如果a>b，c<0，那么ac<bc（或）。 注意事项： · 性质3是重点，乘除负数时，必须改变不等号方向，否则会出错； · 等式两边乘除0仍为等式，但不等式两边乘除0，不等关系会变成相等关系，因此不等式两边不能乘除0； · 运用性质变形时，要保证两边同时进行相同的操作，不能只对一边变形。 04 题型•汇总 【题型1 不等式的定义】 核心考点：识别不等式、区分不等式与代数式/等式、根据文字描述列不等式。 解题思路：1. 识别不等式：判断式子是否含有不等号，不含不等号的代数式、含等号的等式均不是不等式；2. 区分三者：明确等式含等号、代数式不含不等号，仅含不等号的式子为不等式；3. 列不等式：先将文字描述转化为代数式，再根据关键词（小于、非负数、不大于等）确定对应不等号，组合成不等式。 【典例1】．下列数学表达式中是不等式的是（） A． B． C． D．0 【变式1】．“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】．用不等式表示“的2倍与3的差小于0”__________． 【变式4】．根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 【变式5】．用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【题型2 不等式的解集】 核心考点：判断不等式的解、理解解集的含义、用数轴表示解集、根据解集判断取值范围。 解题思路：1. 判断不等式的解：将数值代入不等式，验证不等式是否成立，成立则为解；2. 理解解集：明确解集是所有解的集合，而非单个数值；3. 数轴表示解集：遵循“方向看大小，端点看等号”，含等号画实心圆点、不含等号画空心圆圈，大于向右画、小于向左画；4. 根据解集判断取值范围：判断选项中数值或范围是否全部符合解集要求，可通过举反例排除错误选项。 【典例2】．若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【变式3】．能说明命题“若，则”是假命题的实数的一个值为___． 【变式4】．若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 【变式5】．已知点在第一象限，且到轴的距离为，求点到轴的距离． 【题型3 不等式的性质】 核心考点：运用不等式性质判断变形是否正确、根据性质变形不等式、利用性质比较大小。 解题思路：1. 判断变形正确性：根据不等式三条性质逐一分析，重点关注性质3（乘除负数需改变不等号方向），排除变形错误的情况；2. 变形不等式：以已知不等式为基础，每一步严格遵循对应性质，乘除负数时务必改变不等号方向，逐步推导目标式子的取值范围；3. 比较大小：结合不等式性质，可通过举反例、性质变形、判断特殊值等方式，筛选出正确结论。 【典例3】．如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知实数，，满足：，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式3】．已知，其中m为正整数，则m的值为____． 【变式4】．若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 【变式5】．在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小： (1)设，，试比较与的大小． 以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整． 因为， 所以______．（填“”，“”，“”） 又因为， 所以______． 所以． (2)设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由． 05 过关•检测 1．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列式子正确的是（　　）． A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如图，实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，其中．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法中正确的有（    ） ①两点之间，直线最短；②直线外一点到已知直线的垂线段就是这个点到已知直线的距离；③若，则a和b互为相反数；④的平方根是；⑤无理数是无限小数；⑥垂直于同一直线的两条直线互相平行；⑦过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑧若，则． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．在平面直角坐标系中，对于任意两点和，若点满足，，则称点是点、的“关联点”．下列说法错误的是（    ） A．已知点，，则点、的“关联点”的坐标为 B．已知点，，则点、的“关联点”一定在轴上 C．已知点，，则点、的“关联点”在第三象限 D．已知点，，点在函数图像上，点为点、的“关联点”，则点的纵坐标不可能是 8．若，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．比较大小：____________；___________ ，(填“”“”“”） 10．请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 11．若正整数，，满足，，则称 为“好数组”，好数组共有 ______个． 12．实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则_______（填“”“”或“”）． 13．关于，的方程组，用含的式子表示______，若，令，则的取值范围是______． 14．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有_____个． ①；②；③；④若，且，则或 15．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志计划制作一面如图所示圆形团扇，他想从一张面积为，宽与长之比为的长方形画纸中裁剪出所需要的圆形． (1)求出该长方形纸片的长与宽； (2)若所需圆形画纸的面积为，他的想法可行吗? 16．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 17．代数推理．下面是华师版七年级下册数学教材中的部分内容． 例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么； 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由①②，可得． (1)请类比以上推理，利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果a、b、c、d都是正数，、且，那么； (2)根据上述性质解决问题： ①若，，则的取值范围是________； ②若y是正数，且，，则________0．（填“”，“”或“”） 18．阅读与思考下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下面是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例1  已知，试比较与的大小． 解：∵，，∴．（依据1） ∴（依据2） 例2  已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是___________，“依据2”是___________； (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例2的推理过程，比较与的大小关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $