7.4.1二项分布课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1 二项分布 安徽省太和中学 复习：两点分布 伯努利 实验 安徽省太和中学 (1)掷一枚硬币; (2)检验一件产品; (3)飞碟射击; (4)医学检验. 正面朝上；反面朝上 合格；不合格 中靶；脱靶 阴性；阳性 只包含两个结果 下列一次随机试验的共同点是什么？ 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials). 安徽省太和中学 (1) 概率的不变性； (2) 结果的独立性； (3)每次试验结果的对立性. n重伯努利试验 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. n重伯努利试验具有如下共同特征: “重复”意味着各次试验的概率相同 安徽省太和中学 【例1】判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. (2)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. (3)口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，从中依次抽取5个球，恰好抽出4个白球. (4)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上. 是 不是 是 不是 安徽省太和中学 【探究】某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数的概率分布列是怎样的？ 用表示“第次射击中靶”，用如图的树状图表示试验的可能结果.则X的概率分布列为： ， ， ， . 于是，中靶次数的分布列为 . 安徽省太和中学 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击4次，求中靶次数的分布列. 中靶次数的分布列为 . 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击n次，求中靶次数X的概率分布列？ 中靶次数的分布列为 . 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p，求事件A发生的次数X的概率分布列？ 中靶次数的分布列为 . 安徽省太和中学 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 二项分布 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p). 安徽省太和中学 如何判断一个随机变量是否服从二项分布？ ①对立性：即一次试验中，事件发生与否两者必有其一. ②重复性：即试验是独立重复地进行了次. 二项分布与两点分布有何关系？ 两点分布是特殊的二项分布，即的二项分布. 二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布. [练习]P77-3.判断下列表述正确与否，并说明理由: (1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12, 0.25)； (2) 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6, 0.1). 安徽省太和中学 例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求: (1) 恰好出现5次正面朝上的概率； (2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率. 解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，则 X ~ B(10, 0.5). (1) 恰好出现5次正面朝上的概率为 (2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为 其中的伯努利试验是什么？ 重复试验的次数是多少？ 若定义每个试验中“成功”的事件为A，则A的概率是多大？ 安徽省太和中学 例2 如图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放入，小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0, 1, 2, ‧‧‧, 10，用X表示小球最后落入格子的号码,求X的分布列. 其中的伯努利试验是什么？ 重复试验的次数是多少？ 若定义每个试验中“成功”的事件为A，则A的概率是多大？ 安徽省太和中学 解：设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且P(A)=P()=0.5. 因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10, 0.5). X的概率分布图如右图所示： 于是，X的分布列为 安徽省太和中学 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0009765625 0.009765625 0.0439453125 0.1171875 0.205078125 0.24609375 0.205078125 0.1171875 0.0439453125 0.009765625 0.0009765625 2+1（41） 练习 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，求下列事件的概率 （1）质点回到原点； （2）质点位于4的位置。 解：（1）由题意，要使移动6次后质点位于0的位置，需左移3次，右移3次，所以质点最终位于0的位置的概率是 （2）要使移动6次后质点位于4的位置，需左移5次，右移1次，所以质点最终位于4的位置的概率是 安徽省太和中学 D 解：由题意，要使移动8次后质点位于－2的位置，需左移5次，右移3次，所以质点最终位于－2的位置的概率是 安徽省太和中学 【例3】甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ p2=0.63+×0.63×0.4+×0.63×0.42=0.682 56. 因为，所以5局3胜制对甲有利. 分析：①3局2胜制中“甲胜”的情况： 2:0——赛2局，甲连胜2局； 2:1——赛3局，最后1局甲胜，前2局甲乙各胜1局； ②5局3胜制中“甲胜”的情况： 3:0——赛3局，甲连胜3局； 3:1——赛4局，最后1局甲胜，前3局甲胜2局，乙胜1局； 3:2——赛5局，最后1局甲胜，前4局甲胜2局，乙胜2局； p1=0.62+×0.62×0.4=0.648. 此法符合比赛实际规则,比较容易理解. 安徽省太和中学 方法二　 采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数， 则X~B(3，0.6).甲最终获胜的概率为 p1=P(X=2)+P(X=3)=×0.62×0.4+×0.63=0.648. 采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数， 则X~B(5，0.6).甲最终获胜的概率为 p2=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=×0.63×0.42+×0.64×0.4+×0.65=0.682 56. 因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利. 实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 2.二项分布 【例3】甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ 安徽省太和中学 一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下: (1) 明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； (2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； (3) 设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p). 安徽省太和中学 假设随机变量，那么的均值和方差是什么？ 当时，服从两点分布， 当时，服从两点分布，,. 当时，服从两点分布, （1）二项分布的均值和方差 一般地，如果 ，那么 ， 若令= ，则. X 0 1 … k … n P p0qn p1qn－1 … pkqn－k … pnq0 安徽省太和中学 对期望进行证明. 令，由 ，可得 令，则 安徽省太和中学 练习： 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布 解： 所以X的分布列为： 安徽省太和中学 拓展p81-82 阅读材料 :某射手每次射击击中目标的概率是0.8.每次射击的结果相互独立，那么这名射手在10次射击中，最有可能击中几次？ 安徽省太和中学 如果X～B(n，p).其中0<p<1，那么当k由0增大到n时，. 是怎样变化的？k取何值时，P(x=k)的值最大？ 安徽省太和中学 练习2-1 (2025·三明高二期中)数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动8次，则质点最终位于－2的位置的概率是 (　　) 设他在10次射击中，击中目标的次数为X，因此随机变量X～B(10，0.8). 于是恰好k次击中目标的概率为 (k=0，1，2，...，10). 从而 (k=0，1，2，...，10). 于是，当k<8.8时，P(X=k-1)<P(X=k)； 当k>8.8时，P(X=k-1)>P(X=k). 由上分析可知，他在10次射击中，最有可能8次击中目标. $