专题11.1 不等式（知识梳理+三大考点讲练+真题演练+分层训练 共34题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦不等式核心知识点，先系统梳理不等式的定义、解与解集及数轴表示，明确易错点，再阐述不等式的三个基本性质，构建从概念到性质的学习支架，为后续应用夯实基础。 资料以“知识梳理-考点讲练-真题演练-分层训练”为框架，典例与变式结合（如不等式定义的实际表述），中考真题强化推理意识，分层训练兼顾基础与创新（如“倍和数”问题），助力课中教学与课后查漏，提升学生抽象能力与应用意识。

2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题11.1 不等式『第十一章 不等式与不等式组』 （原卷版） 【人教版七下●新教材】 1 知识点一 不等式及其解集 1 知识点二 不等式的基本性质 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 不等式的定义 2 考点讲练二 不等式的解集 2 考点讲练三 不等式的性质 2 中考真题 实战演练 3 难度分层 闯关训练 3 基础夯实 能力提升 3 创新拓展 拔尖冲刺 5 知识点一 不等式及其解集 ①不等式：用不等号(包括：>、、、<、≠)表示大小关系的式子。 ②不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。 ③不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况： 不等式表示 数轴表示 【易错点拨】 （1）不等式的解与不等式的解集的区别与联系： ①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。 ②不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。 ③不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。 （2）用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点。 知识点二 不等式的基本性质 基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即 若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。 基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 考点讲练一 不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·上海·月考）根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南南阳·月考）给出下列5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练2】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）“a的9倍与b的的和是正数”可表示为______． 考点讲练二 不等式的解集 【典例分析】（2024七年级·江苏无锡·竞赛）的值一定（    ） A．大于 B．不大于 C．小于 D．不小于 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）的最小整数解是，的最大整数解是，则的值为_____． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练三 不等式的性质 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·福建福州·期中）设，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【真题演练1】（2024·北京朝阳·中考真题）下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【真题演练2】（2024·上海·中考真题）如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a，b．如果，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【真题演练3】（2024·山东青岛·中考真题）如果的解集为，则的取值范围是______． 【真题演练4】（2024·广东广州·中考真题）关于，的方程组，用含的式子表示______，若，令，则的取值范围是______． 【真题演练5】（2024·福建泉州·中考真题）已知：a、b、m、n四个数中，， (1)比较与的大小； (2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 基础夯实 能力提升 1．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆垫江·月考）下列说法中正确的有（    ） ①两点之间，直线最短；②直线外一点到已知直线的垂线段就是这个点到已知直线的距离；③若，则a和b互为相反数；④的平方根是；⑤无理数是无限小数；⑥垂直于同一直线的两条直线互相平行；⑦过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑧若，则． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．（25-26七年级下·福建厦门·期中）比较大小：（1）4________    （2）________． 5．（25-26七年级下·北京西城·期中）已知分别是的整数部分和小数部分，则_____． 6．（24-25七年级下·江苏南通·期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是_____（填写正确结论的序号）． ； 的最大值是； 的最小值是；存在实数，使成立． 7．（2026·重庆北碚·模拟预测）若n为整数，且满足，则n的值为________． 8．（25-26七年级下·江西赣州·期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志计划制作一面如图所示圆形团扇，他想从一张面积为，宽与长之比为的长方形画纸中裁剪出所需要的圆形． (1)求出该长方形纸片的长与宽； (2)若所需圆形画纸的面积为，他的想法可行吗? 9．（25-26七年级下·江苏南通·期中）按要求完成以下问题 (1)一个长方形纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长比正方形纸片周长的倍少，求这个长方形纸片的长，宽各是多少？ (2)小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大，请写出一个这样的两位数． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26七年级下·重庆渝北·期中）是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023七年级下·全国·竞赛）十五个整数，，，…，依次排列在数轴上．这些整数呈等距排列，并且具有以下特性，，． 问的各位数字之和是多少？ A．8 B．9 C．10 D．11 E．12 3．（2024·安徽亳州·二模）已知两个非负实数满足，，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·开学考试）成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有万吨石头，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，以此类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运吨石头．如果愚公是第1代，那么到第_______代，这座大山可以搬完． 5．（2025·重庆·一模）如果一个四位数满足，，那么称这个四位数为“国庆数”．将“国庆数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如：四位数，∵，∴不是“国庆数”；又如：四位数，∵，，∴是“国庆数”，．若是最大的“国庆数”，则________；对于“国庆数”，若能被整除，记，当取得最大值时，最小的“国庆数”为________． 6．（24-25七年级下·重庆·期中）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数．若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则_____，若“倍和数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值与最小值的和为_____． 7．（24-25七年级下·重庆·期末）已知一个四位自然数N，它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和对称数”，将这个四位自然数N的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到，规定．例如：，，4536是“和对称数”，．，，2346不是“和对称数”． 已知A，B均为“和对称数”，其中，（其，，，，且均为整数），令，当k能被77整除时，求出所有符合条件的A的值________． 8．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ，的“青一区间”是 ； (2)若无理数为正整数)的“青一区间”为的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 9．（24-25七年级下·全国·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“属派生点”为，即． (1)点的“属派生点”的坐标为　　　； (2)若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的的坐标为　　　； (3)若点满足，且点是点的“属派生点”，设点的坐标为，求出与的关系式． 10．（2024七年级下·江西上饶·竞赛）甲、乙、丙、丁玩接龙游戏，请戊猜： （1）甲告诉乙一个正整数； （2）乙将此数“”再平方后告诉丙； （3）丙将听到的数“”后，再加上他自己想的一个正数，告诉丁； （4）丁将她听到的数“”后公之于众：147． 问：甲告诉乙的数和丙自己想的数分别是多少？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题11.1 不等式『第十一章 不等式与不等式组』 （解析版） 【人教版七下●新教材】 1 知识点一 不等式及其解集 1 知识点二 不等式的基本性质 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 不等式的定义 2 考点讲练二 不等式的解集 3 考点讲练三 不等式的性质 4 中考真题 实战演练 5 难度分层 闯关训练 7 基础夯实 能力提升 7 创新拓展 拔尖冲刺 12 知识点一 不等式及其解集 ①不等式：用不等号(包括：>、、、<、≠)表示大小关系的式子。 ②不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。 ③不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况： 不等式表示 数轴表示 【易错点拨】 （1）不等式的解与不等式的解集的区别与联系： ①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。 ②不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。 ③不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。 （2）用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点。 知识点二 不等式的基本性质 基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即 若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。 基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 考点讲练一 不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·上海·月考）根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 【答案】 【分析】先将题目中的文字描述转化为代数式，再根据“不大于”的含义确定不等关系，即可写出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍可表示为． 的倍与的和可表示为． “不大于”的含义是小于或等于． 因此可得不等式 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南南阳·月考）给出下列5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：不等式有①；②；⑤，共3个． 【变式训练2】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）“a的9倍与b的的和是正数”可表示为______． 【答案】 【分析】先分别表示出的9倍与的，再根据和为正数的条件列出不等式． 【详解】解： 的倍为，的为，因为两个式子的和是正数，正数都大于， 因此可得不等式：． 考点讲练二 不等式的解集 【典例分析】（2024七年级·江苏无锡·竞赛）的值一定（    ） A．大于 B．不大于 C．小于 D．不小于 【答案】D 【分析】本题利用初中平方数的非负性，推导代数式的取值范围，即可判断结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴的值一定不小于. 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）的最小整数解是，的最大整数解是，则的值为_____． 【答案】6075 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． 根据不等式的整数解定义，确定和的值，再计算乘积即可． 【详解】解：由，得最小整数解为，故； 由，得最大整数解为，故． 因此． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，把代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项符合题意； 故选：． 考点讲练三 不等式的性质 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，A选项正确，不符合题意； 由可得，，即，B选项正确，不符合题意； 由可得，C选项正确，不符合题意； 由可得，则，化简得，即，D选项错误，符合题意． 【变式训练1】（25-26七年级下·福建福州·期中）设，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，，故选项A不符合题意； 选项B，当，时，显然，故选项B不符合题意； 选项C，，，故选项C不符合题意； 选项D，，，故选项D符合题意． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴；；． 【真题演练1】（2024·北京朝阳·中考真题）下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质，利用等式的性质和不等式的性质判断推理的正确性即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、若，则，符合等式对称性，正确，不符合题意； 、若，则，但当时，恒成立，与不一定相等，推理错误，符合题意； 、若，则，因为正数加任何数大于原数，正确，不符合题意； 、若，则，因为等式两边平方相等，正确，不符合题意； 故选：． 【真题演练2】（2024·上海·中考真题）如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a，b．如果，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，掌握知识点是解题的关键．由结合数轴可知同号或异号，分两种情况根据有理数的运算法则逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴同号或异号， 当同号时，， ∴，，，与不能判断大小关系， 当异号时，，且， ∴，，，与不能判断， 综上，正确， 故选：B． 【真题演练3】（2024·山东青岛·中考真题）如果的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 【真题演练4】（2024·广东广州·中考真题）关于，的方程组，用含的式子表示______，若，令，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到即关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围． 先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围． 【详解】解：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 两边同时除以，得到， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 的取值范围是． 故答案为：，． 【真题演练5】（2024·福建泉州·中考真题）已知：a、b、m、n四个数中，， (1)比较与的大小； (2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质即可求得答案； （2）利用不等式的性质易得，，然后利用不等式的传递性即可证得结论． 【详解】（1）解：解：， 两边同时乘以得； （2）解：，m是正数， ， ，b是正数， ， 基础夯实 能力提升 1．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，，A错误； B、举反例：若，满足，此时，，B错误； C、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，不等式两边同时加，不等号方向不变，，C错误； D、，不等式两边同时减，不等号方向不变，，D正确． 2．（25-26七年级下·重庆垫江·月考）下列说法中正确的有（    ） ①两点之间，直线最短；②直线外一点到已知直线的垂线段就是这个点到已知直线的距离；③若，则a和b互为相反数；④的平方根是；⑤无理数是无限小数；⑥垂直于同一直线的两条直线互相平行；⑦过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑧若，则． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：①两点之间线段最短，不是直线最短，故①错误； ②直线外一点到已知直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，不是垂线段本身，故②错误； ③根据相反数的定义，若，则互为相反数，故③正确； ④，的平方根是，不是，故④错误； ⑤无理数是无限不循环小数，因此无理数属于无限小数，故⑤正确； ⑥只有在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线才互相平行，缺少前提条件，故⑥错误； ⑦只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，缺少限定条件，故⑦错误； ⑧， ， 不等式两边同乘正数，不等号方向不变，可得，故⑧正确； 综上，正确的说法共个． 3．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐一判断各选项变形即可． 【详解】解： A：∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ ，故A变形错误． B：∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ ，故B变形错误． C：∵ ，当时，，因此可得，故C变形错误． D：∵ ，可推出，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，∴ ，故D变形正确． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期中）比较大小：（1）4________    （2）________． 【答案】 【分析】（1）根据，即可得到； （2）可估算出，，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴，， ∴． 5．（25-26七年级下·北京西城·期中）已知分别是的整数部分和小数部分，则_____． 【答案】 【分析】先估算无理数的取值范围，进而得到的取值范围，求出整数部分和小数部分，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，， ， 不等式同乘得，， 不等式两边同时加得， ， 是的整数部分， ， 是的小数部分， ， ． 6．（24-25七年级下·江苏南通·期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是_____（填写正确结论的序号）． ； 的最大值是； 的最小值是；存在实数，使成立． 【答案】 【分析】根据定义表示小于的最大整数，即可判断；设（为整数），则，则有，所以，即，即可判断． 【详解】解：根据定义表示小于的最大整数，小于的最大整数是， ∴，该结论正确； 设（为整数），则， ∴， ∴，即， ∴最小值是，取不到，故错误，正确； ∵， ∴恒为负数，不可能等于，故错误， 综上可得：结论中正确的是． 7．（2026·重庆北碚·模拟预测）若n为整数，且满足，则n的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查无理数的估算，通过平方比较确定的取值范围，再推导得到的取值范围，结合为整数即可求出的值. 【详解】解：，， . 不等式两边同时乘正数，根据不等式的性质，不等号方向不变，得 ， 不等式两边同时减，根据不等式的性质，不等号方向不变，得 ， 即 . 为整数，且满足， . 8．（25-26七年级下·江西赣州·期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志计划制作一面如图所示圆形团扇，他想从一张面积为，宽与长之比为的长方形画纸中裁剪出所需要的圆形． (1)求出该长方形纸片的长与宽； (2)若所需圆形画纸的面积为，他的想法可行吗? 【答案】(1)长为，宽为 (2)小志的想法可行，理由见解析 【分析】（1）设该长方形的宽为 ，长为 ，根据题意列方程，利用算术平方根即可解答； （2）计算出圆形画纸的直径，再与长方形的宽作比较即可． 【详解】（1）解：设该长方形的宽为 ，长为 ， 则可得， 解得（负数舍去）； ， 答：该长方形纸片的长为，宽为； （2）解：小志的想法可行，理由如下： 可得圆形画纸的半径为， 则圆形画纸的直径为， ， ， ， ∴小志可以裁剪出所需要的圆形画纸，即他的想法可行． 9．（25-26七年级下·江苏南通·期中）按要求完成以下问题 (1)一个长方形纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长比正方形纸片周长的倍少，求这个长方形纸片的长，宽各是多少？ (2)小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2)小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】（1）设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为，根据“长方形纸片周长比正方形纸片周长的倍少”，列一元一次方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长，宽分别为、 根据长方形的面积列方程，求出长方形的长，大于正方形的边长，即可得解． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， 依题意，得， 解得， ，， 则长方形的长为，宽为． （2）解：设裁出的长方形的长，宽分别为、 长方形面积为， ， ， 又， ， 长方形的长， ， ，即， 长方形的长正方形的边长， 即小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大，请写出一个这样的两位数． 【答案】，12（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的应用，不等式的基本性质，正确理解题意并列不等式求解是关键．由题意得，原来的两位数是，对调后的两位数是，则，根据不等式的基本性质可求得，再举例即可． 【详解】解：原来的两位数是，对调后的两位数是， 由题意可知，， 由不等式的基本性质1和2，可得， 这样的两位数举例：12（答案不唯一）． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26七年级下·重庆渝北·期中）是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义和方法、绝对值、有理数加减运算、不等式的性质等知识点，理解绝对值、不等式的性质是解题的关键． 根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且，再根据绝对值、相反数的意义、有理数加减运算、不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， A．，因此A选项正确； B．由，则，因此B选项错误； C．由，则，因此C选项错误； D．由，则，因此D选项错误． 故选：A． 2．（2023七年级下·全国·竞赛）十五个整数，，，…，依次排列在数轴上．这些整数呈等距排列，并且具有以下特性，，． 问的各位数字之和是多少？ A．8 B．9 C．10 D．11 E．12 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的规律问题，不等式的性质，找到规律并确定d的值是关键；设相邻两个整数的距离为，则可用d及表示出各数及d的范围，根据求得d及，从而求得，即可求解． 【详解】解：设相邻两个整数的距离为，则，…，，； ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 由于d取整数，则， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴， ∴各位数字和为， 故选：A． 3．（2024·安徽亳州·二模）已知两个非负实数满足，，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整式的加法法则以及不等式的性质进行求解即可． 【详解】解：，， 由得：，故A选项错误，不符合题意； 由①得：， 将代入②得：， 整理得：，故B选项错误，不符合题意； 为非负实数， ，，故C选项错误，不符合题意； ， ， ， ，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·开学考试）成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有万吨石头，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，以此类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运吨石头．如果愚公是第1代，那么到第_______代，这座大山可以搬完． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设到第n代时，总人数为等比数列前n项和，每人搬运吨，总搬运量需不小于万吨，即总人数不小于人，先求出，再求解． 【详解】解：设到第n代时，可搬完大山．从第1代到第n代，各代的人数依次为，，，…，，总人数为， 所以． 所以， 即， 总搬运量为吨， 需满足， 即， 所以． 已知，， 故，即到第13代时大山可以搬完． 故答案为：． 5．（2025·重庆·一模）如果一个四位数满足，，那么称这个四位数为“国庆数”．将“国庆数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如：四位数，∵，∴不是“国庆数”；又如：四位数，∵，，∴是“国庆数”，．若是最大的“国庆数”，则________；对于“国庆数”，若能被整除，记，当取得最大值时，最小的“国庆数”为________． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，二元一次方程的解，不等式的性质，代数式求值，熟练根据题意正确列出式子，并利用不等式性质确定范围是解题的关键．先利用定义得出，，然后计算出；若是最大的“国庆数”，结合，，则要尽可能大，且要尽可能大，即可得；利用，则要使能被整除，只需能被整除即可，结合，，得出可以为或或，且每种情况都有解，再利用，求出最大的，此时，再结合要使最小，则应尽可能小，即可求解． 【详解】解：∵一个四位数满足，， ∴，，且，，，，且、、、为整数， ∴， 由题意得， ∴， ∴； 若是最大的“国庆数”， 则要尽可能大， 则，， 且要尽可能大， 则，， 则此时， 则； ∵， ∴要使能被整除，只需能被整除即可， ∵，， ∴， ∴可以为或或，且每种情况都有解， ∵， 当时，； 当时，； 当时，； ∴要使取得最大值，则， ∴， 要使最小，则应尽可能小， 结合，，，可得最小为， 则，，， ∴当取得最大值时，最小的“国庆数”为， 故答案为：；． 6．（24-25七年级下·重庆·期中）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数．若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则_____，若“倍和数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值与最小值的和为_____． 【答案】 774 9357 【分析】此题主要考查了新定义，二元一次方程以及不等式的性质，根据题意列出相关式子是解本题的关键． 第一空，根据题意直接计算，即可求出答案；第二空，设的千位数字为，百位数字为得出，（，且为整数），则可得 ，故可推得 ，能被7整除，进而分类讨论即可． 【详解】解：， 故答案为：774； 设m的千位数字为a，百位数字为b， ∵“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8， ∴m的个位数字为， ∵千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍， ∴百位上的数字与十位上的数字之和为4， ∴m的十位数字为， ∴，（，且为整数）， ∴ ， ∵ ∴能被7整除， ∵，且为整数， ∴， ∴或0， ∴或， 当时，由， 故或（舍去） 则此， 当时， ∴或或（不符合题意）， 或， 所有满足条件的“倍和数”m的最大值与最小值的和为， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·重庆·期末）已知一个四位自然数N，它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和对称数”，将这个四位自然数N的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到，规定．例如：，，4536是“和对称数”，．，，2346不是“和对称数”． 已知A，B均为“和对称数”，其中，（其，，，，且均为整数），令，当k能被77整除时，求出所有符合条件的A的值________． 【答案】3746，4756，6776，5766，7786，8796 【分析】根据题意分别表示出，，再由，能被77整除并结合，分类讨论． 【详解】解： ，，，均为整数且为“和对称数”， ，即， ， ， ， ，，，且均为整数且为“和对称数”， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 能被77整除， ∴是的倍数， ∵，， ∴， ∴或或或； 当时， 当时，则，则，其余的都不符合题意； 当时，即， 当时，，则， 当时，，则，其余的都不符合题意； 当时，则， 当时，，则， 当时，，则，其余的不符合题意； 当时，即， 当时，，则，其余的不符合题意； 综上：为：3746，4756，6776，5766，7786，8796 故答案为：3746，4756，6776，5766，7786，8796． 8．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ，的“青一区间”是 ； (2)若无理数为正整数)的“青一区间”为的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，求出，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解： ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， 即， 的“青一区间”为， ， 即， ， 综上所述，， 为正整数， ∴； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 得， 即 ， ∴ 的算术平方根为， ∵ ∴， 的算术平方根的“青一区间”是． 9．（24-25七年级下·全国·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“属派生点”为，即． (1)点的“属派生点”的坐标为　　　； (2)若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的的坐标为　　　； (3)若点满足，且点是点的“属派生点”，设点的坐标为，求出与的关系式． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查坐标与图形、不等式的性质以及平方根的应用， （1）把，，代入，即可求出的坐标； （2）由点的“属派生点”的坐标为可得，从而有．任取一个就可求出对应的，从而得到符合条件的点的一个坐标； （3）根据新定义表示出、，再代入即可； 正确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当，，时， 点的“属派生点”的坐标为，即， 故答案为：； （2）∵点的“属派生点”的坐标为，设， ∴， ∴， ∴， 当时，， 此点的坐标为， 故答案为：（答案不唯一）； （3）∵点是点的“属派生点”， ∴， ∵点满足， ∴，且，， 整理得：， ∴或 (舍去)， ∴则与的关系式为． 10．（2024七年级下·江西上饶·竞赛）甲、乙、丙、丁玩接龙游戏，请戊猜： （1）甲告诉乙一个正整数； （2）乙将此数“”再平方后告诉丙； （3）丙将听到的数“”后，再加上他自己想的一个正数，告诉丁； （4）丁将她听到的数“”后公之于众：147． 问：甲告诉乙的数和丙自己想的数分别是多少？ 【答案】甲告诉乙的数为1，丙自己想的数为6 【分析】本题考查了列方程，不等式的性质，根据确定x的值是解题的关键；设甲告诉乙的数为，丙自己想的数为，根据题意列方程，再根据可得，再根据为正整数即可确定x的值，进而确定y的值． 【详解】解：设甲告诉乙的数为，丙自己想的数为， 由题意得， 整理得， 因为， 所以， 即， 又因为为正整数， 所以， 把代入， 答：甲告诉乙的数为1，丙自己想的数为6． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $