精品解析：广东中山市桂山中学2025-2026学年高一下学期5月段考检测数学试题

广东省中山市桂山中学2028届高一年级5月段考检测题（2026.5） 数 学 命题人：费晓东 审题人：吴思婷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.试卷满分 150分.考试时间 120分钟. 【注意事项】 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、4位班座号、10位市统考号，用黑色签字笔或钢笔填写在答题卷密封线内. 2．选择题做在答题卡上，非选择题做在答题卷上.考试结束后，只交答题卡和答题卷. 3.试卷共　4　页，答题卷共　4　页，作答时用黑色签字笔或钢笔直接答在指定答题处. 第І 卷 （选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分. 1. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 50 2. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，为上一点，且，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（ ） A. B. C. 8 D. 24 5. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，则实数的最小值（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角为三个内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错得得0分. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱. B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. 10. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 11. 设的内角的对边分别为，若，且，则（ ） A. B. C. 的面积可以是1 D. 的周长可以是3 第Ⅱ卷(非选择题 共92 分 ) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 13. 已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 14. 柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 17. 已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求在上的单调递减区间； （3）若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 18. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． （1）求索道AB的长； （2）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标． （1）若，，求； （2）若，，，求在上的投影向量的斜坐标； （3）若，，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市桂山中学2028届高一年级5月段考检测题（2026.5） 数 学 命题人：费晓东 审题人：吴思婷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.试卷满分 150分.考试时间 120分钟. 【注意事项】 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、4位班座号、10位市统考号，用黑色签字笔或钢笔填写在答题卷密封线内. 2．选择题做在答题卡上，非选择题做在答题卷上.考试结束后，只交答题卡和答题卷. 3.试卷共　4　页，答题卷共　4　页，作答时用黑色签字笔或钢笔直接答在指定答题处. 第І 卷 （选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分. 1. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 50 【答案】B 【解析】 【详解】由题得， 所以. 2. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设球的半径为，则球的体积， 又圆柱的底面直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积， 所以圆柱与球的体积之比为． 3. 在中，为上一点，且，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量的线性关系及加减法计算化简，再应用平面向量基本定理计算求解. 【详解】由题可知，，则，，. 4. 已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（ ） A. B. C. 8 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平面向量共线的坐标表示得到，再根据基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】由，得，即， 又均为正数， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是8. 5. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为 所以可化为， 所以 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，则实数的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图象变换和诱导公式求出m的最小值. 【详解】，而. 函数的图象向左平移个单位长度， 可得， 因为平移后所得函数图象与函数的图象重合， 所以，，解得，， 因为，所以当时，取得最小值. 7. 在中，角为三个内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】将其转化为函数，结合图像即可求解 【详解】考虑为到的斜率， 因为， 因为函数在与上均递增，得大致图象，如图所示， 若，则，而 同号，由图及单调性可得； 若，则必定成立，故为充要条件． 8. 已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用和表达四边形周长，进而利用三角函数求解最值，再计算得到的坐标. 【详解】设，因为正方形的边长， 所以， 四边形周长为， 其中，当时周长最大． 此时，则， 故点的坐标为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错得得0分. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱. B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 对于A：如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形， 此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B：由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C：棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形， 则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正确； 对于D：正棱锥的定义是：底面为正多边形，且顶点在底面上的投影为底面中心. 容易得到，所有侧棱长度相等，底面边长相等，每个侧面三角形由两条侧棱和一条底边组成， 因此正棱锥的侧面是等腰三角形，同时，所有侧面三角形的边长对应相等，故侧面三角形全等，故D正确. 故选：BCD. 10. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判断选项A，B；方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C；利用同角三角函数的关系化简函数解析式可判断选项D． 【详解】， 对于A，由，得，而在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确； 对于B，，故函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，可得，由，得， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且当，即时，，当，即时，， 当，即时，， 要使方程在上有两个不相等的实数根， ，故，C错误； 对于D，因 ， 因，则当时，取得最大值，故D正确. 11. 设的内角的对边分别为，若，且，则（ ） A. B. C. 的面积可以是1 D. 的周长可以是3 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A、B选项，由正弦定理结合两角和的正弦定理可求出角C即可； 对于C，利用基本不等式可得，结合三角形面积公式可求解； 对于D，利用余弦定理可得的最小值，从而得到周长的最小值. 【详解】已知， 由正弦定理可得， ， ， ，，， 即.所以B正确；根据已知条件无法得出，所以A错误； 对于C：，又，，当且仅当时等号成立， ，所以C错误； 对于D：由余弦定理 ，，即，当且仅当等号成立. 此时，，所以的周长范围为. 当，即时，，则存在实数解. 所以D正确. 第Ⅱ卷(非选择题 共92 分 ) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到圆台上下底面半径及母线长，再利用圆台侧面积公式求解． 【详解】 易知上底面圆的半径，下底面圆的半径， 母线长， 所以该圆台的侧面积． 13. 已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量夹角为钝角的条件，即两向量数量积小于0且两向量不共线，分别列出不等式求解，最后取交集得到t的取值范围。 【详解】向量，可得。 由, 得，所以或， 若两向量共线，可得，即，解得或, 因为夹角为钝角时两向量不能共线，所以且， 所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 14. 柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，代入公式即可得解. 【详解】令， 又，，， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【小问1详解】 在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． 【小问2详解】 由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 17. 已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求在上的单调递减区间； （3）若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）结合图象先求的解析式，再根据求解即可； （2）利用整体思想，求出函数的所有递减区间，再求出函数在上的单调递减区间； （3）根据函数的周期为4，可得两相邻零点之间的距离为2，求出2026、2028个零点之间最短距离，即可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 由题意可得； 【小问2详解】 由（1）可知， 令， 解得， 当时，的单调递减区间为， 所以在上的单调递减区间为； 【小问3详解】 因为，最小正周期为4， 所以相邻两个零点之间的距离为2， 又因为在区间上恰有2026个零点， 设第一个零点为，则第2026个零点为， 则2026个零点之间最短距离为， 由2028个零点之间最短距离为， 所以 18. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． （1）求索道AB的长； （2）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】（1）； （2）； （3）（单位：m/min）． 【解析】 【分析】(1)在中，已知两角及其夹边，可求出第三个角通过正弦定理计算AB的长； (2)甲乙最短距离时所在位置可以与A构成三角形，根据速度，可以求得路程，即三角形边长，利用余弦定理解三角形即可； (3)通过路程除以速度计算时间，根据两人到达时间，列不等式，计算范围即可． 【小问1详解】 在中，因为，， 所以，，从而： ， 由正弦定理，得． 【小问2详解】 设乙在D处时，与E处的甲距离最近： 假设乙出发后，甲、乙两游客距离为， 此时，甲行走了，乙走了， 所以由余弦定理得： ， 即， 因为乙还在缆车上，故，即， 故当时，甲、乙两游客距离最短． 【小问3详解】 由正弦定理，得． 乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得， 即，解得， 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在（单位：）范围内． 19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标． （1）若，，求； （2）若，，，求在上的投影向量的斜坐标； （3）若，，，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】(1)根据题干给出的斜坐标的定义表示，根据向量的共线定理求参即可； (2)根据投影向量公式可知，计算出两向量的数量积与模长即可得到，由基底向量的模长与夹角代入计算的数量积与模长； (3)根据题干给的定义，将表示出来，计算其模长及夹角，根据模长的范围确定夹角的范围，进而计算的最小值． 【小问1详解】 由题意得，，， 因为，则存在实数使得，即， 整理得：，即， 因为为单位向量且不共线，所以， ，得，； 【小问2详解】 由题意得，，，且，则 ； 因为在上的投影向量为， 因为 ， 故， 故在上的投影向量的斜坐标为； 【小问3详解】 由题意得，，，， 设夹角为，则 ，则： ； ， ，则 因为， 且，故，即 ， 因为，故； 解得：；故 ； 则，故； 即，故， 则的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $