精品解析：广东中山市三鑫学校2025-2026学年第二学期高一年级4月月考数学A试题

三鑫高中2025-2026学年第二学期高一年级4月月考 数学A试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：李冬梅 审题人：邓铭杰 一､单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果，是两个单位向量，则与一定（ ） A. 相等 B. 平行 C. 方向相同 D. 长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据，是两个单位向量；可得到其模长相等，方向不定，即可判断答案． 【详解】因为，是两个单位向量； 所以其模长相等，方向不定； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平面向量的概念和关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题。 2. 已知向量，且，那么的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 3. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，，共线，不能作为基底； 对于B，，，共线，不能作为基底； 对于C，为零向量，与任意向量共线，不能作为基底； 对于D，， 因为，故不共线，可以作为基底. 4. 向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量， 所以， 所以， 因为，所以. 5. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数的图象上所有点向左平移个单位长度得到的函数解析式为. 6. 如图所示，在正六边形中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在正六边形中，且， 所以， 因为， 所以. 7. 已知单位向量的夹角是，定义函数，那么最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用结合向量的数量积公式求解即可. 【详解】因为单位向量的夹角是，则， 所以函数， 所以当时，函数取最小值，最小值为 8. 如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义结合已知图形得出的最值，再利用数量积即可求出. 【详解】， 由投影的定义知，结合图形得， 当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为， 此时； 当P与C或B点重合时，最小为， 此时， ∴. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则或 B. 与是平行向量 C. 若与是共线向量，则四点共线 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：，模相等不能推出共线，A错误； 对于B：与是相反向量，所以是平行向量，B正确； 对于C：若与是共线向量，不能得到四点共线，C错误； 对于D：若，当向量时，与不一定平行，D错误. 故选：ACD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由余弦函数的图象的对称中心坐标求出的值，可得函数的解析式， 【详解】由图可知， 则，因为，所以． 由，得，得， 因为，所以， 所以． 故ABD选项正确，C选项错误. 11. 已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（ ） A. 若为的垂心，则 B. 若为的重心，则 C. 若为的外心，则 D. 若为的内心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断B，根据外心特征计算判断C，根据内心的性质即可得解判断D. 【详解】因为为的垂心，所以， 故，故A正确； 延长交于中点，如图， 因为点O是的重心，， 所以，故B错误； 如下图所示： 若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理可知， 所以，， 同理 则，故C正确； 如图， 若为的内心，则，过作， 则， 由余弦定理得，所以， 设内切圆半径为，所以，所以， 因为，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】向量加法的运算法则计算即得. 【详解】. 13. 已知向量，向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则实数__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为向量， 所以向量在向量方向上的投影向量为， 所以. 14. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】与的夹角为锐角，则且与不共线. 【详解】与的夹角为锐角，则且与不共线 ∴ ∴， 故答案为：. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系直接求解即可； （2）直接根据二倍角公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 【小问2详解】 解：因为， 所以 16. 已知向量. （1）求向量； （2）已知实数满足，求的值； （3）若与反向共线，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题意可得； 【小问2详解】 由题意可得， 若，则，解得； 【小问3详解】 由题意可得，， 若与共线，则，解得， 当时，，， 此时与方向相同，不符合题意，舍去； 当时，，， 此时与方向相反，符合题意，； 综上：实数. 17. 已知向量，函数，求： （1）的最小正周期； （2）的单调递增区间； （3）若是锐角，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，结合正弦二倍角公式得，再计算最小正周期即可； （2）结合（1），根据正弦函数的性质，整体代换求解即可； （3）由题意知，再结合是锐角即可求得答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）知， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 由（1）知，又， 所以，即， 因为是锐角，，， 所以，解得. 所以. 18. 如图，在中，已知为线段上一点，. （1）求实数的值； （2）若，且与的夹角为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理可得：，整理可得结果. （2）根据平面向量基本定理可得：．，根据数量积运算法则，代入模长和夹角，整理即可. 【小问1详解】 由可得. 整理得. . . 【小问2详解】 由知；且，，与的夹角为. . . 19. 平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即.”已知中，为角平分线. （1）用向量表示； （2）过点作直线交(或延长线)于不同两点，且满足， ①求的值，并说明理由； ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①，理由为： 因为，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以. ② 【解析】 【分析】（1）结合题意得，进而得； （2）①结合（1）得，再根据三点共线得，进而求得. ②结合，根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【小问1详解】 解：因为中，为角平分线， 所以，即，点是靠近点的三等分点， 所以 【小问2详解】 ①略 ②因为， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三鑫高中2025-2026学年第二学期高一年级4月月考 数学A试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：李冬梅 审题人：邓铭杰 一､单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果，是两个单位向量，则与一定（ ） A. 相等 B. 平行 C. 方向相同 D. 长度相等 2. 已知向量，且，那么的值是（ ） A. B. 3 C. D. 3. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在正六边形中，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知单位向量的夹角是，定义函数，那么最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 8. 如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则或 B. 与是平行向量 C. 若与是共线向量，则四点共线 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（ ） A. 若为的垂心，则 B. 若为的重心，则 C. 若为的外心，则 D. 若为的内心，则 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________. 13. 已知向量，向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则实数__________. 14. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知向量. （1）求向量； （2）已知实数满足，求的值； （3）若与反向共线，求实数的值. 17. 已知向量，函数，求： （1）的最小正周期； （2）的单调递增区间； （3）若是锐角，且，求的值. 18. 如图，在中，已知为线段上一点，. （1）求实数的值； （2）若，且与的夹角为，求的值. 19. 平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即.”已知中，为角平分线. （1）用向量表示； （2）过点作直线交(或延长线)于不同两点，且满足， ①求的值，并说明理由； ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $